圆的对称性（1）[下学期]
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课件32张PPT。九年级数学(下)第三章 圆3.2 圆的对称性(1)
-----垂径定理
虹桥镇一中 陈杨明 巧手剪一剪将圆沿着圆心O对折，然后沿着圆的一半轮廓线剪下。这说明了什么？3.2 圆的轴对称性
圆是轴对称图形它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).1.将刚才折出的直径记为CD。2.你能折一条与直径CD垂直的弦吗？ 3.将弦记为AB，将垂足记为M，则有
AB⊥CD于M。4.你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由。巧手折一折连接OA,OB,则OA=OB.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,∵CD⊥AB于M证明：已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD
⌒⌒⌒⌒垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.CD⊥AB, ∵ CD是直径,∴AM=BM,1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练(1)2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . C813注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。 6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ，∠OAB的余弦值= 。练一练(2)0.624mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.你能说说这样找的理由？巧手再来做一做挑战自我如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.挑战自我垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.1.两弦在圆心的同侧
在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.你能说说这样找的理由？巧手再来做一做课堂小结1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或
经过圆心的每一条直线。注意: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。再见课堂小结1.本节课主要学习了什么？2.垂径定理有哪些作用？ 下面请同桌两个同学拿出一个圆，在圆上画一条优弧，一条劣弧，一条不是直径的弦，一条直径,并将它们表示出来。巧手画一画1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练(1)2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . 4.在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦CD，则点O与CD的距离= .C813Goodbye再见课堂小结1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明”
实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想
后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思
想方法． 3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是
一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长
构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题． 挑战自我如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.思考题已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:由 ① CD是直径② CD⊥AB 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.⌒挑战自我画一画4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.挑战自我填一填1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）√???√例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。垂径直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.例3：如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
练习3:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。图中相等的线段有 :挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
.
图中相等的劣弧有:
.
-----垂径定理
虹桥镇一中 陈杨明 巧手剪一剪将圆沿着圆心O对折，然后沿着圆的一半轮廓线剪下。这说明了什么？3.2 圆的轴对称性
圆是轴对称图形它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).1.将刚才折出的直径记为CD。2.你能折一条与直径CD垂直的弦吗？ 3.将弦记为AB，将垂足记为M，则有
AB⊥CD于M。4.你能发现图中有哪些等量关系？请你说说它们相等的理由。巧手折一折连接OA,OB,则OA=OB.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,∵CD⊥AB于M证明：已知：CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于M，
求证：AM=BM， AC =BC, AD =BD
⌒⌒⌒⌒垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.CD⊥AB, ∵ CD是直径,∴AM=BM,1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练(1)2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . C813注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。 6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ，∠OAB的余弦值= 。练一练(2)0.624mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法．在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.你能说说这样找的理由？巧手再来做一做挑战自我如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.挑战自我垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.1.两弦在圆心的同侧
在⊙O内任取一点M,请你折出一条弦AB，使AB经过点M，并且AM=BM.你能说说这样找的理由？巧手再来做一做课堂小结1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或
经过圆心的每一条直线。注意: 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。再见课堂小结1.本节课主要学习了什么？2.垂径定理有哪些作用？ 下面请同桌两个同学拿出一个圆，在圆上画一条优弧，一条劣弧，一条不是直径的弦，一条直径,并将它们表示出来。巧手画一画1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）练一练(1)2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD= .3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 . 4.在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦CD，则点O与CD的距离= .C813Goodbye再见课堂小结1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的两条弧． 2.垂径定理的证明，是通过“实验—观察—猜想—证明”
实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想
后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思
想方法． 3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是
一条非常重要的辅助线．圆心到弦的距离、半径、弦长
构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题． 挑战自我如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.思考题已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF③AM=BM,垂径定理AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?小明发现图中有:由 ① CD是直径② CD⊥AB 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.⌒挑战自我画一画4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.挑战自我填一填1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）√???√例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。垂径直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.例3：如图，已知圆O的直径AB与
弦CD相交于G，AE⊥CD于E，
BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
练习3:如图，CD为圆O的直径，弦
AB交CD于E， ∠ CEB=30°，
DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。图中相等的线段有 :挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 :
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图中相等的劣弧有:
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