1.4 二次函数与一元二次方程的联系
— 填空专练 —
1、若抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ．
2、二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
3、已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为 ．
4、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是 （填写序号）．
5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
6、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ．
7、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）．
8、如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
9、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
10、若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
11、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤﹣；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤﹣．
其中正确的结论是 （填写序号）．
12、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
13、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有 （填序号）．
14、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 ．
15、将二次函数y＝﹣x2+6x﹣5在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若直线y＝x+b与这个图象恰好有3个公共点，则b的值为 ．
16、已知关于x的函数y1＝ax2﹣（3﹣a）x+1，y2＝ax．若对于任意实数x，y1与y2的值至少有一个为正数，则实数a的取值范围是 ．
17、小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
18、如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 ．
19、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2）．下列结论：①若x1＝2，x2＝﹣4，则方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝2，x2＝﹣4．②若二次函数对称轴为直线x＝1，则ab＞0．③若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是2．其中正确的结论是 ．
20、若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．1.4 二次函数与一元二次方程的联系
— 填空专练 —
> > > 精品解析 < < <
1、若抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是 ．
［思路分析］利用判别式得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，然后解不等式即可．
［答案详解］解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
［经验总结］本题考查了二次函数与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解一元二次方程ax2+bx+c＝0．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
2、二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
［思路分析］根据待定系数法得到二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据题意代入x＝时，得到a﹣a+2＜0，解不等式求得a＜﹣，进一步求得b＞0，c＞0，即可判断①；由表格数据可知m＝2a+2，n＝42a+2，即可得出m+n＝4a+4，由a＜﹣，即可得出m+n＜﹣，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，即可判断③；由y1＞y2，根据图象上点的坐标特征求得t即可判断④．
［答案详解］解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故答案为：②③．
［经验总结］本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
3、已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为 ．
［思路分析］由题意求出m2﹣m的值，代入代数式m2﹣m+2021进行计算即可得出答案．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．
故答案为：2022．
［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
4、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是 （填写序号）．
［思路分析］由题意可知抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＜0，c＜0，即可判断①④；根据二次函数的对称性即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③．
［答案详解］解：由题意可知抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，c＜0，
∵顶点坐标是（﹣2，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（﹣2，3），与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点P1（﹣7，y1）到对称轴的距离小于P2（π，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③错误；
∵a＜0，c＞0，b＜0，
∴b2＞0，﹣2b＞0，4ac＜0，
∴b2+2b＞4ac，故④正确；
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
［思路分析］根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．
［答案详解］解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，
∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），
故答案为：（﹣6，0）．
［经验总结］此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
6、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx+c＜b的解集是 ．
［思路分析］将ax2﹣kx+c＜b化为ax2+c＜kx+b，根据图象求解．
［答案详解］解：由图象可得在A，B之间的图象抛物线在直线下方，点A横坐标为﹣1，点B横坐标为2，
∴﹣1＜x＜2时，ax2+c＜kx+b，即ax2﹣kx+c＜b，
故答案为：﹣1＜x＜2．
［经验总结］本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．
7、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）．
［思路分析］根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），
∴c＝3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1，0之间，
∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，故④正确，
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
8、如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
［思路分析］利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＞0的解集．
［答案详解］解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
［经验总结］此题主要考查了利用二次函数的图象解一元二次方程的根，解决本题的关键是利用数形结合．
9、如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是 ．
［思路分析］根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c＞n的解集，本题得以解决．
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，
∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，
∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，
故答案为：x＜﹣1或x＞3．
［经验总结］本题考查二次函数与不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10、若函数y＝x2﹣x+m的图象与x轴有两个公共点，则m的范围是 ．
［思路分析］根据判别式的意义得到△＝（﹣1）2﹣4m＞0，然后求出不等式即可．
［答案详解］解：根据题意得△＝（﹣1）2﹣4m＞0，
解得m＜．
故答案为：m＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
11、抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．
下列四个结论：
①4a+b＝0；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤﹣；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤﹣．
其中正确的结论是 （填写序号）．
［思路分析］把AB两点的坐标代入函数解析式即可判断①正确；由平行于坐标轴直线上两点之间的距离的几何意义即可判断②；由于C、D是抛物线与x轴的交点，有根与系数的关系和CD≤6，可以判断③；x＝4时，y＝3，3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，y对应得整数值为：3，4，5，结合图象，可以判断④．
［答案详解］解：①将A、B两点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c中，
则：，
解得：，
故①正确；
②∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴x1距离x＝2比x2距离x＝2更远，
如图：
从图中可以看出x距离x＝2越远对应的函数值越小，
故y1＜y2，
故②错误；
③∵a＜0，
设C（x3，0）、D（x4，0），
则由根与系数的关系得：x3+x4＝4，x3 x4＝，
∴|x3﹣x4|＝＝＝≤6，
解得：a≤﹣，
故③正确；
④由题意知：x＝4时，y＝3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，
∴y对应得整数值为：3，4，5，
则x＝3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a﹣12a+3＜6，
解得：﹣1＜a≤﹣，
故④正确．
故答案为：①③④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数图象和性质的掌握和运用．
12、如图，抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点D（m，m+1）是抛物线上的点，则点D关于直线AC的对称点的坐标为 ．
［思路分析］由抛物线解析式可得A，B，C三点的坐标，则AB＝4，将点D的坐标代入抛物线的解析式可得m的值，确定D的坐标，根据计算的D的坐标分情况画图可得结论．
［答案详解］解：把点D（m，m+1）代入抛物线y＝﹣x2﹣6x﹣5中得：
m+1＝﹣m2﹣6m﹣5，
解得：m1＝﹣1，m2＝﹣6，
∴D（﹣1，0）或（﹣6，﹣5），
当y＝0时，﹣x2﹣6x﹣5＝0，
∴x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣5，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣5，
∴OC＝OA＝5，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
①如图1，D（﹣1，0），此时点D与B重合，连接AD'，
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD'＝﹣1﹣（﹣5）＝4，且∠OAC＝∠CAD'＝45°，
∴∠OAD'＝90°，
∴D'（﹣5，﹣4）；
②如图2，D（﹣6，﹣5），
∵点D（m，m+1），
∴点D在直线y＝x+1上，此时直线y＝x+1过点B，
∴BD⊥AC，即D'在直线y＝x+1上，
∵A（﹣5，0），C（0，﹣5），
则直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣5，
∵﹣x﹣5＝x+1，
∴x＝﹣3，
∴E（﹣3，﹣2），
∵点D与D'关于直线AC对称，
∴E是DD'的中点，
∴D'（0，1），
综上，点D关于直线AC的对称点的坐标为（﹣5，﹣4）或（0，1）．
故答案为：（﹣5，﹣4）或（0，1）．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和轴对称的性质是解决问题的关键．
13、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1）、（﹣2，y2）、（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤a﹣b＜m（am+b）（m为任意实数）．其中正确的结论有 （填序号）．
［思路分析］根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c＝0．
∴①正确．
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，开口向下，
∴a＞0，﹣＝﹣1．
∴b＝2a＞0．
∵当x＝﹣1时，y＜0．
∴a﹣b+c＜0，
∴a﹣b+c﹣b＜0．
∴a﹣2b+c＜0．
∴②正确．
∵抛物线对称轴为x＝﹣1，过点（1，0）．
∴抛物线过点（﹣3，0）．
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，
∴③正确．
点（﹣4，y1）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣4）＝3．
（﹣2，y2）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣2）＝1，
（3，y3）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4．
∵抛物线开口向上．
∴y3＞y1＞y2．
∴④错误．
∵抛物线开口向上，对称轴为：x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值a﹣b+c，
∴当x＝m时，函数值不小于a﹣b+c．
∴a﹣b+c≤am2+bm+c．
∴a﹣b≤m（am+b）．
∴⑤错误．
故答案为；①②③．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
14、已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，下列四个结论：①若n＞0，则abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数）的根为整数，则p的值只有3个；④点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是抛物线上两点，且x1＜x2，若a（x1+x2﹣2）＜0，则y1＞y2；其中正确的序号是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象和性质判断即可
［答案详解］解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），顶点为（1，n）且4a﹣2b+c＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
若n＞0，则抛物线开口向下，交y轴的正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的必有一根x＝4，故②正确；
∵一元二次方程ax2+bx+c＝p的解就是抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝p的交点的横坐标，
当交点横坐标为整数时，有无数个p值，
故③错误．
当a＜0，a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＞0，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∵x1＜x2，
∴x1＜1＜x2，
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴y1＞y2，
当a＞0时，
a（x1+x2﹣2）＜0，
∴x1+x2﹣2＜0，
∴x2﹣1＜1﹣x1，
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝1，
∴y1＞y2，
∴④正确．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数系数对图象和性质的作用是求解本题的关键．
15、将二次函数y＝﹣x2+6x﹣5在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的图象，若直线y＝x+b与这个图象恰好有3个公共点，则b的值为 ．
［思路分析］分类讨论直线y＝x+b与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相切，直线经过抛物线与x轴交点，结合图象求解．
［答案详解］解：当直线y＝x+b与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相切时满足题意，
令﹣x2+6x﹣5＝x+b，整理得﹣x2+5x﹣5﹣b＝0，
∴Δ＝52﹣4×（﹣1）（﹣5﹣b）＝0，
解得b＝，
令﹣x2+6x﹣5＝0，
解得x1＝1，x2＝5，
∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（5，0），
当直线经过（1，0）时符合题意．
将（1，0）代入y＝x+b得0＝1+b，
解得b＝﹣1，
故答案为：或﹣1．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，通过数形结合求解．
16、已知关于x的函数y1＝ax2﹣（3﹣a）x+1，y2＝ax．若对于任意实数x，y1与y2的值至少有一个为正数，则实数a的取值范围是 ．
［思路分析］若a＞0，分对称轴x＝＞0或对称轴x＝≤0，分别求出a的取值范围；若a＜0，当x＞0时，总存在x使得y1与y2的值均小于0，不符合题意；若a＝0，y1＝﹣3x+1，y2＝0，当x时，y1＜0，y2＝0，不符合题意．即可得出答案．
［答案详解］解：①若a＞0，
当x＞0时，y2＝ax＞0，
∵y1与y2的值至少有一个为正数，
∴只需令当x≤0时，y1＝ax2﹣（3﹣a）x+1＞0即可．
（Ⅰ）当对称轴x＝＞0，即a＜3，
∵当x＝0时，y1＝1＞0，
∴当x≤0时，y1始终大于0，
∴0＜a＜3；
（Ⅱ）当对称轴x＝≤0，即a≥3，
∵要使x≤0时，y1恒为正数，
即抛物线y1与x轴无交点，
∴Δ＝[﹣（3﹣a）]2﹣4×a×1＜0，
整理得a2﹣10a+9＝（a﹣9）（a﹣1）＜0，
解得1＜a＜9，
∴3≤a＜9．
综上，0＜a＜9．
②若a＜0，y1为开口向下的二次函数，
当x＞0时，总存在x使得y1与y2的值均小于0，
不符合题意．
③若a＝0，y1＝﹣3x+1，y2＝0，
当x时，y1＜0，y2＝0，
不符合题意．
综上所述，a的取值范围为0＜a＜9．
故答案为：0＜a＜9．
［经验总结］本题考查二次函数和一次函数的综合问题，主要考查二次函数的性质，根据a的符号和对称轴的位置进行分类讨论时解题的关键．
17、小明研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：
①已知这个函数图象的顶点坐标（s，t），则s，t满足s+t＝1；
②存在一个m的值，使得函数图象的顶点以及函数图象与x轴的两个交点构成等腰直角三角形的顶点；
③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；
④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥3．
其中正确的是 （填写序号）．
［思路分析］由抛物线解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断①，由等腰直角三角形的性质及顶点坐标可得抛物线与x轴的交点坐标，从而判断②，由x1+x2＞2m可得＞m，再根据抛物线开口方向及对称轴可判断③，由抛物线开口方向及对称轴可判断④．
［答案详解］解：∵y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1，
∴二次函数顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴s+t＝m+（﹣m+1）＝1，①正确．
∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1开口向下，顶点坐标为（m，﹣m+1），
∴顶点到x轴的距离为﹣m+1，
∵抛物线对称轴为直线x＝m，m+（﹣m+1）＝1，
∴抛物线经过（1，0），
∴0＝﹣（1﹣m）2﹣m+1，
解得m＝0或m＝1（舍），
∴②正确．
∵x1+x2＞2m，
∴＞m，
∵抛物线开口向下，
∴点A到对称轴距离小于点B到对称轴距离，
∴y1＞y2.③错误．
∵﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大，抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x＝m，
∴m≥3，④正确．
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
18、如图，一次函数y＝mx+n的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于点A（﹣1，d），B（3，e），则mx+n＜ax2+bx+c解集是 ．
［思路分析］将不等式转化为函数图象的位置关系求解．
［答案详解］解：mx+n＜ax2+bx+c体现在图象上就是一次函数y＝mx+n的图象在二次函数y＝ax2+bx+c的图象的下方．
由图知，图象在点A，B之间，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
［经验总结］本题考查二次函数与不等式，将不等式转化为函数的上下关系是求解本题的关键．
19、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2（x1≠x2）．下列结论：①若x1＝2，x2＝﹣4，则方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝2，x2＝﹣4．②若二次函数对称轴为直线x＝1，则ab＞0．③若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是2．其中正确的结论是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标x1，x2
是对应方程ax2+bx+c＝0的根，
∴①正确．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴a，b异号，
∴ab＜0，
∴②错误．
∵x2＝2x1，
∴y＝ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣2x1）
＝ax2﹣3ax1 x+2a，
∴b＝﹣3ax1，c＝2a，
∴4b﹣9ac＝﹣12ax1﹣18a2
＝﹣18a2+2，
∵﹣18a2＜0，
∴当x1＝﹣时，该式有最大值2，
∴③正确．
故答案为：①③．
［经验总结］本题考查二次函数的图象和性质，充分掌握二次函数与方程的关系是求解本题的关键．
20、若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 ．
［思路分析］根据二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，得b2﹣4ac＞0，列不等式，解出即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，
∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，
解得k＜，
故答案为：k＜．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，熟练掌握抛物线与x轴的交点、二次函数的性质的综合应用，根得判别式的应用是解题关键．
