课件54张PPT。1.1.1 命题 基础知识是形成学科能力的源头。本栏目根据课标要求，精准梳理，清晰呈现主要知识及内在关系。关键处合理挖空、易错处及时提醒，多策并举，夯实基础。请以此为载体，安排学生课前预习，以便打造高效课堂！1.了解命题的概念.
2.会将一些简单的命题改写为“若p，则q”的形式.
3.会判断一些简单命题的真假.1.本节课的重点是命题的结构形式及判断一些简单命题的真假.
2.本节课的难点是命题的概念.1.命题的概念
2.命题的结构形式
形式：“若p，则q”，其中，命题的条件是_，命题的结论是_.要求是能够_________.真命题是_________的语句.语句是_______.形式是_________________.假命题是_________的语句.定义命题分类判断真假判断为真陈述句语言、符号或式子判断为假pq1.“若p，则q”形式的命题一定是真命题吗？
提示：不一定.因为“若p，则q”只是反映命题结构的一种形式，它所表达的命题可能是真命题，也可能是假命题，如“若两个角相等，则这两个角是对顶角”就是假命题.2.陈述句一定是命题吗？
提示：不一定.命题是陈述句，但陈述句不一定是命题，如“朝中有人好做官，”这句话表达的是一种可能性，但不具有确定性.3.下列语句是命题的是________，其中是真命题的是________（只填序号）.
（1）lg0.01=-2；
（2）函数y=2x+1是一次函数；
（3）若a+b为偶数，则a，b分别为偶数；
（4）好人一生平安！【解析】（1）因为lg0.01=lg10-2=-2,所以“lg0.01=-2”是命题，且为真命题.
(2)因为函数y=kx+b(k≠0)是一次函数，所以y=2x+1是一次函数，所以“函数y=2x+1是一次函数”是命题，且为真命题.
(3)“若a+b为偶数，则a，b分别为偶数”是命题，但不是真命题,如a=3,b=5.
（4）“好人一生平安！”不是命题，因为这个语句不是陈述句.
答案：（1）(2)(3) （1）(2) 1.对命题的四点认识
（1）（2）命题基本结构
在数学中，命题的表达形式主要有以下几种：①“若p，则q”；②“如果p，那么q”；③“只要p，就有q”；④“当p，就有q”.
（3）命题的三种表达形式（4）命题的性质
一个命题要么是真，要么是假，但不能既真又假，也不能模棱两可、无法判断其真假.
2.猜想与命题的关系
有一些语句，虽然目前还不能判断它的真假，但是随着科学技术的发展与时间的推移，总能确定它们的真假.我们把这一类语句也算作命题，如“神农架有野人”，虽然目前还不能确定有没有野人，但随着时间的推移，人们是能够考察清楚的. 核心要点是提升学科素养的关键。本栏目突破核心要点，讲练结合，提醒认知误区，点拨规律技巧，循序渐进，培养主动思考意识，提升自主探究能力。请根据授课情况有选择地讲解，帮助学生理解突破教材重难点！ 命题的判断
【技法点拨】
1.判断一个语句为命题的程序开始输入语句陈述句能判断真假输出是命题输出不是命题结束否否是是2.命题中常见的判断词有“是”“不是”“在”“不在”“一定”“不一定”“至多”“至少”“等于”“不等于”“大于”“不大于”“属于”“不属于”“包含”“不包含”等.【典例训练】
1.下列语句是命题的序号为________.
（1）风景这边独好.
（2）求证 是无理数.
（3）函数 f(x)＝x2是R上的偶函数.
（4）火星上有水.2.判断下列语句是否为命题，并说明理由.
（1）若x<2，则x<1；
（2）x2+2x-1=0；
（3）存在实数x,使得不等式x2-3x+1<0成立.【解析】1.（1）不是命题.因为评价风景好坏的标准不一致，因此不能作出判断.
（2）不是命题.因为它是祈使句而不是陈述句，所以不是命题.
（3）是命题.因为由偶函数的定义可以作出判断，所以是命题.
（4）是命题.因为随着科学技术的发展和时间的推移是可以作出判断的,所以是命题.
答案：（3）（4）2.（1）是命题.因为由x<2不能推出x<1，可以作出判断.
（2）不是命题.因为字母的性质不明确,所以不是命题.
（3）是命题.因为根据不等式的解法我们可以求得不等式
x2-3x+1<0的解，所以是命题.【想一想】对于判断含有字母的语句是否为命题时，应注意什么？
提示：对于判断含有字母的语句是否为命题时，应注意字母的性质是否明确.若明确，则是命题，否则就不是命题，如本题2中（1）（3）字母性质明确，（2）字母性质不明确.【变式训练】判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)求证π是无理数；
(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
(3)一个数的算术平方根一定是负数.
【解析】(1)不是命题.因为它是祈使句.(2)是命题.因为它是陈述句，并且可以判断真假.(3)是命题.因为一个数的算术平方根为非负数. 命题真假的判断
【技法点拨】
命题真假的判定方法
（1）真命题的判定方法
真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.(2)假命题的判定方法
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.
另外，一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断.【典例训练】
1.（2011·新课标全国卷改编）已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：
p1：若|a＋b|>1，则θ∈［0， )；
p2：若|a＋b|>1，则θ∈( ，π］；
p3：若|a－b|>1，则θ∈［0， )；
p4：若|a－b|>1，则θ∈( ，π］.
其中的真命题是( )
（A）p1，p4 （B）p1，p3 （C）p2，p3 （D）p2，p42.给出下列几个命题：
（1）若x，y互为相反数，则x＋y＝0；
（2）若a>b，则a2>b2；
（3）若x>－3，则x2＋x－6≤0；
（4）若a，b是无理数，则 ab 也是无理数．
其中的真命题有________个.【解析】1.选A. |a＋b|>1?1＋1＋2cosθ>1?θ∈［0， )．
|a－b|>1?1＋1－2cosθ>1?θ∈( ，π］．
故p1，p4为真命题，p2，p3 为假命题.
2.（1）是真命题.（2）设a=1>b=-2，但a2
（3）设x=4>-3,但x2+x-6=14>0，假命题.
（4）设 ,则 是有理数，假命题.
答案：1【互动探究】若把本题1的命题p2中的条件改为|a＋b|<1，其他条件不变，此时p2是真命题还是假命题？
【解题指南】首先将模转化为向量的数量积，再利用相关知识求解.
【解析】因为|a＋b|<1?1＋1＋2cosθ<1?cosθ<-
?θ∈( ，π］，所以是真命题.【思考】解答题1的关键点是什么？
解答题2的常用方法是什么？
提示：（1）解答题1的关键点是利用向量基本运算转化为求三角不等式.
（2）解答题2常用的方法是特殊值法.【变式训练】下列命题正确的是( )
（A）{?}是空集
（B）{x∈N||x－1|<3}是无限集
（C）π是有理数
（D）x2－5x＝0的根是自然数【解析】选D.对于A来说，集合{?}表示的是只含有一个元素
的集合，不是空集. 对于B来说，{x∈N||x－1|<3}={0，1，2，3}，是有限集.对于C来说，显然是错误的.对于D来说，因为x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数，所以正确. 改写命题的结构形式
【技法点拨】
将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则【典例训练】
1.把“正弦函数是周期函数”写成“若p,则q”的形式是________.
2.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.【解析】1.据题意知，此命题的条件是“一个函数是正弦函数”，结论是“它是周期函数”，故“若p，则q”的形式为“若一个函数是正弦函数，则它是周期函数”.
答案：若一个函数是正弦函数，则它是周期函数
2.(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题.（3）若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题.
（4）已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
【总结】对于命题中有多个条件的处理.
提示：（1）找全命题中的条件；（2）分析它们之间的关系.一般有两种关系：①平行关系，②大前提与小前提的关系.【变式训练】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行.【解析】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
（2）若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
（3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题；
（4）在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题. 规避误区、规范解答是提高数学成绩的有效途径。本栏目通过“见式得分，踩点得分”呈现得分点，点评失分点，帮助学生形成识错、纠错、避错能力，借以养成严谨的数学思维和良好的规范答题习惯。【易错误区】不等式性质应用中的误区
【典例】若a,b,c为实数，且a（A）a2 > ab >b2
（B）ac2 < bc2
（C） <
（D） >【解题指导】【解析】选A.对于选项A：
因为a所以a2>ab, ab>b2①,所以a2>ab>b2.
对于选项B：因为c∈R, 所以c2≥0.当c=0时②，ac2=c2b;当c≠0时②，ac2对于选项C：因为a所以ab>0，所以a 对于选项D:因为a所以 ＜ <0 ①,所以 < .【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】若 ，则下列不等式中，正确的不等式有( )
①a+b|b|;
③a2.
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个【解析】选B.∵ ,∴a<0,b<0,ab>0,
∴a+b∴ ,即b故|a|<|b|,②错误,③错误；
由 ≥2 =2，且a≠b知
>2，④正确.综上知①④正确.1.下列语句是命题的是( )
(A)梯形是四边形 (B)作直线AB
(C)x是整数 (D)今天会下雪吗
【解析】选A.语句“梯形是四边形”是陈述句，且能够判断真假.2.下列命题中真命题的个数为( )
①面积相等的两个三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>b，则a＋c>b＋c；
④矩形的对角线互相垂直．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．3.已知A，B是两个集合，则下列命题中为真命题的是( )
（A）如果A?B，那么A∩B＝A
（B）如果A∩B＝A，那么( A)∩B＝? (U为全集)
（C）如果A?B，那么A∪B＝A
（D）如果A∪B＝A，那么A?B
【解析】选A.由集合的Venn图知命题“如果A?B，那么A∩B＝A”是真命题． 4.下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若ac2>bc2，则a>b.其中真命题的序号是________.
【解析】①③是真命题；②平行四边形不是梯形．
答案：①③5.已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真且q为真的m的取值范围．
【解析】若p为真，则
若q为真，则Δ=16(m-2)2-16<0，解得1p真且q真，即
故m的取值范围是(2,3).课件46张PPT。 1.1.2 四种命题1.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题.
2.会写出一个命题的另外三种命题形式.1.本课的重点是写出一个命题的另外三种命题形式.
2.本课的难点是对四种命题相关概念的理解.1.原命题与逆命题
（1）关系是：_____与_____互换；
（2）结构形式是：若原命题为“若p，则q”，则逆命题为_____________；
（3）结论：这两个命题叫做_________.条件结论“若q，则p”互逆命题2.原命题与否命题
（1）关系：条件与结论都要_____；
（2）结构形式：若原命题为“若p,则q”，则否命题为_______
________；
（3）结论：这两个命题叫做_________.否定“若 p,则 q”互否命题3.原命题与逆否命题
（1）关系是：条件与结论既要_____，又要_____；
（2）结构形式是：若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为
________________；
（3）结论：这两个命题叫做_____________.否定互换“若 q,则 p”互为逆否命题1.四种命题中原命题是确定的吗？
提示：不是.四种命题中任何一个命题均可以作为原命题.
2.“互为逆否命题”与“逆否命题”相同吗？
提示：两者不相同.互为逆否命题是两个命题之间的关系，具有双向性.逆否命题是一个相对概念，是一个命题，只具有单向性.3.“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________.
【解析】由逆命题的概念知命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”.
答案：“若一个数的平方是正数，则它是负数”4.命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是_________．
【解析】命题“若x>y，则x3>y3－1”的条件是x>y，其否定为x≤y；命题的结论是x3>y3－1，其否定为x3≤y3－1.所以命题的否命题是“若x≤y，则x3≤y3－1”.
答案：“若x≤y，则x3≤y3－1”1.四种命题的理解
（1）互逆命题是“换位不换质”，即原命题的条件和结论变为逆命题的结论和条件.
（2）互否命题是“换质不换位”， 即原命题的条件和结论的否定成为否命题的条件和结论.
（3）互为逆否命题是“既换位又换质”， 即原命题的条件和结论的否定变为逆否命题的结论和条件.2.关于命题的条件及结论的否定
在对原命题的条件和结论进行否定时，一定要注意问题的全面性，千万不能遗漏或者重复，如“a>b”的否定是“a≤b”，而不是“a【技法点拨】
1.逆命题的写法
给出一个命题，将它作为原命题并交换其条件和结论，即得原命题的逆命题.2.写原命题的否命题的步骤
（1）找出原命题的条件和结论；
（2）对原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论；
（3）所得命题即为原命题的否命题.
3.逆否命题的两种写法
（1）先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题.
（2）先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题. 【典例训练】
1.（2011·陕西高考)设a,b是向量，命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )
(A)若a≠-b,则|a|≠|b|
(B)若a=-b,则|a|≠|b|
(C)若|a|≠|b|,则a≠-b
(D)若|a|=|b|,则a=-b2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是
( )
(A)若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
(B)若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
(C)若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
(D)若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【解析】1.选D.原命题的条件是a=-b，作为逆命题的结论；原命题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件，即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”，故选D.
2.选B．原命题的条件的否定是f(x)不是奇函数，原命题的结论的否定是f(－x)不是奇函数，即得否命题“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”.【思考】（1）解答1题的关键点是什么？
（2）解答2题的注意点.
提示：(1)解答1题的关键点是对逆命题概念的正确理解，即互换条件与结论的位置.
(2)解答2题的注意点是对原命题的条件和结论同时否定.【变式训练】
1．“若x>y，则x2>y2”的逆否命题是( )
(A)若x≤y，则x2≤y2 (B)若x>y，则x2(C)若x2≤y2，则x≤y (D)若x【解析】选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若a>0，则 ”的逆命题为( )
(A)若a≤0，则 (B)若 ，则a>0
(C)若 ，则a≤0 (D)若 ，则a>0
【解析】选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调所得的命题． “若ｐ，则ｑ”形式的另外三种命题的真假判断
【技法点拨】
命题条件和结论不明显的四种命题真假判断的方法
（1）将所给的命题改写为“若ｐ，则ｑ”；（2）根据另外三种命题的结构，分别写出它们的命题；（3）通过推理判断命题的真假，若为假命题只需举一个反例说明即可.【典例训练】
1.命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆命题是__________；否命题是__________；逆否命题是___________．
2.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【解析】1.首先将原命题改写如下：“若一个正整数的各位数字之和是3的倍数，则这个正整数可以被3整除”，然后由逆命题、否命题、逆否命题的定义得：
逆命题是“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”；
否命题是“各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除”；
逆否命题是“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”.答案：“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数”“各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除”“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数”
2.(1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．
否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．【互动探究】若将第1题的条件改为“各位数字之和是6的倍数的正整数”，而结论不变，试写出另外三种命题形式.
【解析】逆命题是“能被3整除的正整数，它的各位数字之和是6的倍数”.
否命题是“各位数字之和不是6的倍数的正整数，不能被3整除”.
逆否命题是“不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是6的倍数”.【思考】在题1中用到了哪些判断词，其对应的否定词是什么？解答题2的注意点是什么？
提示：（1）在本题1中用到的判断词有“是”“可以”，其对应的否定词是“不是”“不可以（或不能）”.
（2）解答本题2首先要分清原命题的条件与结论，然后写出其他三种命题.【变式训练】把命题：“矩形的对角线相等”改写成“若p,则q”的形式，并分别写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断其真假．【解析】原命题：若一个四边形是矩形，则它的对角线相等（真命题）．
逆命题：若一个四边形的对角线相等，则它是矩形（假命题）．
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等（假命题）．
逆否命题：若一个四边形的对角线不相等，则它不是矩形（真命题）． 抽象命题的另外三种命题形式的判断
【技法点拨】
抽象命题的另外三种命题形式的判断的方法
这类问题的解决方法是抽象命题用“若ｐ，则ｑ”的形式表示出来，然后由互逆命题、互否命题、互为逆否命题的概念进行判断.【典例训练】
1.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是p的逆命题t的( )
(A)逆否命题 (B)否命题
(C)逆命题 (D)原命题
2．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的( )
(A)逆命题 (B)逆否命题
(C)否命题 (D)以上判断都不对【解析】1.选B. 若命题p：“若x，则y”， 则命题p的否命题r为“若 x，则 y”； 命题r的逆命题s为“若 y，则 x”；又p的逆命题t为“若y，则x”，所以s是p的逆命题t的否命题.
2.选B.命题p：“若x，则y”，其逆命题q：“若y，则x”，那么命题q的否命题r：“若 y，则 x”，所以p是r的逆否命题，所以选B.【易错误区】对否命题理解不到位而产生错误
【典例】（2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
(A)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
(B)若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
(C)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
(D)若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【解题指导】【解析】选A．因为a＋b＋c＝3， a2＋b2＋c2≥3的否定分别是a＋b＋c≠3①， a2＋b2＋c2<3.所以命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”②.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】命题“若x2<1，则－1(A)若x2≥1，则x≥1或x≤－1
(B)若－1(C)若x>1或x<－1，则x2>1
(D)若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】选A．因为x2<1，－1(A)若a?A，则b?B (B)若a∈A，则b?B
(C)若b∈B，则a?A (D)若b?B，则a∈A
【解析】选B．因为a?A的否定是a∈A, b∈B的否定是b?B,所以原命题的否命题是“若a∈A，则b?B”.2.命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________.
【解析】因为原命题的条件是a>1，结论是a>0，所以条件及结论的否定分别是a≤1,a≤0.所以逆命题是“若a>0，则a>1”， 逆否命题是“若a≤0，则a≤1”.
答案：“若a>0，则a>1” “若a≤0，则a≤1”3.命题“等比数列{an}中没有零项”的逆命题是________.
【解析】根据逆命题的概念知命题“等比数列{an}中没有零项”的逆命题是：“若数列{an}中没有零项，则数列{an}为等比数列”.
答案：“若数列{an}中没有零项，则数列{an}为等比数列”4.命题“若一元二次方程没有实根，则判别式小于零”的逆否命题是____________．
【解析】根据逆否命题的概念得命题的逆否命题是“若一元二次方程的判别式大于等于零，则一元二次方程有实根”.
答案：“若一元二次方程的判别式大于等于零，则一元二次方程有实根”5.写出下列原命题的其他三种命题：
(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；
(2)正偶数不是素数．
【解析】(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B；
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数；
否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数；
逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数．课件53张PPT。1.1.3 四种命题间的相互关系1.认识四种命题间的相互关系及真假关系.
2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.1.本节的重点是四种命题间的相互关系.
2.本节的难点是利用命题真假的等价性解决简单问题.1.四种命题的相互关系原命题：若p,则q逆命题：
若q,则p否命题：若 p,则 q逆否命题：
若 q,则 p互为逆否互为逆否互逆互逆互否互否2.四种命题的真假性
(1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是:_________.
(2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_______真假
性;
②逆命题与否命题真假性的关系是:有_______真假性.
综上，互为逆否命题具有相同的_______.没有关系相同的相同的真假性1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q”是互否命题吗？
提示：不是，如命题“若q，则p”和“若 q，则 p”也是互否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？
提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.3.命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.
【解析】因为命题“若函数f(x)=ax+b，则函数是一次函数”是假命题，则其逆否命题也为假命题.其逆命题“若函数是一次函数，则函数解析式为f(x)=ax+b”是真命题，则它的逆否命题（即原命题的否命题）也为真，所以真命题的个数为2.
答案：21.对四种命题间结构关系的认识
“互逆命题”“互否命题”“互为逆否命题”反映的是两个命题之间的相对关系，不具有特指性，即四种命题中的任意两个命题之间一定具有这三种关系中的一种，且唯一.2.对四种命题间真假关系的认识
（1）当两个命题是互逆命题或者是互否命题时，这两个命题的真假是没有关系的，即它们之间可能同真、同假、一真一假.
（2）当两个命题是互为逆否命题时，这两个命题的真假是等价的，即两者之间要么同真，要么同假，两者必居其一. 判断两个命题间的结构关系
【技法点拨】
判断两个命题间的结构关系的方法
这类问题的解决方法是判断两个命题的条件和结论之间的关系.若“只换位不换质”，则两者之间就是“互逆命题”；若“只换质不换位”，则两者之间就是“互否命题”；若“既换位又换质”，则两者之间就是“互为逆否命题”.【典例训练】
1.与命题“在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq”为互逆命题的是( )
（A）在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an≠ap+aq
（B）在等差数列{an}中，若am+an=ap+aq,则m+n=p+q
（C）在等差数列{an}中，若am+an≠ap+aq,则m+n≠p+q
（D）在等差数列{an}中，若m+n≠p+q,则am+an=ap+aq【典例训练】
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为互否命题的是( )
（A）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l
（B）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l
（C）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一
（D）已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一3.（2012·湖南高考）命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( )
（A）若α≠ ,则tanα≠1
（B）若α= ,则tanα≠1
（C）若tanα≠1,则α≠
（D）若tanα≠1,则α= 【解析】1.选B.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q”.2.选C.根据互否命题的概念知原命题条件的否定和结论的否定分别是否命题的条件和结论，所以与之互否的命题为“已知点A，直线l0，l,A∈l0，若l0不平行于l，则l0不唯一”.
3.选C.原命题的逆否命题是“若tanα≠1,则α≠ ”，故选C.【思考】第1题的逆命题是真命题吗？
由它的真假性，你会得到怎样的启示呢？
提示：第1题的逆命题是假命题.例如常数列1,1，….由它得到的启示是:在将一个命题的逆命题作为结论使用时，一定要先对其真假性作出判断，然后再决定是否可以使用.【变式训练】
1.与命题“在等比数列{an}中，若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”为互逆命题的是( )
（A）在等比数列{an}中，若am·an=ap·aq,则m+n=p+q
（B）在等比数列{an}中，若am·an=ap·aq,则m+n≠p+q
（C）在等比数列{an}中，若m+n≠p+q,则am·an=ap·aq
（D）在等比数列{an}中，若am·an≠ap·aq,则m+n≠p+q【解析】选A.根据互逆命题的概念知原命题的条件及结论分别是逆命题的结论及条件，所以与之互逆的命题为“在等比数列{an}中，若am·an=ap·aq,则m+n=p+q”.2.与命题“已知x1∈R,x2∈R且x1f(x1)”互为逆否命题的是( )
（A）已知x1∈R,x2∈R且x1f(x1)
（B）已知x1∈R,x2∈R且x1（C）已知x1∈R,x2∈R且x1（D）已知x1∈R,x2∈R且x1【技法点拨】
四种命题的真假判断的两种方法
（1）利用命题真假判断的方法判断.
（2）由于互为逆否命题的真假具有等价性，因而在判断四种命题的真假时，可以转化为先判断原命题和逆（否）命题的真假，再利用互为逆否命题的真假具有等价性即可完成.1.命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
（A）4 （B）3 （C）2 （D）02.有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
（A）①② （B）②③ （C）①③ （D）③④【解析】1.选C．因为原命题是真命题，而它的逆命题是假命题，所以它的否命题是假命题，逆否命题是真命题,故真命题有2个.
2.选C．①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”,是真命题，因此排除B，D．又“相似三角形的周长相等”的否命题是“若两个三角形不相似，则它们的周长不相等”，是假命题，排除A．所以选C．【互动探究】若将题2中③“有实根”改为“有两个不相等的实根”，其他条件不变，判断它的逆否命题的真假.
【解题指南】先找出“方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根”的等价条件，然后再判断.【解析】本命题的逆否命题是“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根，则b>－1”.因为方程x2－2bx＋b2＋b＝0有两个相等的实根或者没有实根，所以Δ≤0?(-2b)2-4(b2+b)≤0?b≥0?b>-1，所以本命题的逆否命题是真命题.【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？
提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进行排除.【变式训练】1.下列命题中为真命题的是( )
（A）命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题
（B）命题“若x>1，则x2>1”的逆命题
（C）命题“若x=1，则x2+x-2=0”的否命题
（D）命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题2.下列命题：
(1)“全等三角形的面积相等”的逆命题；
(2)“若ab＝0，则a＝0”的否命题；
(3)“正三角形的三个内角均为60°”的逆否命题，
其中真命题的序号是________(把所有真命题的序号填在横线上)．【解析】1.选A.因为选项A：x>|y|，所以x>0.当y≥0时，x>y；当y<0时，x>-y>y,所以x>y.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题；选项B：逆命题为“若x2>1，则x>1”，是假命题.因为x2>1，所以x<-1或x>1；选项C：它的否命题是“若x≠1，则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0，所以是假命题；选项D：因为原命题是假命题，所以它的逆否命题也是假命题.2.（1）“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”，显然该命题为假命题；
（2）“若ab＝0，则a＝0”的否命题为“若ab≠0，则a≠0”.而由ab≠0可得a，b都不为零，故a≠0，所以该命题是真命题；
（3）由于原命题“正三角形的三个内角均为60°”是一个真命题，故其逆否命题也是真命题．故填（2）（3）.
答案：（2）（3） 互为逆否的命题同真同假的应用
【技法点拨】
命题真假判断的一种策略
当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种策略.【典例训练】
1.与命题“若一个正整数能被5整除，则这个数能被15整除”等价的命题是( )
（A）若一个正整数不能被5整除，则这个数不能被15整除
（B）若一个正整数能被15整除，则这个数能被5整除
（C）若一个正整数不能被15整除，则这个数不能被5整除
（D）若一个正整数能被5整除，则这个数不能被15整除2.若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数.
【解析】1.选C.因为互为逆否的命题是等价命题，
所以选C.
2.若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真命题，故原命题也为真命题．
所以a，b，c不可能都是奇数．【总结】在题2中，结论用的是什么语句？此题的证明你又得到怎样的启示呢？
提示：在题2中，结论用的是否定语句.得到的启示：凡是以否定语句给出的命题，它的真假判断一般是使用它的逆否命题的真假来判断.【变式训练】已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
【证明】假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0,
即原命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题．
∴若f(a)+f(b)≥0,则a＋b≥0.【易错误区】否定对象的误区
【典例】在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中，下列结论成立的是( )
（A）都真 （B）都假
（C）否命题、逆否命题真 （D）逆否命题真【解题指导】【解析】选D.命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠ ?①”的逆命题是“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”,否命题是“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，则{x|ax2＋bx＋c<0}=?②”,逆否命题是“若{x|ax2＋bx＋c<0}=?，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上”.因为原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题.而逆命题为假命题，所以否命题也为假命题，故选D.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】已知命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )
（A）逆命题、否命题、逆否命题都为真
（B）逆命题为真，否命题、逆否命题都为假
（C）逆命题为假，否命题、逆否命题都为真
（D）逆命题、否命题都为假，逆否命题为真【解析】选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．1.与命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题等价的命题是
( )
（A）若q不正确，则p不正确
（B）若q不正确，则p正确
（C）若p正确，则q不正确
（D）若p正确，则q正确【解析】选D．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是“若q不正确，则p不正确”，而其逆命题的逆否命题是“若p正确，则q正确”.2.命题“设a, b, c∈R，若ac2>bc2,则a>b”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【解析】选C．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．原命题正确，而否命题错误，所以选C．3.在空间中，
（1）若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；
（2）若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．
以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．
【解析】(1)中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用如图所示正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以(1)中的逆命题不是真命题；（2）中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．
由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．
所以(2)中的逆命题是真命题．
答案：（2）4.“若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面”的逆命题是________，它是________命题(填“真”或“假”)．
【解析】原命题的逆命题为“若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线”，它为真命题．
答案：“若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的无数条直线” 真5.已知命题：若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
【解析】逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．课件46张PPT。第1课时 充分条件与必要条件1.通过具体的实例理解充分条件、必要条件的概念.
2.会判断充分条件、必要条件.1.本课的重点是判断充分条件、必要条件.
2.本课的难点是充分条件、必要条件概念的理解.充分条件、必要条件的概念
已知命题“若p，则q”,
（1）若命题为真命题，则p是q的_________，q是p的_________.
（2）若命题为假命题，则p不是q的_________，q不是p的______
___.充分条件必要条件充分条件必要条件1.命题“p?q”是真命题吗？
提示：因为“?”是逻辑推出符，表明由p能推出q来，所以命题“p?q”是真命题.
2.若“p / q”，则q不是p的充分条件，p不是q的必要条件，对吗？
提示：不对.虽然命题“若p / q”为假命题，但它的逆命题有可能为真，所以不对.3.若p是q的充分条件，那么p惟一吗？
提示：不惟一，如x>3是x>0的充分条件，而x>5，x>10等也都是x>0的充分条件．
4.用符号“?”或“ / ”填空：
(1)a>b________ac>bc；
(2)x=0________x(y-1)=0.【解析】（1）因为当c=0时，ac=bc，所以a>b / ac>bc.
(2)因为由x=0，可以得到x(y-1)=0，所以x=0?x(y-1)=0.
答案：（1） / (2)?1.对充分条件的理解
（1）“p是q的充分条件”的等价说法有：
①“若p，则q”为真；
②p?q；
③q是p的必要条件.（2）从集合的观点看，充分条件的意义是：设集合A={x｜x满足条件p}，B={x｜x满足条件q}，
若A?B，则p是q的充分条件；
若A / B，则p不是q的充分条件.（3）充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了，当命题不具备此条件时，结论也有可能成立.例如，x=6?x2=36，但是，当x≠6时，x2=36也可以成立，“x=-6”也是“x2=36成立”的充分条件.2.对必要条件的理解
（1）必要条件是在充分条件的基础上得出的；真命题的条件是结论成立的充分条件，但不一定是结论成立的必要条件；假命题的条件不是结论成立的充分条件，但有可能是结论成立的必要条件.
（2）“p是q的必要条件”的理解：若有q，则必须有p；而具备了p，则不一定有q.（3）借助于电路图理解必要条件：
如图所示，当开关A闭合时，灯泡B不一定亮，但是当开关A不闭合时，灯泡B一定不亮；当灯泡B亮时，可以知道开关A一定是闭合的；所以要使灯泡B亮，开关A必须是闭合的，我们称开关A闭合是灯泡B亮的必要条件.（4）“p是q的必要条件”的等价说法：①“若q，则p”为真；②q?p；③q是p的充分条件.
（5）从集合的观点看，必要条件的意义是：设集合A=
{x｜x满足条件p},
B={x｜x满足条件q},
若A?B，则 p是q的必要条件；
若A / B，则 p不是q的必要条件. 充分条件、必要条件的判断
【技法点拨】
充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：由充分条件、必要条件的概念进行判断，即判断由已知和结论构成的命题及其逆命题的真假,亦同命题真假的判定方法.(2)推出法：此法主要适应于抽象命题的判定，其表现形式为利用推出符表示其关系.
(3)集合法：设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
①若A?B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件；②若B?A，则p是q的必要条件，若B?A，则p是q的必要不充分条件；
③若A＝B，则p既是q的充分条件也是必要条件；
④若A / B，且B / A，则p是q的既不充分也不必要条件．【典例训练】
1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若A=?，则A?B；
（2）若函数的定义域关于原点对称，则函数是奇函数；
（3）若loga5>1，则a>1；
（4）若两条直线平行，则两条直线的斜率相等.2.判断下列命题的真假:
（1）“x（x-5）<0成立”是“|x-1|<4成立”的充分不必要条件；
（2）若集合M={-1,m2}，集合N={2,4}，则“m=2”是“M∩N={4}”的必要不充分条件；（3）命题p: a∈M={x|x2-x<0}；命题q:a∈N={x||x|<2},则p是q的充分不必要条件；
（4）若p是r的充分条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则p是q的充分条件．
【解析】1.因为命题（1），（3）为真命题，命题（2），（4）为假命题，所以（1），（3）中的p是q的充分条件.2.（1）因为x（x-5）<0，所以0（2）因为M={-1,m2}，N={2,4}，M∩N={4}，所以m2=4，即m=±2，所以命题“若集合M={-1,m2}，集合N={2,4}，则‘m=2’是‘M∩N={4}’的必要不充分条件”是假命题.(3)因为x2-x<0，所以0(4)因为 ，所以p是q的充分条件.所以命题为真命题.【思考】判断充分、必要条件的核心是什么？
由第2（4）题的解析你会得到什么启示?
提示：判断充分、必要条件的核心是首先确定条件是什么、结论是什么，然后再判断由此构成的命题的真假.由第2（4）题的解析得到的启示是推出法简捷、明了、直观，便于发现关系.【变式训练】用符号“?”或“ / ”填空：
（1）整数a能被4整除________a的个位数为偶数；
（2）函数f（x+5）=f（x）________5是函数f（x）的一个周期；
（3）在空间中，a⊥l, b⊥l ________a∥b.
【解题指南】由符号“?”连接的命题为真命题，由符号“ / ”连接的命题为假命题，因此此问题就是判断由条件和结论构成的命题的真假.【解析】(1)因为“若整数a能被4整除，则a的个位数为偶数”
是真命题，所以应填“?”.
(2)由周期的定义知命题“若函数f（x+5）=f（x），则5是函
数f（x）的一个周期”是真命题，所以应填“?”.
(3)在空间中，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，所
以命题“若a⊥l, b⊥l，则a∥b”是假命题，所以应填“ ”.
答案：（1）? （2）? （3） 充分、必要条件的应用
【技法点拨】
充分、必要条件的应用
(1)告诉条件是结论的充分条件，即由条件推出结论来，由此建立逻辑关系解决问题.
(2)告诉条件是结论的必要条件，即由结论推出条件来，由此建立逻辑关系解决问题.
从集合的角度来看，满足条件的对象所构成的集合与满足结论的对象所构成的集合之间是子集关系.【典例训练】
1.若“x2>1”是“x2.已知命题p：对数loga（-2t2+7t-5）(a>0,a≠1)有意义；q：关于实数t的不等式t2-（a+3）t+（a+2）<0.
（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；
（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解析】1.因为x2>1?x<-1或x>1，又“x2>1”是“x答案：-1
2.（1）由对数式有意义得，1a”，其他条件不变，则a的最小值为多少？
【解析】因为x2>1?x<-1或x>1，又“x2>1”是“x>a”的必要不充分条件，所以a≥1，所以a的最小值为1.【总结】命题的真假与充分不必要条件和必要不充分条件的关系.
提示：当由已知和结论构成的命题是真命题，并且它的逆命题为假命题时，条件为充分不必要条件；当由已知和结论构成的命题是假命题，并且它的逆命题为真命题时，条件为必要不充分条件.【变式训练】不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要
条件是－2【解题指南】首先解不等式(a＋x)(1＋x)<0，然后由充分而不
必要条件建立两个不等式解集之间的关系即可.
【解析】不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2等式成立，所以不等式的解为－a (－a，－1)，∴－2>－a，即a>2.
答案：a>2【易错误区】逻辑推理不严谨致误
【典例】设0＜x＜ ，则“x sin2x＜1”是“xsinx＜1”的________条件.
【解题指导】【解析】因为0所以0又因为x>0，
所以0若0但是由0综上所述“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要不充分条件.
答案：必要不充分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】已知条件p：x≤1，条件q： ＜1，则 p是q的
________条件.
【解析】因为p：x≤1，所以 p：x>1.由x>1? <1，所以
＜1，即 p?q.而 ＜1? >0?x<0或x>1 x>1，即q
p.所以 p是q的充分不必要条件．
答案：充分不必要1.下列所给的p，q中，p是q的充分条件的个数是( )
①p:函数f（x）满足f（a+x）=f（a-x），q：函数f（x）的图象关于直线x=a对称；
②p：x∈{x|0③p:已知函数f(x)，f(0)=0，q:函数f(x)是R上的奇函数;
④p：函数f（x）=ax+b，q：函数f（x）为一次函数.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解析】选B.①由中点公式易推得函数f（x）的图象关于直线x=a对称，所以p是q的充分条件.
②由x∈{x|0④因为一次函数的解析式为f（x）=ax+b（a≠0），所以p不是q的充分条件.2.下列所给的p，q中，p是q的必要条件的个数是( )
①p:三个数a,G,b成等比数列，q：三个数a,G,b满足G2= ab；
②p:数列{an}满足an+1=man（n∈N*），q：数列{an}为等比数列,且公比为m；
③数列{an}的前n项和为Sn=-n2+7n（n∈N*），
p:n=3,q:Sn取得最大值；
④在等比数列{an}中，p:公比m>1，q：等比数列{an}为递增数列.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解析】选A. ①当ab=0时，三个数a,G,b不成等比数列，所以
p不是q的必要条件.
②数列{an}为等比数列，公比为m?an+1=man（n∈N*），所以p
是q的必要条件.
③因为数列{an}的前n项和为Sn=-n2+7n（n∈N*），所以当n=3
或4时，Sn取得最大值，所以q p，所以p不是q的必要条件.
④等比数列{an}为递增数列 m>1；反之m>1 等比数列{an}
为递增数列，所以p是q的既不充分又不必要条件.3.“x>-2”是“x>3”的________条件（填“充分”“必要”）.
【解析】因为x>3?x>-2，所以应填“必要”.
答案：必要
4.“x=1”是“方程x2-3x+2=0的根”的_________条件（填“充分”“必要”）.
【解析】因为方程x2-3x+2=0的根为x=1或x=2，所以x=1?x2-3x+2=0，所以应填“充分”.
答案：充分5.已知P＝{x|a－4【解析】由题意知，Q＝{x|1∴
解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是［－1,5］．课件45张PPT。第2课时 充要条件的应用1.理解充要条件的概念.
2.会判断一些简单的充要条件问题.1.本课的重点是判断简单的充要条件问题.
2.本课的难点是充要条件的证明问题.充要条件p是q的充分必要条件q是p的_____________p与q_____________简称_________ 充要条件充分必要条件互为充要条件1.推出符“?”的意义是什么？
提示：推出符“?”表示从两个方向均能推出，从命题的角度来理解，推出符“?”表示连接的是两个命题，它们互为逆命题且同真.
2.互为充要条件是指条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的吗？
提示：互为充要条件中，条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的.3.函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增的充要条件是________．
【解析】由对数函数的单调性知，当a>1时，y=logax在（0,+∞）上单调递增．函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上单调递增的充要条件是a>1.
答案：a>14.“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________
条件.
【解析】当a＝2时，直线ax＋2y＝0，即2x＋2y＝0与直线x＋y
＝1平行.因为直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1，所以 ＝
1，a＝2.综上，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y
＝1”的充要条件．
答案：充要1.充要条件概念的理解
（1）从命题的角度理解
当由条件和结论构成的两个互为逆命题的命题都是真命题时，我们把条件和结论称为互为充要条件.
（2）从集合的角度来理解
已知集合A={x|p}，B={x|q}，若A=B，我们称p和q互为充要条件.2.充要条件的常用同义词
在解题时常常遇到与充要条件同义的词，如“当且仅当”“等价于”等，准确地理解和使用数学语言，对理解和掌握数学知识是十分重要的.
3.条件与结论的四种关系
通过学习，我们知道条件与结论有如下四种关系：
（1）条件是结论的充分不必要条件.从命题的角度来说，就是由条件能推出结论来，而由结论推不出条件来.（2）条件是结论的必要不充分条件.从命题的角度来说，就是由结论能推出条件来，而由条件推不出结论来.
（3）条件是结论的充要条件.从命题的角度来说，就是由条件能推出结论来，且由结论也能推出条件来.
（4）条件既不是结论的充分条件又不是结论的必要条件.从命题的角度来说，就是既由条件推不出结论来，又由结论推不出条件来. 充要条件的判断
【技法点拨】
充要条件的判断思路及注意事项
（1）思路：充要条件的判断同充分条件、必要条件的判断思路是一样的.（2）注意事项
①在定义法中，既要判断条件对结论的充分性，又要判断条件对结论的必要性.
②在推出法中，使用的是双向推出符，而不是单向推出符.
③在集合法中，判断的是两个集合互为子集，即判断两个集合相等.【典例训练】
1.下列命题:
①a>b>0是a2>b2的充要条件；
②a>b>0是 < 的充要条件；
③a>b>0是a3>b3的充要条件,则其中正确的说法有( )
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个2.（2011·天津高考）设集合A={x∈R|x-2>0}，B={x∈R|x<0}，
C={x∈R|x（x-2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件3.指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(2)非空集合A，B中，p：x∈A∪B，q：x∈B.【解析】1.选A．①由不等式的性质易得a>b>0?a2>b2，反之则不成立，如a=-2,b=1.
②由不等式的性质易得a>b>0? < ,反之则不成立，如a=
-2,b=1.
③由不等式的性质易得a>b>0?a3>b3,反之则不成立，如a=
-2,b=-3.
2.选C.集合C的解集是{x|x<0或x>2}.
∵A∪B={x|x<0或x>2}，
∴A∪B=C.3.(1)易知， p：x＋y＝8， q：x＝2且y＝6，显然 q? p，
但 p q，即 q是 p的充分不必要条件，根据原命题与其
逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．
(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p
是q的必要不充分条件．【总结】题1用什么方法最为方便？从中你又得到怎样的启示?
提示：此题应用特殊值法比较方便.得到的启示是在解答选择题或者填空题时，若问题具有一般性时，使用特殊值法比较方便.【变式训练】命题p：x>0，y<0，命题q：x>y， ，则p是q的什么条件？
【解析】若p：x>0，y<0，则q：x>y， 成立；
反之，由x>y， ? >0.
因y－x<0，得xy<0，即x，y异号.
又x>y，得x>0，y<0.
所以“x>0，y<0”是“x>y， ”的充要条件． 充要条件的应用
【技法点拨】
充要条件的两个应用
（1）利用充要条件关系列出相应的逻辑关系，进而求得字母值或范围.
（2）在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般是先求出结论的充要条件，然后再将所得条件的范围缩小或者扩大即可得到所需要的结论.【典例训练】
1．已知集合A={x||x|≤4,x∈R}，B={x|x5”的( )
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件2.求证：方程x2+ax+1=0的两实根的平方和大于3的必要条件是
|a|> ，这个条件是其充分条件吗？为什么？
【解析】1.选B．因为|x|≤4?-4≤x≤4，所以A={x|-4≤
x≤4}.又A?B?a>4?a>5，故选B.2.设x2+ax+1=0的两实根分别为x1,x2,
则平方和大于3的等价条件是
即|a|> .
又{a||a|> }?{a||a|> },
所以|a|> 这个条件是必要不充分条件.【互动探究】若将题1中的B={x|xa}，则结果又如何?
【解析】因为|x|≤4?-4≤x≤4，所以A={x|-4≤x≤4}.又A?B?a<-4，所以“A?B”是“a>5”的既不充分也不必要条件.【归纳】1，2两题解法的共同点及作用.
提示：1，2两题的解法的共同点是找出条件或结论的等价条件，再与结论或者条件进行比较作出判断.这种方法具有一般性，特别是在处理求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时，非常有效.【变式训练】“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的( )
（A）必要不充分条件
（B）充分不必要条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
【解题指南】解答本题的关键点是：（1）理解“至少有一个负数根”的意义；（2）对方程讨论；（3）注意寻找问题成立的等价条件.【解析】选B.(1)当a<0时，由题知x1x2= <0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；
(2)当a=0时，该方程仅有一根为 ；
(3)当a>0时，Δ≥0?4-4a≥0?a≤1，所以，当0综上所述，当且仅当a≤1时，方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根,
所以，“a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的充分不必要条件． 充要条件的证明
【技法点拨】
充要条件的证明
有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件?结论”是证明命题的充分性，由“结论?条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证充分性；二是证必要性.【典例训练】
1.（2012·山东高考）设a＞0且a≠1，则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
2.求证：关于x的一元二次不等式ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立的充要条件是0由函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数可得：2-a>0,即a<2.
所以若0所以“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件.2.①必要性：若ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立，
由二次函数性质有
②充分性：∵0∴ax2-ax+1=a(x- )2+1- ＞0,∴若0＜a＜4,则ax2-ax+1>0对于一切实数x都成立．
由①②知，命题得证．【思考】题2是数学中的什么问题？解答本题常用的方法有几种?
提示：题2是数学中的恒成立问题. 解答本题常用的方法有两种：一是判别式法，此法是针对一元二次不等式的恒成立问题；二是分离参变量法.【变式训练】已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-
a2-b2=0.
【证明】（充分性）
a3+b3+ab-a2-b2=（a+b）（a2+b2-ab）-（a2+b2-ab）=（a+b-1）
（a2+b2-ab）=（a+b-1）［（a- ）2+ b2］.∵ab≠0,∴（a- ）2+ b2>0,
∴a+b=1.
（必要性）a+b=1,b=1-a，
a3+b3+ab-a2-b2=a3+（1-a）3+a（1-a）-a2-（1-a）2=a3+1-a3-3a+3a2+a-a2-a2-1+2a-a2=0.
∴a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.【易错误区】数形转化中的误区
【典例】若函数f（x）=|2x-1|-2a有两个零点，则a应满足的充要条件是________.
【解题指导】【解析】因为函数f（x）=|2x-1|-2a有两个零点?方程|2x-1|-
2a=0有两个不同的实根?函数y=|2x-1|和函数y=2a的图象有两
个不同的交点，由图象得0<2a<1①,∴0答案：0件是________.
【解析】因为函数f（x）=|x2-2ax+1|-2a有四个零点?|x2-
2ax+1|-2a=0有四个实根?函数y=|x2-2ax+1|与y=2a有四个交
点?
答案：a>1+1.设l,m,n均为直线，其中m,n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n ”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】选A.l⊥α?l⊥m且l⊥n，而m,n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.2.“θ=0”是“sinθ=0”的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】选A.由于“θ=0”时，一定有“sinθ=0”成立，反之不成立，所以“θ=0”是“sinθ=0”的充分不必要条件．3.在△ABC中，“sinA=sinB”是“a=b”的________条件．
【解析】在△ABC中，由正弦定理及sinA=sinB可得2RsinA=2RsinB，即a=b，反之也成立．
答案：充要
4.不等式x2-3x+2<0成立的充要条件是________．
【解析】x2-3x+2<0?(x－1)（x-2）<0?1答案：10）在［1,+∞)上单调递增的充要条件．
【解析】由二次函数的图象可知当 ≤1，即b≥-2a时，函数y=ax2+bx+c（a>0）在［1,+∞)上单调递增．课件54张PPT。1.3 简单的逻辑联结词1.通过数学实例，了解“且”“或”“非”的含义.
2.会判断由“且”“或”“非”构成命题的真假.1.本节课的重点是判断由“且”“或”“非”构成命题的真假.
2.本节课的难点是对“且”“或”“非”含义的理解.1.“p∧q”“p∨q”“ p”的含义p且qp或q非pp的否定2.含有“且”“或”“非”联结词的命题真假的判断
（1）当p,q都是真命题时，_____________；当p,q两个命题中至
少有一个命题是假命题时，_____________.
（2）当p,q两个命题中至少有一个命题是真命题时，_________
_____；当p,q两个命题都是假命题时，_____________.
（3）若p是真命题，则______________；若p是假命题，则____
___________.p∧q是真命题p∧q是假命题p∨q是真命题p∨q是假命题p必是假命题p必是真命题1.联结词只能出现在一个命题的结论中吗?
提示：不一定.联结词既可以出现在条件中，也可以出现在结论中.
2.命题的否定与否命题相同吗？
提示：不相同.命题的否定是只对结论进行否定，而否命题是既对条件否定，同时也对结论进行否定.3.如果命题p∧q是真命题，那么命题p一定是真命题？
提示：正确.因为只有当p,q均为真命题时，p∧q才为真命题，故如果p∧q为真命题，则命题p一定是真命题.
4.命题“x=1或x=2是方程x2-3x+2=0的解”是________形式的命题（填“p∧q”“p∨q”“﹁p”中的一个）.
【解析】由逻辑联结词知，此命题是“p∨q”的形式.
答案：p∨q1.关于“且”“或”“非”含义的理解
（1）“且” 含义的理解
联结词“且”与日常用语中的“并且”“和”“同时”等词语等价，表示的是同时具有的意思.(2)“或” 含义的理解
联结词“或”与日常用语中的“或者”“可能”等词语等价，它有三层含义，如“p或q”表示：要么是p不是q；要么是q不是p；要么是p且q.
(3)“非”含义的理解
联结词“非”与日常用语中的“不是”“否定”“全盘否定”“问题的反面”等词语等价.2.巧记命题“p∧q”“p∨q”“ p”的真假
（1）对于“p∧q”，我们简称为“一假则假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；
对于“p∨q”，我们简称为“一真则真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真.
（2）从运算的角度来记忆
将“且”和“或”分别对应“乘法运算”和 “加法运算”；命题的“真”与“假”对应数字“1”与“0”，规定“1+1=1”. 用逻辑联结词联结新命题
【技法点拨】
用逻辑联结词构造新命题的两个步骤
第一步：确定两个简单命题p,q；
第二步：分别用逻辑联结词“且”“或”“非”将p和q联结起来就得到一个新命题“p∧q”“p∨q”“ p”.【典例训练】
1.命题“集合中的元素是确定的且无序的”中使用的逻辑联结词是________,所以此命题是________形式的命题.
2.分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题.
（1）p：函数y=x2-x+1的图象与x轴没有交点；
q:不等式x2-x+1＜0无解；（2）p：函数y=|x|是奇函数；
q：函数y=|x|是分段函数；
（3）p：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的；
q：等比数列中可以存在“0”这一项.
【解析】1.集合中的元素是确定的且无序的，此命题中使用了逻辑联结词“且”，此命题是“p∧q”形式的命题.
答案：且 p∧q2.（1）p∧q：函数y=x2-x+1的图象与x轴没有交点且不等式x2-x+1＜0无解;
p∨q：函数y=x2-x+1的图象与x轴没有交点或不等式x2-x+1＜0无解；
p：函数y=x2-x+1的图象与x轴有交点.
（2）p∧q：函数y=|x|是奇函数且是分段函数；
p∨q：函数y=|x|是奇函数或是分段函数；
p：函数y=|x|不是奇函数.（3）p∧q:公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的且等比数列中可以存在“0”这一项；
p∨q：公比是负数的等比数列中的项是正负项间隔出现的或等比数列中可以存在“0”这一项；
p：公比是负数的等比数列中的项不是正负项间隔出现的.【总结】新命题是如何构成的？三种形式的新命题容易出现的错误是哪种形式？
提示：新命题是由逻辑联结词“且”“或”“非”构成的；在“ p”这种命题中容易出现否定错误.【变式训练】分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题.
（1）p：正方体是六面体；q:空间四边形有对角线；
（2）p：过圆周上的一点只有一条圆的切线；
q:两条直线异面时不可能垂直.【解析】（1）p∧q：正方体是六面体且空间四边形有对角线；
p∨q：正方体是六面体或空间四边形有对角线；
p：正方体不是六面体.
（2）p∧q：过圆周上的一点只有一条圆的切线且两条直线异面时不可能垂直；
p∨q：过圆周上的一点只有一条圆的切线或两条直线异面时不可能垂直；
p：过圆周上的一点不是只有一条圆的切线. 判断命题的结构及命题的真假
【技法点拨】
1.命题结构的两种类型及判断方法
（1）从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断.
（2）若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断.2.判断命题真假的三个步骤
（1）明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“ p”；
（2）对命题p和q的真假作出判断；
（3）由“p∧q”“p∨q”“ p”的真假判断方法给出结论.【典例训练】
1.下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )
（A）10或15是5的倍数
（B）方程x2-3x-4＝0有两个实数根
（C）方程x2＋1＝0没有实数根
（D）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形2.指出下列命题的形式及命题的真假：
(1)48是16与12的公倍数；
(2)方程x2+x+3=0没有实数根；
(3)相似三角形的周长相等或对应角相等.
【解析】1.选D.A中的命题是或命题，B中的命题不是含有逻辑联结词的命题，C中的命题是 p的形式，D中的命题为p∧q型且是真命题.2.(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“ 48是16与12的公倍数” 是真命题.
(2)这个命题是“ p”的形式，其中p：方程x2+x+3=0有实数根，是假命题，所以命题“方程x2+x+3=0没有实数根” 是真命题.
(3)这个命题是“p∨q”的形式.其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等” 是真命题.【思考】判断命题形式的关键是什么？
提示：判断一个命题形式的关键是看此命题中含有什么逻辑联结词.【变式训练】判断下列命题的真假：
(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
(2)x=±1是方程x2+3x+2=0的根；
(3)集合A不是A∪B的子集.
【解析】(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题.(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：-1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题.
(3)这个命题是“ p”的形式，其中p：A?(A∪B)，因为p真，则“ p”假，所以该命题是假命题. 命题“p∧q”“p∨q”“ p”的真假的应用
【技法点拨】
命题“p∧q”“p∨q”“ p”真假应用的两个过程
（1）由命题“p∧q”“p∨q”“ p”的真假推出p和q的真假，其结论如下：
①若“p∧q”为真，则p和q均为真；若“p∧q”为假，则p和q至少有一个为假；②若“p∨q”为真，则p和q至少有一个为真；若“p∨q”为假，则p和q都为假；
③命题p和命题 p真假相反.
（2）由p和q真假转化为相应的数学问题，再结合正确的逻辑推理方法求得结论.【典例训练】
1.p：点P在直线y=2x-3上，q：点P在曲线y=-x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是( )
（A）(0，-3) （B）(1,2)
（C）(1，-1) （D）(-1, 1)2.已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式x2-ax+1＞0对x∈R恒成立.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
【解析】1.选C.点P(x，y)满足
可验证各选项，只有C正确.2.解题流程:【互动探究】若把题2中的条件“p∨q为真命题”删掉，结论又如何？
【解析】由条件“p∧q为假命题”可得到三种情况:
(1)p真，q假；(2)p假，q真；(3)p假，q假.
前两种情况的解法同题2解法，当p假时，0＜a≤1；当q假时，a≥2，所以当p假q假时，a∈?，
综上0＜a≤1或a≥2.【想一想】解答题2的关键点及易错点是什么？
提示：1.解答题2的关键是由p∨q为真，p∧q为假，得出p，q的真假情况.
2.解答题2的易错点是直接求出p∨q为真与p∧q为假时a的取值范围，而不是先分析出p、q的真假，然后再求a.【变式训练】设p：函数y=loga(x+1)(a＞0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减;q:曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点.如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.
【解析】∵函数y=loga(x+1)(a＞0且a≠1)在(0,+∞)上单调递减，∴0＜a＜1，即p：0＜a＜1.
∵曲线y=x2+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点，
∴Δ＞0，即(2a-3)2-4＞0,解得a＜ 或a＞ ，
即q:a＜ 或a＞ .∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p真，q假或p假，q真，
即
解得
综上所述，a的取值范围为［ ，1)∪( ，＋∞). 命题“p∧q”“p∨q”的否定形式
【技法点拨】
命题“p∧q”“p∨q”的否定形式
(1)命题“p∧q”的否定形式：（p∧q）?（ p∨ q），
如 (2＜x＜3)? (x＞2)∨ (x＜3)?（x≤2或x≥3）.
(2)命题“p∨q”的否定形式：（p∨q）?（ p∧ q），
如 (x≤2或≥3)? (x≤2)∧ (x≥3)?2＜x＜3.1.如果命题“ p或 q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( )
①命题“p∧q”是真命题； ②命题“p∧q”是假命题；
③命题“p∨q”是真命题； ④命题“p∨q”是假命题.
（A）②③ （B）②④
（C）①③ （D）①④2.条件p：x∈A∪B，则 p是( )
（A）x?A或x?B （B）x?A且x?B
（C）x∈A∩B （D）x?A或x∈B
【解析】1.选C.因“p∧q”的否定为“ p或 q”，即
(p∧q)等价于 p或 q，所以“ p或 q”是假命题等价于“ (p∧q)”是假命题，即“p∧q”为真命题，所以“p∨q”也一定是真命题.故选C.
2.选B.因x∈A∪B?x∈A 或x∈B，
所以 p为x?A且x?B，故选B.【规范解答】复合函数单调性的应用
【典例】（12分）（2012·开原高二检测）已知命题p：方程
x2+(a2-5a+4)x-1=0的一个根大于1，一个根小于1；命题q：函
数 在(-2,+∞)上是减函数.若p∨q为真，
p∧q为假，求a的取值范围.【解题指导】【规范解答】设方程x2+(a2-5a+4)x-1=0的两根为x1，x2，由题意不妨设x1＜1，x2＞1，所以(x1-1)(x2-1)＜0，即x1x2-(x1+x2)+1＜0.…………………………………………………3分
又因为x1+x2=-(a2-5a+4)，x1x2=-1，所以
a2-5a+4＜0,所以1＜a＜4.……………………………………6分又因为函数 在(-2,+∞)上是减函数，所以a2-2a-2＞1①，解得a＜-1或a＞3.
…………………………………………………………………8分
又因为p∨q为真，p∧q为假，所以p，q必有一真一假.
（1）当p真，q假时②，a的取值范围为1＜a≤3；
（2）当p假，q真时② ，a的取值范围为a＜-1或a≥4.
…………………………………………………………………11分
综上所述，a的取值范围为1＜a≤3或a＜-1或a≥4③.……12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】（12分）设命题p:关于x的函数y=(a-1)x为增函数;命题q:不等式-3x≤a对一切正实数均成立.
(1)若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
(2)命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围.
【解题设问】（1）本题需要分类讨论吗？_____.
（2）若需要，则分类讨论的对象是谁？_______________.需要命题p，q的真假【规范答题】(1)当命题q为真命题时，由x＞0得3x＞1，
∴-3x＜-1.
不等式-3x≤a对一切正实数均成立，∴a≥-1，
∴实数a的取值范围是［-1，+∞）.…………………………4分(2)由命题“p∨q”为真，且“p∧q”为假，得命题p，q一真一假.……………………………………………………………6分
①当p真，q假时，则
无解；…………………………………………………………8分
②当p假，q真时，则
…………………………………………………………………11分
综上所述，实数a的取值范围是［-1，2］.………………12分1.命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是( )
（A）简单命题 （B）“p∨q”形式的命题
（C）“p∧q”形式的命题 （D）“ p”形式的命题
【解析】选C.命题中含有逻辑联结词“且”，是“p∧q”形式的命题.2.对于命题p和q，若p∧q为真命题，则下列四个命题：
①p∨q是真命题；②p∨ q是假命题；
③ p∧ q是假命题；④ p∨q是假命题.
其中真命题是( )
（A）①② （B）③④ （C）①③ （D）②④
【解析】选C.因为p∧q为真，所以p与q都为真，所以 p∧ q为假，p∨q为真，所以只有①③正确，所以选C.3.若命题“p∧q”为假，且“ p”为假，则( )
（A）p∨q为假 （B）q假
（C）q真 （D）不能判断q的真假
【解析】选B. p为假，则p为真，又p∧q为假，所以q为假.所以选B.4.命题p：{2}∈{2,3}，q：{2}?{2,3}，则下列对命题的判断，正确的是________(填上所有正确的序号).
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假.
【解析】由题可知p为假，q为真，所以p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假.答案为①④⑤⑥.
答案:①④⑤⑥5.分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题的真假：
(1)p：6＜6，q：6＝6；
(2)p：梯形的对角线相等，q：梯形的对角线互相平分.
【解析】(1)∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为真命题.
(2)∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，﹁p为真命题.课件45张PPT。1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词1.通过生活和数学中的实例，理解全称量词和存在量词的含义.
2.掌握全称命题和特称命题的定义并能够判断它们的真假.1.本课的重点是判断全称命题和特称命题的真假.
2.本课的难点是对全称量词和特称量词的理解.1.全称量词与全称命题
（1）全称量词：短语“_________”“___________”，在逻
辑中通常叫做全称量词.对所有的对任意一个（2）全称命题含有全称量
词的命题对M中任意
一个x，有
p(x)成立对任意x属于
M，有p(x)成
立2.存在量词与特称命题
（1）存在量词：短语“_________”“___________”在逻辑
中通常叫做存在量词.
（2）特称命题?存在一个至少有一个含有存在量
词的命题存在M中的一
个x0，使p(x0)
成立存在一个x0
属于M，使
p(x0)成立x0∈M,p(x0)1.全称命题中一定含有全称量词吗？
提示:不一定，如“三角形的内角和等于180°”.
2.同一个全称命题或者特称命题的表达形式唯一吗？
提示:不唯一，对于同一个全称命题或者特称命题，由于采用的自然语言不同，其表现形式也可以不同，因而同一个全称命题或者特称命题的表达形式可以不唯一.3.下列命题是全称命题的是________.
(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；
(2)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解.
【解析】(1)中含有量词“有一个”，是特称命题，(2)中含有量词“任何”，是全称命题．
答案：（2）4.下列命题是真命题的是________.
(1)实数的平方是非负数；
(2)整数中1最小.
【解析】(1)为真命题.
(2)整数包括正整数、零、负整数，所以命题为假命题.
答案：（1）1.全称量词与存在量词
全称量词是命题中常见的量词，理解命题的关键是对量词的把握.
存在性问题是数学中的一类重要问题，存在量词是描述这一类问题的关键词语.2.关于全称命题和特称命题的理解
（1）全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.
（2）特称命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的.
（3）全称命题和特称命题是具有相对性的，即满足某种性质的元素所对应的集合不同，可能导致命题的性质不同.3.对于两种命题符号表达的理解
两种命题的符号表达具有两重含义：
（1）体现变量x代表的是某给定集合M的所有元素还是指定元素.
（2）指出变量x所满足的性质p(x). 全称命题与特称命题的判断
【技法点拨】
判断全称命题与特称命题的方法
判断一个命题是全称命题还是特称命题,其关键是：
(1)要明确命题给出的性质是针对给定集合的所有元素还是针对个别元素的.若是针对所有元素，则为全称命题；否则就为特称命题.
(2)若命题中有量词出现，则可依据量词的类型做出判断.【典例训练】
1．下列语句不是特称命题的是( )
（A）有的无理数的平方是有理数
（B）有的无理数的平方不是有理数
（C）对于任意x∈Z,2x＋1是奇数
（D）存在x0∈R,2x0＋1是奇数2.给出下列几个命题：
①至少有一个x0，使 成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x0，使 成立．
其中是全称命题的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)03.判断下列语句是全称命题还是特称命题，并用量词符号表达出来.
（1）0不能作除数；
（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；
（3）每一个向量都有方向.
【解析】1.选C.因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A，B，D均为特称命题，选项C为全称命题.2.选B.因为“至少有一个”、“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以①④为特称命题，②③为全称命题，所以全称命题的个数为2.
3.（1）特称命题，?0∈R，0不能作除数；
（2）全称命题，? ；
（3）全称命题，?a，a有方向.【思考】用量词符号表示命题的思路是什么？
提示：（1）首先明确命题是全称命题还是特称命题；
（2）明确研究问题的性质；（3）确定满足性质的所有对象构成的集合.【变式训练】判断下列语句是全称命题，还是特称命题：
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)有些素数的和仍是素数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．【解题指南】首先看命题中是否含有全称量词或存在量词，若含有相关量词，则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题；若没有，要结合命题的具体意义进行判断．
【解析】(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故为特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故为全称命题．
(4)含有存在量词“有些”，故为特称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题． 全称命题与特称命题真假的判断
【技法点拨】
判断全称命题与特称命题真假的方法
（1）全称命题真假的判断
对于全称命题“?x∈M，p(x)”：
①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；
②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可.（通常举反例）（2）特称命题真假的判断
对于特称命题“?x0∈M，p(x0)”：
①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可．（通常举正例）
②要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立．【典例训练】
1.下列命题正确的是( )
(A)对所有的正实数t,有 (B)存在实数x0，使
(C)不存在实数x0，使x0<4且
(D)存在实数x0，使得|x0＋1|≤1且2.指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0；
(2)对任意实数x1，x2，若x1(3)存在常数T0，使sin(x＋T0)＝sinx；
(4)有x0∈R，使 .【解析】1.选B.t＝ 时 ，此时 >t，所以A错；由x2
－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x0＝－1或x0＝4时，
x02－3x0－4＝0，故B正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或
x＝3，所以C错；由|x＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x2>4，得
x<－2或x>2，所以D错．2.(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．
(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，
∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0， x2＝π，x1∴命题(2)是假命题．
(3)y＝sinx是周期函数，2π就是它的一个周期，
∴命题(3)是真命题．
(4)对任意x∈R，x2＋1>0.
∴命题(4)是假命题．【互动探究】写出将本题2中的全称量词换成存在量词，存在量词换成全称量词的命题（将x0换成x，将T0换成T).
【解析】(1)若a>0，且a≠1，则存在实数x0， >0；
(2)至少存在两个实数x1，x2，若x1(3)对任意常数T,都有sin(x＋T)＝sinx；
(4)对任意实数x∈R，都有x2＋1<0.【思考】对于第1题选项A的判断除了举反例外，还有别的方法吗？从中得到怎样的启示？
提示：有.因为 ,所以选项A错误.全称命题为假命题的判断通过举反例是最有效的方法，但是有时反例不好找，这时我们可以通过逻辑推理的方法做出判断.【变式训练】
1.有下列四个命题，其中真命题是( )
(A)?n∈R，n2≥n
(B)?n0∈R，?m∈R，m·n0＝m
(C)?n∈R，?m∈R，m2(D)?n∈R，n2【解析】选B.对于选项A，令n＝ ，即可验证不正确；对于选项C、选项D，可令n＝－1加以验证其不正确，故选B.2.下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有
A∩B＝?.
其中，所有正确命题的序号为________．【解析】命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n，对于任意n∈N＋，都有an答案:①②③【易错误区】恒成立问题等价转化中产生的误区
【典例】已知函数f(x)=x2,g(x)=( )x-m，若对?x1∈［-1,
3］,?x2∈［0,2］,使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围
是________.【解题指导】【解析】因为x∈[-1,3],所以f(x)∈[0,9],又因为对?x1∈
［-1,3］,?x2∈［0,2］,使得f(x1)≥g(x2)，
即?x∈[0,2],g(x)≤0①,即 ≤0,所以m≥ ,
m≥ ②,即m≥ .
答案:m≥ 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】(2012·福建六校联考）已知函数y=mx2-mx-6+m，
如果? x∈［1,3］,使y<0成立，则实数m的取值范围是( )
(A)(-∞, ) (B)(-∞, ]
(C)(-∞,6) (D)(-∞,6]【解析】选C.(1)当m=0时，y=-6<0,满足条件；（2）当m<0时,
如果?x∈［1,3］,使y<0成立，则有ymin<0,而ymin=9m-3m-
6+m，即9m-3m-6+m<0,解得m< ,即m<0；当m>0时，则有ymin<0,
而ymin=m-m-6+m=m-6,即m<6,即0综上所述：m<6.1.下列语句不是全称命题的是( )
（A）模相等的向量是相等向量
（B）共线向量所在直线共线
（C）在平面向量中，有些向量是共线向量
（D）每一个向量都有大小
【解析】选C.选项A、B、D都是全称命题，而选项C中含有量词“有些”是特称命题．2.下列是全称命题且是真命题的是( )
（A）?x∈R，x2>0
（B）?x∈Q，x2∈Q
（C）?x0∈Z，
（D）?x，y∈R，x2＋y2>0
【解析】选B.由“?”符号易判断A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中当x=0,y=0时不成立，故命题是假命题．3.下列命题是特称命题的是( )
（A）偶函数的图象关于y轴对称
（B）正四棱柱都是平行六面体
（C）不相交的两条直线是平行直线
（D）存在实数大于等于3
【解析】选D．选项A、B、C均为全称命题，只有选项D含有存在量词，为特称命题.4.命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“?”或
“?”可表述为________．
【解析】因为此命题为特称命题，所以命题可改写为“?x0<0，
使(1＋x0)(1－9x0)>0”.
答案：?x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>05.把下列命题用数学符号表示：
（1）存在实数是有理数；
（2）有些实数比它的平方大；
（3）有些实数的平方根是无理数.
【解析】（1）?x0∈R，x0∈Q；
（2）?x0∈R， x0> ；
（3）?x0∈R， ∈ Q.课件49张PPT。1.4.3 含有一个量词的命题的否定1.理解全称命题、特称命题与其否定的关系.
2.能正确对含有一个量词的命题进行否定.1.本课的重点是对全称命题、特称命题与其否定的关系的理解.
2.本课的难点是能正确写出含有一个量词的命题的否定.1.含有一个量词的全称命题的否定??x0∈M, p(x0)特称命题2.含有一个量词的特称命题的否定??x∈M, p(x)全称命题1.用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？
提示:不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”,它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”.
2.对省略量词的命题怎样否定？
提示:对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或特称命题.一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是特称命题.反之，亦然.3.命题?x∈R，x2＋x+1>0的否定是________.
【解析】此命题为全称命题，其否定是特称命题，把“?”改
为“?”，然后把x2+x+1>0进行否定.
答案：?x0∈R, +x0+1≤0
4.命题“?x0∈R， －x0+1＝0”的否定是________.
【解析】此命题为特称命题，其否定为全称命题，需要把
“?”改为“?”，同时把x2-x+1=0进行否定.
答案：?x∈R，x2－x+1≠01.全称命题的否定
全称命题的否定是一个特称命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是对全称命题否定的关键.
2.特称命题的否定
特称命题的否定是一个全称命题，给出特称命题的否定时既要否定存在量词，又要否定性质，所以找出存在量词，明确命题所提供的性质是对特称命题否定的关键.3.对全称命题与特称命题关系的认识
（1）结构关系的认识
全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外.而特称命题中的存在量词却表明给定范围内的对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
（2）真假性的认识
全称命题的否定与全称命题的真假性相反；特称命题的否定与特称命题的真假性相反. 全称命题的否定
【技法点拨】
1.全称命题的否定方法
（1）改变量词：把“全称量词”换为恰当的“存在量词”.
（2）否定性质：把原命题中的“是”“成立”等更改为“不是”“不成立”等.2.常用全称量词的否定形式
3.一些常见判断词的否定词语每一个所有的一个也
没有任意词语的否定存在一个有的至少有一
个存在词语是一定是都是大于小于词语的
否定不是一定
不是不都是小于或
等于(不
大于)大于或
等于(不
小于)【典例训练】
1.若命题p:?x∈R,2x2-1>0，则该命题的否定是( )
(A)?x∈R,2x2-1<0
(B)?x∈R,2x2-1≤0
(C)?x0∈R,2 -1≤0
(D)?x0∈R,2 -1>02.（2011·安徽高考）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
（A）所有不能被2整除的整数都是偶数
（B）所有能被2整除的整数都不是偶数
（C）存在一个不能被2整除的整数是偶数
（D）存在一个能被2整除的整数不是偶数3.写出下列命题的否定.
（1）所有自然数的平方是正数.
（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根.
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.
【解析】1.选C.因为命题p:?x∈R,2x2-1>0是全称命题，所以
该命题的否定是?x0∈R,2 -1≤0.2.选D.全称命题的否定为相应的特称命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定.
3.方法一：（1）有些自然数的平方不是正数.
（2）存在实数x不是方程5x-12=0的根.
（3）存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0.
方法二：（1）?x0∈N，使得 ≤0.
（2）?x0∈R，使得5x0-12≠0.
（3）?x0∈R，?y∈R,使得x0+y≤0.【思考】全称命题否定的关键点是什么？易出现哪些错误？
提示：全称命题否定的关键点是对全称量词的改变和对结论的否定，否定过程中易出现只改变全称量词或只否定结论的错误.【变式训练】写出下列全称命题的否定：
(1)p：?x>1，log2x>0；
(2)p：?T＝2kπ，k∈Z，sin(x＋T)＝sinx；
(3)p：直线l⊥平面α，则对任意l′?α，l⊥l′.
【解析】(1) p: x0>1，log2x0≤0.
(2) p:?T0＝2kπ，k∈Z，sin(x＋T0)≠sinx.
(3) p:直线l⊥平面α，则?l′?α，l与l′不垂直． 特称命题的否定
【技法点拨】
1.特称命题的否定分两步
（1）改变量词：把“存在量词”换为恰当的“全称量词”.
（2）否定性质：把原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.2.常用存在量词的否定形式词语存在一个有的必有一个词语的
否定每一个所有的一个也没有词语至少有n个至多有一个存在词语的
否定至多有
n-1个至少有两个任意【典例训练】
1．（2012·安徽高考）命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
( )
(A)对任意实数x,都有x＞1
(B)不存在实数x，使x≤1
(C)对任意实数x,都有x≤1
(D)存在实数x,使x≤12.写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p:有的正方形是矩形；
(2)r：?x0∈R， -x0+2>0;
(3)s：至少有一个实数x0，使 ＋1＝0；
(4)q：?x0,y0∈N,如果 +|y0|=0，则x0=0且y0=0.【解析】1.选C.“存在”的否定是“任意”，“x＞1”的否定是“x≤1”.
2.（1） q：任意一个正方形都是矩形，真命题．
(2) r：?x∈R，x2-x+2≤0，假命题．
(3) s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
(4) p:?x,y∈N,如果 +|y|=0，则x=0或y=0，假命题．【互动探究】将2（3）题中的“至少有一个”用“至少有两个”替换，写出它的否定.
【解析】因为“至少有两个”的否定词为“至多有一个”，所以它的否定为“至多有一个实数x0，使 ＋1≠0.”【想一想】一个含有量词的命题中，可以包含多个变量吗？
提示：可以.如题2（4），再如?a,b∈R，(a+b)(a2-ab+b2)=a3-b3【变式训练】写出下列特称命题的否定：
(1)p：?x0>1，使 －2x0－3＝0；
(2)p：若an＝－2n＋10，则?n0∈N，使 <0；
(3)p：a，b是异面直线，?A0∈a，B0∈b，使A0B0⊥a且A0B0⊥b.
【解题指南】在解答本题时，要注意第（3）题的结论是“且”结构，它的否定是“或”结构.【解析】(1) p:?x>1，使x2－2x－3≠0；
(2） p:若an＝－2n＋10，则对?n∈N，有Sn≥0；
(3) p:a，b是异面直线，则?A∈a，B∈b，有AB不与a垂直或不与b垂直． 全称命题与特称命题的应用
【技法点拨】
应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
（1）全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.（2）特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.【典例训练】
1.函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0，则f(0)=_________.
2.关于x的函数y=x2-(a+1)x+2a对于任意a∈［-1,1］的值都有y>0，求实数x的取值范围.
【解析】1.∵函数f(x)对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，令x=1,y=0，则f(1)-f(0)=2，又因为f(1)=0，所以f(0)=-2.
答案：-22.设f(a)=x2-(a+1)x+2a，则有f(a)=(2-x)a+x2-x,a∈［-1,1］,
∵a∈［-1,1］时，y=f(a)>0恒成立，则
(1)当x=2时，f(a)=2>0显然成立；
(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈［-1,1］上恒成立，得
解之得x> 或x<- .综上可得：x> 或x<- .【归纳】全称命题和特称命题可以用来解决的主要问题及解题关键.
提示：全称命题和特称命题可以用来解决的主要问题有恒成立和存在性问题.解题的关键是将命题正确地转化成恒成立或存在性问题.【变式训练】已知命题“?x∈R,x2-5x+ a＞0”的否定为假
命题，求实数a的取值范围.
【解析】由“?x∈R，x2-5x+ a＞0”的否定为假命题，可
知命题“?x∈R，x2-5x+ a＞0”必为真命题，即不等式
x2-5x+ a＞0对任意x∈R恒成立，
故Δ=25-4× a＜0,
解得a＞ ，即实数a的取值范围为( ,+∞). 含有一个量词的命题的否定
【技法点拨】
含有一个量词的命题的否定遵循以下两点原则
（1）首先明确所给的命题是全称命题还是特称命题.
（2）根据命题的类型进行否定，即是全称命题的按全称命题的否定形式否定，是特称命题的按特称命题的否定形式否定.1.命题“对于任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
(A)不存在x0∈R,
(B)存在x0∈R,
(C)存在x0∈R,
(D)对任意的x∈R, 2.写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
(2)p：有些三角形的三条边相等；
(3)p：存在实数a0，b0，使得|a0－1|＋|b0＋2|＝0；
(4)p：?x∈R,3x>0.【解析】1.选C.因为此命题是全称命题，所以它的否定是特称命题，即为“存在x0∈R, +1>0”.
2.(1) p：存在一个实数m0，使方程x2＋m0x－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝ ＋4>0恒成立，
故 p为假命题．(2) p：所有三角形的三条边不全相等．
显然 p为假命题．
(3) p：对于任意的实数a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0.
当a＝1，b＝－2时，|a－1|＋|b＋2|＝0.
故 p为假命题．
(4) p：?x0∈R,3x0≤0. p为真命题．【易错误区】对命题否定结构理解的误区
【典例】命题“?x0∈R， +1>0”的否定是( )
(A)?x∈R,x3-x2+1≤0
(B)?x∈R,x3-x2+1>0
(C)?x0∈R, +1≤0
(D)?x0∈R, +1<0
【解题指导】
【解析】选A．因为命题“?x0∈R， +1>0”为特称命
题，所以它的否定为“?x∈R①，x3-x2+1≤0②”.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】命题“对任意的x∈R,x2+2x-3≤0”的否定是
( )
(A)不存在x0∈R, +2x0-3≤0
(B)存在x0∈R, +2x0-3≤0
(C)存在x0∈R, +2x0-3>0
(D)对任意x∈R,x2+2x-3>0
【解析】选C.因为命题“对任意的x∈R,x2+2x-3≤0”是全称命题，所以它的否定为“存在x0∈R, x02+2x0-3>0”.1.命题“有的函数没有解析式”的否定是( )
（A）有的函数有解析式 （B）任何函数都没有解析式
（C）任何函数都有解析式 （D）多数函数有解析式
【解析】选C.因为命题“有的函数没有解析式”为特称命题，所以它的否定为“任何函数都有解析式”.2.命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )
（A）一次函数都不是单调函数
（B）非一次函数都不是单调函数
（C）有些一次函数是单调函数
（D）有些一次函数不是单调函数
【解析】选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．3.命题“?x>0，x2＋x>0”的否定是( )
(A)?x0>0， ＋x0>0 (B)?x0>0， ＋x0≤0
(C)?x>0，x2＋x≤0 (D)?x≤0，x2＋x>0
【解析】选B．因为命题“?x>0，x2＋x>0”为全称命题，所
以它的否定为“?x0>0， ＋x0≤0”.4.命题“零向量与任何向量共线”的否定是_________.
【解析】因为命题“零向量与任何向量共线”是全称命题，所以它的否定是“有的向量与零向量不共线”.
答案:有的向量与零向量不共线5.写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：?x∈R，x不是3x－5＝0的根；
(2)q：有些合数是偶数；
(3)r：?x0∈R，|x0－1|>0.
【解析】(1) p：?x0∈R，x0是3x0－5＝0的根，真命题．
(2) q：每一个合数都不是偶数，假命题．
(3) r：?x∈R，|x－1|≤0，假命题．