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知能巩固提升(九)/课后巩固作业(九)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2012·珠海高二检测)椭圆4x2+9y2=36的焦点坐标是( )
(A)（0,±3） (B)(0,±)
(C)(±3,0) (D)(±,0)
2.已知椭圆焦点在y轴上，若焦距为4，则m等于( )
（A）8 （B）7 （C）5 （D）4
3.（2012·瑞安高二检测）若椭圆的一个焦点坐标为(0,1),则实数m的值为( )
（A）1 （B）2 （C）4 （D）6
4.（2012·台州高二检测）设F1，F2是椭圆的两焦点，M为椭圆上的点，若MF1⊥MF2，则△MF1F2的面积为( )
（A）4 （B）8 （C） （D）
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.已知F1，F2是椭圆的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为_______.
6.（易错题）已知椭圆的方程为焦点在x轴上，则m的取值范围是_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.设F1，F2分别是椭圆C: (a＞b＞0)的左右焦点.设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标.
8.△ABC的三边a,b,c成等差数列且a>b>c，A，C两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程．
【挑战能力】
(10分)已知P是椭圆上的任意一点，F1,F2为椭圆的两焦点.
（1）求|PF1|·|PF2|的最大值；
（2）求|PF1|2+|PF2|2的最小值；
（3）求∠F1PF2的最大值.
答案解析
1.【解析】选D.椭圆方程化为
∴c2=9-4=5,∴c=,
又∵焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±,0).
2.【解析】选A.椭圆焦点在y轴上，
∴a2＝m－2，b2＝10－m.
又∵c＝2，∴m－2－(10－m)＝22＝4，∴m＝8，经检验，m=8符合题意.
【举一反三】将原题中“焦点在y轴上”去掉，试求m的值.
【解析】分两种情况：
(1)当椭圆焦点在x轴上时，a2＝10-m，b2＝m-2.
又∵c＝2，∴(10－m)-（m－2）＝22＝4，∴m＝4
（2）当椭圆焦点在y轴上时，a2＝m－2，b2＝10－m.
又∵c＝2，∴m－2－(10－m)＝22＝4，∴m＝8.
经检验，m=4或8符合题意，
所以m的值是4或8.
3.【解析】选D.由椭圆的焦点为(0,1)知,a2=m,b2=5,
且a2-b2=1,即m-5=1,∴m=6.
4.【解题指南】根据椭圆的定义求出|MF1|+|MF2|的值，再利用条件△MF1F2为直角三角形和整体化的方法求出|MF1|·|MF2|即可.
【解析】选A.由椭圆的定义，得|MF1|+|MF2|=6，
所以(|MF1|+|MF2|)2
=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1||MF2|=36.
又因为△MF1F2为直角三角形，
所以|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2.
而|F1F2|=，可求得|MF1||MF2|=8,
所以
5.【解析】根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.
答案：6
6.【解析】由m2<16且m≠0，得－4答案：－4【误区警示】解题时容易忽略“m≠0”的情形.
7.【解析】由点在椭圆上,得
又2a=4，所以椭圆C的方程为焦点坐标分别为(-1，0)，(1,0).
8.【解析】设B点的坐标为(x，y).
∵a，b，c成等差数列，
∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝4>|AC|.
由椭圆的定义知，点B在以A，C为焦点，并且2a＝4,2c＝2，的椭圆上，
所以，椭圆的方程是
又∵a>b>c，∴|BC|>|AB|，∴B点的轨迹为椭圆的左半部分，且B点不在x轴上，
∴点B的轨迹方程为 (－2【变式训练】已知P为曲线C上一动点，F1，F2为两定点，且|F1F2|＝，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，求动点P所在的曲线C的方程．
【解析】由已知得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝
∴动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆且2c＝2，
又∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝9.
当椭圆的焦点在x轴上时，
椭圆的标准方程是
当椭圆的焦点在y轴上时，
椭圆的标准方程是
故所求的曲线C的标准方程是或
【挑战能力】
【解析】（1）∵椭圆方程为
∴a=2,b=1,∴c=,即|F1F2|=2.
又∵|PF1|+|PF2|=2a=4,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“＝”，此时点P是短轴顶点，
∴|PF1|·｜PF2｜的最大值为4.
（2）∵|PF1|2+|PF2|2≥2|PF1|·|PF2|,
∴2(|PF1|2+|PF2|2)≥|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2,
∴|PF1|2+|PF2|2≥（|PF1|+|PF2|）2=×16=8,
当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“＝”.
∴｜PF1｜2+|PF2|2的最小值为8.
（3）在△F1PF2中，由余弦定理，得
由(1)可知0<|PF1|·｜PF2｜≤4,
∴cos∠F1PF2≥-,
又0≤∠F1PF2<π,
∴当cos∠F1PF2=-时，∠F1PF2取最大值π.
【方法技巧】揭秘焦点三角形
椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广，探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点，是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中，常用到以下结论:
(1)|MF1|+|MF2|=2a;
(2)|MF1||MF2|≤
(3)|MF1||MF2|=
(4)
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知能巩固提升(十)/课后巩固作业(十)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2011·新课标全国高考)椭圆的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
2.一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )
（A）
（B）或
（C）或
（D）椭圆的方程无法确定
3.（2012·天津高二检测）过椭圆 (a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
4.（2012·郑州高二检测）设椭圆（a>b>0）的离心率e=，右焦点
F（c，0）,方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P（x1,x2）在( )
（A）圆x2+y2=2上
（B）圆x2+y2=2内
（C）圆x2+y2=2外
（D）以上三种情况都有可能
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.椭圆C对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是，则椭圆C的标准方程是_______.
6.（2012·台州高二检测）已知椭圆C： (a>0,b>0)，F1，F2是椭圆C的两个焦点，若点P是椭圆上一点，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于椭圆的短轴长，则椭圆C的离心率为_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（易错题）已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
8.如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右
焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的
横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求
椭圆的离心率．
【挑战能力】
(10分)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=.一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）试判断该方程是否为椭圆方程，若是，
请写出其长轴长、焦距、离心率.
答案解析
1.【解析】选D.由题意得a＝4，c2＝8，∴c＝2，
∴离心率为
2.【解析】选C.由题意得a＝5且c＝3，∴b＝4.
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为
当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为
∴该椭圆的标准方程是或
【变式训练】已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选A.由x2＋y2－2x－15＝0，
知r＝4＝2a?a＝2.
又因为，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的标准方程为
3.【解析】选B.由题意知点P的坐标为或.∵∠F1PF2=60°,
∴，即
∴∴e=或e=- (舍去).
【举一反三】若把题中条件“∠F1PF2=60°”改为“∠F1PF2=30°”，则结论如何？
【解析】由题意知点P的坐标为或.
∵∠F1PF2=30°,∴
即
∴e=-2-（舍去）或e=2-.
【方法技巧】解读离心率
（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定.
（2）只要列出a，b，c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）.
（3）应给予“焦点三角形”足够关注.
4.【解题指南】判断点P(x1,x2)与圆的位置关系，就是判断点P与圆心（0,0）的距离与半径的大小关系，利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式，再判断位置关系.
【解析】选B.由题意
∴点P（x1,x2）在圆x2+y2=2内.
5.【解析】由题意得
∴b=3,
∴所求方程为或
答案：或
6.【解析】由题知三角形PF1F2是等腰三角形
且|PF2|=|F1F2|=2c，
又因为F2到直线PF1的距离等于椭圆的短轴长，
所以
根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a,
所以整理得5a2－2ac－7c2=0,
两边同除以a2，得5－2e－7e2=0，
解得e=－1（舍去）或e=.
答案：
【方法技巧】椭圆离心率的求解运算技巧
所谓求椭圆的离心率，即求的值.解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a，b，c之间的关系，如特殊三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－b2等关系都与离心率有直接联系.同时，a，b，c是平方关系，所以，在求e值时当遇到形如ma2+kac+nc2=0的齐次式时，可在等式的两边同除以a2，利用e=的关系直接得到关于e的方程求解.
7.【解析】椭圆方程可化为
因为
所以
即a2＝m，
由e＝得，，所以m＝1.
所以椭圆的标准方程为所以a＝1，b＝，c＝，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(，0)；四个顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1(0，－)，B2(0，)．
8.【解析】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距长分别为a，b，c.则焦点为
F1(－c,0)，F2(c,0)，
M点的坐标为(c，b)，
则△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即
而|MF1|＋|MF2|＝
整理得3c2＝3a2－2ab.
又因为c2＝a2－b2，所以3b＝2a，
所以
所以
所以e＝.
【一题多解】设椭圆方程为(a>b>0)，
则M(c，)．代入椭圆方程，得
所以所以即e＝
【挑战能力】
【解析】（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），
由题设可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=.由椭圆定义知动点P的轨迹为椭圆.
不妨设动点P的轨迹方程为(a>b>0),
则a=,c=1,b==1,
∴曲线E的方程为
(2)由曲线E的方程为知是椭圆的方程，其长轴长为2，焦距为2，离心率为.
【举一反三】若把题中条件“∠CAB=90°”改为“∠CAB=45°”则结论如何？
【解析】（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）.
因为∠CAB=45°，
所以
由题设可得|PA|+|PB|=|CA|+|CB|
由椭圆定义知，动点P的轨迹为椭圆.
不妨设动点P的轨迹方程为(a>b>0),
则
c=1,
∴曲线E的方程为
(2)由曲线E的方程为知，其为椭圆方程，且长轴长为焦距为2，离心率为
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知能巩固提升(十一)/课后巩固作业(十一)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.直线y=kx－k＋1与椭圆的位置关系为( )
（A）相切 （B）相交
（C）相离 （D）不确定
2.已知椭圆(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若则椭圆的离心率是( )
（A） （B） （C） （D）
3.（2012·浏阳高二检测）过点M（-1，）的直线l与椭圆x2+2y2=2交于A，B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OM的斜率为k2,则k1k2的值为( )
（A）2 （B）-2 （C） （D）-
4.（2012·沈阳高二检测）若点（x,y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为
( )
（A）1 （B）-1
（C） （D）以上都不对
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.（易错题）已知椭圆C的方程为(a≥2b>0)，则椭圆C的离心率的取值范围是_______.
6.F1,F2是椭圆的两个焦点,过F2作倾斜角为的弦AB,则△F1AB的面积为_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知椭圆过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0）.
（1）当m=3时，判断直线l与椭圆的位置关系;
（2）当m=3时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值.
8.（2011·陕西高考)设椭圆C:(a>b>0)过点（0，4），离心率为.
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标.
【挑战能力】
(10分)已知大西北某荒漠上A，B两点相距2 km，现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.
（1）试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程；
（2）农艺园的最大面积能达到多少？
（3）该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A，且l与AB成30°角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，因此，对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，则暂不加固的部分有多长？
答案解析
1.【解析】选B.直线y＝kx－k＋1恒过定点(1,1)．
又∵∴点(1,1)在椭圆内部，
∴直线y＝kx－k＋1与椭圆相交，故选B.
【变式训练】直线y＝x＋2与椭圆有两个公共点，则m的取值范围是
( )
（A）m>1 （B）m>1且m≠3
（C）m>3 （D）m>0且m≠3
【解析】选B.由
得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0,
Δ＝(4m)2－4(3＋m)×m>0，
解得m>1或m<0(舍去).又因为m≠3，
所以m 的取值范围为m>1且m≠3.
2.【解析】选D.如图，由于BF⊥x轴，
故xB＝－c，
设P(0，t)，
∴(－a，t)＝2(－c，－t).
∴a＝2c，∴，即e=.
3.【解析】选D.设A（x1,y1），B（x2,y2）.
则
②-①，得
（x2-x1）(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0,
即
而
故k1·k2=-.
4.【解题指南】根据式子的几何意义，结合图形知过定点（2，0）的直线与椭圆相切且斜率小于0时最小.
【解析】选C.表示椭圆上的点（x,y）与定点（2，0）连线的斜率.
不妨设=k，则过定点（2，0）的直线方程为y=k(x-2).
由得（k2+4）x2-4k2x+4k2-4=0.
令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)·（4k2-4）=0,
得k=±，
∴kmin=-,
即的最小值为-.
5.【解析】离心率
∵a≥2b，
又0答案：［,1)
【误区警示】求解时往往忽略椭圆离心率本身的范围而导致出错.
6.【解析】不妨设椭圆的右焦点为F2(1,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AB的方程为y＝x－1.
由得3x2-4x=0，
∴x1=0,x2=.
根据弦长公式得
椭圆的左焦点为F1(-1,0)到直线AB的距离
答案：
7.【解析】（1）由题可知当m=3时，直线l的方程为y=x+3.由得x2+6x+14=0.
∵Δ=36-4×14=-20<0,
∴原方程组无解，即直线l和椭圆无交点，
此时直线l和椭圆相离.
（2）设直线a与直线l平行，且直线a与椭圆相切，设直线a的方程为y=x+b,
联立得x2+2bx+2b2-4=0,
∴Δ=(2b)2-4(2b2-4)=0，解得b=±2,
∴直线a的方程为y=x±2.
所求P到直线l的最小距离等于直线l到直线y=x+2的距离
8.【解析】（1）将（0，4）代入C的方程得
∴b=4.又得
即
∴a=5，
∴C的方程为
（2）过点(3,0)且斜率为的直线方程为y=(x-3).
设直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线方程y=(x-3)代入C的方程，得即x2-3x-8=0，解得
∴AB的中点坐标
即中点坐标为
【一题多解】第（2）问另解：设直线与C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中点为(x0,y0).
将直线方程y=(x-3)代入C的方程，
得即x2-3x-8=0，
由根与系数的关系，得x1+x2=3，
将代入直线y=(x-3)，得
所以所求的中点坐标为
【挑战能力】
【解析】以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.则A（-1，0），B（1，0）.
（1）由题意可知，C，D两点在以A，B为焦点的一个椭圆上.
∵□的周长为8,∴2a=4,
而2c=2,∴b2=a2-c2=3.
故所求椭圆的标准方程为(y≠0),即为C，D两点的轨迹方程.
（2）易知：当C，D为椭圆的短轴端点时，农艺园的面积最大，其值为（3）求l:y=(x+1)被椭圆截得的线段长.设线段端点坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).
由
整理得13x2+8x-32=0,由根与系数的关系，得
∴弦长为
∴暂不加固的部分为 km.
【方法技巧】解答与椭圆有关的实际问题的方法技巧
解答实际应用问题时，关键是先将实际问题转化为数学模型（称为建模），然后用相关的数学知识和方法解答该数学问题，从而得到实际问题的答案．
对于与椭圆有关的实际问题，解答时要注意事物的实际含义与椭圆的几何性质的转化，同时注意充分利用椭圆方程对变量进行讨论，来解决实际问题．
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此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
知能巩固提升(十二)/课后巩固作业(十二)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
2.(2012·北京高二检测）双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0，3），则k的值是( )
（A）-1 （B）1
（C） （D）
3.k＞9是方程表示双曲线的( )
（A）充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分又不必要条件
4.（2012·深圳高二检测）若椭圆和双曲线1的共同焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )
(A)21 (B) (C)4 (D)3
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.(2011·上海高考)设m为常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m=_______.
6.若方程表示双曲线，则k的取值范围是_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.(2012·杭州高二检测）已知A(-7,0),B(7,0),C(2,-12)，椭圆过A、B两点且以C为其一个焦点，求椭圆另一个焦点的轨迹方程.
8.已知与双曲线共焦点的双曲线过点求该双曲线的标准方程．
【挑战能力】
(10分)双曲线满足如下条件：
(1)ab＝；
(2)过右焦点F的直线l的斜率为，交y轴于点P，线段PF交双曲线于点Q，且|PQ|∶|QF|＝2∶1.求双曲线的方程．
答案解析
1.【解析】选D.由题意知点P的轨迹是双曲线靠近B点的右支，且c＝5，a＝3，∴b＝4.
∴点P的轨迹方程是
2.【解析】选A.由题知双曲线焦点在y轴上，且c=3,
双曲线方程可化为
∴k=-1.
3.【解析】选B.当k＞9时，9－k<0，k－4>0，方程表示双曲线．当k<4时，9－k>0，k－4<0，方程也表示双曲线．
∴k>9是方程表示双曲线的充分不必要条件．
4.【解析】选A.由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝10.①
由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝4. ②
由(①2-②2)÷4得|PF1|·|PF2|＝21.
【变式训练】设F1、F2为曲线C1：的左、右两个焦点，P是曲线C2：与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为( )
(A) (B) (C)1 (D)
【解析】选B.由椭圆C1与双曲线C2的标准方程可知，两曲线的焦点相同.不妨设P点在双曲线C2的右支上.由椭圆和双曲线的定义可得
解得
又
由余弦定理得：
5.【解析】由题知c=5，根据双曲线中“a，b，c”的关系知m=25-9=16.
答案：16
6.【解析】方程表示双曲线需满足(5－k)(k+2)>0，解得-2答案：(-2,5)
7.【解析】设椭圆的另一个焦点为P（x,y),
则由题意知|AC|+|AP|=|BC|+|BP|，
∴|BP|-|AP|=|AC|-|BC|=2＜|AB|=14,
所以点P的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，且c=7,a=1,
∴b2=c2-a2=48.
∴所求的轨迹方程为
8.【解题指南】由共焦点可求出c，然后用待定系数法求解，要注意检验.
【解析】已知双曲线据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，∴c＝5.
设所求双曲线的标准方程为
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为
∵点在双曲线上，
化简得，4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或
又当时，b2＝25－a2＝不合题意,舍去，故a2=1,b2=24.
∴所求双曲线的标准方程为
【举一反三】本题中把双曲线改为椭圆点改为点Q(2,1),其他条件不变，如何求解？
【解析】由椭圆方程得焦点为和故设所求双曲线的标准方程为将Q(2,1)坐标代入得
∴a2＝2或a2＝6>c2(舍去),∴a2=2,b2=1．
故所求方程为
【方法技巧】待定系数法求双曲线标准方程的步骤
(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程为或或mx2-ny2=1(mn＞0)．
(3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c（或m,n）的方程组．
(4)得方程：解方程组，将a，b（m,n）代入所设方程即为所求.
【挑战能力】
【解析】设右焦点F(c,0)，点Q(x，y)，
设直线l：
令x＝0，得
则有
所以
∴x＝2(c－x)且
解得：
即且在双曲线上，
又∵a2＋b2＝c2，
解得又由ab＝，可得
∴所求双曲线方程为
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知能巩固提升(十三)/课后巩固作业(十三)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2011·湖南高考)设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
2.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）
3.双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
(A) (B)2 (C) (D)1
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y=x，点P（,y0）在该双曲线上，则=( )
（A）-12 (B)-2 (C)0 (D)4
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.若双曲线的离心率为2，则a等于_______.
6．（2012·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为_______．
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.求这两曲线的方程.
8.求一条渐近线方程是3x+4y=0且过点(,3)的双曲线的标准方程，并求此双曲线的离心率.
【挑战能力】
(10分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，）.
（1）求双曲线方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：
（3）求△F1MF2的面积.
答案解析
1.【解析】选C.由双曲线方程可知渐近线方程为y=±，故可知a=2.
【变式训练】（2012·天水高二检测）双曲线的渐近线方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选B.令得渐近线方程为.
2.【解析】选D.设双曲线方程为所以其渐近线方程为y＝因为点(4，－2)在渐近线上，所以，根据c2＝a2＋b2，可得解得故选D.
3.【解析】选A.双曲线的焦点为(4,0)、(－4,0),渐近线方程为y＝
由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等,则
4.【解题指南】根据双曲线的渐近线方程求出b的值，然后把P点坐标求出来，再利用数量积的运算律计算.
【解析】选C.由题意：
∴双曲线方程为
∵点在该双曲线上，
∴y0=±1,
∴P,又F1(-2,0),F2(2,0)，
∴=-1+1=0，
或=-1+1=0.
5.【解析】由题知
所以a2=3,又a>0,所以a=.
答案：
6．【解析】由题意，双曲线的焦点在x轴上，
所以所以m=2.
答案:2
7.【解析】由已知：c＝，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实轴、半虚轴长分别为m，n，
则
解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.
∴椭圆方程为，双曲线方程为
8.【解析】由题意可设双曲线的方程为9x2-16y2=λ（λ≠0)，又点在双曲线上，则
得λ=-9，即双曲线的方程为9x2-16y2=-9，
标准方程为
由此可知离心率
【举一反三】求与双曲线有相同的渐近线，且过点（2,2）的双曲线的标准方程.
【解析】由题意，设双曲线的标准方程为
∵双曲线过点（2，2），
∴双曲线的标准方程为
【挑战能力】
【解析】(1)∵e=，
∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵双曲线过点∴16-10=λ，即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6.
（2）由（1）可知，双曲线中a=b=，∴c=，
∵点（3，m）在双曲线上，∴9-m2=6，m2=3，
故
（3）△F1MF2的底|F1F2|=，
△F1MF2的高h=|m|=，
【一题多解】第（2）问另解：
∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0，
【方法技巧】巧用向量解决垂直问题
圆的直径所对的圆周角为直角是平面几何知识在解析几何中常用的性质，在解析几何中处理垂直问题多用向量的点乘积为0解决，其优势在于将垂直关系直接转化为坐标关系，又避免了利用斜率时要讨论斜率是否存在的弊端，是解决垂直问题的首选方法.
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知能巩固提升(十四)/课后巩固作业(十四)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.(2012·广州高二检测)设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )
(A)y=±x (B)y=±x
(C)y=±2x (D)y=±x
2.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
(A)(1,2］ (B)(1,2)
(C)［2,+∞) (D)(2,+∞)
3.斜率为2的直线l与双曲线交于A，B两点，且|AB|=4，则直线l为( )
（A） （B）
（C） （D）以上都不对
4.(2012·合肥高二检测)过双曲线的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M）交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是( )
(A)2 (B) (C) (D)
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为_______.
6.设双曲线的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______.
6.（2012·湖北高考）如图，双曲线
(a,b＞0)的两顶点为A1，A2，
虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.
若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，
切点分别为A，B，C，D.则
（1）双曲线的离心率e=_______;
（2）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.（2011·上海春招）已知双曲线
（1）求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程；
（2）直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A，B两点.当时，求实数m的值.
8.已知双曲线C：的离心率为，且
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
【挑战能力】
(10分)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（2）已知点且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值.
答案解析
1.【解析】选B.由题意知：2b＝2,2c＝，则可求得a＝，则双曲线方程为故其渐近线方程为y＝±
2.【解析】选C.根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝，即则故有e2≥4，e≥2.故选C.
【变式训练】已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率k的取值范围是_______.
【解析】由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，
答案：
【方法技巧】巧用图形判断直线斜率范围
利用数形结合，求出渐近线和切线斜率，利用图形观察直线变化时与曲线交点的情况确定k的取值范围：
设过焦点F(c,0)的直线y＝k(x－c)，双曲线
①当k＝±时，直线和双曲线相交，有一个交点;
②当－③当k<－或k>时，直线和双曲线一支相交，有两个交点．
3.【解析】选C.设直线l的方程为y=2x+m，代入双曲线方程中得：10x2+12mx+3m2+6=0，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，
则
解得m=±
∴直线l的方程为y=2x±
4.【解析】选B.由题可知|OM|=a,且△OPF为等腰直角三角形，∴|OM|=|OF|,即a=c,∴
5.【解析】由a＝4，b＝3，得c＝5，设左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝
(a＋c＋c－a)＝c＝5，
由双曲线的定义得|PF1|＝2a＋|PF2|＝8＋5＝13.
答案：13
6.【解析】双曲线的右顶点为
A(3,0)，右焦点F(5,0)（由于两渐近线
关于x轴对称，因此设与任何一条渐近
线平行的直线均可）
一条渐近线为y＝－x，
则BF所在直线为y＝－(x－5)，
由得
答案：
6.【解析】（1）化简得:a2+ac-c2=0,即e2-e-1=0.又e>1,则
（2）由题意知:S1=2bc,在△OF2B2中连接OA，则AF2=b,矩形ABCD边长则
答案: （1） （2）
7.【解析】（1）双曲线C1的焦点坐标为设双曲线C2的标准方程为
则解得
∴双曲线C2的标准方程为
(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.
设A（x1,2x1),B(x2,-2x2).
得3x2-2mx-m2=0,
由Δ=16m2＞0,得m≠0.
∵
8.【解析】(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2.
所以双曲线C的方程为
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5.故m＝±1.
【挑战能力】
【解析】（1）设圆C的圆心坐标为(x,y)，由题设条件知
化简得L的方程为
（2）过M，F的直线l方程为y=-2(x-)，
将其代入L的方程得
解得
故l与L交点为
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故
||MT1|-|FT1||=|MF|=2，
||MT2|-|FT2||＜|MF|=2,若P不在直线MF上，
在△MFP中有||MP|-|FP||＜|MF|=2.
故||MP|-|FP||只在T1点取得最大值2.
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知能巩固提升(十五)/课后巩固作业(十五)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.抛物线y2=-16x的焦点坐标是( )
（A）(0,4) （B）(0，-4) （C）(4,0) （D）(-4,0)
2.(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是( )
（A）y2=-8x （B）y2=8x
（C）y2=-4x （D）y2=4x
3.若动点P到定点(1,1)的距离与到直线2x+y-1=0的距离相等，则P点的轨迹是( )
（A）抛物线 （B）线段
（C）直线 （D）射线
4.抛物线y=ax2的准线方程为y=-1，则实数a的值是( )
（A） （B） （C）- （D）-
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.设抛物线y2=8x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_______.
6.（易错题）设抛物线的顶点在原点，其焦点在y轴上，又抛物线上的点P(k,-2)与焦点F的距离为4，则k等于_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.抛物线的焦点是双曲线4x2-9y2=36的左顶点，求抛物线的标准方程.
8.已知点P到F(4,0)的距离和到直线x=-5的距离相等，求点P的轨迹方程.
【挑战能力】
(10分)已知抛物线x2=4y，定点A(12,39)，点P是此抛物线上的一动点，F是该抛物线的焦点，求|PA|+|PF|的最小值.
答案解析
1.【解析】选D.根据抛物线方程y2=-2px(p>0)知-2p=-16，解得p=8，代入焦点坐标F(-,0)中得焦点坐标是(-4,0)，故选D.
2.【解题指南】根据准线方程求得p,则抛物线的标准方程可得.
【解析】选B.∵准线方程为x=-2，
∴=2，∴p=4，
∴抛物线的方程为y2=8x，故选B.
3.【解析】选A.因为点(1,1)不在直线2x+y-1=0上，故点的轨迹是以点(1,1)为焦点，以直线2x+y-1=0为准线的抛物线，故选A.
4.【解析】选A.由条件知a≠0，则y=ax2可以变形为x2=，由于准线是y=-1，可知a>0，抛物线标准方程可设为x2=2py(p>0)，2p=，则p=，又由于-=-1，知p=2，所以=2，解得a=，故选A.
5.【解析】抛物线y2=8x的准线为x=-2，根据抛物线的定义知点P到该抛物线的焦点的距离是6.
答案：6
6.【解题指南】
【解析】由抛物线定义知抛物线上的点P到焦点的距离等于点P到准线的距离,为4，由于点P的坐标为(k,-2)，可知准线是y=2，且抛物线开口向下，可设为x2=-2py(p>0)，准线是y=，所以=2，解得p=4，所以抛物线方程为x2=-8y，把y=-2代入抛物线方程解得x=±4，所以k=±4.
答案：±4
【误区警示】要准确判断抛物线的开口方向，巧设抛物线标准方程，否则容易求错抛物线标准方程.
7.【解析】双曲线方程4x2-9y2=36可化为左顶点坐标是(-3,0)，根据题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)且- =-3，解得p=6，所以抛物线标准方程为y2=-12x.
【举一反三】把题干中的左顶点改为右顶点，如何求抛物线的标准方程？
【解析】双曲线方程4x2-9y2=36可化为右顶点坐标是(3,0)，根据题意设抛物线方程为y2=2px(p>0)且=3，解得p=6，所以抛物线标准方程为y2=12x.
8.【解析】方法一：设点P（x,y），
则|PF|=
点P到直线x=-5的距离为d=|x+5|.
由题意知|PF|=d，∴
化简整理得y2=18x+9.
∴点P的轨迹方程为y2=18x+9.
方法二：由抛物线的定义知，点P的轨迹是以F(4,0)为焦点，以x=-5为准线的抛物线.
可知抛物线的顶点为(-,0)，焦点F(4,0)到准线x=-5的距离为4-(-5)=9,所以抛物线标准方程中p=9，
∴所求的轨迹方程为y2=18(x+)，
即y2=18x+9.
【挑战能力】
【解析】将x=12代入x2=4y,得y=36<39.
∴点A（12，39）在抛物线内部，抛物线
的焦点为（0，1），准线l为y=-1.
过P作PB⊥l于点B,
则|PA|+|PF|=|PA|+|PB|，
由图可知，当P，A，B三点共线时，|PA|+|PB|最小.
∴|PA|+|PB|的最小值为|AB|=39+1=40.
故|PA|+|PF|的最小值为40.
【方法技巧】解决抛物线问题时关注定义
在解决抛物线问题时关注抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离互化.平时学习中要注意利用转化的思想解决问题.
温馨提示：
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。
知能巩固提升(十六)/课后巩固作业(十六)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2011·广州高二检测）P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点，A，B，P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|，则有( )
（A）|PP1|=|AA1|+|BB1| （B）|PP1|=|AB|
（C）|PP1|＞|AB| （D）|PP1|＜|AB|
2.顶点在原点，焦点是F(0,5)的抛物线方程是( )
（A）y2=20x （B）x2=20y
（C） （D）
3.（2012·惠州高二检测）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为( )
（A）12 （B）1 （C）2 （D）4
4.（2011·山东高考）设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
(A)(0，2) (B)[0，2]
(C)(2，+∞) (D)[2，+∞)
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.已知点P（x,y）在抛物线y2=4x上，则的最小值为_______.
6.（易错题）对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P（a,0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.如图，已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点
F恰好是椭圆 (a>b>0)的右焦点，
且两曲线的公共点为A，B,且AB的连线
过焦点F，求椭圆的离心率.
8.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程.
【挑战能力】
(10分)设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°,求||.
答案解析
1.【解析】选B.PP1是梯形AA1B1B的中位线，故=
2.【解析】选B.由于焦点是(0,5)在y轴正半轴上，可设抛物线标准方程为x2=2py(p>0)，由条件知=5，解得p=10，则抛物线方程为x2=20y，故选B.
3.【解题指南】先表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px(p＞0)的准线与圆（x-3)2+y2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值.
【解析】选C.抛物线y2=2px(p＞0）的准线方程为x＝-，因为抛物线y2=
2px(p＞0)的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，所以3+=4,p=2,故选C.
4.【解题指南】本题可先求抛物线的准线，由圆与准线相交知圆心到准线距离小于圆的半径,因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，易知y0>2.
【解析】选C.设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相交知4＜r,因为点M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，所以r=|FM|=y0+2>4,∴y0>2.故选C.
5.【解析】
=x2+2x+4
=（x+1）2+3，
∵y2=4x≥0,∴x∈［0,+∞)，
∴当x=0时，zmin=4.
答案：4
6.【解题指南】本题可先设出点Q的坐标（x0,y0），再表示出|PQ|，然后利用x0的范围及|PQ|≥|a|恒成立的充要条件解答.
【解析】设Q（x0,y0），由|PQ|≥|a|，得结合得x0（x0+4-
2a）≥0.
因为x0≥0，所以x0+4-2a≥0，即a≤2+恒成立.
又由x0≥0得2+最小值为2，即a≤2.
答案：a≤2
【误区警示】解决圆锥曲线问题，不要忽视变量范围的应用，本题利用抛物线标准方程y2=2px(p＞0)中变量x的范围x≥0,通过变量范围构造不等式求解.本题巧用充要条件：a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min.
7.【解析】由题意得，抛物线的焦点F坐标为(,0)，AB是抛物线的通径，则|AB|=2p,且A(，p)，由于椭圆右焦点是抛物线的焦点，则=c，p=2c，从而得到A的坐标是(c,2c)，由于A在椭圆上，把A的坐标(c,2c)代入椭圆中，得化简得4a2c2=b2(a2-c2)=b4，整理得2ac=b2，而b2=a2-c2，所以2ac=a2-c2，即c2+2ac-a2=0，两边同时除以a2，得e2+2e-1=0，解得e=-1或e=--1（舍），
综上，椭圆的离心率是-1.
【举一反三】如果把题干中的抛物线方程改为y2=-2px(p>0)，椭圆的右焦点改为左焦点，如何求椭圆的离心率？
【解析】由题意得，抛物线的焦点F坐标为(-,0) ，AB是抛物线的通径，则|AB|=2p,且A(-,p)，由于椭圆左焦点是抛物线的焦点，则=c，p=2c，从而得到A的坐标是(-c,2c)，由于A在椭圆上，把A的坐标(-c,2c)代入椭圆中，得化简得4a2c2=b2(a2-c2)=b4，整理得2ac=b2，而b2=a2-c2，所以2ac=a2-c2，即c2+2ac-a2=0，两边同时除以a2，得e2+2e-1=0，解得e=-1或e=--1（舍），
综上，椭圆的离心率是-1.
8.【解析】设所求抛物线的标准方程为
x2=2py(p>0)，设A（x0,y0），由题知M（0，）.
∵|AF|=3,∴
∵|AM|=,∴
∴=8,代入方程=2py0得，
8=2p(3-),解得p=2或p=4.
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
【一题多解】设所求的抛物线标准方程为x2=2py(p>0)，设F(0,)，M(0,- )，由条件知|AF|=3,|AM|=,由两点间距离公式得
解得p=2或p=4，
代入抛物线标准方程得x2=4y或x2=8y.
综上，所求抛物线方程为x2=4y或x2=8y.
【挑战能力】
【解析】设A（x0,y0）,由题意可知F（,0）,
抛物线的准线为x=-,
由抛物线的定义得：
|AF|=x0+,
而x0=+|AF|cos60°.
解得
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知能巩固提升(十七)/课后巩固作业(十七)
（时间：30分钟 满分：50分）
一、选择题（每小题4分，共16分）
1.（2012·长沙高二检测）抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是( )
（A）(0,0) （B）(1,2)
（C）(2,1) （D）以上都不是
2.过(1,1)作直线与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有( )
(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条
3.设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点，则的值是( )
(A) (B)- (C)3 (D)-3
4.(2011·湖北高考)将两个顶点在抛物线y2=2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )
(A)n=0 (B)n=1
(C)n=2 (D)n≥3
二、填空题（每小题4分，共8分）
5.抛物线y2=x上的点到直线x-2y+3=0的距离最短的点的坐标是_______.
6.（易错题）过点A(1,a)的直线中，只有一条与抛物线y2=3x有唯一公共点，则a的取值范围是_______.
三、解答题（每小题8分，共16分）
7.已知顶点在原点，焦点在x轴的负半轴的抛物线截直线y=x+所得的弦长|P1P2|=，求此抛物线的方程.
8.已知A，B两点在抛物线C：x2＝4y上，点M（0,4）满足 (λ≠0)，求证：
【挑战能力】
(10分)给定抛物线C：y2=4x,F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点.
(1)设直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
(2)若|FA|=2|BF|，求直线l的方程.
答案解析
1.【解析】选A.抛物线上过焦点的弦中，通径最短，y2=4x的焦点为(1,0).令x=1代入y2=4x中得y=±2，抛物线上的点(1,2)或(1,-2)到焦点距离为2，而顶点(0,0)到焦点距离为1,故选A.
2.【解析】选C.由于点(1,1)在抛物线y2=x上，所以过点(1,1)作与抛物线只有一个交点的直线，可作2条，一条是与抛物线对称轴平行的直线，另一条是与抛物线相切的直线.
【变式训练】如果把题干中点(1,1)改为(2,1)，则作与抛物线只有一个交点的直线有( )
(A)4条 (B)3条 (C)2条 (D)1条
【解析】选D.由于点(2,1)在抛物线y2=x内部，所以过点(2,1)作与抛物线只有一个交点的直线，可作1条，是与抛物线对称轴平行的直线.
3.【解析】选B.设A(x1,y1)，B(x2,y2),可知p=1，
则
4.【解题指南】数形结合.
【解析】选C.根据抛物线的对称性，
正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，
且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°
和150°，如图,所以正三角形的个数n=
2，所以选C.
5.【解析】设与直线x-2y+3=0平行的直线方程为x-2y+m=0，与抛物线方程y2=x联立成方程组消去x得y2-2y+m=0，令Δ=(-2)2-4m=0,解得m=1，代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0，解得y=1，把y=1代入y2=x中，解得x=1，则所求点的坐标是(1,1).
答案:(1,1)
6.【解析】若点A在抛物线上，当x=1时，y=±，即抛物线上两点是(1,±)，根据题意得点A(1,a)在抛物线的内部，所以a∈(-,).
答案:(-,)
【误区警示】本题抓住唯一交点，判断点在抛物线内部，否则会导致相切的错觉.
7.【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+=0①，判别式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p＞0，解得
p＞0或p＜-3（舍）,
设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3+2p)，x1·x2=,代入弦长公式得
解得p=1或p=-4（舍）,
把p=1代入抛物线方程y2=-2px(p＞0)中，得y2=-2x.
综上，所求抛物线方程为y2=-2x.
【举一反三】把题干中焦点在x轴的负半轴改为正半轴，求抛物线的方程.
【解析】设抛物线方程为y2=2px(p＞0)，把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3-2p)x+=0①，判别式Δ=(3-2p)2-9=4p2-12p＞0，解得
p＞3或p＜0（舍）.设P1(x1,y1),P2（x2,y2）,则①中由根与系数的关系得x1+x2=-(3-2p),x1·x2=，代入弦长公式得
解得p=4或p=-1（舍）,
把p=4代入抛物线方程y2=2px(p＞0)中，得y2=8x,
综上，所求抛物线方程为y2=8x.
8.【证明】设A（x1，y1），B（x2，y2）.
∵(λ≠0)，∴M,A,B三点共线，即直线AB过点M.
设lAB:y＝kx＋4(易知斜率存在)，与x2＝4y联立得，
x2-4kx-16＝0，
Δ=（-4k）2-4×（-16）＝16k2+64>0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝4k，x1x2=-16，
＝x1x2＋（kx1＋4）（kx2＋4）
＝（1＋k2）x1x2＋4k（x1＋x2）＋16
＝（1＋k2）·（－16）＋4k·（4k）＋16＝0，
【一题多解】设A(x1,y1),B(x2,y2)，
∴M，A，B三点共线，即直线AB过点M,
设lAB:y=kx+4（易知斜率存在），与x2=4y联立得,
x2-4kx-16=0,
Δ=(-4k)2-4×(-16)=16k2+64＞0,
由根与系数的关系得x1+x2=4k,x1x2=-16.
要想证明则在三角形OAB中，满足OA⊥OB，所以三角形OAB满足勾股定理|AB|2=|OA|2+|OB|2，即(x2-x1)2+(y2-y1)2=，化简整理得x1·x2+y1·y2=0，把x1·x2=-16，y1y2=16代入验证成立.综上，
【挑战能力】
【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0),l:y=x-1,
联立消去y得x2-6x+1=0,
故圆心M(3,2)，半径
从而以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)显然直线l的斜率存在，故可设直线l:y=k(x-1),
联立消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
则x1x2=1,故 ………………………………………………………①
又|FA|=2|BF|,∴则x1-1=2(1-x2) ……………………………②
由①②得(x2=1舍去)，所以,得直线l的斜率为
∴直线l的方程为y=±(x-1).
【方法技巧】解决直线与抛物线相交问题
对于解决直线与抛物线相交问题，常用根与系数的关系或点差法求解，在使用根与系数的关系时，要使直线与抛物线相交，隐含着条件Δ＞0.
