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知能巩固提升(一)/课后巩固作业(一)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.下列语句中是命题的是( )
（A）周期函数的和是周期函数吗
（B）sin 45°＝1
（C）x2＋2x－1>0
（D）梯形是不是平面图形呢
2.下列命题正确的是( )
（A）经过三点确定一个平面
（B）两条直线确定一个平面
（C）四边形确定一个平面
（D）不共面的四点可以确定四个平面
3.已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α,β，有下列四个命题：
①若m∥n,n?α，则m∥α；
②若l⊥α,m⊥β且l∥m,则α∥β；
③若m?α，n?α,m∥β,n∥β,则α∥β；
④若α⊥β，α∩β=m,n?β,n⊥m，则n⊥α.
其中正确命题的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.（2012·黔东南州高二检测）下列四个命题中，真命题是( )
(A)a>b,c>d?ac>bd (B)a＜b?a2＜b2
(C)< ?a>b (D)a>b,c＜d?a-c>b-d
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.下列语句是命题的是________.
(1)证明x2＋4x＋4≥0；
(2)你是高一的学生吗？
(3)一个正数不是素数就是合数；
(4)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
6.（易错题）在下列命题中：
(1)若sinθ=-,tanθ>0,则cosθ=;
(2)若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈［2a-1,a+4］)是偶函数，则实数b=2;
(3)既是奇函数又是偶函数；
(4)已知f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈［0,+∞)时，f(x)=x(1+x),则当x∈R时，f(x)=x(1+|x|).正确的序号是________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac>bc时，a>b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
8.给定两个命题:p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立；q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围.
【挑战能力】
(10分)已知A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A，B构造的命题“若p,则q”为真命题.
答案解析
1.【解析】选B.A，D是疑问句，不是命题；C中语句不能判断真假.
2.【解析】选D.因为四点不共面，所以任意三点不共线，又不共线的三点确定一个平面,所以不共面的四点可以确定四个平面.
【变式训练】下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________(只填序号)．
（1）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
（2）一个数不是正数就是负数；
（3）大角所对的边大于小角所对的边．
【解析】根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．
（1）是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
（2）是假命题，因为0既不是正数也不是负数；
（3）是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．
答案：（2）（3） （2）（3）
3.【解题指南】利用立体几何中的定理、公理等进行对照，注意条件的差异，认真判断.
【解析】选B.若m∥n,n?α,也有可能m?α,故①错误；若l⊥α,m⊥β且l∥m，则α∥β，②正确；③若m?α，n?α,m∥β，n∥β，也有可能α与β相交，③错误；④若α⊥β，α∩β=m,n?β,n⊥m,则n⊥α,④正确，故选B.
4.【解析】选D.可以根据不等式的性质推理判断，或举反例说明命题是假命题.例如，选项A，当a=3,b=-2,c=-1,d=-5时，符合条件，结论却是ac
5.【解析】(1)(2)不是命题，(1)是祈使句，(2)是疑问句；而(3)(4)是命题，其中(3)是假命题，如正数既不是素数也不是合数；(4)是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．
答案：（3）(4)
6.【解析】(1)中必有cosθ<0，显然错误；(2)依条件知，区间［2a-1,a+4］应关于原点对称，所以（2a-1）+(a+4)=0，得a=-1.又f(x)是偶函数，则2a+b=0，故b=2；
(3)中定义域是{±}，且化简得f（x）=0，故既是奇函数又是偶函数；(4)中当x∈(-∞,0)时，-x∈(0,+∞)，则f(-x)=-x(1-x)，又f(-x)=-f(x)，故f(x)=x(1-x)(x<0).当x=0时,f(x)=0.所以可得f(x)=x(1+|x|)，故正确.
答案：(2)(3)(4)
7.【解析】(1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．假命题．
(3)若ac>bc，则a>b.假命题．
(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题.
【方法技巧】命题改写的技巧
在写命题的条件和结论时，如果一个命题的条件和结论不很明显，要先把表述适当改变，写成“若p，则q”后，再指出条件和结论.
8.【解析】对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立
?a=0或
关于x的方程x2-x+a=0有实数根?1-4a≥0
?a≤.
如果p正确，且q不正确，有0≤a<4，且a>,
∴如果q正确，且p不正确，有a<0或a≥4,且a≤,
∴a<0.
所以实数a的取值范围为（,4）或(-∞,0).
【挑战能力】
【解题指南】首先应该确定A，B哪一个作为p,哪一个作为q,然后在p可以推出q的情况下，通过解不等式确定a的取值范围.
【解析】若视A为p,则命题“若p，则q”为“若x>,则x>1”.由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p,则q”为“若x>1，则x>”.由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a=1,则有真命题“若x>1,则x>”.
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知能巩固提升(二)/课后巩固作业(二)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（易错题）命题“若△ABC有一内角为,则△ABC的三个内角成等差数列”的逆命题( )
（A）与原命题同为假命题
（B）与原命题的否命题同为假命题
（C）与原命题的逆否命题同为假命题
（D）与原命题同为真命题
2.有下列四个命题：
①“已知函数y=f(x)，x∈D，若D关于原点对称，则函数y=f(x)，x∈D为奇函数”的逆命题；
②“对应边平行的两角相等”的否命题；
③“若a≠0，则方程ax+b=0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B=B，则B≠A”的逆否命题,
其中的真命题是( )
（A）①② （B）②③
（C）①③ （D）③④
3.命题“若a2+b2=0（a,b∈R），则a=b=0”的逆否命题是( )
(A)若a≠b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
(B)若a=b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
(C)若a≠0且b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
(D)若a≠0或b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0
4.命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
(A)若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
(B)若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
(C)若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
(D)若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（2012·许昌高二检测）命题“若a＞3,则a＞5”的逆命题是________.
6.命题“若a·b不为零，则a,b都不为零”的否命题是________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
8.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假：
（1）当x=2时，x2-3x+2=0；
（2）若x>8，则x>0.
【挑战能力】
（10分）在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列，则am,am+2,am+1成等差数列.
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断这个命题的逆命题何时为假；何时为真，并给出证明.
答案解析
1.【解析】选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为”,它是真命题，故选D.
2.【解析】选C.①“若函数y=f(x),x∈D为奇函数，则定义域D关于原点对称”，为真命题；
②“对应边不平行的两角不相等”，为假命题；
③“若方程ax+b=0无实根，则a=0”，为真命题；
④“若B=A，则A∪B≠B”，是假命题.
3.【解题指南】解答本题的关键点是对条件“a=b=0”的否定，为了便于否定应首先将其改写为“a=0且b=0”,然后再否定.
【解析】选D.命题中的条件及结论的否定分别是a2+b2≠0，a≠0或b≠0（a,b∈R），所以命题的逆否命题是“若a≠0或b≠0（a,b∈R），则a2+b2≠0”.
【变式训练】“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题是________.
【解析】命题中的条件及结论的否定分别是b>－1, 方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，所以命题的逆否命题是“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”.
答案：“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b>－1”
4.【解析】选A.由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为“若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”．
【变式训练】命题“若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则a2 <1”的逆否命题是________.
【解析】由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为“若a2≥1，则函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”.
答案：“若a2≥1，则函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数”
5.【解析】因为命题“若a＞3,则a＞5”的条件是“a＞3”,结论是“a＞5”，所以它的逆命题是“若a＞5,则a＞3”.
答案：“若a＞5,则a＞3”
6.【解析】因为命题中的条件及结论的否定分别是“a·b=0，a,b至少有一个为零”，所以命题的否命题为“若a·b=0，则a,b至少有一个为零”.
答案：“若a·b=0，则a,b至少有一个为零”
7.【解析】(1)原命题为“若a是正数，则a的平方根不等于0”；
逆命题为“若a的平方根不等于0，则a是正数”；
否命题为“若a不是正数，则a的平方根等于0”；
逆否命题为“若a的平方根等于0，则a不是正数”.
(2)原命题为“若x＝2，则x2＋x－6＝0”；
逆命题为“若x2＋x－6＝0，则x＝2”；
否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”；
逆否命题为“若x2＋x－6≠0，则x≠2”.
8.【解析】（1）逆命题为若x2-3x+2=0，则x=2，假命题；
否命题为若x≠2，则x2-3x+2≠0，假命题；
逆否命题为若x2-3x+2≠0，则x≠2，真命题.
（2）逆命题为若x>0，则x>8，假命题；
否命题为若x≤8，则x≤0，假命题；
逆否命题为若x≤0，则x≤8，真命题.
【挑战能力】
【解析】(1)这个命题的逆命题是：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am,am+2,am+1成等差数列，则Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列.
(2)设等比数列{an}的公比为q，则当q=1时，这个命题的逆命题为假，
理由如下：
因am=am+2=am+1=a1，若am,am+2,am+1成等差数列，则Sm+2-Sm=2a1，Sm+1-Sm+2=-a1，显然Sm+2-Sm≠Sm+1-Sm+2.
当q≠1时，这个命题的逆命题为真，
理由如下：因am=a1qm-1，am+2=a1qm+1，am+1=a1qm，
若am,am+2,am+1成等差数列，则a1qm-1+a1qm=2a1qm+1，即1+q=2q2，也就是1-q2=q2-q,
又=
Sm+1-Sm+2= =
即Sm+2-Sm=Sm+1-Sm+2.
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知能巩固提升(三)/课后巩固作业(三)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.与命题“若m∈M,则nM”等价的命题是( )
（A）若mM,则nM
（B）若nM,则m∈M
（C）若mM,则n∈M
（D）若n∈M,则mM
2.下列说法中正确的是( )
（A）一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
（B）“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
（C）“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
（D）一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3.（2012·乌鲁木齐高二检测）给出命题：“已知a，b，c，d是实数，若a≠b且c≠d，则a+c≠b+d”；对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题个数为( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）4
4.（2012·宿州高二检测）命题“若c<0，则方程x2+x+c＝0有实数解”，则( )
（A）该命题的逆命题为真，逆否命题也为真
（B）该命题的逆命题为真，逆否命题为假
（C）该命题的逆命题为假，逆否命题为真
（D）该命题的逆命题为假，逆否命题也为假
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题(填“真”“假”)．
6.（易错题）下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若>，则a三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
8.判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【挑战能力】
(10分)证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2．
答案解析
1.【解析】选D.与原命题等价的命题是其逆否命题.
2.【解析】选D．因为否命题和逆命题是互为逆否命题,互为逆否命题的两命题真假性相同.
3.【解析】选A.因为原命题为假，故逆否命题为假，逆命题为假，故否命题为假，所以选A.
4.【解析】选C．因为c<0?-4c>0?Δ=1-4c>0,所以方程x2+x+c＝0有实数解，即原命题为真.因为原命题与其逆否命题具有相同真假性，所以逆否命题为真.而方程x2+x+c＝0有实数解?1-4c≥0?c≤,此时推不出c<0，所以逆命题为假.
5.【解析】因为原命题为假，所以其逆否命题为假命题.
答案：假
6.【解析】因为方程x2＋2x＋k＝0没有实根?Δ=4-4k<0?k>1,推不出k≤0,所以“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题为假；“若>，则a”.因为>? >0?所以逆命题显然为假;“梯形不是平行四边形”的逆否命题为真.所以是假命题的是①②.
答案：①②
【误区警示】在判断②时，易由a7.【解析】(1)命题p的否命题为：“若ac<0，
则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.
(2)命题p的否命题是真命题.
判断如下：因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解,
所以该命题是真命题．
8.【解题指南】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性,所以可以正确写出原命题的逆否命题，判断逆否命题或直接判断原命题的真假即可.
【解析】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．
【一题多解】先判断原命题的真假：
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0.
解得a≥.
因为a≥，
所以a≥1，所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题等价，
所以其逆否命题为真命题．
【挑战能力】
【证明】若p＋q＞2，则
所以p2＋q2≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.
温馨提示：
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知能巩固提升(四)/课后巩固作业(四)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件( )
（A）若向量a,b共线，则a=λb
（B）已知向量a=（a1,1），若|a|=3，则a1=2
（C）若直线l的方向向量为a=（-1,1），则直线l的斜率为1
（D）若|a|=0，则a=0
2.（2012·西安高二检测）已知命题甲：（x-m）(y-n)＜0，命题乙：x＞m且y＜n，则甲是乙的( )
（A）充要条件 （B）既不充分也不必要条件
（C）充分不必要条件 （D）必要不充分条件
3.下列命题判断正确的是( )
（A）两条直线平行是两条直线斜率相等的充分条件
（B）两条直线平行是两条直线斜率相等的必要条件
（C）两条直线垂直是两条直线斜率乘积等于-1的充分条件
（D）两条直线斜率乘积等于1是两条直线垂直的必要条件
4.（2012·浙江高考）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2：x+2y+4=0平行”的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.下列不等式：①x<1；②06.若条件p:（x+1）2>4，条件q:x2-5x+6<0，则q是p的________条件.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（易错题）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
8.若p：－2【挑战能力】
(10分)已知p：|1－|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.若a≠0，b=0，则a≠λb，所以选项A不正确；因为|a|=3，所以，即a1=±2，所以选项B不正确；因为若直线l的方向向量为a=（-1,1），所以直线的斜率k==-1，所以选项C不正确；由零向量的定义可得，选项D正确.
2.【解析】选D.因为甲：(x-m)(y-n)＜0?
所以甲是乙的必要不充分条件.
3.【解析】选B.两条直线平行其斜率也可能不存在，所以选项A不正确；两条直线斜率相等必有两条直线平行，所以选项B正确；两条直线垂直其斜率也可能不存在，所以选项C不正确；两条直线垂直，若斜率存在，则两条直线斜率乘积等于-1，所以选项D不正确.
4.【解析】选C. “a＝1”是“直线l1：ax+2y-1=0与直线l2 ：x+2y+4=0平行”的充要条件.由,解得a=1.
5.【解析】由于x2<1即－1答案：②③④
6.【解析】因为（x+1）2>4，所以x<-3或x>1.又x2-5x+6<0，所以2答案：充分
7.【解析】(1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形,
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分,
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
【举一反三】若把(1)中的等号改为“ > ”,结论又会怎样？
【解析】若x=-2,y=1，则|x|>|y|x>y；若x=1,y=-2，则x>y|x|>|y|,
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
8.【解析】若a＝－1，b＝，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故pq.若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0则x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
于是0<－a<2,0即－2所以，p是q的必要不充分条件．
【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f（x）=x2+ax+b，因为关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，所以
所以，p是q的必要不充分条件．
【挑战能力】
【解析】由题意知：命题：若p是q的必要不充分条件的等价命题即其逆否命题为：p是q的充分不必要条件.
p:|1－|≤2?－2≤－1≤2?－1≤≤3?－2≤x≤10.
q：x2－2x+1－m2≤0?［x－(1－m)］［x－(1+m)］≤0.
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式|1－|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0(m>0)解集的真子集.又∵m>0，∴不等式的解集为
1－m≤x≤1+m,∴且等号不能同时取得,∴
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知能巩固提升(五)/课后巩固作业(五)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.在△ABC中，的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
2.已知集合A={x|a-2( )
（A）0≤a≤2 （B）-2（C）03.（2011·湖南高考)设集合M={1，2}，N={a2},则“a=1”是“N?M”的( )
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
4.若x,y∈R,则“xy≤1”是“x2+y2≤1”的 ( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.已知a,b是实数，则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的________条件．
6.（2011·陕西高考）设n∈N*，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________．
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（易错题）一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
8.已知数列{an}的前n项和为Sn=(n+1)2+c,探究{an}是等差数列的充要条件.
【挑战能力】
(10分)记实数x1，x2,…,xn中的最大数为max{x1,x2,…,xn}，最小数为min{x1,x2，…,xn}.已知△ABC的三边边长为a,b,c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为I=max{}·min{}，
试判断“I=1”是“△ABC为等边三角形”的什么条件.
答案解析
1.【解析】选C.因为故选C.
2.【解析】选A.A∩B=?
【变式训练】若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
【解析】选A.由x＝4知|a|＝＝5.
反之，由|a|＝＝5，得x＝4或x＝－4，
故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件，故选A.
3.【解题指南】本题考查条件之间的关系.解题依据是小范围是大范围的充分条件，大范围是小范围的必要条件.
【解析】选A.当a=1时，N={1}，可推出“N?M”.当“N?M”时，有a2=1或a2=2，解得a=±1或a=±，不能推出a=1，所以选A.
4.【解析】选B.
5.【解析】对于“a>0且b>0”可以推出“a+b>0且ab>0”.反之也是成立的．
答案：充要
6.【解析】因为x是整数，即2±为整数，所以为整数，且n≤4.又因为n∈N*，取n=1,2,3,4，验证可知n=3,4符合题意.反之由n=3,4，可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根．
答案：3或4
7.【证明】充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式
Δ=b2－4ac>0，
∴方程一定有两不等实根，
设为x1,x2，则x1x2=<0，
∴方程的两根异号．
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
∵方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，设为x1,x2，
则由根与系数的关系得x1x2=<0，
即ac<0，
综上可知：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【一题多解】本题也可以采用以下方法完成：
设f(x)=ax2+bx+c，因为一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根?a·f(0)<0?ac<0.
8.【解析】当{an}是等差数列时，
∵Sn=(n+1)2+c,
∴当n≥2时，Sn-1=n2+c,
∴an=Sn-Sn-1=2n+1,
∴an+1-an=2为常数.
又a1=S1=4+c,∴a2-a1=5-(4+c)=1-c.
∵{an}是等差数列，∴a2-a1=2,
∴1-c=2,∴c=-1.反之，当c=-1时，Sn=n2+2n,
可得an=2n+1(n≥1)，可知{an}是等差数列，
∴{an}是等差数列的充要条件是c=-1.
【举一反三】将此数列{an}的前n项和改为Sn=An2+Bn+C(n∈N*)，探究{an}是等差数列的充要条件．
【解析】当{an}是等差数列时，因为Sn=An2+Bn+C，
所以当n≥2时，Sn－1=A(n－1)2+B(n－1)+C，
所以an=Sn－Sn－1=2An+B－A，
所以an+1－an=2A.又a1=A+B+C，所以
a2－a1=2A－C=2A，所以C=0.反之，当C=0时，Sn=An2+Bn，
可得an=2An+B－A，可知{an}是等差数列，
∴{an}是等差数列的充要条件是C=0.
【挑战能力】
【解析】当△ABC是等边三角形时，a=b=c，
所以I=max{}·min{}
＝1×1＝1.
所以“I=1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
因为a≤b≤c，所以max{}=.
又因为I=1，所以min{}=，
即=或=，
得b=c或b=a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
所以“I=1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件,
所以“I=1”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件.
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知能巩固提升(六)/课后巩固作业(六)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是( )
（A）p∧q （B）p∨q
（C）p （D）(p)∧(q)
2.（2012·许昌高二检测）已知命题p：3≥3,q：3＞4，则下列判断正确的是( )
（A）p∨q为真，p∧q为真，p为假
（B）p∨q为真，p∧q为假，p为真
（C）p∨q为假，p∧q为假，p为假
（D）p∨q为真，p∧q为假，p为假
3.已知命题p：函数f(x)=sinxcosx的最小正周期为π；命题q：函数g(x)=sin(x+)的图象关于原点对称，则下列命题中为真命题的是( )
（A）p （B）(p)∨q
（C）p∧q （D）p∨q
4.命题p：函数y=loga(ax+2a)(a＞0且a≠1)的图象必过定点(-1,1)；命题q：如果函数y=f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y=f(x-3)的图象关于原点对称，则有( )
（A）“p且q”为真 （B）“p或q”为假
（C）p真q假 （D）p假q真
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.已知命题p：x2+2x-3＞0，命题q：＞1，若q且p为真，则x的取值范围是________.
6.（易错题）若“x∈［2，5］或x∈{x|x＜1或x＞４}”是假命题，则x的范围是________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的新命题，并判断其真假.
(1)p：2是4的约数，q：2是6的约数；
(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；
(3)p：方程x2+x-1=0的两实数根的符号相同，q：方程x2+x-1=0的两实数根的绝对值相等.
8.（2012·常州高二检测）设命题p：函数f(x)=（a-）x是R上的减函数,命题q:函数f(x)=x2-4x+3在［0，a］上的值域是［-1，3］.若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.
【挑战能力】
(10分)已知命题A：函数f(x)=x2-4mx+4m2+2在区间［-1，3］上的最小值为2；
命题B：若且g(x)＞1对任意x∈R恒成立；
命题C：{x|m≤x≤2m+1}?{x|x2-4≥0}.
（1）若A，B，C中至少有一个为真命题，试求实数m的取值范围；
（2）若A，B，C中恰有一个为假命题，试求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选B.因为p是真命题，q是假命题，所以“p∨q”是真命题.
2.【解析】选D.∵命题p：3≥3为真命题,q:3＞4为假命题，∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，p为假命题.
【变式训练】若命题p：2m-1(m∈Z) 是奇数，命题q：2m+1(m∈Z)是偶数，则下列说法正确的是( )
（A）p∨q为真 （B）p∧q为真
（C）p为真 （D）q为假
【解析】选A.命题p：“2m-1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题q：“2m+1(m∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真.
3.【解析】选D.因为f(x)=sinxcosx=sin2x，所以命题p为真命题.又因为g(x)=sin(x+)=cosx，所以g(x)=sin(x+)的图象关于y轴对称，所以命题q为假命题，所以命题p∨q为真命题.
4.【解题指南】首先验证命题p，q，然后再根据选项作出判断.
【解析】选C.由于将点(-1,1)代入y=loga(ax+2a)成立，故p真；由y=f(x)的图象关于(3,0)对称，知y=f(x-3)的图象关于(6,0)对称，故q假.
5.【解析】因为x2+2x-3＞0?(x+3)(x-1)＞0
?x＜-3或x＞1.又因为
?2＜x＜3，所以q：x≤2或x≥3.若q且p为真，则x的取值范围是（-∞,-3）∪(1，2］∪［3，+∞）.
答案：（-∞，-3）∪（1，2］∪［3，+∞）
6.【解析】因为x∈［2，5］或x∈{x|x＜1或x＞4}，
即x∈（-∞，1）∪［2，+∞），由于命题是假命题，
所以1≤x＜2，即x∈［1，2）.
答案：［1，2）
【一题多解】
记命题“x∈［2，5］或x∈{x|x＜1或x＞4}”为p，因为p是假命题，所以命题p为真命题，即（x∈［2，5］或x∈{x|x＜1或x＞4}）=（x∈［2，5］）∧（x∈{x|x＜1或x＞4}）=（x［2，5］）∧（x{x|x＜1或x＞4}）=（x＜2或x＞5）∧（1≤x≤4），即x∈［1，2）.
7.【解析】（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；
p且q：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；
非p：2不是4的约数，假命题.
(2)p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；
p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；
非p：矩形的对角线不相等，假命题.
(3)p或q：方程x2＋x-1＝0的两实数根的符号相同或绝对值相等，假命题；
p且q：方程x2+x-1=0的两个实数根的符号相同且绝对值相等，假命题；
非p：方程x2+x-1=0的两实数根符号不同，真命题.
8.【解析】若命题p为真，则0＜a-＜1，得＜a＜.若命题q为真，即f(x)=(x-2)2-1在［0，a］上的值域是［-1，3］，得2≤a≤4.
∵p或q为真，p且q为假，得p，q中一真一假.
若p真，q假，则
若p假，q真，则
综上，实数a的取值范围为＜a＜2或≤a≤4.
【挑战能力】
【解析】（1）因为f(x)=x2-4mx+4m2+2=(x-2m)2+2，
所以只有x=2m时，f(x)的最小值为2.
又因为f(x)在区间［-1, 3］上的最小值为2，
所以-1≤2m≤3, 所以-≤m≤，所以命题A为真的条件是-≤m≤.
因为
当x≥m时,g(x)=2x-m在［m,+∞）上单调递增，g(x)min=g(m)=m；
当x＜m时,g(x)=m=g(x)min,
所以x∈R时，g(x)的最小值为m,
所以命题B为真的条件是m＞1.
因为{x|m≤x≤2m+1}?{x|x2-4≥0},
所以
所以m＜-1或m≥2或m∈,
所以命题C为真的条件是m＜-1或m≥2.
因为命题A，B，C都为假的条件是
所以命题A，B，C中至少有一个为真命题的条件是m＜-1或m≥-.
（2）当A假，B，C为真时，
当A真，B假，C为真时，
当A真，B真，C为假时，
所以A，B，C中恰有一个为假命题的条件是m≥2或1＜m≤.
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知能巩固提升(七)/课后巩固作业(七)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.下列命题不是“x0∈R，>3”的表述方法的是( )
(A)有一个x0∈R，使>3
(B)有些x0∈R，使>3
(C)任选一个x∈R，使x2>3
(D)至少有一个x0∈R，使>3
2.下列命题中，是正确的全称命题的是( )
（A）对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0
（B）菱形的两条对角线相等
（C）x0∈R,
（D）对数函数在定义域上是单调函数
3.下列命题中的假命题是( )
(A)存在一个实数，它的平方等于零
(B)既是奇函数又是偶函数的函数有无数个
(C)反比例函数是单调函数
(D)反比例函数存在单调增区间
4.(2012·抚顺高二检测）已知a>0，函数f(x)=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
(A)x∈R,f(x)≤f(x0)
(B)x∈R,f(x)≥f(x0)
(C)x∈R,f(x)≤f(x0)
(D)x∈R,f(x)≥f(x0)
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.(2012·福州高二检测)若命题“x0∈R，使”是假命题，则实数a的取值范围为________.
6.（易错题）下列4个命题：
p1: x0∈(0,+∞),；
p2: x0∈(0,1),；
p3: x∈(0,+∞),；
p4: x∈(0,13),.
其中的真命题是__________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知命题p: x0∈R，使得;命题q: x∈［0,1］，都有(a2-4a+3)x-3<0.若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．
8.已知命题：“x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题.
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式(x-3a)(x-a-2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【挑战能力】
（10分）已知函数f(x)=x2-2x+5.
（1）是否存在实数m0，使不等式m0+f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由.
（2）若存在一个实数x0,使不等式m-f（x0）＞0成立，求实数m的取值范围.
答案解析
1.【解析】选C.“任选一个x∈R，使x2>3”是全称命题，不能用符号“”表示，故选C.
2.【解析】选D.A中含有全称量词“任意”，a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,是假命题.B，D在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”.菱形的对角线不一定相等；C是特称命题，故选D.
3.【解析】选C.对于A，当x＝0时，x2＝0，正确；对于B，因为区间（-∞,
+∞）可划分出无穷个关于原点对称的区间，因而这样的函数有无数个，正确；对于C，因为反比例函数在定义域上不是单调函数，错误；对于D，正确．
【变式训练】给出下列命题：①存在实数x0使得sinx0cosx0=1成立；②对任意实数x都有sinx+≥2;③对任意x∈(0,),tanx+≥2；④存在实数x0，使sinx0+cosx0=；其中真命题为( )
(A)③ (B)③④
(C)②③④ (D)①②③④
【解析】选B.对于①：因为sinxcosx=sin2x，而|sin2x|≤即|sinxcosx|≤，所以命题不正确；对于②：当x=时，sinx+=-2，所以命题不正确；对于③：当x∈(0, )时，tanx>0，且tanx+≥2（当且仅当x=时，等号成立），所以命题正确；对于④：当x=时，等式成立，所以命题正确.
4.【解题指南】解答本题的关键点是“若x0满足关于x的方程2ax+b=0”，这一点说明函数f(x)=ax2+bx+c在x0处取得最小值.
【解析】选C.因为x0满足关于x的方程2ax+b=0，即函数在x0处取得最小值，又因为a>0，所以函数f(x)=ax2+bx+c在(-∞,x0］上是单调减函数；在［x0,+∞)上是单调增函数，所以选C.
5.【解析】因为命题“x0∈R，使”是假命题，
所以Δ≤0，即(a+1)2-4≤0，所以-3≤a≤1.
答案:［-3,1］
6.【解题指南】解答本题的关键是利用好幂函数、指数函数和对数函数的性质及指数函数和对数函数的图象.
【解析】因为幂函数y=xα在(0,+∞)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数y=logax(01,所以命题p4是真命题.
答案:p2，p4
【一题多解】本题也可以利用函数的图象求解，解法如下
由图象可知命题p2、p4为真命题.
7.【解析】若命题p为真命题，则有Δ=4a2-4(2a2-5a+4)≥0，解得1≤a≤4.
对于命题q，令f(x)=(a2-4a+3)x-3，
若命题q为真命题，则有f(0)<0且f(1)<0，
可得0由题设知命题p和q中有且只有一个真命题，
所以
解得0故所求a的取值范围是08.【解析】（1）命题：“x∈{x|-1≤x≤1}，都有不等式x2-x-m<0成立”是真命题，
得x2-x-m<0在-1≤x≤1恒成立，
∴m>(x2-x)max，得m>2，即B={m|m＞2}.
（2）不等式(x-3a)(x-a-2)<0
①当3a>2+a,即a>1时，解集A={x|2+a＜x＜3a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB,
∴2+a≥2，此时a∈(1,+∞).
②当3a=2+a，即a=1时，解集A=，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立.
③当3a<2+a,即a<1时，解集A={x|3a＜x＜2+a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立，
∴3a≥2，此时a∈［,1).
综上①②③可得a∈［,+∞)．
【挑战能力】
【解析】（1）不等式m0+f(x)＞0可化为m0＞-f(x),
即m0＞-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m0＞-（x-1）2-4对于任意x∈R恒成立，只需m0＞-4即可.
故存在实数m0使不等式m0+f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m0＞-4.
（2）不等式m-f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x0)min.
又f(x0)=(x0-1)2+4,
所以f(x0)min=4，所以m＞4.
所以所求实数m的取值范围是（4，+∞）.
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
知能巩固提升(八)/课后巩固作业(八)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.“a和b都不是偶数”的否定形式是( )
（A）a和b至少有一个是偶数
（B）a和b至多有一个是偶数
（C）a是偶数，b不是偶数
（D）a和b都是偶数
2.已知命题p:x0∈R，使tanx0=1,其中正确的是( )
(A)p:x0∈R,使tanx0≠1
(B)p:x0R,使tanx0≠1
(C)p:x∈R,使tanx≠1
(D)p:xR,使tanx≠1
3.（2012·东莞高二检测）下列命题的非是真命题的是( )
(A)π是无理数
(B)x∈R,x2＞-1
(C)x0∈R,使4x0-2＞5x0
(D)x0∈R,使+1=0
4.（易错题）已知命题p:x∈R,ax2+2x+3>0.如果命题p是真命题，那么a的范围是( )
(A)a< (B)0(C)a≤ (D)a≥
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.(2012·东海高二检测)命题“x0∈R,x0=sinx0”的否定是________.
6.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定是________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)有些质数是奇数；
(2)所有二次函数的图象都开口向上；
(3)x0∈Q，＝5；
(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．
8.写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)q：存在一个实数x0，使得≤0；
(2)r：等圆的面积相等，周长相等；
(3)s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
【挑战能力】
（10分）已知命题“存在x0∈R,>0”是假命题，求实数a的取值范围.
答案解析
1.【解析】选A.在a，b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇、a奇b偶、a偶b偶，故选A.
2.【解析】选C.因为命题p:x0∈R,使tanx0=1为特称命题，所以它的否定为全称命题，即p:x∈R,使tanx≠1.
【变式训练】已知命题p:x∈R,x≥2,那么命题p为( )
(A)x∈R,x≤2 (B)x0∈R,x0<2
(C)x∈R,x≤-2 (D)x0∈R,x0<-2
【解析】选B.因为命题p:x∈R,x≥2为全称命题，所以它的否定为特称命题，即x0∈R,x0<2.
3.【解析】选D.因为（A）、（B）、（C）均为真命题，所以它们的非是假命题，而（D）是假命题，所以它的非是真命题.
4.【解题指南】首先由命题p:x∈R,ax2+2x+3>0写出命题p来，再由命题p是真命题求a的范围.
【解析】选C.因为命题p:x∈R,ax2+2x+3>0为全称命题，所以命题p：x0∈R,≤0，又因为命题p是真命题，显然a=0时，满足题意；当a≠0且Δ≥0时，解得a≠0且a≤；所以a的范围是a≤.
5.【解析】因为命题“x0∈R,x0=sinx0”是特称命题，所以它的否定是“x∈R,x≠sinx”.
答案: x∈R,x≠sinx
6.【解析】因为命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”是全称命题，所以它的否定是“过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的”.
答案：过平面外一点与已知平面平行的直线中，有些直线是不在同一平面内的
7.【解析】(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．
(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．
(3)“x0∈Q，＝5”是特称命题，其否定为“x∈Q，x2≠5”，真命题．
(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m0，使得方程x2＋2x－m0＝0没有实数根”，真命题．
【一题多解】（1）“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“x∈{x|x是质数},x不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“x0∈{x|x是二次函数的图象}，x不是开口向上”，真命题.(3)“x0∈Q，＝5”是特称命题，其否定为“每一个有理数的平方不等于5”，真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“m0∈R,x2+2x-m0≠0”，真命题．
8.【解析】(1)这一命题的否定形式是q：对所有实数x，都有x2＋x＋1>0.利用配方法可以证得q是一个真命题．
(2)这一命题的否定形式是r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知，r是一个假命题．
(3)这一命题的否定形式是s：存在α0∈R，使sin2α0＋cos2α0≠1.由于命题s是真命题，所以s是假命题．
【挑战能力】
【解析】因为命题“存在x0∈R,>0”的否定为“对于任意x∈R,ax2-2ax-3≤0恒成立”，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知该命题的否定是真命题.事实上，当a=0时，对任意的x∈R，不等式-3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2-2ax-3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ=4a2+12a≤0，即-3≤a<0；
综上知,实数a的取值范围是［-3，0］.
