课件48张PPT。3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景.
2.知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵.
3.会利用导数定义求函数在某一点处的导数. 1.本课重点是导数的定义的理解与函数平均变化率、导数的求法.
2.本课难点是利用导数的定义求函数在某点处的导数.1.函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率
(1)定义式： = .
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量_____.
(3)作用：刻画函数值在区间［x1,x2］上变化的快慢.之比2.函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率
(1)定义式： = .
(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，_____
_______趋近的值.
(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢.平均变化率3．导数的概念
（1）函数y=f(x)在x=x0处的导数定义式：
f′(x0)=y′|x=x0=
= .
(2)实质：函数y=f(x)在x=x0处的导数即函数y=f(x)在x=x0处
的___________.瞬时变化率1.在平均变化率的定义中，自变量x在x0处的增量Δx是否可以为任意实数，Δy呢？
提示：在平均变化率的定义中，增量Δx可正、可负，但不能等于0；而Δy可以为任意实数.
2.能否认为函数在x=x0处的导数越大，其函数值的变化就越大？
提示:这种说法不正确.应说导数的绝对值越大，函数值变化越快.3.设函数y=f（x），当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数的改变量Δy为________.
【解析】x0处的函数值为f(x0)，x0+Δx处的函数值为
f(x0+Δx)，所以Δy为f(x0+Δx)-f(x0).
答案：f(x0+Δx)-f(x0)
4．函数y=f(x)=x在x=0处的导数为________.
【解析】∵Δy=(0+Δx)-0=Δx,∴ =1.
∴f′(0)=
答案：11.对平均变化率的解读
(1)平均变化率的几何意义
平均变化率的几何意义是表示函数y=f（x）图象上割线P1P2的
斜率(其中P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2)))，即(2)平均变化率的取值
平均变化率可以表现函数的变化趋势，平均变化率为0，并不
一定说明函数f（x）没有发生变化.
（3）平均变化率的物理意义
平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t)，在
时间段［t1,t2］上的平均速度，即2.平均变化率与瞬时变化率的关系
（1）区别：平均变化率刻画函数值在区间［x1,x2］上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢.
（2）联系：当Δx趋于0时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值.3.对函数平均变化率公式的拓展
（1）如果记Δx=x2-x1，可用x1+Δx代替x2.类似的，Δy=
f(x2)-f(x1)=f(x1+Δx)-f(x1)，于是平均变化率可以表示为
式子中的Δx是一个整体符号，不是Δ与x相乘.(2)公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差.
(3)公式中，分子、分母中的被减数同为右端点，减数同为左端点，反之亦可，但一定要同步.
4.对函数在某一点处导数的三点认识
（1）函数在某点处的导数是一个定值，是函数在该点的函数值改变量与自变量的改变量比值的极限，不是变量.
（2）函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.
（3）导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛. 求函数的平均变化率
【技法点拨】
求函数y=f（x）从x1到x2的平均变化率的三个步骤
(1)求自变量的增量：Δx=x2-x1.
(2)求函数值的增量：Δy=f(x2)-f(x1).
(3)作商求函数的平均变化率：【典例训练】
1.y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率为________.
2.已知函数f（x）=3x+1和g（x）=2x2+1，分别计算f（x）与
g（x）在-3到-1之间和在1到1+Δx之间的平均变化率．
【解析】1.∵
∴y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率为
答案：2.（1）∵Δx=-1-(-3)=2，
Δy=f(-1)-f(-3)
=［3×(-1)+1］-［3×(-3)+1］=6.
∴ =3.
即f(x)在-3到-1之间的平均变化率为3.
同理，∵Δx=-1-(-3)=2，
Δy=g(-1)-g(-3)
=［2×(-1)2+1］-［2×(-3)2+1］=-16.∴ =-8.
即g(x)在-3到-1之间的平均变化率为-8.
(2)∵Δy=f(1+Δx)-f(1)
=［3×(1+Δx)+1］-(3×1+1)=3·Δx,
∴ =3.
即f(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为3.同理,∵Δy=g(1+Δx)-g(1)
=［2×(1+Δx)2+1］-(2×12+1)
=4·Δx+2(Δx)2,
∴ =4+2Δx.
即g(x)在1到1+Δx之间的平均变化率为4+2Δx.【想一想】解答题1时的运算技巧及题2的关键点是什么？
提示：（1）解答题1可对分子运用平方差公式.
（2）解题2时应紧扣函数平均变化率的定义，注意公式中分子与分母的对应关系，防止代入数值时出错，规范解答.【变式训练】求y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
【解析】∵
∴y= 在x0到x0+Δx之间的平均变化率为 求函数在某点处的导数
【技法点拨】
1.求函数y=f（x）在点x0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限.2.利用定义求函数y=f(x)在点x0处的导数的两个注意点
（1）在求平均变化率 时，要注意对 的变形与约分，变
形不彻底可能导致 不存在.
（2）当对 取极限时，一定要把 变形到当Δx→0时，分
母是一个非零常数的形式．【典例训练】
1.若函数f（x）在x=a处的导数为m，那么
=_________.
2.求函数f（x）=3x2+ax+b在x=1处的导数.【解析】1.∵
则
∴
=
=
=m+m=2m.
答案：2m2.解题流程：△y=f(1+△x)-f(1)
=[3(1+△x)2+a(1+△x)+b]-(3+a+b)
=3(△x)2+(6+a)△xf′(1)=6+a【互动探究】本题2题干中函数不变，若函数在x=1处的导数为8，求a，b.
【解析】由例题中解答，可得
f′（1）=
∴a=2,b可以为任意实数.【总结】解答本题1的解题心得与题2的注意点.
提示：（1）解题1时卡准公式形式是关键，要注意平均变化率
的几种变形.如
（2）解题2取极限时，要注意先对 化简，确保Δx→0时式
子有意义. 求物体运动的瞬时速度
【技法点拨】
求瞬时速度的步骤
（1）设非匀速直线运动的轨迹方程是s=s（t）.
（2）求时间的改变量Δt，位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0).
（3）求平均速度
（4）求瞬时速度：【典例训练】
1.一个物体的运动方程为s=(2t+1)2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是( )
(A)10米/秒 (B)8米/秒
(C)12米/秒 (D)6米/秒
2.一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？并说明它的意义.【解析】1.选C.∵s=4t2+4t+1,
Δs=［4(1+Δt)2+4(1+Δt)+1］-(4×12+4×1+1)
=4(Δt)2+12Δt.
=4Δt+12.
∴ 12（米/秒）.
2.自由落体的运动公式是s= gt2（其中g是重力加速度），
Δs=s(3+Δt)-s(3)=4.9(3+Δt)2-4.9×32
=29.4Δt+4.9(Δt)2， =29.4+4.9Δt.
∴v= （29.4+4.9Δt）=29.4 m/s.
说明在第3秒附近小球大约以29.4 m/s的速率下降.【归纳】求物体的瞬时速度的心得体会.
提示：Δt趋近于0，是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意
小的时间间隔，但始终不能为0.Δt，Δs在变化中都趋近于
0，但 趋近于一个常数，这是极限思想，即求函数s（t）在
某一点处的导数. 【变式训练】某物体的运动速度与时间的关系为v（t）=2t2-1，求t=2时的加速度.
【解题指南】物体的加速度a即为 在Δt→0时的值.
【解析】 ∵Δv=［2（2+Δt）2-1］-（2×22-1）
=8Δt+2（Δt）2，
∴a= (8+2Δt)=8. 【规范解答】瞬时速度与平均速度的求解
【典例】（12分）(2012·天津高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解题指导】【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．
在0时刻取一时间段［0,0＋Δt］，即［0，Δt］，
∴Δs=s（Δt）-s（0）=［3Δt-（Δt）2］-（3×0-02）
=3Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………2分
②，……………………………………3分
③. …………………………………4分
∴物体的初速度为3.(2)取一时间段［2,2＋Δt］，
∴Δs=s（2+Δt）-s（2）
=［3（2+Δt）-（2+Δt）2］-（3×2-22）
=-Δt-（Δt）2 ①，…………………………………………6分
②，…………………………………7分
③，…………………………………8分
∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈［0,2］时，Δt=2-0=2.
Δs=s（2）-s（0）=（3×2-22）-（3×0-02）=2①.……10分
②.
∴在0到2之间，物体的平均速度为1. ……………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程） 【规范训练】(12分)求函数y=x+ 在x=2时的导数.
【解题设问】(1)解答本题需要分几步？_______
(2)具体步骤是什么？___________________
【规范答题】∵Δy=［（2+Δx）+ ］ -（2+ ）
= ……………………………………………4分
…………………………8分
∴y′|x=2=
= …………………………………………………12分三步走一差、二比、三极限1.自变量x从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
(A)在区间［x0，x1］上的平均变化率
(B)在x0处的变化率
(C)在x1处的变化量
(D)在区间［x0，x1］上的导数
【解析】选A.由平均变化率的定义知，该比值是在区间［x0，x1］上的平均变化率.2.函数f（x）=2x2-1在区间（1，1+Δx）上的平均变化率
等于( )
(A)4 (B)4+2Δx
(C)4+2（Δx）2 (D)4x
【解析】选B.因为 Δy=［2（1+Δx）2-1］-（2×12-1）=4Δx+2（Δx）2，所以 =4+2Δx，故选B.3.已知函数y=f（x），下列说法错误的是( )
(A)Δy=f（x0+Δx）-f(x0)叫函数增量
(B) 叫函数在［x0,x0+Δx］上的平均变化率
(C)f(x)在点x0处的导数记为y′
(D)f(x)在点x0处的导数记为f′(x0)
【解析】选C.f(x)在点x0处的导数应记为y′|x=x0.4.已知函数f（x）=2x-3，则f′(5)=_______.
【解析】∵Δy=f(5+Δx)-f(5)=［2(5+Δx)-3］-
(2×5-3)=2Δx,
∴ =2,
∴f′(5)= =2.
答案:25.已知：质点的运动方程为s= t2+t，求何时质点的速度为2.
【解析】设在t0时刻质点的速度为2，∵s= t2+t，
Δs= （t0+Δt）2+(t0+Δt)-( t02+t0)
= t0·Δt+ (Δt)2+Δt，
= t0+ Δt+1,
∴v = ( t0+ Δt+1)= t0+1.
由 t0+1=2得t0=2.
即t=2时质点的速度为2.课件54张PPT。3.1.3 导数的几何意义1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解导数的几何意义.
2.了解导函数的概念,会求导函数.
3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 1.本课重点是求曲线上某点处的切线方程.
2.本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程.1.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义
（1）几何意义：是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的
_____.
（2）相应的切线方程：_____________________.
2.导函数的概念
（1）定义式： .
（2）f′(x0)与f′(x)的区别：f′(x0)是一个确定的数，f′(x)是随x的变化而变化的一个函数.斜率y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)1.曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？
提示：不一定.曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点.
2.导数与切线有何联系？
提示：函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)是曲线f(x)在x=x0处的切线的斜率，即k=f′(x0).3.设曲线y=f(x)=ax2在点（1,a）处的切线与直线2x-y-6＝0平行，则a=________.
【解析】f′(x)=
=
由题意得f′(1)=2,故2a=2,∴a=1.
答案：14.如果f(x)=x2，那么f(x)在点x= 处的切线的倾斜角是_____.
【解析】由导数的定义，得f′(x)=
=
= (2x+Δx)=2x.
由导数的几何意义，得f(x)在x= 处的切线的斜率为k=f′( )=2× =1.∴该切线的倾斜角为 .
答案：1.导数的几何意义
如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点, Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM∥x轴,QM∥y轴,β为PQ的倾斜角. PQMy=f(x)Oyx则MP=Δx,MQ=Δy, =tanβ.显然， 是割线PQ的斜率.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率称为曲线在点P处的切线的斜率.
即k切线=f′(x0)=
这个概念:（1）提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；（2）说明了切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.2.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系
（1）区别
①函数在一点处的导数，就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变量.
②函数的导数，是对某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数f′(x).(2)联系：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x=x0处的函数值，即f′(x0)=f′(x)|x=x0.这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.所以，求函数在一点处的导数，通常是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值. 求切线方程
【技法点拨】
1.求曲线y=f(x)在点P（x0,f(x0)）处的切线方程的三个步骤
（1）求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即切线的斜率（关键词：斜率）.
（2）根据直线的点斜式方程，写出切线方程:y-f(x0)=
f′(x0)(x-x0)（关键词：写方程）.
（3）化简直线方程成一般式（关键词：化简）.2.求曲线y=f(x)过点P(x0,f(x0))的切线方程的五个步骤设切点为(m,f(m))求f′(m)，即切线的斜率写切线的点斜式方程y-f(m)=f′(m)(x-m)将已知点(x0,f(x0))代入切线方程求得m的值把m的值回代切线方程并整理【典例训练】
1.函数y=f(x)= 在x=1处的切线方程为__________.
2.已知曲线C：f(x)=x3.
（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）求过点(1,1)与f(x)=x3相切的直线.【解析】1.y′|x=1=f′(1)=
则切线方程为y－1=－(x－1)，
即x+y－2=0.
答案：x+y－2=02.(1)∵f′(x)=
=3x2,
∴f′(1)=3×12=3，又f(1)=13=1,
∴切线方程为y-1=3(x-1)，即3x-y-2=0.（2）设切点为P（x0,x03），
由（1）知切线斜率为k=f′(x0)=3x02，
故切线方程为y-x03=3x02(x-x0).
又点（1,1）在切线上，将其代入切线方程得
1-x03=3x02(1-x0)，
即2x03-3x02+1=0，
解得x0=1或x0=- .故所求的切线方程为
y-1=3(x-1)或y-1= (x-1)，
即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.【互动探究】题2第（1）小题中的切线与C是否还有其他的公共点？
【解题指南】只需要联立切线方程与曲线方程，解方程组即可解决.
【解析】由 得x3-3x+2=0，解得x=1或x=-2，∴切线与曲线还有另外一个公共点（-2，-8）.【想一想】解答本题1的关键点与题2（2）的注意点是什么？
提示：（1）函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)即直线的斜率.
（2）①求曲线的切线时，首先要判断所给的点P是否在曲线上，然后要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
②点（1，1）虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点.解题时注意避免漏解. 求切点的坐标
【技法点拨】
求切点坐标的五个步骤
(1)先设切点坐标(x0,y0)；
(2)求导函数f′(x)；
(3)求切线的斜率f′(x0)；
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；
(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上，将(x0,y0)代入求y0得切点坐标.【典例训练】
1.曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0的坐标为( )
（A）（1，0） （B）（1，0）和（-1，-4）
（C）（2，8） （D）（2，8）和（-1，-4）
2.已知抛物线y=2x2+1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°?
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x-y-2=0?【解析】1.选B.设切点为P0(a,b)，
f′(x)=
k=f′(a)=3a2+1=4,a=±1.
把a=-1，代入到f(x)=x3+x-2得b=-4；把a=1，代入到f(x)=
x3+x-2得b=0，所以P0点的坐标为(1,0)和(-1,-4).2.设点的坐标为(x0,y0)，则
∵ =4x+2Δx.
∴f′(x)= (4x+2Δx)=4x.
∴f′(x0)=4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，
∴斜率为tan45°＝1.
即f′(x0)=4x0=1，得x0= ，该点为( ).(2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0，
∴斜率为4.
即f′(x0)=4x0=4，得x0=1，该点为(1,3).【互动探究】题2的条件不变，则抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0?
【解析】∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直，
∴斜率为8.
即f′(x0)=4x0=8，得x0=2，
∴y0=2×22+1=9，该点为(2,9).【想一想】通过题1、2的解答，思考求解切点坐标的关键是什么？解决这类问题的注意点是什么？
提示：（1）解答此类题目的关键是所给的直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而可求出此点的横坐标.
（2）解答过程中要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行、垂直与斜率之间
的关系等.【变式训练】曲线y=x3-3x上某点处的切线平行于x轴，求该点坐标.
【解析】设切点为(x,y)，则切线的斜率为∵切线平行于x轴，∴k=0.
即3x2-3=0.解得x=±1.
∴当x=1时，y=13-3×1=-2.
当x=-1时，y=(-1)3-3×(-1)=2.
∴所求点为(1,-2)或(-1,2). 导数的几何意义的综合应用
【技法点拨】
导数几何意义的综合应用的解题方法
（1）导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点.
（2）导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题.【典例训练】
1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+ x-9都相切，则a等于( )
(A)-1或 (B)-1或
(C)- 或- (D)- 或7
2.已知f(x)=x2，g(x)=x3.
（1）求f′(x),g′(x)，并判断f′(x)和g′(x)的奇偶性；
（2）若对于所有的实数x，f′(x)-2
y′=
设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,x30)，则切线方程为y-x03=3x02 (x-x0)，即y=3x02x-2x03.
∵点(1,0)在切线上，∴3x02-2x03=0，
∴x0=0或x0= .当x0=0时，由y=0与y=ax2+ x-9相切，
得a=- ；
当x0= 时，由y= x- 与y=ax2+ x-9相切，得a=-1.
2.(1)由导数的定义知，f′(x)= =2x；
g′(x)=
f′(x)和g′(x)的定义域为R，故定义域关于原点对称，∵f′(-x)=-2x=-f′(x)，∴f′(x)为奇函数.
∵g′(-x)=3(-x)2=3x2=g′(x)，∴g′(x)为偶函数.
（2）由f′(x)-20对任意实数x恒成立，
①当a=0时，转化为-2x+2>0恒成立，即x<1，不合题意；
②当a≠0时，由3ax2-2x+2>0对所有实数x都成立得，
解得a> .
综上，a> .【想一想】解答题1的注意点与题2（2）分类讨论的标准是什么？
提示：(1)解答题1时要注意验证所求出的切线方程是否与第二条曲线相切.
(2)本题分类的标准是不等式3ax2-2x+2>0的类型，因为该不等式是一次不等式还是二次不等式取决于a的值.【变式训练】设a＞0，f(x)＝ax2+bx+c，曲线y＝f(x)在点
P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为［0， ］，则点P
到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为( )
（A）［0, ］ （B）［0, ］
（C）［0, ］ （D）［0, ］【解析】选B.依题设知点P的横坐标x0必须且只需要满足
0≤f′(x0)≤tan ＝1，
因为f′(x)＝2ax＋b，所以0≤2ax0＋b≤1，
因为抛物线y＝f(x)的对称轴为直线l：x＝- ，
所以点P到直线l的距离为d＝|x0+ |，
因为a＞0，所以d＝ |2ax0＋b|≤ ，
又d≥0，即得d的取值范围为［0， ］.【易错误区】求曲线的切线方程中的误区
【典例】经过点(2,0)且与曲线y= 相切的直线方程为_____.
【解题指导】【解析】可以验证点(2,0)不在曲线上，
设切点为P(x0,y0).①
由y′|x=x0=
=
故所求直线方程为y-y0=- (x-x0).
由点(2,0)在所求的直线上，得x02·y0=2-x0.
再由P(x0,y0)在曲线y= 上，得x0y0=1，②联立可解得x0=1,y0=1，
所以所求直线方程为x+y-2=0.
答案：x+y-2=0 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误
及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程） 【即时训练】已知曲线y= x2-2上一点P(1,- ), 则在点P处的切线的倾斜角为( )
(A)30° (B)45° (C)135° (D)165°
【解析】选B.
∵y′=
∴切线的斜率为k=f′(1)=1，∴倾斜角为45°. 1.下列说法正确的是( )
(A)若f′(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线
(B)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
(C)若f′(x0)不存在，则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在
(D)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线【解析】选C. 因为k=f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程却可能存在，其切线方程为x=x0.2.已知曲线y=2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为( )
（A）4 （B）16 （C）8 （D）2
【解析】选C.方法一：根据导数的几何意义知曲线在点A处的切线的斜率就是函数y=2x2在x=2处的导数值.
k=f′(2)=
方法二：f′(x)=
= (4x+2Δx)=4x，
则f′(2)=8.3.下列点中，在曲线y=x2上，且在该点处的切线倾斜角为 的是( )
（A）(0,0) （B）(2,4)
（C）( ， ) （D）( ， )
【解析】选D.k=f′(x)=
=2x.
∵倾斜角为 ，∴斜率为1.∴2x=1，即x= .4.已知曲线y=3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为______.
【解析】∵ = =6x+3Δx,
∴y′|x=1= (6+3Δx)=6.
通过验证得点A（1，3）在曲线y=3x2上.
∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.
∴所求的切线方程为y-3=6(x-1)，
即6x-y-3=0.
答案：6x-y-3=05.在曲线y=x2上哪一点的切线，
（1）平行于直线y=4x-5；
（2）垂直于直线2x-6y+5=0；
（3）与x轴成135°的倾斜角.
【解析】f′(x)=
（1）设切点为(x0,x02)，∵直线的斜率k=4，∴2x0=4，解得x0=2，∴所求切点为(2,4).（2）设切点为(x0,x02)，
∵切线垂直于直线2x-6y+5=0,
∴切线的斜率k=-3，∴2x0=-3，解得x0=- ，
∴所求切点为(- , ).
（3）设切点为(x0,x02)，∵直线的斜率k=-1，
∴2x0=-1，解得x0=- ，
∴所求切点为(- , ).课件50张PPT。第1课时 几个常用函数的导数与基本初等
函数的导数公式1.会应用导数的定义推导四种常见函数y=c，
y=x，y=x2，y= 的导数公式.
2.掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数. 1.本课重点是掌握四种常见函数的导数公式、基本初等函数的导数公式及应用.
2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数与导数公式的简单应用.1.几个常用函数的导数
（1）若y=f(x)=c，则f′(x)=__；
（2）若y=f(x)=x，则f′(x)=__；
（3）若y=f(x)=x2，则f′(x)=___；
（4）若y=f(x)= ，则f′(x)= =____.012x-x-22.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____(a>0)；
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=__；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)= (a>0且a≠1)；
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= .nxn-1cosx-sinxaxlnaex1.计算过程：(sin )′=cos = ,正确吗？
提示：不正确，因为sin = 为常数，而常数的导数为0.
2.已知f(x)=x2，则f′(3)=________.
【解析】∵f′(x)=2x，∴f′(3)=2×3=6.
答案：63.如果曲线y=x2的某一切线与直线y=4x+3平行，则切点坐标为
________.
【解析】设切点(x0,y0)，∵y′=2x，∴2x0=4，
即x0=2.又(x0,y0)在曲线y=x2上，
∴y0=22=4,∴切点坐标为(2,4).
答案：(2,4)1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别
导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速.2.基本初等函数的导数公式的理解与识记
(1)要牢记常数函数和幂函数的求导公式，能用定义法求这些
函数的导数，注意四种常见函数实际上就是四种特殊的幂函数.
(2)八个基本初等函数的导数公式，可以从我们掌握的基本初
等函数顺序上识记：基本初等函数有常数函数、指、对、幂、
三角函数，常数函数的导数公式是公式（1）；指数函数的导数公式是（5）、（6）；对数函数的导数公式是（7）、（8）；幂函数的导数公式是（2）；三角函数的导数公式是（3）、（4）.
特别地，注意到公式（5）与（6）、（7）与（8）之间的区别与联系，我们可分别以公式（6）、（8）作为（5）、（7）的两个特殊形式来识记（5）、（7）. 利用公式求函数的导数
【技法点拨】
应用导数公式求导的两个注意点
（1）应用导数公式时不需对公式说明，掌握这些公式的基本结构和变化规律直接应用即可.
（2）需要根据所给函数的特征，恰当地选择公式.（3）对一些函数求导时，要弄清一些函数的内部关系，合理
转化后再求导，如y= ，y= ，可以转化为y= ，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.【典例训练】
1.已知函数f(x)= ，则f′(-3)=( )
（A）4 （B） （C）- （D）-
2.若y=10x，则y′|x=1=_________.
3.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y= ；（3）y= ；
（4）y=2sin cos ；（5）y= . 【解析】1.选D.∵f′(x)=- ，∴f′(-3)=- .
2.∵y′=10xln10，∴y′|x=1=10ln10.
答案：10ln10
3.（1）y′=7x7-1=7x6.
（2）∵y=x-2，∴y′=-2x-2-1=-2x-3.
（3）∵y= ，∴y′=
（4）∵y=2sin cos =sinx，∴y′=cosx.
（5）y′=( )′=【总结】解答本题3时解题的规律与关键点.
提示：(1)解答本题3时函数解析式是较复杂的指数式、对数式、三角式，考虑先对解析式进行相应的化简，整理成熟悉的基本初等函数的形式，再对其进行求导.
(2)正确应用导数公式是关键，当然指数、对数的运算性质以及三角恒等变换的熟练程度对顺利解答题目也起到至关重要的作用.【变式训练】求下列函数的导数：
(1)y=3x；(2)y=x ；(3)y=2-x；
(4)y=log2x2-log2x；(5)y=-2sin (1-2cos2 ).
【解析】(1)y′=(3x）′=3xln3.
(2)y′=(x )′=( )′= =
(3)∵y=2-x=( )x，
∴y′=(( )x)′=( )xln =-( )xln2.(4)∵y=log2x2-log2x=log2x.
∴y′=(log2x)′= .
(5)∵y=-2sin （1-2cos2 ）
=2sin cos =sinx，∴y′=(sinx)′=cosx. 导数的几何意义的简单应用
【技法点拨】
1.利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
（1）若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
（2）如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤设出切点坐标为（x0,y0）写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0)代入点P的坐标，求出x0,y0得切线方程【典例训练】
1.（2012·广东高考）曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方
程为___________.
2.求过曲线y=cosx上点P( )且与在这点的切线垂直的直线方
程．【解析】1.y′=3x2-1,
∴y′|x=1=3-1=2,
∴切线方程为y-3=2(x-1),即2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=02.∵y=cosx，
∴y′=-sinx
曲线在点P( ）处的切线斜率是y′|x= =-sin =- .
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为 ，
∴所求的直线方程为y- = （x- ），
即2x- y- + =0．【互动探究】题2变为“已知过曲线y=cosx,x∈(0, )上点P且
与在这点的切线垂直的直线方程为2x- y- =0，求P点
坐标”如何求解.
【解题指南】先求出导函数与直线方程的斜率，然后令导数值等于斜率的负倒数，便可求得点P的横坐标.
【解析】设点P为(x0,y0)，
∵y=cosx,
∴y′=-sinx.又∵直线方程为2x- =0，即得曲线在点P处的切线
斜率是y′|x=x0=-sinx0=- .
∵x0∈(0, ),∴x0= ，
方法一：把x0= 代入
得y0= .
∴P点的坐标为( , ).
方法二：把x0= 代入y=cosx得y0= .
∴P点的坐标为( , ).【想一想】解答本题2时易忽视的问题是什么？
提示：已知与曲线上某点的切线垂直这一条件具有双重含义：一是所求直线与切线垂直；二是所求直线也过此点．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y′是否为零，当y′=0时，切线平行或重合于x轴，过切点P垂直于切线的直线斜率不存在．【变式训练】y=x2的斜率等于2的切线方程为( )
（A）2x-y+1=0 （B）2x-y+1=0或2x-y-1=0
（C）2x-y-1=0 （D）2x-y=0
【解析】选C.
设切点为(x0,y0)，∵y′=(x2)′=2x,
∴y′|x=x0=2x|x=x0=2x0.
令2x0=2，解得x0=1，∴切点为(1,1).
∴切线方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，故选C. 导数的综合应用
【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在.(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.【典例训练】
1.设曲线y= 上有点P(x1,y1)，与曲线切于点P的切线为m，
若直线n过P且与m垂直，则称n为曲线在点P处的法线，设n交x
轴于点Q，又作PR⊥x轴于R，则RQ的长为________.
2.已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A、B两点，O为坐标
原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使△ABP的面积最大.【解析】1.依题意，y′|x=x1= ，
∵n与m垂直，
∴n的斜率为-2 ，∴直线n的方程为：y-y1=-2 (x-x1)，令
y=0，则-y1=-2 (xQ-x1)，
∴xQ= +x1，容易知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|= .
答案： 2.解题流程：【想一想】解答本题1的关键点及解答本题2时的关键点是什么？
提示：（1）解答本题1的关键点是数形结合分析出xR=x1这一隐含条件.
（2）解答本题2时关键点是注意到|AB|是定值，数形结合分析出“三角形面积最大，只需P到AB的距离最大”,即“点P是抛物线的平行于AB的切线的切点”这一隐含条件.【变式训练】函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1，其中k∈N*,若a1=16，则a1+a3+a5的值是_________.
【解析】由y=x2(x>0)得，y′=2x，
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为
y-ak2=2ak(x-ak),
当y=0时，解得
所以ak+1= ,所以a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案：21【规范解答】两曲线的公切线问题
【典例】(12分)求曲线C1:y=x2与曲线C2:y=x3的公共切线的斜率.
【解题指导】【规范解答】(1)当公切线切点相同时①，对C1,C2分别求导得
y′=2x,y′=3x2.令2x=3x2 ②，解得x=0或x= ……………2分
①当x=0时，2x=3x2=0,满足题意，此时k=0.
…………………………………………………………………4分
②当x= 时，2x=3x2= .此时C1的切线方程为y- = (x- )，
而C2的切线方程为y- = (x- ).显然两者不是同一条
切线，所以x= 舍去.………………………………………6分(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y′=2x1,y′=3x22.
∵AB的斜率为
∴有2x1=3x22= ②.……………………………………8分
由2x1=3x22，得x1= x22，
代入3x22= 中，
解得x2= ，x1= . ………………………………………10分此时公切线的斜率为k=2x1= .
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0， ③.
…………………………………………………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】(12分)求曲线y=x2过点P( ,6)的切线方程.
【解题设问】(1)点( ,6)是切点吗？____，因为____________.
(2)需要设切点吗？_____
(3)设切点有什么作用？注意到切点与点( ,6)的连线的斜率即
___________________这一隐含条件，可得切点的横坐标,问题迎
刃而解.不是点不在曲线上需要曲线在切点处的导数【规范答题】设切点为(x0,x02)，
∵y′=2x，……………………………………………………2分
又切线过点P（ ，6）,∴其斜率应满足 ，…6分
解得x0=2或x0=3， ……………………………………………8分
∴k1=4，k2=6.且切点为（2，4），（3，9）.……………10分
所以切线方程为y=4x-4，y=6x-9.…………………………12分1.设y=e3，则y′等于( )
（A）3e2 （B）e2
（C）0 （D）以上都不是
【解析】选C．因为e3是常数，常数的导数为零，所以选C．2.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( )
（A）1 （B）3 （C）2 （D）4
【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.3.给出下列结论：
①若y= ,则y′=- ；②y= ,则y′= ；
③y=log2x,则y′= ；④y=cosx，则y′=sinx.
其中正确的个数是( )
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【解析】选A.①正确,y= =x-3,
∴y′=-3x-4=- ；
②不正确,y= ,则y′= ；
③不正确,y=log2x,则y′= ;
④不正确,y=cosx,则y′=-sinx.4.若f(x)=x3，f′(x0)=3,则x0的值为_________.
【解析】∵f′(x0)=3x02=3,
∴x0=±1.
答案：±15.已知函数y=asinx+b的图象过点A（0，0），B（ ，-1），
试求函数在原点处的切线方程.
【解析】∵y=asinx+b的图象过点A（0，0），B（ ，-1）,
∴ 解得
∴y=sinx.
又∵y′=cosx，∴y′|x=0=1.
∴切线方程为y=x.课件55张PPT。第2课时 导数的运算法则1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.
2.会用导数的运算法则解决一些函数的求导问题.1.本课重点是导数运算法则的掌握与应用.
2.本课难点是导数运算法则的灵活应用.导数的求导法则[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)[Cf(x)]′=Cf′(x)（其中C为常数）[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)1.能够应用导数的运算法则求导的函数所应具备的前提条件是什么？
提示：两个函数的导数存在并且在商的导数中分母不为零．2.函数y= (ex+e－x)的导数是__________.
【解析】∵(e－x)′=( )′=－e－x,(ex)′=ex,
∴y′= (ex－e－x).
答案：y′= (ex－e－x) 3.与曲线y=x3+3x2－5相切且与直线6x+2y－1=0平行的直线方程是_____________.
【解析】∵y′=3x2+6x=－3
得x=－1，∴切点为(－1,－3).
∴直线方程为3x+y+6=0.
答案：3x+y+6=01.法则［f(x)±g(x)］′=f′(x)±g′(x)的拓展
（1）可以推广到有限个函数的和（或差）的情形:
若y=f1(x)±f2(x)±…±fn(x)，
则y′=f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x).
（2）［af(x)±bg(x)］′=af′(x)±bg′(x)，（a,b为常数）.
（3）［f(x)±c］′=f′(x).2.导数法则［f(x)g(x)］′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)的拓展
此法则可以推广到有限个函数的积的情形:
若y=f1(x)f2(x)…fn(x)，
则有
y′=f1′(x)f2(x)…fn(x)+f1(x)f2′(x)…fn(x)+…+f1(x)f2(x)
…fn′(x).3.导数运算法则的识记
（1）抓住公式特点识记：
①和（或差）的导数是导数的和（或差）；
②积的导数是前导后不导、前不导后导，中间是加号；
③商的导数是上导下不导、上不导下导，中间是减号，总体除以分母的平方.(2)利用积（或商）的导数运算法则时，注意避免以下错误：
①［f(x)g(x)］′=f′(x)g′(x)；
②［ ］′=
③［ ］′= 应用法则求函数的导数
【技法点拨】
1.应用导数运算法则求函数的导数的技巧
（1）利用三角恒等变换简化求导过程
求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错.
（2）利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.
（3）在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导. 2.应用导数运算法则求函数的导数的原则
结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则.【典例训练】
1.已知f(x)=（x2+1）2+（x+1）2+1，则f′(x)等于( )
(A)2（x2+1）+2（x+1） (B)（2x+1）2+22
(C)2（2x+1）+2×2 (D)4x3+6x+2
2.设f(x)=(2x－1)(3－x)，则f′(0)=________.
3.求下列函数的导数：
（1）y=excosx； （2）y=x2+tanx；
（3）y=2x3+ +cosx； （4）y=lgx-【解析】1.选D.f(x)=x4+3x2+2x+3，
∴f′(x)=4x3+6x+2，故选D.
2.∵f(x)=－2x2+7x－3,
∴f′(x)=－4x+7,∴f′(0)=7.
答案:73.（1）∵y=excosx，
∴y′=(ex)′cosx+ex(cosx)′
=excosx－exsinx.
（2）∵y=x2+
∴y′=(x2)′+( )′=
=（3）y′=（2x3）′+（ ）′+（cosx）′
=6x2+ －sinx.
（4）y′=(lgx－ )′=(lgx)′－( )′【想一想】解答本题1,2的关键点与解答本题3应用导数的运算法则求导的注意点是什么？
提示：（1）解题时关键是把函数解析式展开成x的多项式的形式，然后应用导数运算法则中的加法法则求导.
（2）解题时注意把要求导的函数变形为我们熟悉的基本初等函数的和、差、积、商的形式.【变式训练】求下列函数的导数：
（1）y=1+sin cos ；
（2）y=x（x2+ + ）；
（3）y=（ +1）（ -1）；
（4）f(x)=cosx－ +ln3.【解析】（1）y′=(1+sin cos )′=(1+ sinx)′= cosx.
（2）∵y=x（x2+ ）=x3+1+ ，
∴y′=3x2- .
（3）∵y=( +1)( -1)=
∴y′=- - =
（4）f′(x)=(cosx)′－( )′+( )′+(ln3)′
=－sinx+ － +0
= －sinx. 利用导数运算法则求导的简单应用
【技法点拨】
导数运算法则的应用技巧
（1）由常数函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数经过加、减、乘、除运算得到的简单函数现在均可用求导公式与导数运算法则求导.
（2）选用哪个公式要根据函数解析式的结构特征决定.
（3）解决问题时，要注意与函数性质的结合，同时注意函数与方程、数形结合等思想的应用.【典例训练】
1.质量为10 kg的物体按s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,动能
E= mv2,则物体在运动4 s后的动能是_________.
2.已知函数f(x)=lnx，g(x)= x2+a（a为常数），直线l与函数
f(x)，g(x)的图象都相切，且直线l与函数f(x)的切点的横坐标
为1,求直线l的方程及a的值.【解析】1.∵v=s′(t)=6t+1,∴t=4时瞬时速变为6×4+1=25,∴动能E= ×10×252=3 125(J).
答案：3 125 J
2.方法一：由f′(x)|x=1=1，故直线l的斜率为1，切点为(1,f(1)),即（1，0）.
∴l :y=x-1 ①又∵g′(x)=x=1,切点为（1， +a），
∴l：y-（ +a）=x-1，即y=x- +a ②
比较①和②的系数得- +a=-1,∴a=- .
方法二：由f′(x)|x=1=1，故直线l的斜率为1，切点为(1,f(1))，即（1，0）.
∴l :y=x-1 ①又∵直线l与g(x)的图象相切，所以由
得 x2－x+a+1=0.
∴Δ=1－2(a+1)=0，即a=－ .【互动探究】题2中的g(x)变为g(x)= x2+mx+ （m<0），其他条件不变,求直线l的方程及m的值.
【解题指南】本题利用题2的方法一解答太麻烦，可以考虑利用第二种方法解答,解答过程中注意验证所求的值是否满足题意.【解析】依题意知：直线l是函数f(x)=lnx在点(1,0)处的切
线，故其斜率k=f′(1)= =1，
所以直线l的方程为y=x－1．
又因为直线l与g(x)的图象相切，所以由
得Δ=(m－1)2－9=0?m=－2（m=4不合题意，舍去）.【思考】解答第2题的关键点是什么？
提示：解题时应紧扣已知条件“直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切”，挖掘出“直线l在两个函数的切点处的导数值相同”这一隐含条件.【变式训练】设抛物线C1:y=x2－2x+2与抛物线C2:y=－x2+ax+b在它们一个交点处的切线互相垂直，求a与b之间的关系.
【解析】设抛物线C1:y=x2－2x+2与抛物线C2:y=－x2+ax+b的一个交点为P（x0,y0）,即2x02－（2+a）x0+2－b=0 ①
又∵C1，C2在交点P（x0,y0）处的切线互相垂直，
∴（2x0－2）（-2x0+a）=－1，
即－4x02+2（2+a）x0+1－2a=0 ②
∴①×2+②得：2a+2b=5，∴a+b= . 求切线方程
【技法点拨】
求曲线y=f(x)的切线方程的技巧
利用导数的几何意义解决切线问题的关键是判断已知点是否是切点．若已知点是切点，则该点处的切线斜率就是该点处的导数；如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．【典例训练】
1.曲线y=2x-x3过点（1，1）处的切线方程为__________．
2.已知函数f(x)= x3－2ax2+3x(x∈R).若a=1，点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程.【解析】1.设切点为(x0,y0)，
∵y′=2－3x2,∴k=y′|x=x0=2－3x02，
∴切线方程为y－(2x0－x03)=(2－3x02)(x－x0)，
由切线过点(1,1)，
得1－(2x0－x03)=(2－3x02)(1－x0).
即(x0－1)2(2x0+1)=0.
∴x0=1或x0=－ .
∴切线方程为x+y－2=0或5x－4y－1=0.
答案：x+y－2=0或5x－4y－1=02.设切线的斜率为k，则
k=f′(x)=2x2－4x+3=2(x－1)2+1，
∴当x=1时，k取最小值为1.
又f(1)= ，∴P(1, ).
∴所求切线的方程为：y－ =x－1即3x－3y+2=0.【想一想】 解答本题1、2的关键点是什么？
提示：(1)解答本题1时应紧扣求“在”曲线上某点处的切线还是“过”曲线上某点的切线这一关键点进行求解.
(2)解答本题2时注意到以点P为切点的切线斜率是点P的横坐标的函数，问题进而转化到我们熟悉的二次函数的最值上来解决. 导数运算法则的综合应用
【技法点拨】
导数运算法则的综合应用的拓展
利用基本初等函数的导数公式和导数运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识点，结合二次函数或基本不等式进行解决.【典例训练】
1.点P在曲线y=x3－x+2上运动，设动点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是_____________.
2.已知函数f(x)=lnx,函数g(x)= +af′(x).
若a>0,函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2,求a的值.【解析】1.∵y′=3x2－1≥－1，∴tanα≥－1.
又直线倾斜角的取值范围为［0,π)，画出正切函数在此范围
上的图象即可得α的取值范围是［0, ）∪［ ,π）.
答案：［0, ）∪［ ,π）2.∵f(x)=lnx,∴f′(x)= ，
∴当x>0时,g(x)=x+ ,
∴当a>0,x>0时,g(x)≥2 ，
当且仅当x= 时取等号.
∴函数y=g(x)在(0,+∞)上的最小值是2 ,
∴依题意得2 =2,∴a=1. 【规范解答】两曲线在公共点处的公共切线
【典例】(12分)已知定义在正实数集上的函数f(x)= x2+2ax,
g(x)=3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同.
（1）若a=1，求b的值；
（2）试写出b关于a的函数关系式.【解题指导】【规范解答】（1）∵y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同，
且f′(x)=x+2,g′(x)= ①,………………………………2分
由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②,
∴ …………………………………4分
由x0+2= 得，x0=1，或x0=－3（舍去）③，
即有b= . …………………………………………………6分（2）∵y=f（x），y=g（x）（x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同.
且f′(x)=x+2a,g′(x)= ①，……………………………8分
∴由题意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0)②，
即 ………………………………10分
解得x0=a或x0=-3a（舍去）③，
∴b= a2-3a2lna（a>0）. …………………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】(12分)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与
g(x)=bx2+c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相
同的切线.用t表示a,b,c.
【解题设问】（1）由题设“点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与
g(x)=bx2+c的图象的一个公共点”你能得到什么结论？f(t)=0
与g(t)=0________________.
（2）由题设“两函数的图象在点P处有相同的切线”你又能得
到什么结论？_______________.即a，b，c的关系f′(t)=g′(t)【规范答题】∵函数f(x)，g(x)的图象都过点（t，0），
∴f(t)=0，即t3+at=0, ……………………………………2分
∵t≠0,∴a=-t2.……………………………………………4分
g(t)=0,即bt2+c=0，∴c=ab.………………………………6分
又∵f（x），g（x）在点（t，0）处有相同的切线，
∴f′(t)=g′(t).而f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx，
∴3t2+a=2bt. ………………………………………………8分
将a=-t2代入上式得b=t，∴c=ab=-t3,……………………10分
∴a=-t2，b=t，c=-t3. ……………………………………12分1.下列四组函数中导数相等的是( )
（A）f(x)=1与f(x)=x
（B）f(x)=sinx与f(x)=-cosx
（C）f(x)=1-cosx与f(x)=-sinx
（D）f(x)=1-2x2与f(x)=-2x2+3
【解析】选D.D中两个函数的导数相等即f′(x)=-4x.其中A、B、C中均不同.2.设y=－2exsinx,则y′等于( )
(A)－2excosx (B)－2ex(sinx+cosx)
(C)2exsinx (D)－2exsinx
【解析】选B.∵y′=(－2ex)′·sinx+(－2ex)·(sinx)′
=－2exsinx－2excosx
=－2ex(sinx+cosx).3.对任意的x，有f′(x)=4x3,f(1)=－1,则此函数解析式可以为( )
(A)f(x)=x4 (B)f(x)=x4+1
(C)f(x)=x4－2 (D)f(x)=－x4
【解析】选C.由导数的运算法则可知f′(x)=4x3的有A、B、C，再验证f(1)=－1的为C.4.已知曲线y= －3lnx的一条切线的斜率为 ，则切点的横
坐标为_________.
【解析】y′= ，令其等于 可得x=3或x=－2，但原函数
的定义域为(0,+ ），故x=3.
答案：35.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1)，且在点(2,－1)处与直线y=x－3相切，求a,b,c的值.
【解析】∵y′=2ax+b，∴把x=2代入得
4a+b=1 ①
又抛物线过点(1,1)及(2,－1)
∴a+b+c=1 ②
4a+2b+c=－1 ③
由①②③联立得a=3,b=－11,c=9.课件60张PPT。3.3.1 函数的单调性与导数1.掌握函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间. 1.本课的重点是利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间.
2.本课的难点是利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系.1.函数的单调性与其导数的正负的关系
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上
(1)如果f′(x)＞0，则f(x)在该区间上_________；
(2)如果f′(x)＜0，则f(x)在该区间上_________.单调递增单调递减2.函数单调性与导数值大小的关系
一般地，设函数y=f(x)，在区间(a,b)上
(1)如果|f′(x)|越大，函数在区间(a,b)上变化得_____，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；
(2)如果|f′(x)|越小，函数在区间(a,b)上变化得_____，函数的图象就比较“平缓”(向上或向下).越快越慢1.在区间(a,b)上，如果f′(x)＞0，则f(x)在该区间上单调递增，反过来也成立吗？
提示：不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数，但f′(0)=
0，即f′(x)＞0是f(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.
2.利用导数求函数的单调区间，需要先确定什么？
提示：函数的定义域.函数的单调区间是函数定义域的子集.3.函数f(x)=2x3-6x2+7的单调递增区间为_________,单调递减区间为_________.
【解析】∵f(x)的定义域为R,f′(x)=6x2-12x,
令f′(x)＞0，解得x＞2或x＜0,
令f′(x)＜0，解得0＜x＜2.
∴f(x)的递增区间是(-∞,0)，(2,+∞)；f(x)的递减区间是(0,2).
答案：(-∞,0),(2,+∞) (0,2)4.函数y=ax3-1在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为______.
【解析】∵y′=3ax2≤0恒成立，解得a≤0.而a=0时，y=-1不是减函数，∴a＜0.
答案：a＜0利用导数研究函数单调性时应注意的四个问题
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.
(4)如果函数在某个区间上，恒有f′(x)=0，则f(x)为该区间上的常数函数.如f(x)=3，则f′(x)=3′=0. 判断或证明函数的单调性
【技法点拨】
关于利用导数判断或证明函数的单调性的问题
(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a,b)内，若f′(x)＞0，则y=f(x)在(a,b)上单调递增；如果f′(x)＜0,则y=f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数，不具有单调性.(2)导数与函数图象的关系【典例训练】
1.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)可能为( )2.证明：函数f(x)=lnx+x在其定义域内为单调递增函数.【解析】1.选D.由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.
2.函数的定义域为{x|x＞0}，
又f′(x)=(lnx+x)′= +1，
当x＞0时，f′(x)＞1＞0，
故y=lnx+x在其定义域内为单调递增函数.【互动探究】把本题2中的lnx改为ex，其他条件不变，判断函数的单调性.
【解析】∵f(x)=ex+x，显然定义域为R.
由f′(x)=(ex+x)′=ex+1，且当x∈R时，
f′(x)＞1＞0.
∴函数在其定义域内是单调递增函数.【归纳】解答题1的关键点及题2的注意点.
提示：(1)解题1时关键是对函数的增减性与导函数的符号的判定.
(2)解题2时易忽视函数定义域的确定，应养成研究函数先看定义域的习惯.【变式训练】已知a＞0，且a≠1，证明函数f(x)=ax-xlna在
(-∞,0)上是减函数.
【证明】∵f′(x)=axlna-lna=lna(ax-1),x＜0.
∴当a＞1时，lna＞0,ax＜1,∴f′(x)＜0，
即f(x)在(-∞,0)上是减函数；
当0＜a＜1时，lna＜0,ax＞1，∴f′(x)＜0，
即f(x)在(-∞,0)上是减函数.
综上，函数f(x)在(-∞,0)上是减函数. 求函数的单调区间
【技法点拨】
利用导数求函数f(x)的单调区间的五个步骤确定f(x)的定义域求f′(x)解f′(x)>0及f′(x)<0求不等式解集与定义域的公共部分写出单调区间求定义域求导数解不等式取交集下结论【典例训练】(建议教师以第3题为例重点讲解)
1.函数f(x)=x3-3x+1的单调递减区间为( )
(A)(-1,1) (B)(1,2)
(C)(-∞,-1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
2.(2012·辽宁高考)函数y= x2-lnx的单调递减区间为( )
(A)(-1,1］ (B)(0,1］
(C)［1,+∞) (D)(0,+∞)
3.已知a是实数，函数f(x)= (x-a),求函数f(x)的单调区间.【解析】1.选A.∵x∈R,f′(x)=3x2-3，
∴f′(x)＜0的解集为{x|-1＜x＜1}，
∴单调递减区间为(-1,1).
2.选B.由y′=( x2-lnx)′=x- ≤0?0＜x≤1或x≤-1，又函数的定义域为(0,+∞),故单调递减区间为(0,1］.
3.函数的定义域为［0,+∞)，
f′(x)= (x＞0).若a≤0，则f′(x)＞0，
∴f(x)的单调递增区间为［0,+∞).
若a＞0，令f′(x)=0，得x= ，当0＜x＜ 时，f′(x)＜0，
当x＞ 时，f′(x)＞0.
∴f(x)的单调递减区间为［0, ］，单调递增区间为( ,+∞).
综上，a≤0时，f(x)的单调增区间为［0,+∞)；
a＞0时，f(x)的单调减区间为［0, ］，单调增区间为
( ,+∞).【想一想】解答题1、2、3的注意点及关键点是什么？
提示：(1)解题时容易忽视函数定义域，而解f′(x)＞0或f′(x)＜0直接得出函数的单调区间,不符合函数的单调区间是函数定义域的子区间而出现错误.
(2)解题时,关键是对函数进行正确的求导以及解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0.【变式训练】若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为［－1,
2］，则b＝__________,c=__________.
【解析】∵f′(x)=3x2+2bx+c，由题意知［－1,2］是不等式
3x2+2bx+c≤0的解集，∴－1,2是方程3x2+2bx+c=0的根，由根
与系数的关系得b=- ,c=-6.
答案：－ －6 已知函数单调性求参数范围
【技法点拨】
1.利用函数的单调性求参数的取值范围的两种方法
(1)利用函数单调性的定义.
(2)利用导数法，利用导数法更为简捷.如果一个函数在某区间上递增(或递减)，直接利用f′(x)≥0(或f′(x)≤0)转化为不等式在某个区间上恒成立的问题，但要注意验证f′(x)不能恒为零.2.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意.
(2)先令f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”，看此时f(x)是否满足题意.通常验证参数取“=”这一步不影响结果时可省略.3.该类题用到的重要转化
m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max；
m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min.【典例训练】
1.若函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增，则实数a的取值范围为________.
2.已知函数f(x)=2ax- ,x∈(0,1］.若f(x)在(0,1］上是增函数，求a的取值范围.【解析】1.方法一：
∵f′(x)=3ax2-2x+1,
∴由题意f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增，可知
3ax2-2x+1≥0对x∈R恒成立.
a=0时,-2x+1≥0不能恒成立，
∴
解得a≥ .方法二：∵f′(x)=3ax2-2x+1.
∴由题意f(x)=ax3-x2+x-5在R上单调递增，可知
3ax2-2x+1≥0对x∈R恒成立.
∴当x=0时，1≥0恒成立，
∴a∈R.
当x≠0时，3ax2-2x+1≥0转化为
a≥
即a≥ 对x∈R恒成立.令 =t(t≠0)，则a≥ 对t≠0恒成立.
∵y= (t≠0)的最大值为 .
∴a≥ .
综上，a≥ .
答案：a≥ 2.解题流程:∵f(x)在(0,1]上是增函数，
∴f′(x)≥0在(0,1]上恒成立【思考】(1)解答题1由题意仅得f′(x)＞0可以吗？
(2)二次函数3ax2-2x+1≥0恒成立的实质是什么？
提示：(1)由函数单调递增仅得f′(x)＞0是不够的，即也可能f′(x)=0，对于能否取到等号的问题，通常需要单独验证.
(2)二次函数3ax2-2x+1≥0恒成立的实质是二次函数图象开口向上，且与x轴至多有一个交点.【变式训练】已知函数f(x)=x2+ (x≠0,a∈R),若f(x)在［2,+∞)上是增函数，求a的取值范围.
【解析】∵f′(x)=2x- 且f(x)在［2,+∞)上是增函数，
∴f′(x)≥0即 ≥0对x∈［2,+∞)恒成立.
∵x2＞0,∴2x3-a≥0对x∈［2,+∞)恒成立.
即a≤2x3对x∈［2,+∞)恒成立.
∵y=2x3在［2,+∞)上是增函数,∴ymin=16,∴a≤16. 利用导数证明不等式
【技法点拨】
1.利用导数证明不等式的常见形式及证明步骤
(1)常见形式：已知x∈(a,b)，求证：u(x)＞v(x).
(2)证明步骤:
①将所给的不等式移项，构造函数f(x)=u(x)-v(x)，转化为证明函数f(x)＞0；
②在x∈(a,b)上，判断f′(x)的符号；③若f′(x)＞0，说明f(x)在区间(a,b)上是增函数，只需将所给的区间的左端点的值代入f(x)，检验其值为零(或为正)，即证得f(a)≥0即可;若f′(x)＜0，说明f(x)在区间(a,b)上是减函数，只需将所给的区间的右端点的值代入f(x)，检验其值为零(或为正)，即证得f(b)≥0即可.
2.利用导数证明不等式的实质
利用导数证明不等式的实质是利用函数的单调性证明不等式.【典例训练】
1.已知a,b为实数，且b＞a＞e，其中e为自然对数的底数，求证：ab＞ba.
2.当x≥1时，证明 ≤1.
【证明】1.方法一：∵b＞a＞e，
∴要证ab＞ba，只需证blna＞alnb.
设f(b)=blna-alnb(b＞e)，则f′(b)=lna- .
∵b＞a＞e，∴lna＞1且 ＜1,∴f′(b)＞0.
∴函数f(b)=blna-alnb(b＞e)在(e,+∞)上是增函数.∴f(b)＞0，即blna-alnb＞0，
∴blna＞alnb，即ab＞ba.
方法二：要证ab＞ba，只需证blna＞alnb，
即
设f(x)= (x＞e)，则f′(x)= ＜0,
∴f(x)在(e,+∞)上是减函数，又e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即
∴ab＞ba.2.要证 ≤1,因为x≥1.
故只需证明lnx+1≤x,
令h(x)=x-lnx-1,
则h′(x)=1- ,
∵x≥1,
∴h′(x)≥0,
∴h(x)在［1，+∞)单调递增，∴x≥1时，h(x)≥h(1)=0.
即lnx+1≤x成立，
∴当x≥1时, ≤1.【规范解答】用导数解决函数的单调性问题
【典例】(12分)设函数f(x)=ax- -2lnx.
(1)若f′(2)=0，求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围.【解题指导】【规范解答】(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)①，f′(2)=0，且
f′(x)=
∴a+ -1=0，∴a= . ………………………………………3分
∴f′(x)= + -2x= (2x2-5x+2),
由f′(x)＞0结合x＞0,得0＜x＜ 或x＞2,
∴f(x)的递增区间为(0, ］和［2,+∞)，
递减区间为( ,2)②, ……………………………………6分(2)若f(x)在定义域上是增函数,则
f′(x)≥0对x＞0恒成立， …………………………………8分
∵f′(x)=
∴需x＞0时ax2-2x+a≥0恒成立……………………………10分
化为a≥ 对x＞0恒成立，
∵ ≤1，当且仅当x=1时取等号③.
∴a≥1.……………………………………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)【规范训练】(12分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1- .讨论函数f(x)的单调性.
【解题设问】(1)本题函数的定义域是什么？___
(2)a会等于零吗？_____
(3)解f′(x)＞0时需讨论吗？为什么？
需_____，导函数开口方向不同，单调区间不同.R不会讨论【规范答题】由条件可知a≠0,
∴f′(x)=3ax2-6x=3ax(x- ). ……………………………2分
∴当a＞0时，
f′(x)＞0?x＜0或x＞ ，
f′(x)＜0?0＜x＜ .……………………………………4分
f(x)在(-∞,0),( ,+∞)上是增函数，在(0, )上是减函数.
………………………………………………………6分当a＜0时，
f′(x)＜0?x＜2a或x＞0，
f′(x)＞0? ＜x＜0.……………………………………8分
f(x)在(-∞, ),(0,+∞)上是减函数，在( ,0)上是增函
数.…………………………………………………………10分
综上，a＞0时，f(x)在(-∞,0),( ,+∞)上是增函数，在
(0, )上是减函数；
a＜0时f(x)在(-∞, ),(0,+∞)上是减函数，在( ,0)上是增函数.………………………………………………………12分 1.函数y=4x2+ 的单调递增区间是( )
(A)(0,+∞) (B)(-∞,1)
(C)( ,+∞) (D)(1,+∞)
【解析】选C.∵y′=8x- = ＞0，∴x＞ ，即函数的
单调递增区间为( ,+∞).2.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则y=f(x)的图象大致是( )【解析】选C.当0＜x＜1时，xf′(x)＜0,
∴f′(x)＜0,故y=f(x)在(0，1)上为减函数，排除A、B选项.
当1＜x＜2时，xf′(x)＞0,
∴f′(x)＞0,故y=f(x)在(1，2)上为增函数，因此否定D.故选C.3.若函数y=a(x3-x)的递减区间为(- , )，则a的取值范围是( )
(A)a＞0 (B)-1＜a＜0
(C)a＞1 (D)0＜a＜1
【解析】选A.f′(x)=a(3x2-1)，当x∈(- , )时，f′(x)＜0，则a＞0.4.y= 的单调递减区间是_________________.
【解析】函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
， ＜0，
所以y= 在(-∞,0)，(0,+∞)内都是减函数，
即y= 的单调减区间是(-∞,0)，(0,+∞).
答案：(-∞,0),(0,+∞)5.已知函数f(x)=(x2+ )(x+a)(a∈R)，
(1)若函数f(x)有与x轴平行的切线，求a的取值范围；
(2)若f′(-1)=0，求函数f(x)的单调区间.
【解析】∵f(x)=x3+ax2+ x+ a，
∴f′(x)=3x2+2ax+ .
(1)∵函数f(x)有与x轴平行的切线，
∴f′(x)=0有实数解，则Δ=4a2-4×3× ≥0,a2≥ ,
所以a的取值范围是(-∞,- ］∪［ ,+∞).(2)∵f′(-1)=0，∴3-2a+ =0,a= ,
∴f′(x)=3x2+ x+ =3(x+ )(x+1).
由f′(x)＞0得x＜-1或x＞- .
由f′(x)＜0得-1＜x＜- .
∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)和(- ,+∞)；
单调递减区间是(-1,- ).课件65张PPT。3.3.2 函数的极值与导数1.了解函数极值的概念，会从几何的角度直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.
2.结合函数的图象，了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.
3.会用导数求最高次幂不超过三次的多项式函数的极大值、极小值. 1.本课重点是利用导数求函数的极大值、极小值.
2.本课难点是极值的综合应用.
3.本课易混点是导数等于0的点与极值点的关系.1.极小值点与极小值的定义
(1)特征：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近
其他点的函数值_____，且_________.
(2)实质：在点x=a附近的左侧__________，右侧__________.
(3)极小值点是：____,极小值是:_____.
2.极大值点与极大值的定义
(1)特征：函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近
其他点的函数值_____，且_________.都小f′(a)=0f′(x) ＜0f′(x)＞0f(a)点a都大f′(b)=0(2)实质：在点x=b附近的左侧__________，右侧__________.
(3)极大值点是：____,极大值是:_____.
3.极值的定义
(1)极大值与极小值统称_____.
(2)极值反映了函数在某一点附近的_________，刻画的是函数
的_________.
4.函数在某点取得极值的必要条件
函数y=f(x)在点x=x0处取得极值的必要条件是_________.f′(x)＞0f′(x)＜0点bf(b)极值大小情况局部性质f′(x0)=05.求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x0)=0，当f′(x0)=0时：
(1)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧__________，右侧__________，那么f(x0)是极小值.f′(x)＞0f′(x)＜0f′(x)＜0f′(x)＞01.函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内函数的极大值和极小值是唯一的吗？
提示：不一定;不一定唯一.2.已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有_______个极大值点，_______个极小值点.【解析】由图象得在x=x2时导数值为0，且左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，故x=x2为极大值点；在x=x3时导数值为0，且左侧f′(x)＜0,右侧f′(x)＞0，故x=x3为极小值点.
答案：1 13.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值为_________.
【解析】∵f′(x)=3x2-6x,解3x2-6x=0得
x=0或x=2，
∴f(x)的增区间为(2,+∞)和(-∞,0)，f(x)的减区间为(0,2)，∴当x=0时，函数取得极大值f(0)=7.
答案：71.极值概念的理解
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.请注意以下几点：
(1)极值是一个局部概念.由定义可知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.
(2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)＞f(x1).(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.2.极值点与导数为零的点的辨析
(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点x0是可导函数f(x)的极值点”是“f′(x0)=0”的充分不必要条件；
(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同.
(3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点. 求已知函数的极值
【技法点拨】
求函数极值的步骤确定函数f(x)的定义域求导函数f′(x)用f′(x)=0的根将定义域分成若干区间，列表求f′(x)在定义域内的所有根由各个区间内f′(x)的符号，判断极值情况【典例训练】(建议教师以第2题为例题重点讲解)
1.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值为______，极小值为______.
2.求函数f(x)=x4-x3的极值.
【解析】1.∵f(x)与x轴切于(1,0)点，
f′(x)=3x2-2px-q，
∴f′(1)=3-2p-q=0.又f(1)=1-p-q=0，
∴p=2,q=-1.
∴f′(x)=3x2-4x+1.
由f′(x)=0得x1= ,x2=1.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：+00+-↗↘↗0f(x)极大值=f( )= ,
f(x)极小值=f(1)=0.
答案： 0
2.∵f(x)=x4-x3,∴f′(x)=4x3-3x2.
令f′(x)=0,即4x3-3x2=0,得x2(4x-3)=0.
∴x=0或x= .
当x变化时，f(x),f′(x)的变化情况如下表：由上表可知,函数f(x)在区间(-∞,0)上是减函数,在区间(0, )
上还是减函数,因此x=0不是函数的极值点;而函数f(x)在区间
(0, )上是减函数，在区间( ,+∞)上是增函数，因此在x=
处取得极小值，其值为 .-0-0+↘不是
极值↘↗【总结】解答题1的关键点及解答题2时的注意点.
提示：(1)解答题1的关键点是函数f(x)的图象与x轴切于(1,0)点所隐含的两个条件的挖掘，即f(1)=0与f′(1)=0.
(2)解答题2时的注意点是f′(x)=0的点左右两侧f′(x)异号，解题时极易忽视. 已知函数的极值求参数
【技法点拨】
已知函数极值点或极值求参数的两个注意点
(1)常根据极值点处导数为0和极值的两个条件列方程组，利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.【典例训练】(建议教师以第2题为例题重点讲解)
1.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10，则a=_____，
b=_____.
2.已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 时都取得极值.
(1)求a,b的值；
(2)若f(-1)= ，求f(x)的单调区间和极值.【解析】1.f′(x)=3x2+2ax+b,依题意得
即 解得 或
但由于当a=-3,b=3时,f′(x)=3x2-6x+3≥0,故f(x)在R上单调递增,不可能在x＝1处取得极值,
∴ 不合题意,舍去;而当 时,经检验知，符合题意,故a,b的值分别为4,－11.
答案：4 －112.(1)f′(x)=3x2+2ax+b，
令f′(x)=0，由题设知x=1与x=- 为f′(x)=0的解.
∴
∴a=- ,b=-2.
(2)由(1)知f(x)=x3- x2-2x+c，
由f(-1)=-1- +2+c= ，得c=1.
∴f(x)=x3- x2-2x+1.
∴f′(x)=3x2-x-2.当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)的递增区间为(-∞,- )和(1,+∞)，递减区间为(- ,
1).
当x=- 时，f(x)有极大值为f(- )= ；
当x=1时，f(x)有极小值为f(1)=- .+0-0+↗↘↗【互动探究】若题2变为：已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=
- 时都取得极值，且函数的极小值为- ，求f(-1),如何求解.
【解题指南】解答本题，需确定函数的解析式.先对函数进行
求导，由题意可得x=1与x=- 为f′(x)=0的解，进而可求出
a,b的值.函数的极值可用c表示出来，由函数的极小值为- ，
可求出c值.【解析】∵f′(x)=3x2+2ax+b,
令f′(x)=0，由题设知x=1与x=- 为f′(x)=0的解.
∴
∴a=- ,b=-2.
∴f(x)=x3- x2-2x+c，
f′(x)=3x2-x-2.当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
∴f(x)的递增区间为(-∞,- )和(1,+∞)，递减区间为(- ,
1).当x=1时，f(x)有极小值为f(1)=- +c.
∴- +c=- ，即c=1.
∴f(x)=x3- x2-2x+1.
∴f(-1)=-1- +2+1= .【归纳】解答题1的注意点及解答题2时的关键点.
提示：(1)解答题1时应紧扣函数极值的定义.解完方程组后，应把方程组的解代入原函数,根据函数极值的定义验证是否符合题意，进行灵活的取舍.
(2)解答题2时把握住题目中的函数的极值点是导函数值等于零的方程的根这一实质进行合理的转化.【变式训练】已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1，仅当x=±1时取得极值，且极大值比极小值大4.求a,b的值.
【解析】f(x)=x5+ax3+bx+1的定义域为R，
∵f′(x)=5x4+3ax2+b，x=±1时有极值，
∴5+3a+b=0，
∴b=-3a-5①
代入f′(x)得f′(x)=5x4+3ax2-3a-5
=5(x4-1)+3a(x2-1)
=(x2-1)［5(x2+1)+3a］
=(x+1)(x-1)［5x2+(3a+5)］.
∵y=f(x)仅当x=±1时有极值，
∴5x2+(3a+5)≠0对任意x成立.
∴3a+5＞0即a＞- .当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
?
由此可知，当x=-1时取极大值，当x=1时，取极小值.
∴f(-1)-f(1)=4，
即得a+b=-3②
由①②解得 函数极值的综合应用
【技法点拨】
极值问题的综合应用技巧
极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用.在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键.【典例训练】
1.函数f(x)=x3+x2-5x+2的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围为_________.
2.函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数y=f(x)的图象与y= f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围.【解析】1.f(x)=x3+x2-5x+2,
f′(x)=3x2+2x-5.由f′(x)=0得x=- 或x=1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：+0-0+↗↘-1↗根据上表，当x=- 时函数取得极
大值且极大值为f(- )= ，当
x=1时函数取得极小值且极小值为
f(1)=-1.
根据题意结合下图可知k的取值范
围为(－1， ).
答案：(－1， )2.(1)由题意得f′(x)=3ax2-12ax+3b，f′(2)=-3且f(2)=5，
∴ 即
解得a=1，b=3，∴f(x)=x3-6x2+9x+3.
(2)由f(x)=x3-6x2+9x+3,
可得f′(x)=3x2-12x+9，
f′(x)+5x+m= (3x2-12x+9)+5x+m
=x2+x+3+m,则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根，
即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，∵g′(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4),
∴令g′(x)=0得x= 或x=4.
当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如表:+0-0+↗↘-16-m↗则函数g(x)的极大值为g( )= -m，极小值为g(4)=-16-m.
∴由y=f(x)的图象与y= f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点，
得 解得-16＜m＜ .【思考】解答题1时函数f(x)的图象与y=k有三个不同的交点的实质是什么？
解答题2时的转化思想是什么？
提示：(1)解答题1时函数f(x)的图象与y=k有三个不同的交点的实质是k介于函数f(x)的极大值与极小值之间.
(2)解答题2时的转化思想是构造新函数，问题转化为新的函数图象与x轴有三个不同的交点.【变式训练】已知a为实数，函数f(x)=-x3+3x+a.
(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；
(2)当a为何值时，方程f(x)=0恰好有两个实数根？
【解析】(1)由f(x)=-x3+3x+a，得f′(x)=-3x2+3，
令f′(x)=0，得x=1或x=-1.
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：由表可知函数f(x)的极小值为
f(-1)=a-2；极大值为f(1)=a+2.
由单调性、极值可画出函数f(x)的大致
图象，
如图所示，这里，极大值a+2大于极小值a-2.-↘↘a+2↗a-20+0-(2)结合图象，当极大值a+2=0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)=0恰有两个实数根，所以a=-2满足条件；
当极小值a-2=0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)=0恰好有两个实数根，所以a=2满足条件.
综上，当a=±2时，方程恰有两个实数根.【规范解答】含参函数的极值点问题
【典例】(12分)已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x (x∈
R)(其中m为常数).
(1)当m=4时，求函数的极值点和极值；
(2)若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有两个极值点，求实数m的取值范围.【解题指导】【规范解答】函数的定义域为R.
(1)当m=4时，f(x)= x3- x2+10x，
∴f′(x)=x2-7x+10,
令f′(x)=0，解得x=5或x=2①………………………………3分
当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：由表知，函数的极大值点是x=2，极大值是 ；
函数的极小值点是x=5，极小值是 ②.…………………6分
(2)∵f′(x)=x2-(m+3)x+m+6, ……………………………8分
∴要使函数y=f(x)在(0,+∞)有两个极值点,
则有方程f′(x)=0在(0,+∞)上有两个不同的实数根.
即 ③……………………………10分
解得m＞3.
∴m＞. ……………………………………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)【规范训练】(12分)(2012·龙岩高二检测)已知函数f(x)=
x3-2ax2-3x(a∈R).
(1)当|a|≤ 时, 求证：f(x)在(-1,1)内是减函数;
(2)若y=f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点, 求a的取值范围. 【解题设问】(1)解答本题需要讨论吗？_____
(2)若需要，讨论的标准是什么？a的取值对函数极值的影响，
即 时,f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点, 且是极大值
点； 时，f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点, 且是极
小值点； 时,f(x)在(-1,1)内无极值点.需要【规范答题】(1)∵f(x)= x3-2ax2-3x,
∴f′(x)=2x2-4ax-3，2分
∵|a|≤ ,
∴ ………………………………………4分
又∵二次函数f′(x)的图象开口向上,
∴在(-1,1)内f′(x)＜0, 故f(x)在(-1,1)内是减函数.
………………………………………………………………6分(2)设极值点为x0∈(-1，1),则f′(x0)=0.
当a＞ 时,
∵ ………………………………………8分
∴在(-1,x0)内f′(x)＞0,在(x0,1)内f′(x)＜0,
即f(x)在(-1,x0)内是增函数,f(x)在(x0,1)内是减函数.
当a＞ 时,f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点, 且是极大值点.…………………………………………………………10分当a＜- 时, 同理可知,f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点, 且是极小值点.
当- ≤a≤ 时, 由(1)知f(x)在(-1,1)内没有极值点.
故所求a的取值范围为(-∞,- )∪( ,+∞).……………12分1.设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是( )
(A)必有f′(x0)=0
(B)f′(x0)不存在
(C)f′(x0)=0或f′(x0)不存在
(D)f′(x0)存在但可能不为0
【解析】选A.由函数极值的定义可得.2.函数y=x3-3x2-9x(-2＜x＜2)有( )
(A)极大值5，极小值-27
(B)极大值5，极小值-11
(C)极大值5，无极小值
(D)极小值-27，无极大值
【解析】选C. ∵y′=3(x+1)(x-3)，
所以只有x=-1是函数的极值点，且是极大值点.
此时y=5.3.函数f(x)=- x3+ x2+2x取极小值时，x的值是( )
(A)2 (B)2,-1 (C)-1 (D)-3
【解析】选C.f′(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+1).
∵在x=-1的附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，
∴x=-1时取极小值. 4.函数f(x)=x3-6x2-15x+2的极大值是，极小值是_________.
【解析】f′(x)=3x2-12x-15=3(x-5)(x+1),
解f′(x)=0得x=5或x=-1.可知：
在(-∞,-1),(5,+∞)上f′(x)＞0，
在(-1,5)上f′(x)＜0，
∴f(x)极大值=f(-1)=10，
f(x)极小值=f(5)=-98.
答案：10 －985. 设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0，试确定函数的解析式.
【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c,P点坐标为(0,d)，
又曲线在点P处切线方程为12x-y-4=0，
∴当x=0时，y=d，即d=-4，
∵f′(0)=c，又切线斜率k=12，∴c=12.又函数在x=2处取得极值0，
∴ ∴
解得
∴函数解析式为f(x)=2x3-9x2+12x-4.课件66张PPT。3.3.3 函数的最大(小)值与导数1.能够区分极值与最值两个不同的概念.
2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法. 1.本课重点是求函数的最值.
2.本课难点是函数最值的灵活应用.
3.本课易混点是函数的极值与最值.1.函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最值
(1)能够取得最值的前提条件：在区间_______上函数y=f(x)的
图象是一条___________曲线.
(2)函数的最值必在________或___________取得.［a,b］连续不断的极值点区间端点2.求函数y=f(x)在［a,b］上的最值的步骤
(1)求函数y=f(x)在［a,b］内的_____；
(2)将函数y=f(x)的_______与___________________,_____比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.极值各极值端点处的函数值f(a)f(b)1.在区间［a,b］上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在［a,b］上一定存在最值和极值吗？
提示：一定有最值，但不一定有极值.如果函数y=f(x)在［a,
b］上是单调函数，此时y=f(x)在［a,b］上无极值；如果y=f(x)在［a,b］上不是单调函数，则y=f(x)在［a,b］上有极值.2.在区间(a,b)上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在(a,b)上一定存在最值吗？
提示：不一定.函数有最值的条件有两个：一是给定函数的区间必须是闭区间，二是函数的图象在闭区间上必须是一条连续不断的曲线，二者缺一不可.3.函数y= 的最大值为_________.
【解析】令y′= =0.
解得x=e.
当x＞e时,y′＜0;
当0＜x＜e时，y′＞0.
y极大值=f(e)= ，在定义域内有一个极值,
所以ymax= .
答案： 4.函数y=x- ,x∈［1,3］的最大值为_____，最小值为_____.
【解析】∵函数y=x- 在x∈［1,3］上单调递增，
∴所以当x=3时，ymax=3- .
当x=1时，ymin=1- =0.
答案： 01.对函数最值的两点说明
(1)给定的区间必须是闭区间，y=f(x)在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值.
例如，函数f(x)= ，x∈(0,2),y=f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y=f(x)没有最大值和最小值.(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y=f(x)有最大值和最小值.
例如，函数f(x)= 作图可知f(x)无最小值.2.函数极值与最值的内在联系
(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值.(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个.
(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值. 求已知函数的最值
【技法点拨】
导数法求可导函数最值的两要点
(1)求f′(x)，令f′(x)=0，求出在(a，b)内使导数为0的点.
(2)比较两类点处的函数值：导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在［a，b］上的最大值，最小者便是f(x)在［a，b］上的最小值.【典例训练】（建议教师以第1题为例题重点讲解）
1.函数f(x)=x3-x2-x+1在［-1,2］上的最大值为______，最小值为_______.
2.求函数f(x)=x2-4x+6在区间［1,5］内的最大值和最小值.【解析】1.解题流程又∵f(-1)=0,f(2)=3∴最大值为f(2)=3,
最小值为f(-1)=f(1)=0答案：3 02.方法一:∵f(x)=x2-4x+6=(x-2)2+2,
∴f(x)在区间［1,2］内单调递减，在区间［2,5］内单调递增.
∴x=5时，函数取到最大值为f(5)=11；
x=2时，函数取到最小值为f(2)=2.
方法二：∵f′(x)=2x-4,
令f′(x)=0，即2x-4=0，得x=2.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：由表知：函数f(x)在区间［1，5］内的最大值为11，最小值为2 .【归纳】解答题1的关键点和题2方法二的解题技巧.
提示：(1)在熟练掌握求解步骤的基础上，解答题1的关键在于对函数进行正确的求导，正确的确定极值和端点函数值.
(2)题2方法二的技巧在于把区间的端点值一并列表，在列表的同时比较得出函数的最值，清晰明了.【变式训练】求函数f(x)=x3+3x2+5x-1在x∈［-1,1］内的最值.
【解析】∵f′(x)=3x2+6x+5=3(x2+2x)+5
=3(x+1)2+2,
∴在x∈［-1,1］内f′(x)＞0.
∴f(x)在x∈［-1,1］上单调递增.
故f(x)min=f(-1)=-4，f(x)max=f(1)=8. 含参数的函数最值问题
【技法点拨】
已知函数最值求参数的方法
已知函数的最大值或最小值，也可利用导数，采用待定系数法，列出字母系数的方程或方程组，解出字母系数，从而求出函数的解析式，进而可以研究函数的其他性质.【典例训练】
1.(2012·北京高考)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；
(2)当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间［k,2］上的最大值为28，求k的取值范围.
2.若f(x)=ax3-6ax2+b(a＞0),x∈［-1,2］的最大值为3，最小值为－29，求a,b的值.【解析】1.(1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
由已知可得 解得a=b=3.
(2)f(x)=3x2+1,g(x)=x3-9x,
令h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2-9x+1,
h′(x)=3x2+6x-9,令h′(x)=0，得x1=-3,x2=1.当x=-3时，取极大值28;
当x=1时，取极小值-4.
而h(2)=3＜h(-3)=28，
如果h(x)在区间［k,2］上的最大值为28，则k≤-3.2.f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).
令f′(x)=0，得x=0或x=4.
∵x∈［-1,2］，∴x＝0.
∵a＞0，
∴当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：∴当x=0时，f(x)取极大值，即最大值为3，∴b=3.
又f(2)=8a-24a+3=-16a+3，
f(-1)=-7a+3＞f(2)，
∴当x=2时，f(x)取最小值，为－16a＋3＝－29，
∴a=2.∴a=2,b=3. 【思考】题2为什么对a的符号加以限定？
提示：通过解答题2可知，a的符号对函数的单调性的变化有直接的影响，进而导致函数的最值也受a的符号的影响，如果题2不对a的符号限定，应注意对a进行讨论.【互动探究】题2中a＞0这一条件删去，其他条件不变，求a,b的值.
【解析】显然a≠0(否则f(x)=b为常函数，矛盾).
则f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4).
令f′(x)=0，得x=0或x=4.
∵x∈［-1,2］，∴x＝0.
∴(1)当a＞0时，则当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
∴当x=0时，f(x)取极大值，即最大值为3，∴b=3.
又f(2)=8a-24a+3=-16a+3，
f(-1)=-7a+3＞f(2)，
∴当x=2时，f(x)取最小值，为-16a+3=-29，
∴a=2.∴a=2,b=3.(2)当a＜0时，
则当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
∴当x=0时，f(x)取极小值,即最小值为-29，
∴b=-29.
又f(2)=8a-24a-29=-16a-29，
f(-1)=-7a-29＜f(2)，∴当x=2时，f(x)取最大值,为-16a-29=3，
∴a=-2.
∴a=-2,b=-29.
综上所述，a=2,b=3或a=-2,b=-29. 与最值有关的恒成立问题
【技法点拨】
不等式恒成立问题常用的解题方法分离参数，转化为f(x)≥a恒成立，即f(x)min≥a；或f(x)≤a恒成立，即f(x)max≤a求f(x)min或f(x)max写出参数的取值范围【典例训练】
1.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1］都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为_________.
2.已知f(x)=x3- x2-2x+5，当x∈［-1,2］时，f(x)＜a恒成立，求实数a的取值范围.【解析】1.∵x∈(0,1］，f(x)≥0可化为a≥
设g(x)= ,则g′(x)=
令g′(x)=0，得x= .
当0＜x＜ 时,g′(x)＞0;
当 ＜x≤1时,g′(x)＜0.
∴g(x)在(0,1］上有极大值g( )=4，它也是最大值,
∴a≥4.
答案：［4,+∞)2.∵f(x)=x3- x2-2x+5，
∴f′(x)=3x2-x-2.
令f′(x)=0，即3x2-x-2=0，
∴x=1或x=- .
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： +0-0+↗↘↗∴当x=- 时，f(x)取得极大值f(- )=
当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=
又f(-1)= f(2)=7，
∴f(x)在x∈［-1,2］上的最大值为f(2)=7.
∴要使f(x)＜a恒成立，需f(x)max＜a，即a＞7.
∴所求实数a的取值范围是(7,+∞).【互动探究】题2中，把“f(x)＜a”改为“f(x)≥a”,求实数a的取值范围.
【解题指南】解答本题可利用导数求出函数f(x)的最小值，进而可得a的取值范围.
【解析】由本题2解析可知
f(2)=7,
∴f(x)在x∈［-1,2］上的最小值为f(1)= ，
∴要使f(x)≥a恒成立，需f(x)min≥a，即a≤ ，
∴所求实数a的取值范围是(-∞, ］.【想一想】解答题1的体会及解答题2的注意点.
提示：(1)当函数在闭区间上只有一个极值时，该极值必为最值.
(2)在确定a的取值范围时，要注意等号能否取到.【变式训练】已知函数f(x)=x3+ x2-6x+c在x∈［-3,2］时，
都有f(x)＞ 恒成立，求c的范围.
【解析】∵f′(x)=3x2+3x-6=3(x+2)(x-1).
令f′(x)=0，即3(x+2)(x-1)=0，
解得x=-2或x=1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：++↗↗0c+10↘-0∵x=-2时，f(x)取得极大值为f(-2)=c+10，
x=1时，f(x)取得极小值为f(1)=c- ，
又f(-3)=c+ ，f(2)=c+2.
∴f(x)在x∈［-3,2］上的最小值为f(1)=c- .
∴c- ＞ ,
解得 ＜c＜0或c＞ 利用函数的最值证明不等式
【技法点拨】
利用函数的最值证明不等式的基本步骤
(1)将要证明的不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))，转化成f(x)-g(x)＞0(f(x)-g(x)＜0)的形式；
(2)构造新函数h(x)=f(x)-g(x)；
(3)利用导数求h(x)在所给区间的最小值(最大值)；
(4)证明函数h(x)min＞0(h(x)max＜0)即可证原不等式成立.【典例训练】
1.当0＜x＜ 时，求证：tanx＞x+
2.求证：lnx+ (x-1)2≥1+ (1-x)3. 【证明】1.设f(x)=tanx-(x+ )，
则f′(x)= -1-x2
=tan2x-x2=(tanx+x)(tanx-x),
∵0＜x＜ ,∴tanx＞x＞0,
∴f′(x)＞0，即f(x)在(0, )上递增.
又∵f(0)=0，∴当x∈(0, )时，f(x)＞0,
即tanx＞x+ .2.设f(x)=lnx+ - (x-1)2+ (x-1)3-1(x＞0),
则f′(x)= - -(x-1)+2(x-1)2
= -(x-1)+2(x-1)2=(x-1)3· .
令f′(x)=0，解得x=1,当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
由表可知，当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值.
∴当x＞0时，f(x)≥f(1)=0.
∴lnx+ - (x-1)2≥1+ (1-x)3.【规范解答】不等式恒成立问题的解决方法
【典例】(12分)(2012·邢台模拟)已知函数f(x)=ax4lnx+bx4-c(x＞0)在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数.若对任意x＞0，不等式f(x)≥-2c2恒成立，求c的取值范围.【解题指导】【规范解答】f′(x)=4ax3lnx+ax4× +4bx3
=x3(4alnx+a+4b). …………………………………………2分
∵在x=1处取得极值-3-c，
∴ 即 ①
解得a=12，b=-3.
∴f′(x)=48x3lnx(x＞0),…………………………………4分
令f′(x)=0,解得x=0或x=1.②
∵x＞0,∴x=1.②……………………………………………6分当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如表：
∴x=1时，f(x)有极小值为-3-c,并且该极小值为函数的最小
值. …………………………………………………………8分
要使对任意x＞0，不等式f(x)≥-2c2恒成立，
只需-3-c≥-2c2即可.
………………………………………………………………10分③∴整理得2c2-c-3≥0.
解得c≥ 或c≤-1.
∴c的取值范围为(-∞,-1］∪［ ,+∞).………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)【规范训练】(12分)设函数f(x)=2ax- +lnx，若f(x)在x=1,
x= 处取得极值.
(1)求a，b的值；
(2)在［ ，2］上存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的
最小值.
【解题设问】(1)由题设条件可得到什么？________________
(2)在［ ,2］上存在x0，使不等式f(x0)-c≤0成立是恒成立问
题吗？_____.应该怎样转化？___________关于a,b的方程组不是c≥f(x)min【规范答题】(1)∵f(x)=2ax- +lnx，
∴f′(x)=2a+ + .
∵f(x)在x=1,x= 处取得极值，
∴f′(1)=0,f′( )=0，…………………………………2分
即
解得
∴所求a,b的值分别为- ,- .…………………………4分(2)在［ ,2］上存在x0,使得不等式f(x0)-c≤0成立，只需c≥f(x)min,
由f′(x)=
，……………………………………………6分
∴当x∈( )时，f′(x)<0，
故f(x)在( )上单调递减;当x∈( ,1)时，f′(x)>0,
故f(x)在( ，1)上单调递增；
当x∈(1,2)时，f′(x)<0,
故f(x)在(1，2)上单调递减；……………………………8分
∴f( )是f(x)在［ ，2］上的极小值.
而f( )= +ln = -ln2,
f(2)=- +ln2,
且f( )-f(2)= -ln4=ln -ln4,又e3-16>0,
∴ln -ln4>0,
∴在［ ，2］上f(x)min=f(2), …………………………10分
∴c≥f(x)min=- +ln2.
∴c的取值范围为［- +ln2,+∞),所以c的最小值为- +ln2.
……………………………………………………………12分1.下列命题中正确的是 ( )
(A)一个函数的极大值总是比极小值大
(B)函数的导数为0时对应的点不一定是极值点
(C)一个函数的极大值总比最大值小
(D)一个函数的最大值可以比最小值小
【解析】选B.举例：如f(x)=x3，f′(x)=3x2=0得x=0，但是x=0不是它的极值点.故选B.2.函数f(x)=x3-3x(x＜1)( )
(A)有最大值，无最小值
(B)有最大值、最小值
(C)无最大值、最小值
(D)无最大值，有最小值
【解析】选A.f′(x)=3x2-3,∵x＜1,
∴令f′(x)=0，得x=-1,
∴列表可知f(x)在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，所以有最大值、无最小值.3.f(x)=x3-3x2+2在区间［-1,1］上的最大值是( )
(A)-2 (B)0
(C)2 (D)4
【解析】选C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f′(x)=0可得x=0或x=2(舍去)，当-1≤x＜0时，
f′(x)＞0，当0＜x≤1时，f′(x)＜0.
所以当x=0时，f(x)取得最大值为2.4.已知函数f(x)＝x3－ ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2，则f(x)的解析式为
_______.
【解析】f′(x)＝3x2－3ax，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a，
∵a>1，
∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数.
∴f(0)＝b＝1，∵f(－1)＝－ a，f(1)＝2－ a，
∴f(－1)∴f(－1)＝－ a＝－2，a＝ .
∴f(x)＝x3－2x2＋1.
答案：f(x)＝x3－2x2＋15. 求函数y=x3+3x2-2，x∈［-2,3］的值域.
【解析】令y′=3x2+6x=0得x=0或x=-2,
x=0时y=-2；x=-2时y=2；x=3时y=52,
∴函数的值域为［-2,52］.课件82张PPT。3.4 生活中的优化问题举例1.通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤.
2.会利用导数解决某些实际问题. 1.本课重点是求解有关函数最大值、最小值的实际问题.
2.本课难点是把实际问题转化成抽象的数学问题. 1.优化问题的定义
解决生活中求_________、_________、_________等问题.利润最大用料最省效率最高2.解决优化问题的基本思路是优化问题 优化问题的答案 用函数表示的数学问题 用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的_________过程．数学建模1.求函数最值的常用方法有哪些?
提示：可以利用函数的单调性；可以利用基本不等式；可以利用导数.2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最
大，则高为_____________.
【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm，其
体积为V= πx(202-x2)(0V′= π(400-3x2)，令V′=0，
解得 (舍去).
当00；当 ∴当x= 时，V取最大值.
答案： cm
3.体积为定值V0的正三棱柱，当它的底面边长为______时，正三棱柱的表面积最小.
【解析】设底面的边长为a，高为h，
则
由S′=0得
所以当底面的边长为 时，正三棱柱的表面积最小.
答案：4.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位
的产品，成本增加100元，若总收入R与年产x的关系是R(x)=
+400x(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产
品单位数是____________.【解析】由题意可得总利润P(x)=- +300x-20 000(0≤
x≤390).∵P′(x)=- x2+300，
由P′(x)=0，得x=300.
当0≤x<300时，P′(x)>0，
当300∴所以当x=300时，P(x)最大.
答案：3001.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)=0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；
(4)写出答案.2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.其思路如下：实际问题 数学问题实际问题的结论 数学问题的结论 (1)审题：阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，找出问题的主要关系；
(2)建模；将文字语言转化成数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：把数学问题化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
(4)对结果进行验证评估，定性定量分析，作出正确的判断，确定其答案. 面积、容积的最值问题
【技法点拨】
解决面积、容积的最值问题的思路
解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值.【典例训练】
1.已知矩形的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为___________.2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0∴S′=8-6x2.
令S′=0，解之得 (舍去).
当00；
当 即矩形的边长分别是 时，矩形的面积最大.
答案： 2.方法一：设箱底边长为x cm，
则箱子高为h= cm，得箱子容积
V(x)=x2h= (0V′(x)=60x- (0令V′(x)=60x- =0，
解得x=0(舍去),x=40.
并求得V(40)=16 000.由题意可知，当x接近于0或接近于60时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值.
答：当x=40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm3.
方法二：设箱子高为x cm，则箱底长为(60-2x) cm，则得箱子容积
V(x)=(60-2x)2x(0由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处.【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点.
提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题情境中符合实际情况的自变量的取值范围.
(2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点为最值点.【变式训练】(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x(cm).(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【解析】设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知
得
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800，
所以当x=15时，S取得最大值.
(2)V=a2h=2 (-x3+30x2),
V′=6 x(20-x).
由V′=0得，x=0(舍)或x=20.当x∈(0,20)时,V′>0；
当x∈(20,30)时,V′<0，所以，当x=20时,取得极大值，也是
最大值,此时 ，即包装盒的高与底面边长的比值为【误区警示】在导数的实际应用中，除运用导数求函数的单调性之外，还应注意考虑是否符合实际意义. 费用(用材)最省问题
【技法点拨】
费用(用材)最省问题的解题技巧
选取合适的量为自变量，并确定其取值范围，把实际问题转化为数学问题.正确列出函数关系式，然后利用导数求最值.【典例训练】
1.一列火车的锅炉每小时消耗的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20 km时，每小时消耗煤的价值为40元，至于其他费用每小时要200元，要使火车从甲城开往乙城时的总费用最省,则火车行驶的速度应为_________.2.设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h，底面半径为r，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，要使造价最低，应如何确定h∶r？【解析】1.设速度为x km/h，甲、乙之间的距离为a km，则总费用为y=f(x)=(kx3+200) =a(kx2+ )(x>0)，
∵40=k·203=8 000k，
∴k= ，
∴y=f(x)=a( )(x>0)，
f′(x)=a( )=令f′(x)=0，则
∵f(x)只有一个极值点，
∴此点也为最值点，
∴当火车行驶速度为 km/h时，费用最少.
答案： km/h2.设单位面积铁的造价为m，桶的总造价为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh).
因为V＝πr2h，得h＝ ，
所以y＝4mπr2＋ .
所以y′＝8mπr－ .
令y′＝0，解得 此时所以当r< 时，y′<0，函数单调递减；
当r> 时，y′>0，函数单调递增.
所以r＝ 为函数的极小值点，且是最小值点，
所以当r＝ ，即h∶r=4∶1时，y有最小值.【总结】解答题1的易错点与解答题2时的关键点.
提示：(1)解答题1时，注意填空题的规范性，结果容易漏掉单位.
(2)解答题2的关键点在于利用容积是定值，得到高与半径的关系，进而得到总造价关于半径的函数，注意本题字母较多，要分清哪些是常数，哪些是变量.【变式训练】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度
单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球
形，按照设计要求容器的容积为 立方米，且l≥2r.假设
该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方
米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为
c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.lrrrr【解析】(1)因为容器的体积为 立方米，
所以
解得l=
由于l≥2r,
因此0所以圆柱的侧面积为
两端两个半球的表面积之和为4πr2,
所以建造费用y= -8πr2+4πcr2,定义域为(0,2］.(2)因为y′=- -16πr+8πcr
=
由于c>3,所以c-2>0,
所以令y′>0得:
令y′<0得:①当3②当c> 时，即 时，函数y在(0，2)上是先减后增的，故建造费用最小时 利润最大(成本最低)问题
【技法点拨】
1.经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.
2.关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润=收入-成本；
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.【典例训练】
1.某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝1 200＋ (万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为__________件时，总利润最大.2.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单
位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝
＋10(x－6)2，其中3时，每日可售出该商品11千克.
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商
场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】1.设产品的单价为p万元，根据已知，可设p2＝ ，
其中k为比例系数.因为当x＝100时，p＝50，所以k＝250 000，
所以
设总利润为y万元，则y＝
＝500 －275x3－1 200.求导数得，
令y′＝0得x＝25.
故当x<25时，y′>0；
当x>25时，y′<0.
因此，当x＝25时，函数y取得极大值，也是最大值.
答案：252.(1)因为x＝5时，y＝11，
所以 ＋10＝11，a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝ ＋10(x－6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)［ ＋10(x－6)2］＝2＋10(x－3)(x－6)2，
3＝30(x－4)(x－6).
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【想一想】解答题1的关键点与解答题2求导的技巧是什么？
提示：(1)解答题1时，关键点在于根据已知条件得到反比例系数.
(2)解答题2时，求f(x)的导数是关键，把函数f(x)的解析式整理成x的多项式是正确求导的关键.【变式训练】某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1+x)，月平
均销售量为a(1-x2)件，则月平均利润y=a(1-x2)·［20(1+x)-
15］(元)，∴y与x的函数关系式为y=5a(1+4x-x2-4x3)(0(2)由y′=5a(4-2x-12x2)=0得
x1= ，x2=- (舍去),
当00； 故改进工艺后，产品的销售价为20(1+ )=30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【规范解答】利用导数解决生活中的优化问题
【典例】(12分)工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为
(c为常数，且0(1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率
＝ ×100%)【解题指导】【规范解答】(1)当x>c时，p＝ ，
y＝(1－ )·x·3－ ·x· ＝0；……………………2分
当0∴y＝(1－ )·x·3－ ·x·
＝ ……………………………………………4分∴日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系为
(c为常数，且0＜c＜6). ……5分
(2)由(1)知，当x>c时，日盈利额为0.…………………6分
当0∵∴y′＝
＝ ，………………………………………8分
令y′＝0，得x＝3或x＝9(舍去).
∴①当00，
∴y在区间(0，c］上单调递增，
∴y最大值＝f(c)＝ …………………………9分②当3≤c<6②时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上,y′<0，
∴y在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减.
∴y最大值＝f(3)＝ .………………………………………11分
综上，若0大；若3≤c<6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.
………………………………………………………………12分③【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)【规范训练】(12分)某商场预计2012年1月份起前x个月，顾
客对某商品的需求总量p(x)(单位：件)与x的关系近似地满足
p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*,x≤12).该商品第x月的进货单
价q(x)(单位：元)与x的近似关系是(1)写出2012年第x月的需求量f(x)(单位：件)与x的函数关系式；
(2)该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2012年哪个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？ 【解题设问】(1)本题需要分类讨论吗？_____
(2)若需要，应把哪个变量作为分类的标准？x
分类的第一种情况是________；第二种情况是__________.需要1≤x≤67≤x≤12【规范答题】(1)当x=1时，f(1)=p(1)=37，…………2分
当2≤x≤12，且x∈N*时，
f(x)=p(x)-p(x-1)
= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x·(41-2x)
=-3x2+40x，………………………………………………4分
验证x=1时也符合，
∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*，且1≤x≤12).………………6分(2)该商场预计第x月销售该商品的月利润为
g(x)=
(-3x2+40x)(35-2x)(x∈N*，且1≤x≤6)，
(-3x2+40x)· (x∈N*,且7≤x≤12)，
6x3-185x2+1 400x(x∈N*，且1≤x≤6)，
-480x+6 400(x∈N*,且7≤x≤12).
……………………………………………………………8分
当1≤x≤6，且x∈N*时， 即g(x)=g′(x)=18x2-370x+1 400，令g′(x)=0，
解得x=5，x= (舍去).
当1≤x<5时，g′(x)>0，当5g(x)max=g(5)=3 125；……………………………………10分
当7≤x≤12，且x∈N*时，
g(x)=-480x+6 400是减函数，
当x=7时，g(x)max=g(7)=3 040，………………………11分
综上，商场2012年5月份的月利润最大，最大利润为
3 125元.…………………………………………………12分 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加
热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝ x3－x2＋
8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
(A)8 (B) (C)-1 (D)-8
【解析】选C.原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝
(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变
化率取得最小值－1.2.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产( )
(A)6千台 (B)7千台
(C)8千台 (D)9千台【解析】选A.设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x·(x－6).令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.故选A.3.建一个面积为512平方米的矩形堆料场,为充分利用已有资源，可以利用原有的墙壁作为一边，其他三边需要砌新的墙壁.要使新砌墙壁所用的材料最省，则长为__________米，宽为__________米.【解析】要求材料最省就是要求
新砌的墙壁总长度最短,如图所示,
设场地宽为x米,则长为 米,
因此新墙总长度L=2x+ (x>0),则L′=2－ .
令L′=0,得x=±16.∵x>0,∴x=16.经验证当x=16时,
L极小值=Lmin=64,∴堆料场的长为 =32米,宽16米.
答案：32 164.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则当弯成圆的一段铁丝长为____________cm时，可使正方形与圆的面积的和最小.【解析】设弯成圆的一段长为x cm，则另一段长为(100－
x)cm，记正方形与圆的面积之和为S cm2，则S＝π( )2
＋( )2(0得x＝ .由于在区间(0,100)内，函数只有一个导数为0
的点，故当x＝ 时，面积之和最小.
答案：5.某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一
栋至少10层、每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建
为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：
元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为
多少层？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购
地费用＝ )【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则
f(x)＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋ (x
≥10，x∈N*)，
f′(x)＝48－ ，
令f′(x)＝0得x＝15或x＝－15(舍去)，
当x>15时，f′(x)>0；当10≤x<15时，f′(x)<0，因此当x＝15时，f(x)取最小值，f(15)＝2 000.
故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.