2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册椭圆方程及性质的应用 教案
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册椭圆方程及性质的应用 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 727.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-02 10:39:35 | ||
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文档简介
编号：017 课题:§3.1.2.2 椭圆方程及性质的应用
目标要求
1、理解并掌握直线与椭圆的位置关系．
2、理解并掌握弦长及中点弦问题．
3、理解并掌握与椭圆有关的综合问题．
4、理解并掌握椭圆方程及其性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的综合问题；
难点：椭圆方程及其性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系 满足条件
P在椭圆外 ＋___1
P在椭圆上 ＋＝1
P在椭圆内 ＋___1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆______；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆_______；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆_______．
【课前预习思考】
(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
3．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：AB＝_____________________________．
弦长公式②：AB＝_____________________________．
【课前基础演练】
题1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
题2．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题3．直线l与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，若直线l的方程为x－2y＋1＝0，则线段AB的中点坐标是( )
A． B．
C． D．
题4．直线y＝kx－k＋1(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
题5．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B． C． D．
题6．过椭圆＋＝1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是________．
题7．已知椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
【当堂巩固训练】
题8．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则|OB|的值为( )
A． B． C． D．
题9．已知点P在椭圆＋＝1上运动，点Q在圆(x－1)2＋y2＝上运动，则的最小值为( )
A．2 B． C．2－ D．
题10．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0，3)∪(3，＋∞)
C．(1，3)∪(3，＋∞) D．(1，＋∞)
题11．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A． B． C．1 D．3
题12．已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l的斜率是( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
题13．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．
C．(0，] D．
题14（多选题）．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则( )
A．椭圆焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．弦长AB＝
D．S△OAB＝
题15（多选题）．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线l的方程为x＋y－3＝0
D．AB＝
题16．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，则k＝________．
题17．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点(A在B上方)，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为____________．
题18．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长．
【课堂跟踪拔高】
题19．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为( )
A．3x＋2y－13＝0
B．2x＋3y－12＝0
C．4x＋9y－30＝0
D．9x＋4y－39＝0
题20．在椭圆＋＝1中，A1，A2分别为椭圆的左右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则△MF1A2的面积最大值为( )
A．16 B．32 C．16 D．32
题21．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为( )
A．0.41平方米 B．0.32平方米
C．0.22平方米 D．0.12平方米
题22．(多选题)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F(1，0)，直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是( )
A．点P的轨迹方程是＋y2＝1
B．直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A(1，1)，则＋2的最小值为3
D．点P的轨迹与圆C：x2＋y2－2x＋＝0是没有交汇的轨迹(也就是没有交点)
题23．设直线l：2x＋y－2＝0与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数是________．
题24．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为，则椭圆C的方程为________；点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________．
题25．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且＝2，若M为椭圆上一点，线段MF1与圆C：x2＋y2＝1相切于该线段的中点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F1作直线l与椭圆C交于两点A，B，且椭圆C上存在点P，满足＝＋，求直线l的方程．
题26．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交y＝－3于点M，直线AC交y＝－3于点N.若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．
编号：017 课题:§3.1.2.2 椭圆方程及性质的应用
目标要求
1、理解并掌握直线与椭圆的位置关系．
2、理解并掌握弦长及中点弦问题．
3、理解并掌握与椭圆有关的综合问题．
4、理解并掌握椭圆方程及其性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的综合问题；
难点：椭圆方程及其性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系 满足条件
P在椭圆外 ＋>1
P在椭圆上 ＋＝1
P在椭圆内 ＋<1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【课前预习思考】
(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
提示：(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
3．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：AB＝·．
弦长公式②：AB＝·．
【课前基础演练】
题1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
【解析】选C.由，得＋(3－x)2＝1，化简得5x2－24x＋32＝0，因为Δ＝242－4×5×32＝－64<0，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离．
题2．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选A.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，a＝2，因为AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|＝3，
所以将x＝c代入＋＝1得y＝±，
所以|AB|＝＝3，所以b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
题3．直线l与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，若直线l的方程为x－2y＋1＝0，则线段AB的中点坐标是( )
A． B．
C． D．
【解析】选D.把直线x－2y＋1＝0代入椭圆C：＋＝1的方程，消去x，化简得6y2－4y－7＝0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝，故线段AB的中点的纵坐标是，把y＝代入直线x－2y＝－1，可得x＝－，故线段AB的中点坐标是.
题4．直线y＝kx－k＋1(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【解析】选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．
题5．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.设A，B，
由，得x2－2bx＋b－1＝0，
则x1＋x2＝.设线段AB的中点为C，则xC＝.将xC＝代入y＝1－x得到yC＝.
因为kOC＝＝＝，故＝.
题6．过椭圆＋＝1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是________．
【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由
得34x2＋200x＋175＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以AB＝×
＝×＝.
答案：
题7．已知椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
两式相减得＝－，
所以＝－·，所以＝＝4，
所以a2＝2b2＝4，所以a＝2.
答案：2
【当堂巩固训练】
题8．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则|OB|的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.如图所示：
由AF2⊥F1F2知，AF2∥OB，
因为O为F1F2的中点，所以OB为△AF1F2的中位线，
所以＝，又＝＝，
所以＝.
题9．已知点P在椭圆＋＝1上运动，点Q在圆(x－1)2＋y2＝上运动，则的最小值为( )
A．2 B． C．2－ D．
【解析】选D.设点P(x，y)，则＋＝1，得y2＝3－，
圆(x－1)2＋y2＝的圆心A(1，0)，半径为，则2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋3－
＝x2－2x＋4，x∈[－3，3]，令h(x)＝x2－2x＋4，x∈[－3，3]，对称轴为x＝，
所以当x＝时，h(x)取得最小值h＝×2－2×＋4＝，所以的最小值为，所以的最小值为－＝.
题10．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0，3)∪(3，＋∞)
C．(1，3)∪(3，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】选C.联立直线和椭圆方程得
，所以(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，所以Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，所以m>1或m<0，因为m>0，m≠3，所以m>1且m≠3.
题11．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A． B． C．1 D．3
【解析】选D.椭圆a＝5，b＝3，根据椭圆焦点三角形的面积公式S＝b2tan ＝9×＝3.
题12．已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l的斜率是( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，所以＝－×＝－×＝－，
即直线l的斜率是－.
题13．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．
C．(0，] D．
【解析】选C.(方法一)易知B(0，b).
设P(a cos α，b sin α)(0≤α<2π)，
则|PB|2＝a2cos2α＋b2(1－sinα)2＝a2cos2α＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝a2(1－sin2α)＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝(b2－a2)sin 2α－2b2sin α＋a2＋b2.
当a2≤2b2时，≤－1，则sin α＝－1时，|PB|2取得最大值4b2，符合题意，此时e＝＝
≤＝；
当a2>2b2时，－1≤≤0，所以sin α＝时，|PB|2取得最大值＋a2＋b2，不符合题意．综上可知，0＜e≤.
(方法二)易知B(0，b).设P(x，y)(－b≤y≤b)，则x2＝，则|PB|2＝x2＋(b－y)2＝a2－＋b2＋y2－2by＝(1－)y2－2by＋a2＋b2.
当a2≤2b2时，≤－b，所以y＝－b时，|PB|2取得最大值4b2，符合题意，此时e＝＝1－≤＝；
当a2＞2b2时，－b＜＜0，所以y＝时，|PB|2取得最大值＋a2＋b2，不符合题意．
综上可知，0＜e≤.
题14（多选题）．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则( )
A．椭圆焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．弦长AB＝
D．S△OAB＝
【解析】选BC.因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，
因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆焦距为2，故A错误；所以椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；
设A，B，由，
得5x2－8x＋8＝0，解得x1＋x2＝，x1x2＝，
AB＝＝＝
＝＝，故C正确；原点到直线y＝x－的距离为d＝＝，所以S△OAB＝dAB＝××＝，故D错误.
题15（多选题）．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线l的方程为x＋y－3＝0
D．AB＝
【解析】选BCD.A：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0，±2)，错误；B：a2＝8，即椭圆C的长轴长为2a＝4，正确；C：由题意，可设直线l为x＝k(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，联立椭圆方程并整理得(2k2＋1)y2＋4k(1－2k)y＋8k2－8k－6＝0，M为椭圆内一点，则Δ>0，所以y1＋y2＝＝4，可得k＝－1，即直线l为x＋y－3＝0，正确；D：由C知：y1＋y2＝4，y1y2＝，则AB＝·＝，正确．
题16．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，则k＝________．
【解析】设M，N，由消去y并化简得x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝
－，x1x2＝0，由|MN|＝，得2＋2＝，所以2＝，
所以(1＋k2)[－4x1x2]＝，
即2＝，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.
答案：±1
题17．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点(A在B上方)，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为____________．
【解析】由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，AF⊥BF，可知三角形OAF是正三角形，
A，
所以FB＝c，由椭圆的定义可得c＋c＝2a，可得e＝＝＝－1.
答案：－1
题18．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长．
【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2).代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，
B(x2，y2).
又M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－，即kAB＝－.
又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，
所以AB＝·＝·＝2.
【课堂跟踪拔高】
题19．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为( )
A．3x＋2y－13＝0
B．2x＋3y－12＝0
C．4x＋9y－30＝0
D．9x＋4y－39＝0
【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，有4x＋9y＝144，4x＋9y＝144，作差得4(x－x)＋9(y－y)＝0，4＋9·＝0，所以4＋9·kAB·＝0，解得kAB＝－，又直线过P，故直线方程为2x＋3y－12＝0.
题20．在椭圆＋＝1中，A1，A2分别为椭圆的左右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则△MF1A2的面积最大值为( )
A．16 B．32 C．16 D．32
【解析】选A.由已知，当点M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值，因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝5，b＝4，c＝3，则△MF1A2的面积最大值为(a＋c)×b＝×8×4＝16.
题21．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为( )
A．0.41平方米 B．0.32平方米
C．0.22平方米 D．0.12平方米
【解析】选C.由已知，竞技场的总面积为π××＝7332π(平方米)，表演区的面积为π××＝1161π(平方米)，故观众区的面积为7332π－1161π＝6171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为≈≈0.22(平方米).
题22．(多选题)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F(1，0)，直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是( )
A．点P的轨迹方程是＋y2＝1
B．直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A(1，1)，则＋2的最小值为3
D．点P的轨迹与圆C：x2＋y2－2x＋＝0是没有交汇的轨迹(也就是没有交点)
【解析】选BCD.设点P为，点P到l的距离为d，因为动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，
则2＝，化简得＋＝1，故A错误；
联立直线l1：x＋2y－4＝0和椭圆方程＋＝1，可得：2＝0，故存在P，直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线”，B正确；由2＝d知，＋2＝＋d，当点P与点A纵坐标相等时，最小距离为：4－1＝3，C正确；
圆C：x2＋y2－2x＋＝0化简得2＋y2＝，显然圆C在椭圆内，故D正确．
题23．设直线l：2x＋y－2＝0与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数是________．
【分析】先求交点A，B得＝，再求与直线l平行且与椭圆相切的直线方程，最后根据两直线距离判定点P的个数．
【解析】由题意知，直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1，0)，(0，2)，故＝，
若△PAB的面积为，
则××h＝(h为AB边上的高)，所以h＝.
联立y＝－2x＋m与椭圆方程x2＋＝1，
得8x2－4mx＋m2－4＝0.
令Δ＝0，
得m＝±2，
即当直线l平移到直线y＝－2x＋2或y＝－2x－2时，与椭圆相切，
它们与直线l的距离d＝或d＝，
当d＝>，所以有2个点符合要求；
当d＝<，没有满足题意的点；所以一共有2个点符合要求．
答案：2
题24．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为，则椭圆C的方程为________；点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________．
【解析】(1)由已知，直线AM的方程为y－3＝(x－2)，
即x－2y＝－4，当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，得＋＝1，解得b2＝12，所以C的方程为＋＝1 ；
(2)设与直线AM平行的直线方程为：x－2y＝m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．x－2y＝m代入椭圆方程 ＋＝1，化简得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程：x－2y＝8，利用平行线之间的距离为：d＝＝，|AM|＝＝3.所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.
答案：＋＝1 18
题25．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且＝2，若M为椭圆上一点，线段MF1与圆C：x2＋y2＝1相切于该线段的中点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F1作直线l与椭圆C交于两点A，B，且椭圆C上存在点P，满足＝＋，求直线l的方程．
【解析】(1)如图所示，由已知c＝，F1，
不妨设M，N在x轴上方，
因为圆C：x2＋y2＝1的圆心为原点，半径为1，
所以切线F1M斜率为1，点M在y轴上，M，所以椭圆中心在原点，b＝，a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1；
(2)设点A，B，
当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，A，B关于x轴对称，此时＝＋＝2OF1＝(－2，0)，而显然P(－2，0)不在椭圆C上，
所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋)，
代入椭圆C的方程，消去y并整理得
x2＋4k2x＋4＝0，
Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝－.
所以＝＋＝＝(x1＋x2，k(x1＋x2＋2))＝，
点P，又点P在椭圆上，
所以2＋22＝4，即4k4＝1，解得k＝±，
所以椭圆上存在点P，使得＝＋，此时直线l的方程为y＝±，即
y＝x＋1或y＝－x－1.
题26．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交y＝－3于点M，直线AC交y＝－3于点N.若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．
【解析】(1)因为椭圆E过点A(0，－2)，故b＝2，
以四个顶点围成的四边形面积为4，故×2a×2b＝2ab＝4，
得a＝，故椭圆E的标准方程为＋＝1；
(2)由题意知，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消y整理得(5k2＋4)x2－30kx＋25＝0，
Δ＝(－30k)2－4×(5k2＋4)×25＝400×(k2－1)＞0
故k＞1或k＜－1，x1＋x2＝－＝，x1·x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－，
y1·y2＝(kx1－3)(kx2－3)
＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9
＝，
直线AB的方程为y＋2＝x，
令y＝－3，则x＝－，故M，
同理N，所以
|PM|＋|PN|＝＋
＝
＝
＝
＝＝|5k|≤15，
即|k|≤3，解得－3≤k≤3.
综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].
(
1
)
目标要求
1、理解并掌握直线与椭圆的位置关系．
2、理解并掌握弦长及中点弦问题．
3、理解并掌握与椭圆有关的综合问题．
4、理解并掌握椭圆方程及其性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的综合问题；
难点：椭圆方程及其性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系 满足条件
P在椭圆外 ＋___1
P在椭圆上 ＋＝1
P在椭圆内 ＋___1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆______；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆_______；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆_______．
【课前预习思考】
(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
3．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：AB＝_____________________________．
弦长公式②：AB＝_____________________________．
【课前基础演练】
题1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
题2．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题3．直线l与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，若直线l的方程为x－2y＋1＝0，则线段AB的中点坐标是( )
A． B．
C． D．
题4．直线y＝kx－k＋1(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
题5．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B． C． D．
题6．过椭圆＋＝1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是________．
题7．已知椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
【当堂巩固训练】
题8．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则|OB|的值为( )
A． B． C． D．
题9．已知点P在椭圆＋＝1上运动，点Q在圆(x－1)2＋y2＝上运动，则的最小值为( )
A．2 B． C．2－ D．
题10．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0，3)∪(3，＋∞)
C．(1，3)∪(3，＋∞) D．(1，＋∞)
题11．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A． B． C．1 D．3
题12．已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l的斜率是( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
题13．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．
C．(0，] D．
题14（多选题）．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则( )
A．椭圆焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．弦长AB＝
D．S△OAB＝
题15（多选题）．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线l的方程为x＋y－3＝0
D．AB＝
题16．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，则k＝________．
题17．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点(A在B上方)，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为____________．
题18．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长．
【课堂跟踪拔高】
题19．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为( )
A．3x＋2y－13＝0
B．2x＋3y－12＝0
C．4x＋9y－30＝0
D．9x＋4y－39＝0
题20．在椭圆＋＝1中，A1，A2分别为椭圆的左右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则△MF1A2的面积最大值为( )
A．16 B．32 C．16 D．32
题21．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为( )
A．0.41平方米 B．0.32平方米
C．0.22平方米 D．0.12平方米
题22．(多选题)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F(1，0)，直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是( )
A．点P的轨迹方程是＋y2＝1
B．直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A(1，1)，则＋2的最小值为3
D．点P的轨迹与圆C：x2＋y2－2x＋＝0是没有交汇的轨迹(也就是没有交点)
题23．设直线l：2x＋y－2＝0与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数是________．
题24．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为，则椭圆C的方程为________；点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________．
题25．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且＝2，若M为椭圆上一点，线段MF1与圆C：x2＋y2＝1相切于该线段的中点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F1作直线l与椭圆C交于两点A，B，且椭圆C上存在点P，满足＝＋，求直线l的方程．
题26．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交y＝－3于点M，直线AC交y＝－3于点N.若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．
编号：017 课题:§3.1.2.2 椭圆方程及性质的应用
目标要求
1、理解并掌握直线与椭圆的位置关系．
2、理解并掌握弦长及中点弦问题．
3、理解并掌握与椭圆有关的综合问题．
4、理解并掌握椭圆方程及其性质的综合应用.
学科素养目标
本章内容的处理方式与“直线与方程”“圆与方程”一样，都以渗透解析几何的基本思想为教学目标，以“展示背景，建立曲线概念；建立方程，利用方程研究曲线性质”为主线，从特殊到一般，在学生具有较多感性认识的基础上建立一般曲线方程的概念．这种从感性到理性的学习过程符合学生的认知发展规律．
本章以椭圆、双曲线、抛物线为载体，首先从生活实际和数学实验中抽象出曲线的定义，进而类比直线、圆的研究方法，建立恰当的直角坐标系，得到圆锥曲线的方程，并利用方程研究圆锥曲线的性质．在对三种曲线的研究过程中，虽然这三种曲线各有特点，但研究的思路和方法是一致的，这样可以让学生充分感受和理解解析几何研究问题的基本思路．最后通过“链接”，从圆锥曲线的统一定义的角度进一步认识三种圆锥曲线的内在关系．
重点难点
重点：与椭圆有关的综合问题；
难点：椭圆方程及其性质的综合应用．
教学过程
基础知识点
1. 点与椭圆的位置关系
设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：
位置关系 满足条件
P在椭圆外 ＋>1
P在椭圆上 ＋＝1
P在椭圆内 ＋<1
2.直线与椭圆的位置关系
判断直线和椭圆位置关系的方法
直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：联立消去y，得关于x的一元二次方程．
当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；
当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【课前预习思考】
(1)过原点的直线和椭圆相交，两交点关于原点对称吗？
(2)直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1有怎样的位置关系？
提示：(1)根据椭圆的对称性知，两交点关于原点对称．
(2)直线y＝kx＋1恒过定点(0，1)，点(0，1)在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆相交．
3．弦长公式
设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
弦长公式①：AB＝·．
弦长公式②：AB＝·．
【课前基础演练】
题1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
【解析】选C.由，得＋(3－x)2＝1，化简得5x2－24x＋32＝0，因为Δ＝242－4×5×32＝－64<0，所以方程无解，所以直线与椭圆的位置关系是相离．
题2．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
【解析】选A.设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝4，a＝2，因为AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|＝3，
所以将x＝c代入＋＝1得y＝±，
所以|AB|＝＝3，所以b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
题3．直线l与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点，若直线l的方程为x－2y＋1＝0，则线段AB的中点坐标是( )
A． B．
C． D．
【解析】选D.把直线x－2y＋1＝0代入椭圆C：＋＝1的方程，消去x，化简得6y2－4y－7＝0，由根与系数的关系可得y1＋y2＝，故线段AB的中点的纵坐标是，把y＝代入直线x－2y＝－1，可得x＝－，故线段AB的中点坐标是.
题4．直线y＝kx－k＋1(k≠0)与椭圆＋＝1的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【解析】选A.直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．
题5．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.设A，B，
由，得x2－2bx＋b－1＝0，
则x1＋x2＝.设线段AB的中点为C，则xC＝.将xC＝代入y＝1－x得到yC＝.
因为kOC＝＝＝，故＝.
题6．过椭圆＋＝1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是________．
【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由
得34x2＋200x＋175＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
所以AB＝×
＝×＝.
答案：
题7．已知椭圆＋＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是________．
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则
两式相减得＝－，
所以＝－·，所以＝＝4，
所以a2＝2b2＝4，所以a＝2.
答案：2
【当堂巩固训练】
题8．已知O为坐标原点，点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，A为椭圆C上的一点，且AF2⊥F1F2，AF1与y轴交于点B，则|OB|的值为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.如图所示：
由AF2⊥F1F2知，AF2∥OB，
因为O为F1F2的中点，所以OB为△AF1F2的中位线，
所以＝，又＝＝，
所以＝.
题9．已知点P在椭圆＋＝1上运动，点Q在圆(x－1)2＋y2＝上运动，则的最小值为( )
A．2 B． C．2－ D．
【解析】选D.设点P(x，y)，则＋＝1，得y2＝3－，
圆(x－1)2＋y2＝的圆心A(1，0)，半径为，则2＝(x－1)2＋y2＝x2－2x＋1＋3－
＝x2－2x＋4，x∈[－3，3]，令h(x)＝x2－2x＋4，x∈[－3，3]，对称轴为x＝，
所以当x＝时，h(x)取得最小值h＝×2－2×＋4＝，所以的最小值为，所以的最小值为－＝.
题10．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(0，3)∪(3，＋∞)
C．(1，3)∪(3，＋∞) D．(1，＋∞)
【解析】选C.联立直线和椭圆方程得
，所以(3＋m)x2＋4mx＋m＝0，所以Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，所以m>1或m<0，因为m>0，m≠3，所以m>1且m≠3.
题11．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为( )
A． B． C．1 D．3
【解析】选D.椭圆a＝5，b＝3，根据椭圆焦点三角形的面积公式S＝b2tan ＝9×＝3.
题12．已知椭圆C：＋＝1，过点P的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l的斜率是( )
A．－3 B．－ C．－ D．－
【解析】选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，则＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，所以＝－×＝－×＝－，
即直线l的斜率是－.
题13．设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A．[，1) B．
C．(0，] D．
【解析】选C.(方法一)易知B(0，b).
设P(a cos α，b sin α)(0≤α<2π)，
则|PB|2＝a2cos2α＋b2(1－sinα)2＝a2cos2α＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝a2(1－sin2α)＋b2sin2α－2b2sinα＋b2＝(b2－a2)sin 2α－2b2sin α＋a2＋b2.
当a2≤2b2时，≤－1，则sin α＝－1时，|PB|2取得最大值4b2，符合题意，此时e＝＝
≤＝；
当a2>2b2时，－1≤≤0，所以sin α＝时，|PB|2取得最大值＋a2＋b2，不符合题意．综上可知，0＜e≤.
(方法二)易知B(0，b).设P(x，y)(－b≤y≤b)，则x2＝，则|PB|2＝x2＋(b－y)2＝a2－＋b2＋y2－2by＝(1－)y2－2by＋a2＋b2.
当a2≤2b2时，≤－b，所以y＝－b时，|PB|2取得最大值4b2，符合题意，此时e＝＝1－≤＝；
当a2＞2b2时，－b＜＜0，所以y＝时，|PB|2取得最大值＋a2＋b2，不符合题意．
综上可知，0＜e≤.
题14（多选题）．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则( )
A．椭圆焦距为
B．椭圆方程为＋y2＝1
C．弦长AB＝
D．S△OAB＝
【解析】选BC.因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，
因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆焦距为2，故A错误；所以椭圆方程为＋y2＝1，故B正确；
设A，B，由，
得5x2－8x＋8＝0，解得x1＋x2＝，x1x2＝，
AB＝＝＝
＝＝，故C正确；原点到直线y＝x－的距离为d＝＝，所以S△OAB＝dAB＝××＝，故D错误.
题15（多选题）．已知椭圆C：＋＝1内一点M(1，2)，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．椭圆的焦点坐标为(2，0)，(－2，0)
B．椭圆C的长轴长为4
C．直线l的方程为x＋y－3＝0
D．AB＝
【解析】选BCD.A：由椭圆方程知：其焦点坐标为(0，±2)，错误；B：a2＝8，即椭圆C的长轴长为2a＝4，正确；C：由题意，可设直线l为x＝k(y－2)＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，联立椭圆方程并整理得(2k2＋1)y2＋4k(1－2k)y＋8k2－8k－6＝0，M为椭圆内一点，则Δ>0，所以y1＋y2＝＝4，可得k＝－1，即直线l为x＋y－3＝0，正确；D：由C知：y1＋y2＝4，y1y2＝，则AB＝·＝，正确．
题16．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，则k＝________．
【解析】设M，N，由消去y并化简得x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝
－，x1x2＝0，由|MN|＝，得2＋2＝，所以2＝，
所以(1＋k2)[－4x1x2]＝，
即2＝，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.
答案：±1
题17．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点(A在B上方)，若AF⊥BF，则椭圆C的离心率为____________．
【解析】由椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，AF⊥BF，可知三角形OAF是正三角形，
A，
所以FB＝c，由椭圆的定义可得c＋c＝2a，可得e＝＝＝－1.
答案：－1
题18．过椭圆＋＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分．
(1)求此弦所在的直线方程．
(2)求此弦长．
【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2).代入椭圆方程并整理，
得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是方程的两个根，
于是x1＋x2＝.
又M为AB的中点，所以＝＝2，解得k＝－.
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，
B(x2，y2).
又M(2，1)为AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.
又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16.
两式相减得(x－x)＋4(y－y)＝0.
于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
所以＝－＝－，即kAB＝－.
又直线AB过点M(2，1)，
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－4x＝0，
所以x1＋x2＝4，x1x2＝0，
所以AB＝·＝·＝2.
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题19．椭圆4x2＋9y2＝144内有一点P，过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为( )
A．3x＋2y－13＝0
B．2x＋3y－12＝0
C．4x＋9y－30＝0
D．9x＋4y－39＝0
【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，有4x＋9y＝144，4x＋9y＝144，作差得4(x－x)＋9(y－y)＝0，4＋9·＝0，所以4＋9·kAB·＝0，解得kAB＝－，又直线过P，故直线方程为2x＋3y－12＝0.
题20．在椭圆＋＝1中，A1，A2分别为椭圆的左右顶点，F1为左焦点，M是椭圆上的点，则△MF1A2的面积最大值为( )
A．16 B．32 C．16 D．32
【解析】选A.由已知，当点M为短轴端点时，△MF1A2的面积取最大值，因为椭圆方程为＋＝1，所以a＝5，b＝4，c＝3，则△MF1A2的面积最大值为(a＋c)×b＝×8×4＝16.
题21．罗马竞技场，建于公元72年到82年，是古罗马文明的象征，其内部形状近似为一个椭圆形，其长轴长约为188米，短轴长约为156米，竞技场分为表演区与观众区，中间的表演区也近似为椭圆形，其长轴长为86米，短轴长为54米，若椭圆的面积为πab(其中a，b分别为椭圆的长半轴长与短半轴长，π取3.14)，已知观众区可以容纳9万人，由此推断，观众区每个座位所占面积约为( )
A．0.41平方米 B．0.32平方米
C．0.22平方米 D．0.12平方米
【解析】选C.由已知，竞技场的总面积为π××＝7332π(平方米)，表演区的面积为π××＝1161π(平方米)，故观众区的面积为7332π－1161π＝6171π(平方米)，故观众区每个座位所占面积为≈≈0.22(平方米).
题22．(多选题)泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F(1，0)，直线l：x＝4，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是( )
A．点P的轨迹方程是＋y2＝1
B．直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线”
C．平面上有一点A(1，1)，则＋2的最小值为3
D．点P的轨迹与圆C：x2＋y2－2x＋＝0是没有交汇的轨迹(也就是没有交点)
【解析】选BCD.设点P为，点P到l的距离为d，因为动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，
则2＝，化简得＋＝1，故A错误；
联立直线l1：x＋2y－4＝0和椭圆方程＋＝1，可得：2＝0，故存在P，直线l1：x＋2y－4＝0是“最远距离直线”，B正确；由2＝d知，＋2＝＋d，当点P与点A纵坐标相等时，最小距离为：4－1＝3，C正确；
圆C：x2＋y2－2x＋＝0化简得2＋y2＝，显然圆C在椭圆内，故D正确．
题23．设直线l：2x＋y－2＝0与椭圆x2＋＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数是________．
【分析】先求交点A，B得＝，再求与直线l平行且与椭圆相切的直线方程，最后根据两直线距离判定点P的个数．
【解析】由题意知，直线l恰好经过椭圆的两个顶点(1，0)，(0，2)，故＝，
若△PAB的面积为，
则××h＝(h为AB边上的高)，所以h＝.
联立y＝－2x＋m与椭圆方程x2＋＝1，
得8x2－4mx＋m2－4＝0.
令Δ＝0，
得m＝±2，
即当直线l平移到直线y＝－2x＋2或y＝－2x－2时，与椭圆相切，
它们与直线l的距离d＝或d＝，
当d＝>，所以有2个点符合要求；
当d＝<，没有满足题意的点；所以一共有2个点符合要求．
答案：2
题24．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为，则椭圆C的方程为________；点N为椭圆上任意一点，则△AMN的面积的最大值为________．
【解析】(1)由已知，直线AM的方程为y－3＝(x－2)，
即x－2y＝－4，当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点M(2，3)，得＋＝1，解得b2＝12，所以C的方程为＋＝1 ；
(2)设与直线AM平行的直线方程为：x－2y＝m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．x－2y＝m代入椭圆方程 ＋＝1，化简得16y2＋12my＋3m2－48＝0，所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0，即m2＝64，解得m＝±8，与AM距离比较远的直线方程：x－2y＝8，利用平行线之间的距离为：d＝＝，|AM|＝＝3.所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18.
答案：＋＝1 18
题25．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且＝2，若M为椭圆上一点，线段MF1与圆C：x2＋y2＝1相切于该线段的中点N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过F1作直线l与椭圆C交于两点A，B，且椭圆C上存在点P，满足＝＋，求直线l的方程．
【解析】(1)如图所示，由已知c＝，F1，
不妨设M，N在x轴上方，
因为圆C：x2＋y2＝1的圆心为原点，半径为1，
所以切线F1M斜率为1，点M在y轴上，M，所以椭圆中心在原点，b＝，a2＝b2＋c2＝4，
所以椭圆C的方程为＋＝1；
(2)设点A，B，
当直线l的斜率不存在时，由椭圆的对称性可知，A，B关于x轴对称，此时＝＋＝2OF1＝(－2，0)，而显然P(－2，0)不在椭圆C上，
所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋)，
代入椭圆C的方程，消去y并整理得
x2＋4k2x＋4＝0，
Δ＝16k2＋16>0，x1＋x2＝－.
所以＝＋＝＝(x1＋x2，k(x1＋x2＋2))＝，
点P，又点P在椭圆上，
所以2＋22＝4，即4k4＝1，解得k＝±，
所以椭圆上存在点P，使得＝＋，此时直线l的方程为y＝±，即
y＝x＋1或y＝－x－1.
题26．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点A(0，－2)，以四个顶点围成的四边形面积为4.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点P(0，－3)的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B，C，直线AB交y＝－3于点M，直线AC交y＝－3于点N.若|PM|＋|PN|≤15，求k的取值范围．
【解析】(1)因为椭圆E过点A(0，－2)，故b＝2，
以四个顶点围成的四边形面积为4，故×2a×2b＝2ab＝4，
得a＝，故椭圆E的标准方程为＋＝1；
(2)由题意知，直线l的斜率存在，且直线l的方程为y＝kx－3，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立消y整理得(5k2＋4)x2－30kx＋25＝0，
Δ＝(－30k)2－4×(5k2＋4)×25＝400×(k2－1)＞0
故k＞1或k＜－1，x1＋x2＝－＝，x1·x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)－6＝－，
y1·y2＝(kx1－3)(kx2－3)
＝k2x1x2－3k(x1＋x2)＋9
＝，
直线AB的方程为y＋2＝x，
令y＝－3，则x＝－，故M，
同理N，所以
|PM|＋|PN|＝＋
＝
＝
＝
＝＝|5k|≤15，
即|k|≤3，解得－3≤k≤3.
综上，k的取值范围为[－3，－1)∪(1，3].
(
1
)