21.4 二次函数的应用
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一、选择题
1、［2022·较易］在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度y（ m）与水平距离x（ m）之间的关系如图所示，点B为落地点，且OA＝1 m，OB＝4 m，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
［思路分析］由已知得A（0，1），B（4，0），抛物线对称轴为直线x＝，用待定系数法得抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；令x＝得羽毛球到达最高点时离地面的高度为m．
［答案详解］解：由已知得：A（0，1），B（4，0），抛物线对称轴为直线x＝，
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；
令x＝得y＝﹣×（）2+×+1＝，
∴羽毛球到达最高点时离地面的高度为m，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出抛物线的解析式．
2、［2022·较易］如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
［思路分析］首先建立平面直角坐标系，可设函数关系式为y＝ax2．根据AB＝1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），利用待定系数法即可求解析式，再把y＝﹣0.5代入进而得出答案．
［答案详解］解：建立如图所示的坐标系，
设函数关系式为y＝ax2，
A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），
那么﹣2＝0.8×0.8×a，
即a＝﹣，
故y＝﹣x2；
当y＝﹣0.5时，﹣0.5＝﹣x2，
解得x＝±0.4，
∴水面的宽度为0.8m．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
3、［2022·较易］如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］①错误．由图象可知当a＜x＜b时，y＞0．
②错误．当a＝﹣1时，b＝3
③错误．△MCE的周长的最小值为2+2．
④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1＜1＜x1′＜x2，因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y2＜y1．
［答案详解］解：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误．
②＝＝1，
∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误．
③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，﹣3），
∴CE′＝2，
∴△MCE的周长的最小值为2+2，故③错误．
④设x1关于对称轴的对称点x1′，
∴x1′＝2﹣x1，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞x1′，
∵x1＜1＜x2，
∴x1＜1＜x1′＜x2，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1，∴④正确．
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
4、［2022·较易］五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
［思路分析］（1）由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可．
（2）根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米．
（3）观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符．
（4）从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论．
［答案详解］解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9﹣3＝6．
∴A选项正确．
由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴B选项正确．
抛物线的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．
∴D选项正确．
故选：C．
［经验总结］本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
5、［2022·较易］如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．20米 B．18米 C．10米 D．8米
［思路分析］用待定系数法求出二次函数解析式，再令y＝0算出x的值，即可得答案．
［答案详解］解：由题可知：抛物线的顶点为（8，1.8），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣8）2+1.8，
将点（0，1）代入可得a＝﹣，
∴抛物线为：y＝﹣（x﹣8）2+1.8，
当y＝0时，
0＝﹣（x﹣8）2+1.8，
解得x＝﹣4（舍去）或x＝20，
∴水流喷射的最远水平距离OC是20米，
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键．
6、［2021·较易］如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
［思路分析］①正确．利用图中信息，求出AB，再利用勾股定理求出AC即可．
②正确．如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC sinC＝（14﹣2t），y＝ BQ PH＝ t （14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．
③错误．当点P与A重合时，PQ的值最大．根据题意求得PQ的最大值．
④正确．分两种情形讨论求解即可．
［答案详解］解：如图1中，作AD⊥BC于D．
由题意AB＝4×2＝8cm，
在Rt△ABC中，BC＝10cm，AB＝8cm，
∴AC＝＝＝6cm，故①正确，
∵ BC AD＝ AB AC，
∴AD＝（cm），
由题意当点P运动到A时，S△BPQ＝（cm2），
∴×BQ×＝，
∴BQ＝4（cm），
∴点Q的运动速度为1cm/s，
当点P与A重合时，PQ的值最大，
∵BD＝＝（cm），
∴QD＝BD﹣BQ＝﹣4＝（cm），
∴PQ＝＝＝（cm），
∴PQ的最大值为，故③错误．
如图2中，作PH⊥BC于H．则PH＝PC sinC＝（14﹣2t），
∴y＝ BQ PH＝ t （14﹣2t）＝﹣t2+t（4≤t≤7）．故②正确，
如图2中，若△PQC与△ABC相似，点P只有在线段AC上，
如果＝，则△CPQ∽△CAB，
∴＝，
∴t＝．
如果＝时，△CPQ∽△CBA，
∴＝，
解得t＝﹣8不合题意．
综上所述，t＝s时，△PQC与△ABC相似．故④正确，
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造直角三角形解决问题，学会读懂图象信息解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7、［2021·较易］某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
［思路分析］设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入求出a、k的值即可．
［答案详解］解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）2+9，
所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，
故选：A．
［经验总结］本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
二、填空题
8、［2022·较易］某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
［思路分析］（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离．
［答案详解］解：（1）当x＝0时，y＝﹣×（0﹣5）2+6＝，
∴点A的坐标为（0，），
∴雕塑高m．
故答案为：．
（2）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标．
9、［2022·较易］图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 ．
［思路分析］根据函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入，求出a，即可得到函数关系式．
［答案详解］解：由图2可知，函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点（0，0）代入得，16a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣4）2+4．
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+4．
［经验总结］此题考查了求二次函数的解析式，正确理解函数图象是解题的关键．
10、［2022·较易］定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
［思路分析］①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
［答案详解］解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；
②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
［经验总结］此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
11、［2022·较易］如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
［思路分析］根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝﹣2，x2＝10，
∴OA＝10m，
故答案为：10．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值．
12、［2021·较易］“GGB”是一款数学应用软件，用“GGB”绘制的函数y＝﹣x2（x﹣4）和y＝﹣x+4的图象如图所示．若x＝a，x＝b分别为方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1和﹣x+4＝﹣1的一个解，则根据图象可知a b．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
［思路分析］根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．
［答案详解］解：∵方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1的解为函数图象与直线y＝﹣1的交点的横坐标，
﹣x+4＝﹣1的一个解为一次函数y＝﹣x+4与直线y＝﹣1交点的横坐标，
如图所示：
由图象可知：a＜b．
故答案为：＜．
［经验总结］本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．
13、［2021·较易］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 米．
［思路分析］根据二次函数的解析式求得其对称轴即可得出飞机滑行所需时间为20秒，再求出前10秒飞机滑行的距离即可．
［答案详解］解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600，
﹣＜0，抛物线开口向下，
∴当t＝20时，s有最大值，此时s＝600，
∴飞机从落地到停下来共需20秒，
飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝450（米），
∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣450＝150（米），
故答案为：150．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并正确地将二次函数的一般式写成顶点式是解题的关键．
14、［2021·较易］从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
［思路分析］先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．
［答案详解］解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴当x＝1时，y有最大值为3，
∴喷出水珠的最大高度是3m，
故答案为：3．
［经验总结］本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出函数的最大值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
15、［2021·较易］某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+10t
＝﹣0.25（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣0.25（t﹣20）2+100，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝20时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案为：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．
三、解答题
16、［2021·中］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象限），求线段PQ长度最大值．
［思路分析］（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y＝mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设Q（a，a+3），此时P（a，﹣a2﹣2a+3），利用两点间的距离公式列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值．
［答案详解］解：（1）依题意得：
，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设Q（a，a+3），此时P（a，﹣a2﹣2a+3），
∴PQ＝﹣a2﹣2a+3﹣（a+3）＝﹣a2﹣3a＝﹣（a+）2+．
∴该抛物线顶点坐标是（﹣，），且开口向下，
∴当a＝﹣时，PQ取最大值．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
17、［2021·中］为巩固“脱贫攻坚”成果，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8＜x≤32）成一次函数关系，如表列出了x与y的一些对应值：
x 16 24 32
y 168 144 120
（1）根据表中信息，求y与x的函数关系式；
（2）若五一期间销售草莓获取的利润为w（元），请写出w与x之间函数表达式，并求出销售单价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（利润＝销售额﹣成本）
［思路分析］（1）由图象过点（16，168）和（32，120）易求直线解析式；
（2）每天利润＝每千克的利润×销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答．
［答案详解］解：（1）设y＝kx+b，由图表可知图象过点（16，168）和（32，120），
，
解得：
，
∴y＝﹣3x+216（8＜x≤32）；
（2）W＝（x﹣8）（﹣3x+216），
＝﹣3x2+240x﹣1728，
＝﹣3（x﹣40）2+3072．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝40，
∴当8＜x≤32，W随x的增大而增大，
∴当x＝32时，W最大＝2880．
即当销售单价为32元/千克时，可获得最大利润2880元．
［经验总结］本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
18、［2021·中］已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
［思路分析］（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）．
［答案详解］解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：
﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，
解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），
∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，
∴C（﹣2，）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，）
［经验总结］本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．
19、［2022·较难］如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论；
（2）①由题意可知，P（1，4），所以CP＝1，AB＝5，由平行线分线段成比例可知，＝＝．
②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．所以PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，因为PQ∥AB，所以＝＝＝﹣（m﹣）2+，由二次函数的性质可得结论；
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB＝90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M（8，0），所以直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，可得结论．
［答案详解］解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，
∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCF+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
［经验总结］此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
20、［2022·较难］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，
①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；
②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标．
［思路分析］（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）．
［答案详解］解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+；
（2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图：
当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝2，
∴CG＝CH﹣GH＝1，
而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0），
∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1；
②过C作CH⊥AB于H，如图：
设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得：
，解得，
∴直线PQ为y＝﹣2x+6，
设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|，
∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|，
当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，
将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得：
﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+，
解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），
∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝，
∴C（﹣2，）
当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3，
C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3，
此时A、B、C重合，舍去，
∴C（﹣2，）．
［经验总结］本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称轴公式、等腰直角三角形的性质与判定、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．
21、［2022·较难］如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标；
（3）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）将点A（﹣4，0）代入y＝﹣x2+nx+4，即可求解；
（2）求出tan∠BNO＝tan∠MAN＝，分两种情况讨论：当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点，求出H（﹣1，5），从而求出直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，可求M（﹣，）；当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W，求出G（1，3），直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，可求M（，）；
（3）设E（e，﹣e2﹣3e+4），F（f，﹣f2﹣3f+4），通过求直线BE的解析式求得k＝﹣e﹣4，则P（0，e+4），再通过求直线BF的解析式为得m＝﹣f﹣4，则Q（0，f+4），从而得到OP OQ＝﹣ef﹣4e﹣4f﹣16，再设直线EF的解析式为y＝k1（x﹣t）﹣1，联立方程组，由韦达定理得e+f＝﹣k1﹣3，ef＝﹣k1t﹣5，得到OP OQ＝k1（t+4）+1，当t+4＝0时，OP OQ为定值．
［答案详解］解：（1）将点A（﹣4，0）代入y＝﹣x2+nx+4，
得﹣16﹣4n+4＝0，
解得n＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣3x+4＝0，
解得x＝﹣4或x＝1，
∴B（1，0），
令x＝0，则y＝4，
∴N（0，4），
∴ON＝4，OB＝1，
∴tan∠BNO＝，
如图1，当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点，
∵A（﹣4，0），N（0，4），
∴OA＝ON，AN＝4，
∴∠ANO＝45°，
∵∠ANH＝90°，
∴∠HNK＝45°，
∴HK＝KN，
∵∠HAN＝∠ONB，
∴＝，
∴HN＝，
∴KN＝HK＝1，
∴H（﹣1，5），
设直线AM的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
联立方程组，
解得x＝﹣或x＝﹣4（舍），
∴M（﹣，）；
如图2，当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W，
∵∠ANO＝45°，∠ANG＝90°，
∴∠WNG＝45°，
∴NW＝WG，
∵tan∠NAM＝＝＝，
∴NG＝，
∴WG＝WN＝1，
∴G（1，3），
则直线AM的解析式为y＝x+，
联立方程组，
解得x＝或x＝﹣4（舍），
∴M（，）；
综上所述：点M的坐标为（﹣，）或（，）；
（3）存在t的值使得OP与OQ的积为定值，理由如下：
设E（e，﹣e2﹣3e+4），F（f，﹣f2﹣3f+4），
设直线BE的解析式为y＝k（x﹣1），
将点E代入y＝k（x﹣1），得k＝﹣e﹣4，
∴y＝﹣（e+4）（x﹣1），
令x＝0，则y＝e+4，
∴P（0，e+4），
∴OP＝e+4，
设直线BF的解析式为y＝m（x﹣1），
点F代入y＝m（x﹣1），得m＝﹣f﹣4，
∴y＝﹣（f+4）（x﹣1），
令x＝0，则y＝f+4，
∴Q（0，f+4），
∴OQ＝﹣f﹣4，
∴OP OQ＝（e+4）（﹣f﹣4）＝﹣ef﹣4e﹣4f﹣16，
设直线EF的解析式为y＝k1（x﹣t）﹣1，
联立方程组，
∴x2+（k1+3）x﹣k1t﹣5＝0，
∴e+f＝﹣k1﹣3，ef＝﹣k1t﹣5，
∴OP OQ＝k1t+4k1+1＝k1（t+4）+1，
当t+4＝0时，OP OQ为定值，
∴t＝﹣4，OP OQ＝1．
［经验总结］本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
22、［2022·较难］如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
［思路分析］（1）将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；
（2）①求出的a代入确定出抛物线解析式，令y＝0求出x的值，确定出B与C坐标，令x＝0求出y的值，确定出E坐标，进而得出BC与OE的长，即可求出三角形BCE的面积；②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x＝﹣1，根据C与B关于对称轴对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y＝kx+b，将B与E坐标代入求出k与b的值，确定出直线BE解析式，将x＝﹣1代入直线BE解析式求出y的值，即可确定出H的坐标．
［答案详解］解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2＝（﹣2﹣2）（﹣2+a），
解得：a＝4；
（2）①由（1）抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），
当y＝0时，得：0＝（x﹣2）（x+4），
解得：x1＝2，x2＝﹣4，
∵点B在点C的左侧，
∴B（﹣4，0），C（2，0），
当x＝0时，得：y＝﹣2，即E（0，﹣2），
∴S△BCE＝×6×2＝6；
②由抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x＝﹣1，
根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，
设直线BE解析式为y＝kx+b，
将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，
解得：，
∴直线BE解析式为y＝﹣x﹣2，
将x＝﹣1代入得：y＝﹣2＝﹣，
则H（﹣1，﹣）．
［经验总结］此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，对称的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23、［2022·较难］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），顶点为C点．
（1）求AB的长；
（2）反比例函数y＝（x＜0）的图象记作G．
①若点C落在y轴上，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与图象G的交点D在第三象限，D点的横坐标为a，且﹣6＜a＜﹣4，求k的取值范围．
②已知图象G经过点P（n﹣7，﹣12），点Q（﹣6，4﹣n），若抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与线段PQ有唯一的公共点（包括线段PQ的端点），求m的取值范围．
［思路分析］（1）令y＝0，则﹣x2+2mx+9﹣m2＝0，利用根与系数的关系求AB＝|x1﹣x2|的值即可；
（2）①求出m＝0，联立方程组，可得＝﹣a2+9，再由a的范围求k的范围即可；
②求出P（﹣1，﹣12），Q（﹣6，﹣2），再结合图象求解即可．
［答案详解］解：（1）令y＝0，则﹣x2+2mx+9﹣m2＝0，
∴x1+x2＝2m，x1 x2＝m2﹣9，
∴AB＝|x1﹣x2|＝＝6；
（2）①∵点C落在y轴上，
∴m＝0，
∴y＝﹣x2+9，
联立方程组，
∴＝﹣x2+9，
∵D点的横坐标为a
∴＝﹣a2+9，
∵﹣6＜a＜﹣4，
当a＝﹣6时，k＝162，
当a＝﹣4时，k＝28，
∴28＜k＜162；
②∵图象G经过点P（n﹣7，﹣12），点Q（﹣6，4﹣n），
∴12（n﹣7）＝﹣6（4﹣n），
解得n＝6，
∴P（﹣1，﹣12），Q（﹣6，﹣2），
∵y＝﹣x2+2mx+9﹣m2＝﹣（x﹣m）2+9，
∴D（m，9），
当抛物线经过P（﹣1，﹣12）时，m＝﹣1，
当抛物线经过Q（﹣6，﹣2）时，m＝﹣6±，
如图1，当﹣6+≤m≤﹣1+时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
如图2，当﹣6﹣≤m≤﹣1﹣时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点；
综上所述：﹣6+≤m≤﹣1+或﹣6﹣≤m≤﹣1﹣时，抛物线与线段PQ有唯一的公共点．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，数形结合讨论是解题的关键．21.4 二次函数的应用
— 易错精选 —
一、选择题
1、［2022·较易］在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度y（ m）与水平距离x（ m）之间的关系如图所示，点B为落地点，且OA＝1 m，OB＝4 m，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
2、［2022·较易］如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
3、［2022·较易］如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、［2022·较易］五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
5、［2022·较易］如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远水平距离OC是（ ）
A．20米 B．18米 C．10米 D．8米
6、［2021·较易］如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
7、［2021·较易］某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A．9m B．10m C．11m D．12m
二、填空题
8、［2022·较易］某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
9、［2022·较易］图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 ．
10、［2022·较易］定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
11、［2022·较易］如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
12、［2021·较易］“GGB”是一款数学应用软件，用“GGB”绘制的函数y＝﹣x2（x﹣4）和y＝﹣x+4的图象如图所示．若x＝a，x＝b分别为方程﹣x2（x﹣4）＝﹣1和﹣x+4＝﹣1的一个解，则根据图象可知a b．（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13、［2021·较易］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，则飞机停下前最后10秒滑行的距离是 米．
14、［2021·较易］从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是 m．
15、［2021·较易］某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+10t，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
三、解答题
16、［2021·中］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）点Q为BC上一动点，过Q作x轴垂线交抛物线于点P（点P在第二象限），求线段PQ长度最大值．
17、［2021·中］为巩固“脱贫攻坚”成果，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8＜x≤32）成一次函数关系，如表列出了x与y的一些对应值：
x 16 24 32
y 168 144 120
（1）根据表中信息，求y与x的函数关系式；
（2）若五一期间销售草莓获取的利润为w（元），请写出w与x之间函数表达式，并求出销售单价为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？（利润＝销售额﹣成本）
18、［2021·中］已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC．
①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C在抛物线上，求C的坐标．
19、［2022·较难］如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 ， ， ．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．
20、［2022·较难］在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过P（3，0）和Q（1，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）已知点A在第一象限，且在直线PQ上，过A作AB上x轴的垂线，垂足为点B，在AB的左侧，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，
①当点A与点Q重合时，如图所示，求点C到这条抛物线对称轴的距离；
②如果点C在这条抛物线上，求点C的坐标．
21、［2022·较难］如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标；
（3）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．
22、［2022·较难］如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，解答下列问题；
①求出△BCE的面积；
②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．
23、［2022·较难］如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），顶点为C点．
（1）求AB的长；
（2）反比例函数y＝（x＜0）的图象记作G．
①若点C落在y轴上，抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与图象G的交点D在第三象限，D点的横坐标为a，且﹣6＜a＜﹣4，求k的取值范围．
②已知图象G经过点P（n﹣7，﹣12），点Q（﹣6，4﹣n），若抛物线y＝﹣x2+2mx+9﹣m2与线段PQ有唯一的公共点（包括线段PQ的端点），求m的取值范围．
