5.1 二次函数
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1、已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值； ；
（2）当函数是一次函数时，求m的值． ．
［思路分析］（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；
（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．
［答案详解］解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，
解得m＝2或m＝0；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝2．
（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1
解得m＝1；
又因m2+m≠0，
解得m≠0且m≠﹣1；
因此m＝1．
［经验总结］本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．
2、已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
［答案详解］解：（1）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是一次函数，
∴m（m+2）＝0且m≠0，
解得：m＝﹣2；
当m＝﹣2时，此函数是一次函数；
（2）∵函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1是二次函数，
∴m（m+2）≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0，
当m≠﹣2且m≠0时，此函数是二次函数．
［经验总结］此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握一次函数以及二次函数的定义是解题的关键．
3、已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
（2）直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
［答案详解］解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
［经验总结］此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握次数与系数的值是解题关键．
4、一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
［思路分析］（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x＝0.5代入可得y的值．
［答案详解］解：（1）由题意得：k2﹣3k+4＝2，且k﹣1≠0，
解得：k＝2；
（2）把k＝2代入y＝（k﹣1）+2x﹣1得：y＝x2+2x﹣1，
当x＝0.5时，y＝．
［经验总结］此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
5、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
［思路分析］根据一次函数与二次函数的定义求解．
［答案详解］解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0
解得m＝0或m＝1
又∵m﹣1≠0即m≠1；
∴当m＝0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0且m2≠1
∴当m1≠0且m2≠1时，这个函数是二次函数．
［经验总结］解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．
6、若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数定义可得m2+1＝2且m+1≠0，求解即可．
［答案详解］解：∵函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，
∴m2+1＝2，m+1≠0，
解得m＝1，
∴m的值为1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
7、当m为何值时，y＝（m+1）x+3x﹣2是二次函数？
［思路分析］直接利用二次函数的定义分析得出答案．
［答案详解］解：∵y＝（m+1）x+3x﹣2是二次函数，
∴m2﹣3m﹣2＝2，
解得：m1＝4，m2＝﹣1，
∵m+1≠0，
∴m≠﹣1，
故m＝4．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．
8、已知函数是二次函数，求k的值．
［思路分析］直接利用二次函数定义得出符合题意的k的值．
［答案详解］解：∵函数是二次函数，
∴k2﹣k＝2且k﹣2≠0
解得：k＝﹣1．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的形式为y＝ax2+bx+c，（a、b、c为常数，a≠0）．
9、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得方程，根据解方程，可得答案．
［答案详解］解：依题意得
∴
∴m＝1
（2）依题意得m2﹣m≠0∴m≠0且m≠1．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，二次函数的二次项的系数不等于零是解题关键．
10、若y＝（a2+a）x是二次函数，求a的值．
［思路分析］根据二次函数的定义列出方程求解则可．
［答案详解］解：根据题意得：a2﹣a＝2且a2+a≠0
解得a＝2．
［经验总结］此题考查的是二次函数的定义，根据题意列出方程和不等式是解决此题关键．
11、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
［思路分析］根据一次函数和二次函数的定义可以解答．
［答案详解］解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m＝0，解之得：m＝1，或m＝0，又因为m≠0，所以，m＝1．
（2）y是x的二次函数，只须m2﹣m≠0，
∴m≠1和m≠0．
［经验总结］本题考查了一次函数与二次函数的定义，熟记概念是解答本题的关键．
12、函数是关于x的二次函数，求m的值．
［思路分析］利用二次函数定义进行解答即可．
［答案详解］解：由题意可知
解得：m＝2．
［经验总结］此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
13、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案；
（2）根据形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
［答案详解］解：（1）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的一次函数，
得
解得m＝2，
当m＝2时，它是y关于x的一次函数
（2）由y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的二次函数，得
①m﹣4＝0，
解得m＝4；
②m2﹣m＝1，
解得m＝；
③
解得m＝﹣1，
④m2﹣m＝0，
解得m＝0或m＝1，
综上所述，当m＝0或m＝1或m＝4或或﹣1时，它是y关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，一次函数的一次项系数不等于零二次项系数等于零是解题关键，注意二次函数的二次项系数不等于零．
14、已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
［思路分析］（1）利用正比例函数的定义进而得出m的值；
（2）利用二次函数的定义进而得出m的值．
［答案详解］解：（1）因为函数y＝（m+3）是正比例函数，
所以m2﹣7＝1且m+3≠0，
解得：m1＝﹣2（舍去），m2＝2，
所以当m＝2时，此函数是正比例函数；
（2）因为函数y＝（m+3）是二次函数，
所以m2﹣7＝2且m+3≠0，
解得：m＝3，
所以当m＝3时，此函数是二次函数．
［经验总结］此题主要考查了正比例函数和二次函数的定义，正确把握正比例函数和二次函数的定义是解题关键．正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
15、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
［思路分析］（1）根据二次项的系数等于零，一次项的系数不等于零，可得方程和不等式，根据解方程和不等式，可得答案；
（2）根据二次项的系数不等于零，可得不等式，根据不等式，可得答案．
［答案详解］解：（1）依题意得：，
解得：m＝0；
所以当m＝0时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）依题意得m2﹣m≠0，
解得：m≠0且m≠1．
所以当m≠0和1时，这个函数是关于x的二次函数．
［经验总结］本题考查了一次函数与二次函数的定义．一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数；一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．掌握定义是解题关键．
16、已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
［思路分析］根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题．
［答案详解］解：由题意：，解得m＝﹣1，
∴m＝﹣1时，函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
17、已知函数是二次函数，求k的值．
［思路分析］根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
［答案详解］解：∵函数是二次函数，
∴，
解得k＝2．
［经验总结］本题考查二次函数的定义，二次函数的次数是二，系数不等于零是解题关键．
18、当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
［思路分析］根据二次函数和一次函数、正比例函数定义进行解答即可．
［答案详解］解：函数y＝ax2+bx+c中a≠0，b和c为任意常数时是二次函数，
a＝0，b≠0，c为任意常数时是一次函数；
a＝0，b≠0，c＝0时是正比例函数．
［经验总结］此题主要考查了二次函数和一次函数、正比例函数，关键是掌握三种函数定义．
19、若y＝（m﹣1）x+3．
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
［思路分析］（1）形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义即可判断；
（2）形如y＝kx+b（k≠0）的函数叫做二次函数，根据一次函数的定义即可判断．
［答案详解］解：（1）当y＝（m﹣1）x+3是二次函数时，
有，
解得m＝﹣3，
∴当m＝﹣3时，此函数是二次函数；
（2）当y＝（m﹣1）x+3是一次函数时，
有，
解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，
∴当m＝﹣1+或m＝﹣1﹣时，此函数是一次函数．
［经验总结］本题主要考查二次函数和一次函数的定义，关键是要牢记二次函数和一次函数的定义．
20、已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
［思路分析］（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数；
（2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
［答案详解］解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m＝，
当m＝时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x＝，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．5.1 二次函数
— 解答专练 —
1、已知函数y＝（m2+m）．
（1）当函数是二次函数时，求m的值； ；
（2）当函数是一次函数时，求m的值． ．
2、已知函数y＝m（m+2）x2+mx+m+1．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
3、已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
4、一个二次函数y＝（k﹣1）+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x＝0.5时y的值？
5、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
6、若函数y＝（m+1）是关于x的二次函数，求m的值．
7、当m为何值时，y＝（m+1）x+3x﹣2是二次函数？
8、已知函数是二次函数，求k的值．
9、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx+（m+1），m是常数．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，求m的值．
10、若y＝（a2+a）x是二次函数，求a的值．
11、已知函数y＝（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
函数是关于x的二次函数，求m的值．
13、已知y＝（m﹣4）+2x2﹣3x﹣1是关于x的函数
（1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数．
14、已知函数．
（1）当m为何值时，此函数是正比例函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
15、已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）当m为何值时，这个函数是关于x的一次函数；
（2）当m为何值时，这个函数是关于x的二次函数．
已知函数 y＝（m﹣1）+3x为二次函数，求m的值．
已知函数是二次函数，求k的值．
当系数a，b，c满足什么条件时，函数y＝ax2+bx+c是二次函数？是一次函数？是正比例函数？
19、若y＝（m﹣1）x+3．
（1）m取什么值时，此函数是二次函数？
（2）m取什么值时，此函数是一次函数？
20、已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
