2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1 单调性与最大（小）值讲义-教案

知识清单1．增函数与减函数的定义 条件一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的① 两个自变量的值，当时都有② 都有④ 结论那么就说函数在区间上是③ 函数那么就说函数在区间上是⑤ 函数图示
2．如果函数在区间上是⑥ 函数或⑦ 函数，那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，区间叫做函数的⑧ . 3．函数的最大(小)值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足(1)对于任意的，都有⑨ (1)对于任意的，都有 (2)存在，使得⑩ (2)存在，使得 那么称是函数的最大值那么称是函数的最小值
重要知识点讲解 知识点一：函数单调性的定义（★☆☆☆☆） 1．增函数的定义：对某区间内任意，都有，则在该区间为增函数； 2．减函数的定义：对某区间内任意，都有，则在该区间为减函数； 例题1（★☆☆☆☆）已知函数的定义域为，如果对于属于定义域内某个区间上的任一两个不同的自变量，都有，则在这个区间上单调________；如果对于属于定义域内某个区间上的任一两个不同的自变量，都有，则在这个区间上单调 ； 知识点二：函数单调性的证明 例题1（★★☆☆☆）证明函数在定义域上是减函数； 变式1（★★☆☆☆）证明函数在上是增函数； 变式2（★★☆☆☆）证明函数在上是减函数； 变式3（★★☆☆☆）证明函数在上是增函数； 变式4（★★☆☆☆）证明函数在上是减函数； 知识点三：函数单调性的判断 解题指导： 1.一次函数，当时，单调递增；当时，单调递减； 2.二次函数对称轴两边单调性恰好相反；当时，对称轴左边单调递减，右边单调递增；当时，对称轴左边单调递增，右边单调递减； 3.反比例，当时，分别在第一、三象限单调递减；当时，分别在第二、四象限单调递增； 4.绝对值函数，图像关于对称，对称轴左边单调递减，右边单调递增； 例题1 （★☆☆☆☆）下列函数在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 变式1（★☆☆☆☆）下列函数在定义域上单调递减的是（　　 ） A. 　B. C. 　 　 D. 知识点四：求单调区间 解题指导： 1．求函数单调性前必须先求定义域，且函数的单调区间必须是定义域的子集； 2．单调区间之间不能用并集符号连接，要用“和”或“，”连接； 例题1（★★★☆☆）先作出下列函数的大致图像，然后根据图像写出其单调区间； （1）； （2）； （3）； 变式1（★★★☆☆）画出函数的图像，并指出函数的单调区间； 例题2（★★★☆☆）函数的单调递增区间是____________； 变式2 （★★★☆☆）函数的单调递增区间是____________； 知识点五：函数单调性的性质 解题指导： 1．如果在某定义域内单调递增，且在该定义域内有，则；如果在某定义域内单调递减，且在该定义域内有，则； 2．函数的单调递增（递减）区间是和函数在上单调递增（递减）是不同的，对于后者，只是其单调递增（递减）区间的子区间； 例题1（★★☆☆☆）已知函数和在上都是减函数，则函数在上是（ ） A．减函数且； B．增函数且 ； C．减函数且 ； D．增函数且； 例题2（★★☆☆☆）设函数是上的减函数，则（ ） A. B. C. D. 变式1（★★☆☆☆）已知函数是上的减函数，则与的大小关系是 ； 例题3若函数在上是单调函数，则的取值范围是_________； 变式2（★★☆☆☆）已知函数在上递减，在上递增，则 ； 变式3（★★☆☆☆）已知函数，若它的增区间为，则的值是 ；若它在上递增，则的取值范围是_________； 例题4（★★☆☆☆））若函数的单调递增区间是，则______________； 变式4函数在上为增函数，则实数的取值范围是___________； 例题5 （★★★☆☆）已知函数为区间上的增函数，则满足的实数的取值范围是 __________； 变式5（★★★☆☆）已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是__________； 知识点六：复合函数的单调性 解题指导： 1．函数和函数具有相同的单调性； 2．当时，函数和函数具有相同的单调性；当时，函数和函数具有相反的单调性； 3．若，函数和函数有相反的单调性； 4．若，则函数和有相同的单调性； 5．增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数； 6．增函数与减函数的复合：增减=减；减增=减；增增=增；减减=增； 记忆方法：可以把增函数当作“正数”，减函数当作“负数”处理。增减函数复合时可以看作乘法运算。 例题1（★☆☆☆☆）函数在上单调_______（填“递增”或“递减”）； 变式1（★★☆☆☆）函数在是_______函数（填“增”或“减”）； 例题2 （★★★☆☆）函数的单调递增区间是 ； 变式2 （★★☆☆☆）函数的单调递减区间是 ； 知识点七：函数的最值 解题指导：求函数最值的方法 1．观察法：对于简单的函数，可以依据定义域观察求出最值； 2．配方法：对于“二次函数类”的函数，一般通过配方法求最值； 3．图像法：对于图像较为容易画出来的函数，可借助图像直观求出最值； 4．单调性法：对于较复杂的函数，分析单调性（需给出证明）后，依据单调性确定函数最值； （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数 在处有最大值； （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数 在处有最小值； （3）若果连续函数在上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是； （4）若果连续函数在上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是； 例题1 （★★★☆☆）求函数的最小值； 变式1 （★★★☆☆）求函数的最大值与最小值； 重要题型讲解 题型一：带参数的单调性问题 例题1 （★★★★☆）判断函数的单调区间； 变式1 （★★★★☆）求函数的单调区间； 变式2（★★★★☆）试讨论函数在上的单调性； 变式3 （★★★★☆）若函数在上是单调递增函数，则的取值范围是_________； 例题2 （★★★★☆）已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是_________； 变式2已知；（1）若，则的定义域为 ；（2）若在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ； 题型二：抽象函数的单调性 例题1（★★★★☆）已知函数的定义域为，且对，恒有，且，当时，；求证：是单调递增函数； 变式1已知函数对任意，总有，且当时，，；（1）求证：在上是减函数；（2）在上的最值； 例题2（★★★★☆）当时，函数有意义，且满足条件，是增函数；（1）求证：；（2）若，求的取值范围； 题型三：最值问题 例题1（★★★☆☆）已知函数；（1）当时，求函数的最大值和最小值；（2）求使在区间上是单调函数的实数的范围； 变式1已知函数；（1）当时，求函数的最小值；（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围； 例题2（★★★☆☆）已知二次函数；（1）当时，求的最值；（2）当时，求的最值；（3）当时，求的最小值； 例题3（★★★★★）求二次函数在时的最大值与最小值； 变式2（★★★★★）求二次函数在时的最大值与最小值；