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知能巩固提升(二十四)/课后巩固作业(二十四)
（时间：30分钟满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.函数f(x)在［a,b］上的图象连续不断，则下列说法正确的是( )
(A)f(x)的极值点一定是最值点
(B)f(x)的最值点一定是极值点
(C)f(x)在［a,b］上可能没有极值
(D)f(x)在［a,b］上可能没有最值
2.函数f(x)=x3-3x+3，当x∈［-,］时，函数f(x)的最小值是( )
(A) (B)1 (C)-5 (D)
3.（2012·临沂高二检测）函数y=x+2cosx在［0,］上取最大值时，x的值
为( )
(A)0 (B) (C) (D)
4.（2011·湖南高考）设直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )
(A)1 (B) (C) (D)
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.函数f(x)=ax4-4ax2+b(a＞0,1≤x≤2)的最大值为3，最小值为-5，则a= _______,b=_______.
6.(易错题）已知f(x)=-x2+mx+1在区间［-2,-1］上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知函数f(x)=x3-4x+4.
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间［-3,4］上的最大值和最小值．
8.若方程3x4-4mx3+1=0没有实数根，求实数m的取值范围．
【挑战能力】
（10分）已知f(x)=x2-alnx,求f(x)在［1,+∞）上的最小值.
答案解析
1.【解析】选C.函数最值可在极值点处取得，也可在端点处取得，所以A，B不正确，当f(x)在［a，b］上单调或f(x)为常数函数时，f(x)在［a,b］上无极值，故C正确，闭区间［a,b］上f(x)一定有最值，所以D不正确.
2.【解析】选B.令f′(x)=3x2-3=0，
得x1=-1，x2=1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
-
(-,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
5
↘
1
↗
由上表可知当x=1时，f(x)取最小值1.
3.【解析】选B.∵y′=1-2sinx,
解y′＞0得sinx＜，故0≤x＜，解y′＜0
得sinx＞，故＜x≤,
∴原函数在［0, )上单调递增,
在（,］上单调递减,
当x=时函数取极大值,
同时也为最大值.
4.【解题指南】用转化的思想：直线x=t与函数f(x)=x2，g(x)=lnx的图象分别交于M，N，而|MN|的最小值实际是函数F(t)=t2-lnt(t＞0)时的最小值．
【解析】选D.由题意，设|MN|=F(t)=t2-lnt(t＞0)，
令F′(t)=2t-1t=0，得t=或t=-(舍去)．
F（t)在(0,)上单调递减，在(,+∞)上单调递增，
故t=时，F(t)=t2-lnt(t＞0)有极小值，也为最小值.即|MN|达到最小值，故选D.
【变式训练】曲线y=3-x2(x＞0)上与定点P(0,2)距离最近的点的坐标为______.
【解析】设曲线上任一点Q(x,y)，且|PQ|的平方为f(x)=(x-0)2+(y-2)2=x2+(1-x2)2=x4-x2+1（x＞0），
则f′(x)=4x3-2x=2x(2x2-1)，令f′(x)=0，
得x1=0，x2=,x3=-.
∵x＞0,∴x=.
令f′(x)＞0，得x∈(,+∞)；
令f′(x)＜0，得x∈(0, ).
∴f(x)在(0, )上单调递减，在(,+∞)上单调递增，
∴f(x)的极小值，也为最小值为f()=()4-()2+1=.
此时点Q(,).
答案:( ,)
5.【解析】令f′(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2)=0，
得x1=0,x2=,x3=-.
又∵1≤x≤2,∴x=.
又f(1)=a-4a+b=b-3a，f(2)=16a-16a+b=b，
f()=b-4a，
∵a＞0,∴∴a=2,b=3.
答案:2 3
【方法技巧】求函数在闭区间上的最值时的技巧
求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．
6.【解析】f′(x)=m-2x,令f′(x)=0,得x=.
由题设得-2＜＜-1,故m∈(-4,-2).
答案:(-4,-2)
【误区警示】本题极易扩大极值点的范围得到m∈［-4,-2］，这是因为由极值定义，不难发现极值点在区间［-2,-1］的内部（即不能是区间［-2,-1］的端点），而函数f(x)的最值是函数f(x)在x的某个区间上的所有函数值比较而言的.
7.【解析】(1)f′(x)=x2-4,
解方程x2-4=0,得x=-2或x=2.
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
↘
-
↗
从上表可看出，当x=-2时，函数有极大值，且极大值为；当x=2时，函数有极小值，且极小值为-.
(2)f(-3)=×(-3)3-4×(-3)+4=7，
f(4)=×43-4×4+4=，
与极值比较，得函数在区间［-3,4］上的最大值是，最小值是-.
8.【解析】令f(x)=3x4-4mx3+1，
则f′(x)=12x3-12mx2=12x2(x-m)．
令f′(x)＞0，得x＞m；令f′(x)＜0，得x＜m.
∴y=f(x)在(-∞,m)上单调递减，在(m,+∞)上单调递增，即函数在x=m处取得极小值，同时也是函数在定义域R上的最小值，f(m)=-m4+1.
要使方程没有实数根，如图，
应有f(m)=-m4+1＞0,解得-1＜m＜1.
【挑战能力】
【解析】f′(x)=2x-
①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在［1,+∞）上单调递增，故f(x)min=f(1)=1；
②当a＞0时，令f′(x)=0得
x1=- (舍去)，x2=.
若≤1即0＜a≤2时，f(x)在［1,+∞）上单调递增，故f(x)min=f(1)=1;
若＞1即a＞2时，f′(x),f(x)随x的变化情况如下表：
x
(1,)
(,+∞)
f′(x)
负
0
正
f(x)
减
极小值
增
故在x=时f(x)取极小值也为最小值,
∴f(x)min=f()=-ln.
综上所述：当a≤2时，f(x)min=f(1)=1;
当a＞2时，f(x)min=f()=-ln.
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知能巩固提升(二十五)/课后巩固作业(二十五)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
（A）13万件 （B）11万件
（C）9万件 （D）7万件
2.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( )
3.若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为( )
（A）2πr2 （B）πr2
（C）4πr2 （D）πr2
4.横梁的强度和它的矩形横断面的高的平方与宽的乘积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为( )
(A)d,d (B)d,
(C)d,d (D)d,d
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_________千米处．
6.(易错题）现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为_________.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（2012·怀化高二检测)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在
2012年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费用t万元之间满足3－x与t＋1成反比例．如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的固定投资为3万元，每生产1万件化妆品需再投资32万元，当将每件化妆品的零售价定为“年平均成本的150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之和时，当年的产销平衡．
(1)将2012年的年利润y万元表示为促销费用t万元的函数；
(2)该企业2012年的促销费用投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝收入－生产成本－促销费用)
8.（2012·长沙模拟)“5·12”汶川大地震是华人心中永远的痛！在灾后重建中拟在矩形区域ABCD内建一矩形(与原方位一样)的汶川人民纪念广场(如图)，另外△AEF内部有一废墟作为文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝
80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，如何设计才能使广场面积最大？
【挑战能力】
（10分）甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？
答案解析
1.【解析】选C.∵y′＝－x2＋81，令y′=0，得x=9或x=-9（舍去）,
∴当x>9时，y′<0，当x∈(0,9)时，y′>0，
∴函数y＝－x3＋81x－234在(0,9)上递增，
在(9，＋∞)上递减．故当x＝9时，y有最大值．
2.【解析】选A.加速过程，路程对时间的导数逐渐变大，图象下凸；减速过程，路程对时间的导数逐渐变小，图象上凸，故选A.
3.【解析】选A.如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，
则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.
∴S侧＝2πR·l
＝2πrcosθ×2rsinθ
＝4πr2sinθcosθ.
∴由S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，
得θ＝.
∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，
且S侧最大值为2πr2.
4.【解析】选C.如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y,
由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大.
∵y2=d2-x2,∴xy2=x(d2-x2)(0＜x＜d).
令f(x)=x(d2-x2)(0＜x＜d),
求导数,得f′(x)=d2-3x2.令f′(x)=0,
解得x=d或x=-d(舍去).
当0＜x＜d时,f′(x)＞0；当d＜x＜d时,f′(x)＜0,因此，当x=d时,f(x)取得极大值，也是最大值.
综上，当矩形横断面的高为d，宽为d时，横梁的强度最大.
5.【解析】设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数，于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
∴两项费用之和为y＝(x>0)，
y′＝－，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．
当05时，y′>0.
∴当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
∴当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
6.【解析】设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为y元.依题意得y＝500x(960＋0.6x2)＝＋300x，
且由题意知，函数的定义域为(0,35］，
即y＝＋300x(0则y′＝-＋300，
令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35］，
所以函数在定义域内没有极值点．
又当0所以y＝＋300x在(0,35］上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
答案：35海里/时
【误区警示】解y′＝0得到的方程的根要注意是否在函数定义域内，不在应舍去.
7.【解析】(1)由题意得3－x＝，
将t＝0，x＝1代入得k＝2，
∴x＝3－.
又由题意知售价为.
所以年利润
y＝x－(3＋32x)－t
＝16x－＝16（3－）－
＝50－（）＝(t≥0)．
(2)y′＝－＋
令y′＝0，解得t＝7或t＝－9(舍去)．
当0≤t<7时，y′>0；当t>7时，y′<0，
所以t＝7时，y取得最大值，且ymax＝42，
所以当促销费用定为7万元时，企业的年利润最大．
8.【解题指南】以A点为坐标原点，AB，AD所在的直线为坐标轴，建立直角坐标系，得直线EF的方程，即EF上点的横纵坐标的关系，进而可以得到矩形面积S与直线EF上任意一点P的横坐标的函数解析式，注意点P的横坐标的取值范围，利用导数解决最值问题.
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，
∴线段EF的方程是＝1(0≤x≤30).
在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S m2，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n).
又∵＝1(0≤m≤30)，∴n＝20(1－)，
∴S＝(100－m)(80－20＋)
=-m2+m+6 000(0≤m≤30)，
∴S′=-m+，令S′=0，得m=5.
则S=-m2+m+6 000在［0,5］上单调递增，在［5,30］上单调递减，∴函数在m=5时取得极大值，也是最大值,此时.
故当矩形广场的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，广场的面积最大．
【一题多解】该题也可利用二次函数的最值求解：
S＝(100－m)(80－20＋)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30),
∴当m＝5时，S有最大值，此时.
故当矩形广场的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，广场的面积最大．
【挑战能力】
【解析】方法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总费用最省，设C点距D点x km,
则∵BD=40,AC=50－x,∴BC=.
又设总的水管费用为y元，依题意有
y=3a(50－x)+5a(0y′=－3a+,令y′=0,解得x=30.
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km),
∴供水站建在A,D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
方法二：设∠BCD=θ,则BC=,CD=(0<θ<),AC=50-.
设总的水管费用为f(θ),依题意，有
f(θ)=3a(50－)+5a·
=150a+40a·，
∴f′(θ)=40a·
=40a·，
令f′(θ)=0,得cosθ=，
根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,
∴,∴AC=50－=20(km),
即供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.
【方法技巧】求函数最值方法的选取技巧
(1)二次函数在某个区间上的最值问题可以利用其在该区间上的单调性求解；
(2)y=x+型函数可以考虑利用基本不等式求最值，但“等号”不成立时，应考虑函数在相应区间上的单调性来求解；
(3)导数求最值是简洁实用的方法，但要注意判断函数在给定的区间上是否能取到最值.
