17.3一元二次方程根的判别式
一、 教学目标
1. 熟练掌握运用一元二次方程根的判别式判别方程是否有根及两根是否相等；
2. 理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况；
3. 经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性；
4. 通过探索一元二次方程根的判别式与根个数关系，使学生感受到数学知识间的联系，提升数学的学习兴趣.
二、 教学重难点
重点：会利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有根及两根是否相等.
难点：理解为什么能用根的判别式来判断一元二次方程根的情况.
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情景 【回顾与反思】 教师活动：请同学们跟随老师一起回顾旧知识. 一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？ (a≠0) 主要方法: (1)直接开平方法 (2)配方法 (3)公式法：求根公式（b2－4ac≥0） (4)因式分解法 学生随教师提问发言 回顾知识，为本节课的内容打下基础.
环节二探究新知 【一起思考】 教师活动：提出问题，让学生积极思考，为问题2做铺垫. 用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) . 解：二次项系数化为1，得 移项，得 配方，得 即 问题1：接下来能用直接开平方解吗？ 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ (1)当 b2– 4ac＞0 时，是正实数，方程有两个不相等的实数根. (2)当 b2– 4ac=0 时，方程有两个相等的实数根. (3)当 b2 – 4ac ＜0 时，在实数范围内无意义， 方程没有实数根. 总结：一元二次方程根的个数由b2-4ac决定. 【归纳】 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“”表示，即= b2-4ac. 集体回答问题 通过研究能否利用直接开平方法解方程，引出判别式，使学生理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况. 经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性.
环节三应用新知 【典例探究】 教师活动： 1. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1)5x2 3x 2＝0； (2)25y2+4＝20y； (3)2x2+x+1＝0. 解： (1)因为 ＝( 3)2 4×5×( 2)＝49＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. 解：(2)原方程可变形为：25y2 20y+4＝0 因为 ＝( 20)2 4×25×4＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. 解：(3)因为 ＝()2 4×2×1＝ 5＜0， 所以原方程没有实数根. 给学生做示范：解方程的步骤.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 互动方式：抢答 练习1 不解方程，判别下列方程根的情况： (1)2x2 5x 4=0；(2)7t2 5t+2=0； (3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10y. 解：(1)因为 =( 5)2 4×2×( 4)=57＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. 解：(2)因为 =( 5)2 4×7×2= 31＜0， 所以原方程没有实数根. 解：(3)原方程可变形为x2+x 3=0， 因为 =12 4×1×( 3)=13＞0， 所以原方程有两个不相等的实数根. 解：(4)原方程可变形为3y2－10y+25=0， 因为 =(10)2－4×3×25=0， 所以原方程有两个相等的实数根. 练习2 已知关于x的方程x2 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程： (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解：因为 =( 3)2 4×1×k=9 4k， ＞0，即：时，方程有两个不相等的实数根； =0，即：时，方程有两个相等的实数根； ＜0，即：时，方程无实数根. 抢答 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过抢答过程，使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书： 第36页习题17.3第1、2、4题. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.
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17.3 一元二次方程根的判别式
学习目标
（1）熟练掌握运用一元二次方程根的判别式判别方程是否有根及两根是否相等；
（2）理解为什么能用根的判别式判别一元二次方程根的情况；
（3）经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想严密性及方法的灵活性；
（4）通过探索一元二次方程根的判别式与根个数关系，使学生感受到数学知识间的联系，提升数学的学习兴趣.
一元二次方程根的判别式
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
回顾与反思
一元二次方程的一般式是怎样的？常用的求一元二次方程的解的方法有哪些？
(a≠0)
主要方法: (1)直接开平方法
(2)配方法
(3)公式法
(4)因式分解法
求根公式
（b2－4ac≥0）
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一起思考
用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
解：二次项系数化为1，得
移项，得
配方，得
即
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一起思考
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
(3)当 b2 – 4ac ＜0 时，
是正实数，
方程有两个不相等的实数根.
(1)当 b2– 4ac＞0 时，
(2)当 b2– 4ac=0 时，
x1=x2=
方程有两个相等的实数根.
方程没有实数根.
在实数范围内无意义，
根的个数
b2-4ac决定
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
有实数根
判别式的情况
根的情况
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0
≥ 0
探究新知
新课导入
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5x2 3x 2＝0；
(2)25y2+4＝20y；
(3)2x2+ x+1＝0.
解： (1)因为 ＝( 3)2 4×5×( 2)＝49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
探究新知
新课导入
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5x2 3x 2＝0；
(2)25y2+4＝20y；
(3)2x2+ x+1＝0.
解：(2)原方程可变形为：
25y2 20y+4＝0
因为 ＝( 20)2 4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
探究新知
新课导入
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)5x2 3x 2＝0；
(2)25y2+4＝20y；
(3)2x2+ x+1＝0.
解：(3)因为 ＝( )2 4×2×1＝ 5＜0，
所以原方程没有实数根.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2 5x 4=0；(2)7t2 5t+2=0；
(3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 y.
解：(1)因为 =( 5)2 4×2×( 4)=57＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2 5x 4=0；(2)7t2 5t+2=0；
(3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 y.
解：(2)因为 =( 5)2 4×7×2= 31＜0，
所以原方程没有实数根.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2 5x 4=0；(2)7t2 5t+2=0；
(3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 y.
解：(3)原方程可变形为x2+x 3=0，
因为 =12 4×1×( 3)=13＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2 5x 4=0；(2)7t2 5t+2=0；
(3)x(x+1)=3； (4)3y2+25=10 y.
解：(4)原方程可变形为3y2－10 y+25=0，
因为 =(10 )2－4×3×25=0，
所以原方程有两个相等的实数根.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2. 已知关于x的方程x2 3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
解：因为 =( 3)2 4×1×k=9 4k，
=0，即： 时，方程有两个相等的实数根；
＞0，即： 时，方程有两个不相等的实数根；
＜0，即： 时，方程无实数根.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
一元二次方程根的判别式
布置作业
教科书：
第36页习题17.3第1、2、4题.
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
