2022-2023学年人教版八年级数学上册12.3.1角平分线的性质 课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
人教版 八年级上
12.3 角的平分线的性质
第十二章 全等三角形
第1课时 角平分线的性质
学习目标
1、掌握用尺规作已知角的平分线的方法；
2、理解角的平分线的性质并能初步运用。
新知导入
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
新知讲解
知识点1、角的平分线的性质
活动1、如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，
你能说明它的道理吗
A
D
B
C
E
新知讲解
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
新知讲解
活动2、尺规作图：根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
M
N

作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.
新知讲解
任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，过点P画出OA和OB的垂线，分别记垂足为D，E，PD和PE有什么关系？
D
P
E
A
O
B
C
猜想：PD=PE
你能结合三角形全等的知识证明这个结论吗？
活动3、探究角平分线的性质
新知讲解
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
证明猜想：PD=PE
新知讲解
再在OC上任取一点Q、R，过点Q、R画出OA和OB的垂线，分别记垂足为F、H和J、K，QE与QH、RJ与RK分别有什么关系？
D
P
E
A
O
B
C
QF=QH
你能总结出角的平分线的性质吗？
RJ=RK
Q
R
J
F
H
K
新知讲解
归纳：角平分线的性质
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
新知讲解
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
新知讲解
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
归纳：
巩固练习
1.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,下列结论中错误的是(　　)
A.PC＝PD B.OC＝OD
C.∠CPO＝∠DPO D.OC＝PC
D
巩固练习
2.如图,已知：OD平分∠AOB,在OA,OB边上取OA＝OB,PM⊥BD,PN⊥AD,垂足分别为M,N.求证：PM＝PN.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，
又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，
∴∠3＝∠4，
又∵PM⊥DB，PN⊥DA，
∴PM＝PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
课堂总结
小结：这节课我们学到了什么？在生活中有那些用到了我们今天学到的知识。
1、性质：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
2、判定：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
角平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合。
巩固诊断
1．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝10，AC＝8，则S△ABD∶S△ADC＝( )
A．1∶1
B．4∶5
C．5∶4
D．16∶25
C
D
C
A
B
巩固诊断
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
巩固诊断
3.如图，AB＝AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，则：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．以上结论正确的是(　　)
A．只有①
B．只有②
C．只有①和②
D．①②③
D
巩固诊断
4.l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有(　　)
A．1处　　B．2处　　C．3处　　D．4处
D
巩固诊断
5．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，M为OP上任意一点，连接CM，DM，则CM和DM的大小关系是 ．
相等
巩固诊断
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，BD＝DF，求证：CF＝EB.
D
B
F
A
C
E
巩固诊断
7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，点E在边BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC.
求证：BE=CE．
过点E作EG⊥AB于G，EH⊥AD于H，EM⊥BC于M
G
H
M
∵AE平分∠BAD，EG⊥AB， EH⊥AD
∴EG＝EH，∠BGE=900
∴EM＝EH，∠EMC=900
∴EG＝EM，∠BGE=∠EMC=900
在△BGE和△CME中　　
A
B
C
D
E
∠B=∠C
∠BGE=∠EMC
EG＝EM
∴△BGE≌△CME（AAS）　　
∴BE=CE
又∵DE平分∠ADC，EH⊥AD， EM⊥BC