课件60张PPT。2.1.1 椭圆及其标准方程1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程.
2.了解椭圆的标准方程的推导及简化过程.
3.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 1.本课的重点是椭圆的定义及其标准方程.
2.本课的难点是椭圆标准方程的推导和化简. 1.椭圆的定义
(1)前提要素:平面内,一个动点M，两个_____F1，F2，一个常数
2a.
(2)满足关系:_______________.
(3)限制条件:__________.
(4)相关概念：两个定点F1,F2叫做椭圆的_____，两个定点之间
的距离|F1F2|叫做椭圆的_____.定点|MF1|+|MF2|=2a2a>|F1F2| 焦点焦距2.椭圆的标准方程（-c,0）,(c,0) (0,-c),(0,c) a2=b2+c21.平面内到两定点F1（-5，0），F2（5，0）的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆吗？
提示：根据椭圆的定义，椭圆上的点到两个定点的距离之和要大于两个定点之间的距离，而本题中距离之和恰好等于两定点间的距离，因此适合题设条件的动点的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.2.已知椭圆的标准方程，如何确定焦点的位置？
提示：观察标准方程，比较x2与y2的分母的大小.如果x2的分母大，则焦点就在x轴上；如果y2的分母大，则焦点就在y轴上.
3.要写出椭圆的标准方程需要确定哪些条件？
提示：要写出椭圆的标准方程要确定a,b的值，最关键的还要确定焦点的位置.4.椭圆 的焦点坐标是_______.
【解析】根据椭圆的标准方程知焦点在y轴上，且
a2=16,b2=9,∴c2=a2-b2=7,
所以焦点坐标为
答案：1.对椭圆定义的理解
椭圆的定义揭示了椭圆的本质,定义是判断动点轨迹是否是椭圆的重要依据.设集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c均为大于０的常数.
当2a>2c时，集合Ｐ为椭圆；
当2a=2c时，集合Ｐ为线段F1F2；
当2a<2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在.2.对椭圆标准方程的三点认识
(1)标准的几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐标轴.
(2)标准的代数特征:方程右边是1，左边是关于x，y的平方和,并且分母不相等.(3)a，b，c三个量的关系：椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆.a，b，c(都是正数)恰是构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b,a>c,且a2=b2+c2. 椭圆的定义及其应用
【技法点拨】
1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a（2a>
|F1F2|）,则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化,简化解题过程.因此,解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时,应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解.
2.椭圆中的焦点三角形
椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2,称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解.【典例训练】
1.椭圆 上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个
焦点的距离为_______.
2.设P为椭圆 上一点，F1，F2是其焦点，若∠F1PF2=
60°.求△F1PF2的面积.【解析】1.由椭圆方程 知,a=5，设椭圆的两个焦点
分别为F1，F2，令|PF1|=5，由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=10，
所以|PF2|=5.
答案：5
2.由椭圆方程知,a2=25,
在△PF1F2中，
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，
即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②
②-①，得3|PF1|·|PF2|=75,
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以【思考】（1）题1求点P到另一个焦点的距离的关键是什么?
（2）在求△F1PF2的面积时，是否需要分别求出|PF1|，|PF2|？通过解决这类焦点三角形问题你学会了什么数学思想方法？提示：（1）关键在于判断准焦点的位置，找到2a，才能利用定义求出点P到另一个焦点的距离.
（2）不需要分别求出|PF1|、|PF2|，根据条件只需要求出|PF1|与|PF2|的积即可.解决这类焦点三角形问题时用整体代换的方法,可以简化运算过程.【变式训练】已知△ABC的顶点B,C在椭圆 上，顶点
A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则
△ABC的周长是_______.【解析】设A为椭圆左焦点，而BC边
过右焦点F，如图.
可知|BA|+|BF|=2a,
|CA|+|CF|=2a,两式相加得
|AB|+|BF|+|CA|+|CF|=|AB|+|AC|+|BC|=4a,而椭圆标准方程为
因此a=2，
故4a=8.
答案：8 求椭圆的标准方程
【技法点拨】
1.椭圆标准方程的两种求法
(1)定义法:定义是研究椭圆问题的基础和根本,根据椭圆的定
义得到相应的a,b,c，再写出椭圆的标准方程.
(2)待定系数法:先设出椭圆的标准方程 或
然后求出待定的系数代入方程即可.2.求椭圆标准方程的关注点
确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面.
（1）“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;
（2）“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.【典例训练】
1.在平面直角坐标系xOy中，椭圆上点P到两焦点
的距离之和等于4，则椭圆的标准方程为_______.
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0),(4,0)，且椭圆经过点(5,0);
(2)经过两点【解析】1.由椭圆的定义可知，椭圆的焦点在y轴上且
2a=4,所以b2=a2-c2=4-3=1，所以椭圆的方程为
答案：
2.(1)∵椭圆的焦点在x轴上，
∴可设其标准方程为
∴a=5.又∵c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9，
故所求椭圆的标准方程为(2)方法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
依题意，知
与椭圆的焦点在x轴上相矛盾.②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
依题意，知
故所求椭圆的标准方程为方法二：设所求椭圆的方程为
Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).
依题意，可得
故所求椭圆的方程为5x2+4y2=1，
其标准方程为【互动探究】将2中（1）“两个焦点的坐标分别为(-4，0)，
(4,0)”改为“与椭圆 共焦点”其余条件不变，求
椭圆的标准方程.【解析】已知椭圆的焦点为（0，4），（0，-4），即是所求
椭圆的焦点.设所求的椭圆方程为 则由题
意得: 解得
所以所求椭圆的标准方程为【总结】椭圆焦点位置的判断方法及在椭圆焦点位置不明确的情况下,椭圆标准方程的求解方法.
提示：（1）椭圆的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观察椭圆的标准方程,x2,y2中哪一项的分母大，焦点就落在哪个轴上.（2）当椭圆的焦点位置不确定时,求椭圆的标准方程有两种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A,B均大于0，且A≠B)，这样求解不但避免了分类讨论，也简化了运算过程.【变式训练】求焦点在坐标轴上，且经过
两点的椭圆的标准方程．
【解题指南】在焦点位置不明确的情况下，需分情况求解或用
椭圆的一般方程形式求解，比较而言用椭圆的一般方程形式求
解更简单.【解析】方法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
依题意有
所以，所求椭圆的标准方程为(2)当焦点在y轴上时，
设椭圆的标准方程为
依题意有
解得
因为a综上可知，所求椭圆的标准方程为方法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m,n均大于0且m不
等于n)．依题意有
解得
所以，所求椭圆的标准方程为 与椭圆有关的轨迹问题
【技法点拨】
求解与椭圆相关的轨迹问题的方法【典例训练】
1.设A(－2,0),B(2,0),△ABC的周长为10,则动点C的轨迹方程
为_______.
2.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆 上任一点，求
AQ的中点M的轨迹方程.【解析】1.由△ABC的周长为10,|AB|=4知,|CB|+|CA|=6>|AB|=
4.根据椭圆的定义知，顶点C是在以A，
B为焦点的椭圆上，且2a=6,c=2,
∴b2=a2－c2=5.又∵A，B，C三点构成三角形，所以点C不能在x
轴上,
所以，顶点C的轨迹方程为
答案：2.解题流程:【思考】(1)1题中对动点C有什么限制要求？
(2)用椭圆的定义求动点的轨迹方程的关注点是什么？
提示：（1）由于A，B，C三点构成三角形，所以C点不能和A，B在同一条直线上，因此C点的纵坐标不等于0.（2）利用椭圆的定义求动点的轨迹方程需要关注两个方面：
①两定点间的距离与“常数”的大小关系，这是确定动点的轨迹是椭圆的依据；
②定点在坐标轴上的位置是否确定.【变式训练】已知两圆C1：(x+4)2+y2=9,C2:(x-4)2+y2=169，动圆P与C1外切，与C2内切，求圆心P的轨迹.
【解题指南】由平面几何知识知，两圆相切时常连接两圆心，利用切点在连心线上及圆心距与两半径的关系，求解此类题.【解析】由条件,两圆半径分别是3和13，设P(x,y)，动圆半径
为r,
则有 消去r，得|PC1|+|PC2|=16,
即P点到两定点C1,C2的距离之和为定值16.
又16＞|C1C2|=8,
所以P点的轨迹是椭圆，易求得其方程为【易错误区】对椭圆标准方程的认识误区
【典例】“2圆的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件【解题指导】【解析】选B.由方程 表示的曲线是椭圆，可得
解得2所以2而2所以,“2分条件. 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】若方程 表示焦点在y轴上的椭
圆，则实数m的取值范围是( )
（A）－9＜m＜25 （B）8＜m＜25
（C）16＜m＜25 （D）m＞8
【解析】选B.依题意有 解得8＜m＜25，即实数m
的取值范围是8＜m＜25，故选B. 1.下列说法正确的是( )
(A)已知F1(－4,0),F2(4,0)，到两点F1,F2的距离之和大于8的点的轨迹是椭圆
(B)已知F1(－4,0),F2(4,0)，到两点F1,F2的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
(C)到点F1(－4,0),F2(4,0)的距离之和等于从点（5,3）到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
(D)到点F1(－4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆【解析】选C.选项A中虽满足到两定点的距离之和大于8，但
未指明到两定点距离之和是常数,故轨迹不是椭圆；选项B中这
样的点的轨迹不存在；选项C中点（5,3）到F1,F2的距离之和为
适合该条件的点的轨迹是椭圆；选项D中点的轨迹
是线段F1F2的垂直平分线.2.已知椭圆的焦点分别为(-3,0),(3,0)，椭圆上一点到两个焦
点的距离和等于10，则椭圆的方程为( )
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选B.可知椭圆的焦点在x轴上，且2a=10，c=3，
∴a=5，b2=a2-c2=16，∴椭圆的方程为3.已知椭圆的焦点为(0,1)和(0,-1)，点P(2,0)在椭圆上，则
椭圆的方程为( )
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选B.c＝1，b＝2，∴a2＝b2+c2＝5.由题意知，椭圆
焦点在y轴上，
∴椭圆的方程为4.椭圆 的焦点坐标是______.
【解析】∵m－n>0，
∴a2＝－m，b2＝－n，焦点在x轴上，
∴c2＝a2－b2＝n－m，
即焦点为
答案：5.求适合下列条件的椭圆的方程.
(1)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2.【解析】(1)因为椭圆的焦点在x轴上，
所以可设它的标准方程为
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)
故所求椭圆的标准方程为(2)∵椭圆的焦点在y轴上，所以可设它的标准方程为
∵P(0，-10)在椭圆上，∴a＝10.
又∵P到它较近的一个焦点的距离等于2，
∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36，
∴所求椭圆的标准方程是课件57张PPT。第1课时 椭圆的简单几何性质1.通过对椭圆标准方程的研究，掌握椭圆的简单几何性质.
2.了解椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响.1.椭圆的几何性质及初步运用是本节的重点.
2.对椭圆离心率的理解是本节的难点. 椭圆的简单几何性质-a≤x≤a，
-b≤y≤b -b≤x≤b，
-a≤y≤a 对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)(-c,0) (c,0)（0,-c）（0,c）2c 2c (0,b) (-a,0)（a,0） （0,-b） （0,-a） (0,a)(-b,0)(b,0) |A1A2|=2a |B1B2|=2b |A1A2|=2a |B1B2|=2b (0,1) (0,1) 1.通过对椭圆几何性质的研究，你能判断椭圆的焦点在长轴上
还是在短轴上吗？
提示：椭圆的焦点在椭圆的长轴上.
2.能否用a和b表示椭圆的离心率e?
提示：可以，由于 又
故3.椭圆16x2+9y2=144的长轴长是_______;短轴长是_______;离
心率是_______.
【解析】先将椭圆16x2+9y2=144化为标准形式
所以a2=16,b2=9,c2=a2-b2=7.
从而可得长轴长2a=8，短轴长2b=6,
离心率
答案：8 6 1.对椭圆的简单的几何性质的认识
(1)椭圆的焦点决定椭圆的位置;
(2)椭圆的范围决定椭圆的大小;
(3)椭圆的离心率刻画椭圆的扁平程度;
(4)对称性是圆锥曲线的重要性质,椭圆的顶点是椭圆与对称轴的交点,是椭圆上的重要的特殊点,在画图时应先确定这些点.2.椭圆离心率对椭圆扁平程度的影响
椭圆的离心率的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的扁平程
度．
由 可知，当e越接近于1时， 越接
近于0，椭圆越扁；当e越接近于0时， 越接近于1，椭圆越接
近于圆．当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方
程为x2+y2=a2.但需要特别指出的是圆与椭圆是完全不同的两种
曲线，圆不是椭圆的特殊情形. 利用标准方程研究几何性质
【技法点拨】
用标准方程研究几何性质的步骤【典例训练】
1.椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是_______.
2.设椭圆方程为mx2+4y2=4m（m>0）的离心率为 试求椭圆的
长轴的长和短轴的长，焦点坐标及顶点坐标.【解析】1.由已知，椭圆方程可化为 其长半轴a＝
且长轴在y轴上，故长轴的两个端点为 和
答案：
2.椭圆方程可化为
（1）当0＜m<4时,∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是 焦点坐标为
F1（-1,0）,F2（1,0）,顶点坐标为A1（-2,0）,A2（2,0）,
（2）当m>4时，
解得∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为
焦点坐标为 顶点坐标为【思考】（1）题1中椭圆的方程是标准形式吗？
(2)题2求解时会出现什么常见错误？
提示：（1）题1中椭圆的方程不是标准形式，椭圆的标准形式是关于x,y的平方和等于1，在解决与椭圆有关的问题时要根据等式的运算性质化成标准形式.（2）解题2时往往忽略m与4的大小关系，误认为椭圆的焦点在x轴上而只解出一种情况，因此在求解时易出现漏解的错误.【变式训练】求椭圆25x2+y2=25的长轴和短轴的长及其焦点和
顶点坐标.
【解析】椭圆方程可化为
∴椭圆的焦点在y轴上，且a2=25,b2=1,
∴长轴长为10，短轴长为2，焦点为
顶点坐标为(±1,0),(0,±5). 利用几何性质求标准方程
【技法点拨】
求椭圆标准方程的常用方法及一般步骤
（1）常用方法:利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常利用待定系数法．（2）一般步骤:根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．其一般步骤为【典例训练】
1.（2012·台州高二检测）椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标
为(4,0)，则它的标准方程为_______.
2.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为
且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为
_______.【解析】1.由题知2a=10,c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9,
又∵椭圆的焦点在x轴上，∴标准方程为
答案：
2.依题意设椭圆G的方程为 ∵椭圆上一点到
其两个焦点的距离之和为12，
∴2a=12?a=6.∵椭圆的离心率为
解得b2=9,∴椭圆G的方程为
答案：【互动探究】将第1题中条件“一个焦点坐标为（4，0）”改
为“焦距为8”，试求椭圆的标准方程.
【解析】由题知2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,b2=a2-c2=9.
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为
当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为
所以椭圆的标准方程为 或【总结】根据椭圆的简单几何性质求椭圆方程的关键.
提示：根据椭圆的几何性质求椭圆的方程关键有两点：
一是“定量”，根据与几何性质有关的条件确定a2,b2的值；二是“定位”，即确定焦点的位置，若焦点位置不确定则需要分类讨论.【变式训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是
(4,0)，(0,2)；
(2)椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于【解析】(1)由已知a＝4，b＝2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭
圆方程是
(2)设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，
则b＝1，
即a2＝4.
所以椭圆的标准方程是 或 与离心率有关的问题
【技法点拨】
椭圆离心率及范围的求法
椭圆的离心率是刻画椭圆扁平程度的量，它是椭圆的长轴长和焦距的比值.由于a，b，c的关系，这个比值可以通过三个量中的任意两个量来刻画.在解决问题的过程中我们更多地用a，c描述，因此，求e的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下：(1)若已知a,c可直接代入 求得;
(2)若已知a,b则使用 求解;
(3)若已知b,c,则求a,再利用(1)或(2)求解;
(4)若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程（不等式）
求值（范围）.【典例训练】
1.（2012·新课标全国高考）设F1，F2是椭圆E：
1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线 上一点，△F2PF1是底
角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）2.已知B1，B2为椭圆短轴的两个端点，F1，F2是椭圆的两个焦
点，若四边形B1F1B2F2为正方形，则椭圆的离心率为______.
3.A为y轴上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，△AF1F2为正三角形，且AF1的中点B恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．【解析】1.选C.设直线 与x轴交于点M，则∠PF2M=60°.
在Rt△PF2M中，PF2=F1F2=2c， 故
解得 故离心率2.如图，由已知得
答案：3.如图，连接BF2.
∵△AF1F2为正三角形，
且B为线段AF1的中点，yxABF1F2O∴F2B⊥BF1.
又∵∠BF2F1＝30°，
|F1F2|＝2c，
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即
∴椭圆的离心率【想一想】通过本题中求离心率的过程，你掌握了哪种分析问题的思想方法？
提示：由于题设条件图形特征强，a，b，c相对于e的关系复杂，因此我们在分析问题时要借助于图形来寻找与e有关的量的关系，即要注重数形结合的方法分析和解决问题.【变式训练】设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率
【解题指南】利用椭圆的定义得到a，c之间的方程，进而求出椭圆的离心率.【解析】由已知得|PF2|＝2c，
即【规范解答】利用椭圆几何性质求解最值问题
【典例】(12分)（2012·淄博高二检测）中心在原点,焦点在
坐标轴上的椭圆上有 两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到定点A(a,0)（其中0＜a＜3)
的距离的最小值为1?若存在,求P点的坐标;若不存在,请说明理
由.【解题指导】【规范解答】（1）方法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准
方程为
将点 代入上式，得解得
此时椭圆的标准方程为 ………………………2分
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
将点 代入上式得解得
因为a>b>0，所以要舍去，②…………………………………4分
所以椭圆的标准方程为 …………………………5分方法二：设椭圆的方程为
mx2+ny2=1(m＞0,n＞0，m≠n).………………………………1分
∵椭圆过M，N两点，
……………………………………3分
∴椭圆方程为 ……………………………………5分（2）假设存在点P（x,y）满足题设条件，
∴|AP|2=(x-a)2+y2.
又
………………………………………7分
∵|x|≤3,0＜a＜3,若 ③
即当 时，|AP|2的最小值为由题意得
若 即 当x=3时，|AP|2取得最小值为（3-a）2,依
题意（3-a）2=1，解得a=4或a=2，
此时P点的坐标是（3,0），故当a=2时，存在这样的点P满足条
件，P点坐标为（3,0）.……………………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】（12分）设F1和F2分别是椭圆 的左、
右焦点.若P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值和最
小值.
【解题设问】(1)设动点P的坐标为(x,y)，如何表示 和
的坐标呢？ _____________,
___________.
(2)点P的坐标有何范围限制？
横坐标___________，纵坐标___________.－2≤x≤2－1≤y≤1【规范答题】由题知a=2,b=1, ……………………3分
所以
则
………………………7分
在椭圆中，-2≤x≤2，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
有最小值-2；
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时， 有最大值1.
………………………………………………………………12分1.椭圆x2+6y2=6的焦点坐标为( )
（A）(-1,0),(1,0) （B）(-6,0),(6,0)
（C） （D）
【解析】选C.椭圆方程化为标准式
∴a2＝6，b2=1,c2=a2-b2=5,且焦点在x轴上．
∴焦点坐标为 故选C.2.椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
（A）5，3，0.8 （B）10，6，0.8
（C）5，3，0.6 （D）10，6，0.6
【解析】选B.把椭圆的方程写成标准形式为
知a＝5，b＝3，c＝4.
∴2a＝10,2b＝6，3.若焦点在x轴上的椭圆 的离心率为 则m的值为
( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】选D.∵焦点在x轴上，4.与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为 的椭圆方程
是_______.
【解析】依题意得椭圆的焦点坐标为
故 又因为 所以
答案：5.若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是
1，试求椭圆的离心率．
【解析】依题意，得b＝3，a－c＝1.
又∵a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，
∴椭圆的离心率为课件63张PPT。第2课时 椭圆方程及性质的应用1.进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质.
2.掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题. 1.本课的重点是直线和椭圆的位置关系.
2.本课的难点是与椭圆相关的综合问题. 直线与椭圆的位置关系及判定210两一无＞=＜1.能否像判断直线和圆的位置关系那样，利用椭圆的中心到直线的距离判断直线和椭圆的位置关系？
提示:不能.因为椭圆不是圆,中心到椭圆上点的距离不全相等.2.如果直线把椭圆分成面积相等的两部分，则直线一定经过椭圆的_______.
【解析】由椭圆为中心对称图形可知，直线一定过椭圆的中心.
答案：中心3.直线 和椭圆x2+4y2=20的交点坐标是______.
【解析】由 得x2+2x-8=0，
解得x=2或x=-4，将其分别代入直线方程得交点坐标为（2,2）
和（-4，-1）.
答案：（2,2）和（-4，-1）直线与椭圆的位置关系及判定方法的理解
(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况,其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点,并且二者互为充要条件.(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即通过方程研究，先将直线方程与椭圆的方程联立,消去一个未知数y(或x),得到关于x(或y)的一个一元二次方程.由于该一元二次方程有无实数解、有几个实数解与方程组的解的个数相对应,故利用一元二次方程根的判别式Δ,根据Δ>0，Δ<0还是Δ=0即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况. 直线与椭圆位置关系的判定
【技法点拨】
判断直线与椭圆位置关系的步骤 【典例训练】
1.直线 与椭圆x2+4y2=2 的位置关系是_______.
2.若直线y＝kx＋1与焦点在x轴上的椭圆 总有公共
点，求m的取值范围．【解析】1.联立方程组得
消去y,整理得5x2-4x-1=0（﹟），
Δ=(-4)2-4×5×(-1)=36>0，
即方程（﹟）有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和
椭圆相交.
答案：相交2.方法一：由 消去y，整理得
(m＋5k2)x2＋10kx＋5(1－m)＝0，
∴Δ＝100k2－20(m＋5k2)(1－m)＝20m(5k2＋m－1)．
∵直线与椭圆总有公共点，
∴Δ≥0对任意k∈R都成立．
∵m＞0，∴5k2≥1－m恒成立，∴1－m≤0，即m≥1.
又∵椭圆的焦点在x轴上，∴0＜m＜5，
∴1≤m＜5.方法二：∵直线y＝kx＋1过定点M(0,1)，
∴要使直线与该椭圆总有公共点，则点M(0,1)必在椭圆内或椭
圆上，
由此得 解得1≤m＜5.【想一想】（1）解决直线和椭圆位置关系的问题中联立方程组消元时有何运算技巧？
（2）求解2题m的范围时容易出现什么错误？
提示：（1）判断直线和椭圆的位置关系时，联立直线方程和椭圆方程组成的方程组消元是必有的步骤，在运算时先将椭圆的方程化成整式形式（即各项都是整式），再代入消元，会使运算变得简捷不易出错.（2）求解第2题m的范围时，容易忽略椭圆方程对m范围的限制而得出m≥1的错误结论.【变式训练】对不同的实数值m，讨论直线y＝x＋m与椭圆
的位置关系．
【解析】联立方程组得
将①代入②得
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0, ③
Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)．当Δ＞0，即 时，方程③有两个不同的实数根，
代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；
当Δ＝0，即 或 时，方程③有两个相等的实数
根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；
当Δ＜0，即 或 时，方程③没有实数根，直线
与椭圆相离． 弦长问题
【技法点拨】
直线和椭圆相交所得弦长的两种求法
方法一：求出直线和椭圆的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长；方法二：利用弦长公式
设直线方程为y=kx+m，椭圆方程为 或
直线与椭圆的两个交点为A（x1,y1）,
B(x2,y2),则 或
其中k 表示弦所
在直线的斜率，x1,x2,y1,y2表示弦的端点坐标，由根与系数的
关系求得x1+x2,x1x2与y1+y2,y1y2的值.【典例训练】
1.椭圆 被过右焦点且垂直于x轴的直线所截得的弦长
为_______.
2.（2011·四川高考改编）椭圆有两顶点A(-1，0)，B(1，0)，
过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|
时，求直线l的方程.【解析】1.椭圆右焦点坐标为 过右焦点且与x轴垂直的
直线与椭圆的两交点为 所以所求的弦长为1.
答案：12.解题流程：联立
方程弦长公式【互动探究】在2题条件不变的情况下，试求△ACD的面积.
【解题指南】先根据弦长公式求出直线l的方程，再利用点到直线的距离公式求出已知顶点A到直线的距离，即得到CD边上的高，进而求出△ACD的面积.【解析】由2题的解析知,l的方程为 或
当直线方程为 即 时，点A(-1，0)到直
线的距离为
当直线方程为 即 时，点A(-1，0)到直
线的距离为【思考】第1题能用弦长公式求解吗？弦长公式适用于哪些情形?
提示：（1）第1题不能用弦长公式求弦长，过右焦点与x轴垂直的直线的斜率不存在.
（2）当直线和椭圆相交且直线的斜率存在时，才能用弦长公式求弦长；当直线斜率不存在时，弦长用|y1-y2|来计算. 中点弦问题
【技法点拨】
解决椭圆中点弦问题的两种方法
（1）根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐
标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关
系，具体如下： 已知A（x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 （a>
b>0）上的两个不同的点，M（x0,y0）是线段AB的中点，则
由①-②，得
变形得 即【典例训练】
1.如果椭圆 的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所
在直线的方程为( )
（A）x-2y=0 （B）x+2y- 4=0
（C）2x+3y-12=0 （D）x+2y-8=0
2.已知中心在原点，一个焦点为 的椭圆被直线l:y=3x-2
截得的弦的中点横坐标为 求此椭圆的方程.【解析】1.选D.椭圆方程可化为9x2+36y2=324.设弦两端点为A(x1,y1），B（x2,y2)，由题得
由 作差得，将 代入上式，得 即
所以弦所在的直线方程为
即x+2y-8=0.
2.设所求椭圆的方程为
弦两端点为(x1，y1),(x2,y2),
c2=a2-b2=50 ①
由 及y=3x-2得(a2+9b2)x2-12b2x+b2(4-a2)=0, 由已知
即
所以a2=3b2 ②
由①②得a2=75,b2=25,
所以椭圆的方程为【归纳】在解决与弦中点有关的问题时运用的运算方法.
提示:利用根与系数的关系或点差法解决与弦有关的问题时，都是将弦端点的坐标设出来，把这些坐标用整体代入的方法表示出直线的斜率或中点坐标，而不把端点坐标求出来，在运算时要运用这些设而不求、整体代换的技巧.【变式训练】已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两焦点
间的距离为 若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标
是 求椭圆的方程.
【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(0弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意得由 可得(m+n)x2+2nx+n-1=0，x1+x2=
即n=2m ①
即 ②
由①②解得
所以椭圆的方程为 即 椭圆中的最值问题
【技法点拨】
解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种
（1）利用定义转化为几何问题处理;
（2）利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解;（3）利用函数最值的探求方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x,y 的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解.【典例训练】
1.设x,y满足 的最大值为_______.
2.若P（x,y）满足 求 的最大值和最小
值．
【解析】1.由题知 所以
又∵x∈［-2,2］,∴当x=-2时，k有最大值9.
答案：92. 表示点P与点（4，3）连线的斜率，
则
如图，设过点Q（4,3）的直线
方程为y=k(x-4)+3，
即y=kx+3-4k.
由消去y得，（1+4k2）x2+8k(3-4k)x+4(3-4k)2-4=0.
令Δ=0，
解得 即
又 的最大值为 最小值为【规范解答】运用“设而不求”法研究直线和椭圆位
置关系问题
【典例】 (12分)(2012·本溪高二检测)已知椭圆方程为
过点A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为
原点到该直线的距离为（1）求椭圆的方程；
（2）斜率大于零的直线过D(-1,0)与椭圆分别交于点E，F，若
求直线EF的方程；
（3）对于D(-1,0)，是否存在实数k，使得直线y=kx+2分别交
椭圆于点P，Q，且|DP|=|DQ|，若存在，求出k的值，若不存
在，请说明理由.【解题指导】【规范解答】（1）由 得
b=1，所以椭圆的方程是 ………………………2分
（2）设EF：x=my-1(m>0)代入 得(m2+3)y2-2my-
2=0.①
设E（x1,y1），F(x2,y2).由 得y1=-2y2,…………4分
由 得
∴m=1,m=-1（舍去）②，
直线EF的方程为x=y-1，即x-y+1=0.………………………7分（3）记P(x′1,y′1),Q(x′2,y′2).将y=kx+2代入
得(3k2+1)x2+12kx+9=0(*),x′1,x′2是此方程的两个相异实根.
设PQ的中点为M，则
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，
∴3k2-4k+1=0,得k=1或 ………………………………10分
但 均使方程（*）没有两相异实根③，
∴满足条件的k不存在.………………………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】（12分）已知椭圆C1的中心在原点，焦点在y轴
上，离心率为 且经过点
（1）求椭圆C1的方程；
（2）已知椭圆C2的长轴和短轴都分别是椭圆C1的长轴和短轴的
m倍(m>1) ，中心在原点，焦点在y轴上.过点C(-1,0)的直线l
与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若 求△OAB的面积
取得最大值时的直线的方程. 【解题设问】联立直线方程和椭圆方程消元时，消掉x还是y？
x.
【规范答题】(1)设椭圆C1的方程为 因为
所以4a2=9b2.
又因为椭圆过点
所以 解得b2=4,a2=9,
故椭圆C1的方程为 ……………………………6分 （2）设椭圆C2的方程为 …7分
∵m>1，∴点C（-1，0）在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不
同的交点.
当直线l垂直于x轴时， （不是零向量），不合条件.
故设直线l为y=k(x+1)（A，B，O三点不共线，故k≠0）,…8分
由 得
……………………………………………………9分 而点C（-1，0）,
∴（-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2)，
∴y1=-2y2，…………………………………………………10分
原点O到直线l的距离
由弦长公式得于是，△OAB的面积
其中，上式取等号的条件是 即 时，△OAB的面
积取得最大值.
所以直线的方程为 ………………12分 1.椭圆 的右焦点到直线 的距离是( )
（A） （B） （C）1 （D）
【解析】选B.椭圆的右焦点为F(1,0)，由点到直线的距离公式
得2.直线y＝x＋m与椭圆 有两个公共点，则m的取值范
围是( )
（A）(－5,5) （B）(－12,12)
（C）(－13,13) （D）(－15,15)
【解析】选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得
－13中点所在直线的斜率为 则 的值是( )
（A） （B） （C） （D）
【解析】选A. 设M（x1,y1）,N(x2,y2)，
由 消去y得,
（m+n）x2-2nx+n-1=0.∴线段MN中点的横坐标为
纵坐标为
∴过原点与线段MN中点所在直线的斜率为:
故选A.4.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A，B两点，则弦长|AB|=_______.
【解析】椭圆的左焦点为 直线AB的方程为
将其代入椭圆方程整理得 由根与系数的关系，
得
根据弦长公式得
答案： 5.在平面直角坐标系xOy中，经过点 且斜率为k的直线l
与椭圆 有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.
【解析】由已知条件知直线l的方程为
代入椭圆方程得
整理得
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
4k2－2>0，解得
即k的取值范围为课件53张PPT。2.2.1 双曲线及其标准方程1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．
2.掌握双曲线的标准方程．
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题. 1.本节课的重点是双曲线的定义及其标准方程.
2.本节课的难点是双曲线的定义及其标准方程的推导和化简. 1.双曲线的定义
(1)前提要素:平面内,一个动点M，两个_____F1,F2,一个常数2a.
(2)满足关系:__________________.
(3)限制条件:____________.
(4)相关概念：两个定点F1,F2叫做双曲线的_____，两个定点之
间的距离|F1F2|叫做双曲线的_____.定点||MF1|-|MF2||=2a 2a＜|F1F2| 焦点焦距2.双曲线的标准方程（-c,0）,(c,0) (0,-c),(0,c) a2+b21.双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别？
提示：双曲线中的a，b，c满足a2+b2=c2，而椭圆中a，b，c满足a2=b2+c2，双曲线中c最大,而椭圆中a最大.
2.要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？
提示：要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的还要确定焦点的位置.3.a=3,且焦点为F1（-5，0）、F2（5，0）的双曲线的标准方
程是_______.
【解析】根据题意可得a=3,c=5,且焦点在x轴上,
又b2=c2-a2=25-9=16,
所以所求双曲线的标准方程为
答案：1.对双曲线定义的理解
双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征,定义是判断动点轨迹是否是双曲线的重要依据.设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},
|F1F2|=2c,其中a,c均为大于0的常数.
当2a＜2c时，集合P为双曲线；
当2a=2c时，集合P为以F1，F2为端点的两条射线；
当2a＞2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在. 2.对双曲线标准方程的认识
(1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x，y的平方差,并且分母大小关系不确定.
(2)a，b，c三个量的关系：
标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定. 双曲线的定义
【技法点拨】
双曲线定义中的限制条件
（1）动点到两定点的距离之差；
（2）强调差的绝对值是常数；
（3）常数小于两定点间的距离.
只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.【典例训练】
1.已知双曲线方程为 点A，B在双曲线右支上，线段
AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则
△ABF1的周长为( )
(A)2a+2m (B)4a+2m
(C)a+m (D)2a+4m2.（2012·深圳高二检测）已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹为_______.
3.动点P到点M(1,0)的距离与到点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是_______.【解析】1.选B.设△ABF1的周长为C，则
C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|
＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|
＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.2.由已知动点P到两定点M,N的距离之差是常数3，且3＜|MN|=4,所以动点P的轨迹是双曲线的一支，
又|PM|-|PN|＞0，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支.
答案：以M，N为焦点的双曲线的右支
3.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条以N为端点的射线．
答案：以N为端点的射线【思考】双曲线定义中去掉“绝对值”号，动点的轨迹有何变化？第2题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？
提示：（1）若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹成为双曲线中的一支.
（2）当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与近，此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支.【变式训练】双曲线 上一点P到点(5,0)的距离为
15，则点P到点(－5,0)的距离为_______.
【解析】双曲线的焦点为F2(5,0)和F1(－5,0)
由||PF1|－|PF2||＝8.
∴||PF1|－15|＝8，∴|PF1|＝23或|PF1|＝7.
答案:7或23 双曲线标准方程的求法
【技法点拨】
1.双曲线标准方程的两种求法
(1)定义法:定义是研究双曲线问题的基础和根本,根据双曲线
的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程.
(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 或
(a，b均为正数）,然后根据条件求出待定的系数代入方
程即可.2.求双曲线标准方程的两个关注点
（1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;
（2）定量：“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.【典例训练】
1.（2012·湖南高考）已知双曲线C： 的焦距为10，点
P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝4，且经过点
(2)焦点在坐标轴上，且过点【解析】1.选A.由焦距为10，知2c=10，c=5.将p（2,1）代入
得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为
2.(1)①若所求双曲线的标准方程为
则将a＝4代入，得
又∵点 在双曲线上，∴
由此得b2<0，∴不合题意，舍去．②若所求双曲线方程为 则将a＝4代入得
代入点 得b2＝9，
∴双曲线的标准方程为（2）解题流程:【总结】（1）双曲线焦点的判断方法;
（2）在双曲线焦点位置不明确的情况下,双曲线标准方程的求解方法.
提示：（1）双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观察双曲线的标准方程,x2,y2中哪一项的系数为正，焦点就落在哪个轴上.（2）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A·B＜0)，这样求解时既避免了分类讨论，又简化了运算过程.【变式训练】根据下列条件，求双曲线的标准方程:
（1）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，且经过点（0，2）
与
（2） 经过点（-5，2），焦点在x轴上.
【解题指南】根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式,再利
用待定系数法求标准方程.【解析】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以
可设双曲线的方程为
又双曲线经过点（0，2）与
所以
所以双曲线方程为（2）∵焦点在x轴上，
∴设所求双曲线方程为 （其中0＜λ＜6）.
∵双曲线经过点（-5，2），
∴λ=5或λ=30（舍去）.
∴所求双曲线方程是 双曲线定义及标准方程的应用
【技法点拨】
1.双曲线的定义对于解题的主要作用
双曲线的定义对于解题具有双向作用：
(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支)；
(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.2.利用双曲线的标准方程讨论参数的范围
讨论参数的范围时，首先将双曲线的方程化为标准形式或其简化的形式，其共同特点是方程右边为1，再利用相应的条件列不等式（组）求参数的范围.【典例训练】
1.设P为双曲线 上的一点，F1，F2是该双曲线的两个
焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为_______.
2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且
AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去
掉两个顶点），求m的取值范围.【解析】1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，
|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝
由余弦定理得
∴△PF1F2为直角三角形．
答案：122.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为
BC的斜率为
依题意有
化简得mx2-y2=25m(y≠0)
因为m≠0，
所以原方程可化为 ①
由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个
顶点）,所以m＞0.
所以所求m的取值范围是(0,+∞)．【互动探究】若把本题1中的|PF1|∶|PF2|=3∶2改为
求△PF1F2的面积.
【解析】由题意
则PF1⊥PF2,
∴△PF1F2为直角三角形.
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2,
又∵|PF1|-|PF2|=2a=2,|F1F2|2=4c2=4(a2+b2)=4(1+12)=52,
∴4+2|PF1|·|PF2|=52,
∴|PF1|·|PF2|=24,【想一想】题1中能确定点P是在双曲线的哪一支上吗？
提示：根据|PF1|∶|PF2|＝3∶2知|PF1|>|PF2|,所以点P在双
曲线靠近F2点的右支上.【变式训练】（2011·郑州高二检测）对于曲线C∶
给出下面四个命题：
①曲线C不可能表示椭圆；
②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；
③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 其中所有正确
命题的序号为_______.【解析】若曲线C表示椭圆，则
∴1＜k＜4，且
若焦点在x轴上，则4-k＞k-1，
故①②错误，④正确.若曲线C表示双曲线，
则（4-k）（k-1）＜0，即（k-4）（k-1）＞0，解得k＜1或k
＞4.故③正确.
答案：③④【易错误区】双曲线定义运用中的误区
【典例】设F1，F2是双曲线 的焦点，点P在双曲线
上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离是
( )
(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)不存在【解题指导】【解析】选B.双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
||PF1|－|PF2||＝8①，
所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.
因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，
|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|②，
不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．
所以|PF2|＝17.【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】已知P是双曲线 上一点，F1，F2是双曲
线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为_______.
【解析】由双曲线方程 知,a=8,b=6，则c=
∵P是该双曲线上一点，∴||PF1|-|PF2||=2a=16,
又|PF1|=17,
∴|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c-a=2,
∴|PF2|=33.
答案：33 1.双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，b＝2，则双曲
线的标准方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选A.由题知b=2,c=3.∴a2=c2-b2=5.
又焦点在x轴上，故选A.2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选C.将双曲线方程化为标准形式
所以
∴右焦点坐标为3.设θ是三角形的一个内角，且 则方程
所表示的曲线为( )
(A)焦点在x轴上的椭圆
(B)焦点在y轴上的椭圆
(C)焦点在x轴上的双曲线
(D)焦点在y轴上的双曲线【解析】选C.由 得sinθ·cosθ＜0,
又∵θ为三角形的一个内角,∴sinθ＞0,cosθ＜0,
∴方程表示的是焦点在x轴上的双曲线，故选C.4.焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点 和
的双曲线方程是_______.
【解析】设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，把P，Q两点
的坐标代入，得 解得
所以双曲线的标准方程是
答案：5.焦点在x轴上的双曲线过点 且点Q（0，5）与两焦
点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.
【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为
因为双曲线过点
所以 ①又因为点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直,
所以 即-c2+25=0.
解得c2=25. ②
又c2=a2+b2, ③
所以由①②③可解得a2=16或a2=50（舍去）.所以b2=9，所以所
求的双曲线的标准方程是课件49张PPT。第1课时 双曲线的简单几何性质1.通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质.
2.了解双曲线的渐近性,并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题. 1.本节的重点是对双曲线几何性质的理解和简单应用.
2.本节的难点是对双曲线渐近线的理解和运用. 1.双曲线的几何性质F1(0，-c),F2(0，c)F1(-c，0),F2(c,0)|F1F2|=2c x≤-ax≥ay≤-ay≥aRR坐标轴原点A1(-a,0)，A2(a,0)A1(0,-a)，A2(0,a) A1A22aB1B22bab(1,+∞)2.等轴双曲线是指_______________的双曲线.实轴和虚轴等长1.双曲线的焦点在实轴上还是在虚轴上？
提示：双曲线的焦点必定在双曲线的实轴上.
2.等轴双曲线的离心率是多少？
提示：等轴双曲线中a=b，其离心率3.已知双曲线 和 它们的渐近线相同吗？
提示：它们有相同的渐近线方程4.双曲线 的离心率是_______.
【解析】由题知a=2,b2=2.
∴c2=a2+b2=4+2=6，∴
答案：对双曲线的简单几何性质的四点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双
曲线的方程 得
∴x2≥a2,∴｜x｜≥a,即x≤-a或x≥a；(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心
率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；
(4)对称性：由双曲线的方程 若P(x,y)是
双曲线上任意一点,则P1(-x,y),P2(x,-y)均在双曲线上,故P与
P1,P2分别关于y轴、x轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x轴
对称.只不过双曲线的顶点只有两个,而椭圆有四个. 利用标准方程研究几何性质
【技法点拨】
用双曲线标准方程研究几何性质的步骤【典例训练】
1.(2012·福建高考)已知双曲线 的右焦点为（3，
0），则该双曲线的离心率等于( )
（A） （B） （C） （D）
2.双曲线 的左、右焦点分别是F1,F2,过F1
作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，
则双曲线的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）3.求双曲线16x2－9y2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、
离心率、顶点坐标.
【解析】1.选C.由题意，知a2+5=9，
解得2.选B.如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°,F1F2=2c,
故选B.3.把方程16x2－9y2＝－144化为标准方程得
由此可知，实轴长2a＝8，
虚轴长
焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；
离心率
顶点坐标为(0，－4)，(0,4).【想一想】双曲线与椭圆的几何性质有哪些不同点？
提示：椭圆有4个顶点，双曲线只有两个顶点；椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率e∈（0，1），而双曲线的离心率e∈(1,+∞).【变式训练】求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的半实轴长，
半虚轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标．
【解析】把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0),
化为标准方程为
由此可知，半实轴长 半虚轴长
焦点坐标
离心率
顶点坐标为 利用几何性质求标准方程
【技法点拨】
求双曲线标准方程的常用方法及一般步骤
(1)常用方法：一是设法确定基本量a,b,c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值．(2)根据已知条件求双曲线的标准方程的思路是“选标准，定参数”,一般步骤是:【典例训练】
1.（2011·山东高考)已知双曲线 和椭
圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的
两倍，则双曲线的方程为_______.
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为8，离心率为
（2）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴
长和虚轴长相等，且过点【解析】1.由题意知双曲线的焦点为 即
又因为双曲线的离心率为 所以a=2,故b2=3,双曲线的方程
为
答案：2.(1)设双曲线的标准方程为 或
2a=8.
由题意知 且c2＝a2＋b2，
∴a=4,c=5,b=3，
∴标准方程为 或(2)由2a=2b得a=b,∴ 所以可设双曲线方程为
x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点 ∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
∴双曲线的标准方程为【互动探究】将1题中的条件“有相同的焦点”改为“有相同
的顶点”，其他条件不变，再求双曲线的标准方程.
【解析】由双曲线的方程知双曲线的焦点在x轴上，因此双曲
线的顶点与椭圆在x轴上的顶点相同，即双曲线的顶点为
（±4，0），
即a=4,又双曲线的离心率
∴b2=c2-a2=12,
∴双曲线方程为【思考】（1）2题中（1）能确定双曲线的焦点位置吗？
（2）根据2（2）题总结一下等轴双曲线标准方程的设法.
提示：（1）不能确定，所以要分两种情况写出标准方程；
（2）因为等轴双曲线中的“a”和“b”相等，所以等轴双曲线的方程可设为x2-y2=λ(λ≠0)的形式.【变式训练】双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，它们
的离心率互为倒数，求双曲线方程.
【解析】椭圆方程可化为 焦点为 离心率
为 所以双曲线的焦点在y轴上且 所以a＝6，
b2＝12，所以双曲线方程为 与渐近线有关的问题
【技法点拨】
1.双曲线渐近线方程的两种求法
（1）图示法：画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线斜率的确定；
（2）取零法：将双曲线标准方程等号右边的1改为0，化简即可得双曲线的渐近线方程，这也是常用的方法．2.根据渐近线方程求双曲线方程
(1)若双曲线的渐近线方程为 则双曲线方程可表示
为
(2)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可表
示为 与双曲线
共渐近线的双曲线方程可表示为【典例训练】
1.(2012·广州高二检测)双曲线 的一条渐
近线方程为 则该双曲线的离心率的值为( )
（A） (B) (C) (D)2
2.已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，
－1)，一条渐近线与直线3x－y＝10平行，求双曲线的标准方
程.【解析】1.选C．由已知得 所以， 故
即 所以
2.由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一
条渐近线与直线l：3x－y＝10平行，
所以，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0，即y＝3x.
可设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．由于双曲线过点
P(3，－1)，所以9×32－(－1)2＝λ，即λ＝80.
∴所求双曲线的标准方程为【想一想】所有双曲线的渐近线方程都是 吗？
提示：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是 而焦点
在y轴上的双曲线的渐近线方程是【规范解答】利用焦点三角形求双曲线的离心率
【典例】（12分）点P是双曲线C1： 和圆C2：
x2+y2=a2+b2的一个交点，且有2∠PF1F2=∠PF2F1，其中F1，F2是
双曲线C1的左右两个焦点，求双曲线C1的离心率.【解题指导】【规范解答】∵圆的半径 …………………2分
∴圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径.
∴∠F1PF2=90°.①……………………………………………4分
∵2∠PF1F2=∠PF2F1,
∴∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°.……………………………6分
在Rt△F1PF2中，｜F1F2｜=2c,
故 …………………………………… 8分又点P在双曲线上，且在双曲线右支上.
…………………………… 10分
…………………………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②见规范解答过程）【规范训练】（12分）设双曲线 的半焦距
为c，直线l过A(a,0)、B(0，b)两点，且原点到直线l的距离为
求双曲线的离心率．
【解题设问】本题中已知a＞b＞0,那么a、b的大小关系对离心
率范围有影响吗？____. 有【规范答题】由直线l过（a,0），（0,b）两点，得直线l的方
程为 即bx+ay-ab=0．……………………………2分
∵原点O到直线l的距离为
………………………………………… 4分
将 代入并整理得：
则16t2-16t+3=0，得
或 …………………………………………………… 8分即
………………………10分
∴双曲线的离心率 ………………………………12分1.双曲线x2+ky2=1的离心率为2，则实数k的值为( )
(A)-3 (B) (C)3 (D)
【解析】选B.双曲线方程可化为 则a2=1,
又离心率2.双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)
【解析】选A.由双曲线方程可知双曲线渐近线方程为y=
即4x±3y=0.而焦点为(±5,0)，
故所求的距离为3.已知双曲线 的实轴的一个端点为A1，虚轴的
一个端点为B1，且|A1B1|＝5，则双曲线的方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
【解析】选C.由题意知a＝4.又∵|A1B1|＝5，
∴c＝5，∴
∴双曲线方程为4.焦点为（3，0），且与双曲线 有相同的渐近线的
双曲线方程的顶点坐标是_______.
【解析】因为焦点为（3，0），所以实轴在x轴上，c=3,又与
双曲线 有相同的渐近线，设所求双曲线为
y2=k(k>0),利用c=3,得k=3,所以所求双曲线方程为
故其顶点坐标为
答案:5.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线
方程：
(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
(2)双曲线过点 离心率
【解析】(1)设双曲线方程为
由已知得 再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故双曲线C的方程为(2) 设a2＝9k(k>0)，
则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.
于是，设所求双曲线方程为
把 代入①，得k＝－161与k>0矛盾，无解；
把 代入②，得k＝9，
故所求双曲线方程为课件73张PPT。第2课时 双曲线方程及性质的应用1.进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题.
2.掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力. 1.本节的重点是直线和双曲线的位置关系中的弦长、中点弦问题.
2.本节的难点是与双曲线有关的综合问题.直线与双曲线的位置关系及判定
直线：Ax+By+C=0，
双曲线：
两方程联立消去y，得mx2+nx+q=0.2个或1个m=0或1个m≠0且Δ=00个 m≠0且Δ＜0 1.研究直线和双曲线位置关系时，联立直线和双曲线的方程消元后得到的方程一定是二次方程吗？
提示：不一定，可能是一次的，也可能是二次的.当得到一次方程时，直线一定和双曲线的渐近线平行.2.直线和双曲线有一个公共点，能否判断直线和双曲线一定相切？
提示：不能，当直线和双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交.3.直线2x-y-10=0与双曲线 的交点是_______.
【解析】由 得3x2-32x+84=0,解得x=6或
将其分别代入直线方程得 即交点坐标为
（6,2）和
答案:（6，2）和正确理解直线与双曲线位置关系及判定
一般地，设直线l：y=kx+m（m≠0）, ①
双曲线C： ②
把①代入②得
（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.（1）当b2-a2k2=0，即 时，直线l与双曲线的渐近线平
行，直线与双曲线C相交于一点.
（2）当b2-a2k2≠0，即 时，
Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ＞0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ=0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ＜0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离. 直线和双曲线位置关系的判定
【技法点拨】
直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题
直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点．但判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意：（1）直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分；
（2）直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分．
故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．【典例训练】
1.已知双曲线 过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个
公共点，则这样的直线l有_______条.
2.已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.
(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范
围；
(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．【解析】1.（1）当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；
（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，
代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.
①当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；②当4－k2≠0时，令Δ＝0，所以
综上所述，当 或k＝±2或斜率不存在时满足题意，
所以这样的直线一共有4条.
答案:42.(1)联立方程组 消去y
得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，
由题意得，此方程有两个不等的正根．(2)由 得(1－k2)x2＋2kx－5＝0,
由题意知此方程无解．
则k的取值范围为【互动探究】第2题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求k
的值.
【解析】联立方程组 得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝
0，
由直线与双曲线只有一个公共点知方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0
只有一个解①当1-k2=0,即k=±1时，方程只有一解；
②当1-k2≠0时，需满足Δ=4k2+20(1-k2)=0,
解得
综上可知,k的值为±1或【思考】求解第1题时容易忽略哪种情形？“直线与双曲线有两相异交点”和“直线与双曲线的右支有相异两交点”有何区别？
提示：(1)求解第1题时容易忽略直线l的斜率不存在的情形而出错；
(2)直线与双曲线的右支有相异两交点是直线与双曲线有两相异交点的一种情形，消y之后的方程有两正根.【变式训练】已知直线kx-y+1=0与双曲线 相交于两
个不同点A、B.
（1）求k的取值范围；
（2）若x轴上的点M（3，0）到A、B两点的距离相等，求k的
值．【解题指南】由于直线与双曲线相交于两个不同的点，所以可直接利用判别式Δ＞０求得k的范围，但注意一元二次方程的二次项系数不能为0；解答(2)的关键是建立关于k的方程，可以从“点M（3，0）到A、B两点的距离相等”上突破，利用中点坐标公式和直线的斜率间关系解答．【解析】（1）由
得（1-2k2）x2-4kx-4=0.
解得：-1＜k＜1且（2） 设A（x1,y1），B(x2,y2),则
设P为AB中点，则
即
∵M(3,0)到A、B两点的距离相等，
∴MP⊥AB，∴kMP·kAB=-1,即
解得 或k=-1（舍去）， 直线与双曲线的相交弦问题
【技法点拨】
1.直线和双曲线相交所得弦长的两种求法
方法一：利用距离公式
求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长.方法二：利用弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，
y2)，则2.解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法
（1）根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方
程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以
及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐
标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的
关系，可求斜率 这是解决与中点有关问题的简便而
有效的方法．求弦中点轨迹问题，此方法依然有效．【典例训练】
1.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l
与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程
为( )
(A) (B)
(C) (D) 2.(2012·武威高二检测)经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-
于A,B两点，且M为AB中点.
（1）求直线l的方程；
（2）求线段AB的长.【解析】1.选B.由c＝3，设双曲线方程为
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②，得
又N(－12，－15)为AB中点，
∴x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30.∴a2＝4.∴双曲线方程为2.（1）设A（x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得
两式相减得
∵M为AB的中点，∴x1+x2=4,y1+y2=4,
∴l的方程为y-2=4(x-2)，即y=4x-6.(2)将y=4x-6代入到 中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,
【思考】双曲线弦的中点坐标（x0,y0)与弦所在直线斜率k的关
系.
提示：利用点差法可得双曲线中弦的中点坐标与弦所在直线的
斜率关系是：
（1）当双曲线的焦点在x轴上时
（2）当双曲线的焦点在y轴上时【变式训练】已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．【解析】∵a＝1，
又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，
∴l的方程为y＝x－2，
由 消去y并整理得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝
∴A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝ 与双曲线有关的综合问题
【技法点拨】
与双曲线有关的综合问题的几点认识
（1）双曲线的综合问题往往涉及双曲线的离心率、渐近线、范围等性质的综合应用，需要综合上述性质解决问题.（2）双曲线的综合问题往往与向量、三角、不等式等知识结合，考查综合运用数学知识的能力.
（3）双曲线的综合问题多以直线与双曲线相交的形式出现.因此常常需联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程根与系数的关系构造相关数量关系.【典例训练】
1.(2011·山东高考)已知双曲线 的两条
渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为
圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )
(A) (B)
(D) 2.设双曲线C： 与直线l:x+y=1相交于两个不同
点A，B.
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）设直线l与y轴的交点为P，若 求a的值.【解析】1.选A.∵双曲线 的渐近线方程为
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，
∴圆心为C(3,0)．
又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，
又 的右焦点 为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为2.（1）将y=-x+1代入双曲线方程 得（1-a2）x2+
2a2x-2a2=0.
所以
解得
又双曲线的离心率
所以（2）设A（x1,y1），B（x2,y2）,P(0,1),
因为
所以
所以
由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的两根，
且1-a2≠0,
所以
消去x2,得【总结】由2题中问题的解答你学会了哪些分析和解决问题的方法？
提示：将题干中已知的向量关系转化为几何条件，通过几何条件进一步转化为方程研究问题，这是解决本题的主导思想和方法，也是我们研究与椭圆、双曲线有关的综合问题的主要思路.【变式训练】已知双曲线 的离心率e＝
直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是
(1)求双曲线的方程；
(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若 求直
线m的方程．【解析】(1)依题意，直线l方程为 即bx－ay－ab＝
0，由原点O到l的距离为
故所求双曲线方程为
(2)显然直线m不与x轴垂直，设直线m方程为y＝kx－1，
点M、N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2),
联立方程组消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①
依题意，1－3k2≠0，由根与系数的关系，
知又
当 时，方程①有两个不相等的实数根，
∴方程为【规范解答】利用根与系数的关系判断直线和双曲线
位置关系
【典例】（12分）（2012·赣州高二检测）已知双曲线C：2x2-y2=2与点P（1，2）.
（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率的取值范围，使l与C有两个交点.
（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在.【解题指导】【规范解答】（1）当直线l的斜率不存在时①，l的方程为
x=1，与双曲线C只有一个交点.……………………………1分
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1)，代入C的方
程，并整理得
（2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.①………………………3分
（ⅰ）当2-k2=0,即 时，方程①有一个根，l与C只有一
个交点.………………………………………………………4分（ⅱ）当2-k2≠0,即
Δ=［2（k2-2k）］2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)，……6分
当Δ＞0，即 时，又 故当
时，方程①有两不等实根，l与C有两个交点.…8分（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1,y1）,
B(x2,y2)，则 ……………………9分
两式相减得：2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴2(x1-x2)=y1-y2,
即才 ………………………………………10分
由（1）可知直线AB与双曲线C无交点③，
所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.……………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】（12分）已知双曲线 上存在关于直线l：
y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．
【解题设问】双曲线上两对称点的中点是否在直线l上？____.是【规范答题】(1)当k＝0时，显然不成立．…………………1分
(2)当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐
标为M(x0，y0)，由l⊥AB,
可设直线AB的方程为
将其代入3x2－y2＝3中，
得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.…………………………4分
显然3k2－1≠0，Δ>0,即k2b2＋3k2－1>0.①由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为
………………………………6分
因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上，
从而有 ………………………………8分
即k2b＝3k2－1， ④
将④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，即
且k≠0，
…………………12分1.如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的曲线只可能是( )【解析】选C.直线ax－y＋b＝0可化为y＝ax＋b，曲线bx2＋
ay2＝ab可化为
若ab>0，则A中曲线错误，B中曲线不存在．
若ab<0，则D中曲线错误，故选C.2.已知双曲线 的两条渐近线的夹角是60°，
则其离心率是( )
(A) (B) (C) (D)2
【解析】选A.双曲线中 渐近线的倾斜角α的正切
值满足：0＜tanα＜1，0＜α＜ 又两渐近线的夹角是60°，故α=30°，由tan30°= 可求得答案.3.过双曲线 的一个焦点F作一条渐近线的
垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双
曲线的离心率为( )
（A） （B） （C） （D）【解析】选B.如图，不妨设F为右焦点，
向渐近线 所作垂线的垂足为P，
则由题知|PO|=|PF|，
∴∠POF=45°，
即
∴双曲线的离心率
故选B.4.直线y=x+1与双曲线 相交于A，B两点，则|AB|=
_______.
【解析】联立方程得
得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1·x2=-8,
所以
答案:5.已知双曲线 过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B
两点．若P为AB的中点，
(1)求直线AB的方程；
(2)求弦AB的长．
【解析】(1)易知直线AB的斜率存在．
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，得两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
即
所以直线AB的斜率
所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x2－132x＋124＝0.
由弦长公式
得
所以课件56张PPT。2.3.1 抛物线及其标准方程1.经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程，掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.会求简单的抛物线方程.1.本课重点是掌握抛物线标准方程，能根据抛物线方程求出焦点及准线方程，并会求简单的抛物线方程.
2.本课难点是用待定系数法和定义法求抛物线标准方程. 1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离
_____的点的轨迹叫做抛物线.
(2)点F叫做抛物线的_____，直线l叫做抛物线的_____.相等焦点准线(3)图形展示：
即：
— 12.四种抛物线标准方程1.要确定抛物线的解析式需要确定的量是什么？
提示：确定抛物线的解析式关键是确定抛物线标准方程中的p.2.标准方程中p的几何意义是什么？若不强调p>0，则y2=2px是否还表示抛物线？
提示：p的几何意义是焦点到准线的距离，若不强调p>0，则当p=0时，其表示x轴，p<0时，表示焦点在x轴负半轴的抛物线，p>0时，表示焦点在x轴正半轴的抛物线.3.以 为焦点的抛物线的标准方程是_______.
【解析】根据焦点 在x轴上，抛物线标准方程可设为
y2=2px(p>0)，其中焦点坐标是 则 解得p=3，所以
抛物线的标准方程是y2=6x.
答案：y2=6x1.四方面认识抛物线定义及标准方程
（1）定义条件：点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线.
（2）一动三定：一动是一个动点，设为M，即为抛物线上的点；三定分别是：一个定点（抛物线的焦点）；一条定直线l（抛物线的准线）；一个定值，点M到定点F与到定直线l的距离的比是定值1.（3）方程特点：抛物线的标准方程是关于x,y的二元二次方程，其中一个变量只有一次项，另一个变量只有二次项.
（4）参数p：在抛物线的方程中只有一个参数p，它的几何意义是焦点到准线的距离，因此p＞0，p越大，抛物线开口越开阔，反之越扁狭.2.抛物线解析式与其焦点位置及开口方向的关系
先把解析式化成抛物线的标准方程形式，再根据一次项的系数判断.
（1）如果一次项含有x，则说明抛物线的焦点在x轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向右；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向左;
（2）如果一次项含有y，则说明抛物线的焦点在y轴上，系数为正，则焦点在正半轴上，开口向上；系数为负，则焦点在负半轴上，开口向下.3.四种位置的抛物线标准方程的对比
（1）相同点
①顶点都是原点；
②准线与抛物线对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，焦点到准线的距离都等于p(p>0）;
③焦点都在抛物线对称轴上；
(2)不同点
①抛物线方程不同；
②抛物线开口方向不同. 求抛物线的焦点及准线
【技法点拨】
求抛物线的焦点及准线步骤
（1）把解析式化为抛物线标准方程形式；
（2）明确抛物线开口方向；
（3）求出抛物线标准方程中p的值；
（4）写出抛物线的焦点坐标或准线方程. 【典例训练】
1.抛物线2y2-3x=0的焦点坐标是_______,准线方程是_______.
2.设抛物线的方程为y=ax2(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程.【解析】1.抛物线2y2-3x=0化为标准形式： 则
解得 焦点坐标是 准线方程是
答案：2.抛物线方程y=ax2(a≠0)化为标准形式： 当a＞0时，
则 解得 ∴焦点坐标是 准线方程
是
当a＜0时，则
∴焦点坐标是 准线方程是
综上，焦点坐标是 准线方程是【思考】解答题1，题2的关键点及解答题2的注意问题分别是什么？
提示：（1）解答题1，题2的关键是化抛物线方程为标准方程.（2）解答题2的注意点是a的符号不确定要分类讨论.【变式训练】求抛物线y=-mx2（m＞0）的焦点坐标和准线方程.
【解析】抛物线y=-mx2变形为 焦点坐标为
准线方程是 求抛物线的标准方程
【技法点拨】
求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而求方程的有关参数.
(2)方法：①直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程；
②直接根据定义求p，最后写标准方程；
③利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.【典例训练】
1.抛物线的准线方程是 则抛物线的标准方程是______.
2.过点P(2,-3)的抛物线的标准方程是______.【解析】1.∵抛物线的准线方程是
∴抛物线的焦点在x轴负半轴，即可设抛物线方程是y2=
-2px(p>0)，
代入抛物线标准方程y2=-2px(p>0)中，
得抛物线标准方程是y2=-3x.
答案：y2=-3x2.解题流程:【互动探究】如果把题2中的点P(2,-3)改为P(-2,-3)，你能不
求抛物线标准方程就判断其开口方向吗？
【解析】由于点P(-2,-3)在第三象限，
过第三象限的抛物线开口向下或向左.【思考】解答题1的关键是什么？解答题2应注意什么问题？
提示：（1）解答题1的关键是判断焦点位置，正确设出抛物线标准方程；（2）由于P(2,-3)在第四象限，抛物线经过第四象限的有开口向右或开口向下，所以解答题2要分开口向右或向下两种情况分类讨论.【变式训练】求出过点（-2，-3）的抛物线的标准方程.
【解析】∵点(-2,-3)在第三象限，
∴抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2p0y(p0>0).
根据题意得：(-3)2=-2p·(-2)或(-2)2=-2p0·(-3），解得：
∴所求抛物线的方程为 抛物线的实际应用
【技法点拨】
抛物线实际应用题的五个步骤
（1）建：建立适当的坐标系；
（2）设：设出合适的抛物线标准方程；
（3）算：通过计算求出抛物线标准方程；
（4）求：求出所要求出的量；
（5）还：还原到实际问题中，从而解决实际问题.【典例训练】
1.汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处，已知灯口的直径是24 cm，灯深10 cm，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)间的距离是_______.2.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示．
因灯口直径|AB|＝24，灯深|OP|＝10，
所以点A的坐标是(10,12)．
设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，由点
A(10,12)在抛物线上，得122＝2p×10，
所以p＝7.2.所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).
因此灯泡与反射镜顶点间的距离是3.6 cm.
答案：3.6 cm3.5米3.5米2.如图所示yxODCAB2米10米7米（1）依题意，设该抛物线的方程为x2=-2py(p＞0),
因为点C（5，-5）在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2=-5y.
（2）设车辆高h，则|DB|=h+0.5,
故D（3.5，h-6.5）,
代入方程x2=-5y,解得h=4.05,
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.【想一想】解答关于抛物线实际应用问题的关键是什么？哪些问题常用抛物线方程求解?
提示：关键是建立符合题意的数学模型，如涉及桥的跨度，隧道的高低问题，喷水池的水龙头的喷水问题等通常用抛物线方程解决.【变式训练】河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水
面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部
分高 米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开
始不能通航？【解析】如图，建立坐标系，设拱桥抛
物线方程为x2=-2py(p＞0)，由题意，
将B（4，-5）代入方程得 ∴抛物
线方程为
∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航.
设此时船面宽为AA′，则A（2，yA），
由又知船露出水面上部分为 米，设水面与抛物线拱顶相距为
h，则 （米），即水面上涨到距抛物线拱顶2米
时，小船不能通航. 【规范解答】抛物线的定义在解题中的应用
【典例】（12分）动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，求动点M(x,y)的轨迹方程.【解题指导】【规范解答】方法一：（1）当x≥0①时，
∵动点M(x,y)到y轴的距离比它到定点(2,0)的距离小2，
∴动点M到定点(2,0)的距离与到定直线x=-2的距离相等②，
…………………………………………………………………2分
∴动点M的轨迹是以(2,0)为焦点，x=-2为准线的抛物线，且
p=4，…………………………………………………………4分
∴抛物线的方程为y2=8x(x≥0).……………………………6分（2）当x＜0①时，由于x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到(2,0)的距离小2，
∴动点M的轨迹方程为y=0(x＜0).………………………10分
综上③，动点M的轨迹方程为y=0(x＜0)和y2=8x（x≥0）.
………………………………………………………………12分方法二：设M(x,y)，则有 …………4分
即x2+4|x|+4=x2-4x+4+y2,……………………………………6分
化简得 …………………………………10分
∴动点M的轨迹方程为y=0(x＜0)和y2=8x（x≥0）.………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程） 【规范训练】（12分）抛物线上的点 到焦点F（x，
0）的距离为6.求抛物线标准方程.
【解题设问】根据条件列出的关系式是什么？
_________________.【规范答题】由已知条件得关系式 …2分
整理得x2+10x+9=0,……………………………………………4分
即(x+1)(x+9)=0,解得x=-1或x=-9，………………………6分
∴F(-1,0)，p=2,y2=-4x或F(-9,0)，p=18,y2=-36x.………8分
显然，若抛物线为y2=-36x，则它的准线方程是x=9，由抛物线
定义，点A到(-9,0)的距离是6，而点A到x=9的实际距离是14，
矛盾，∴y2=-36x（舍），…………………………………10分
∴所求抛物线的标准方程为y2=-4x.………………………12分1.顶点在原点，焦点是F(0,3)的抛物线标准方程是( )
（A）y2＝21x （B）x2＝12y
（C） （D）
【解析】选B.由 得p＝6，且焦点在y轴正半轴上，故x2＝
12y.2.抛物线y＝-x2的焦点坐标为( )
（A） （B）
（C） （D）
【解析】选B.x2＝-y，∴2p＝1， ∴焦点坐标为3.焦点在x轴上，且焦点到准线距离为2的抛物线的标准方程是
( )
（A）y2＝4x （B）y2＝-4x
（C）y2＝±2x （D）y2＝±4x
【解析】选D.由抛物线标准方程中p的几何意义知p＝2，焦点在x轴的抛物线开口向左，y2＝-4x;开口向右，y2=4x.故选D.4.抛物线图象过点M(2,2)，则抛物线标准方程是_______.
【解析】由于点M(2,2)在第一象限，抛物线开口向右或向上，设抛物线方程y2=2px(p>0)或x2=2p0y(p0>0)，把M(2,2)代入抛物线方程，解得p=1或p0=1，则抛物线方程为y2=2x或x2=2y.
答案：y2=2x或x2=2y5.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M
（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值.
【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，
则焦点 由题意可得故所求的抛物线方程为y2=-8x.
∴m的值为课件2张PPT。2.3.2 抛物线的简单几何性质课件50张PPT。第1课时 抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.
2.通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题. 1.本课重点是抛物线的几何性质及应用.
2.本课难点是利用抛物线的几何性质解决与抛物线相关的问题. 抛物线的简单几何性质x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R xyO（0，0）11.抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？
提示：抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线.2.观察下图，抛物线标准方程y2=2px(p>0)中，开口大小与p有
怎样的关系？
提示：p越大，抛物线开口越开阔.3.过抛物线标准方程y2=2px(p>0)的焦点，作垂直于抛物线对
称轴的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|=_______.
【解析】抛物线标准方程是y2=2px(p>0)，焦点坐标是
把 代入抛物线标准方程得y=±p，则|AB|=2p.
答案：2p抛物线与椭圆及双曲线的几何性质的区别
（1）抛物线的性质和椭圆、双曲线的性质比较起来，差别较大．它的离心率为1，是一个定值，有一个焦点，一个顶点，一条准线，一条对称轴，没有中心，学习中要注意区分、比较记忆．对于抛物线的四种形式的标准方程，应准确把握、熟练应用，能作出图形，会利用图形分析性质.（2）曲线的延伸趋势不相同，当抛物线上的点趋于无穷远时，它在这一点切线的斜率接近于x轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于与x轴平行；而双曲线上的点趋近于无穷远时，它的切线的斜率接近于它的渐近线的斜率.
（3）双曲线有渐近线而抛物线没有渐近线. 焦半径问题
【技法点拨】
抛物线的焦半径
(1)抛物线的焦半径是指抛物线上任意一点与抛物线焦点的连线段.(2)抛物线的焦半径公式
抛物线y2=2px(p＞0),
抛物线y2=-2px(p＞0)，
抛物线x2=2py(p＞0),
抛物线x2=-2py(p＞0)，【典例训练】
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2x的焦点为F，若M是抛
物线上的动点，则 的最大值为_______.
2.已知抛物线C:y2=2px(p＞0)上横坐标为4的点到焦点的距离为
7，则抛物线C的方程为_______.【解析】1.设M（x0,y0），则
令
t=1时,t≠1时，方程有解Δ≥0，
当x0=1时, 的最大值为
答案：2.依题意得： 解得p=6.
所以抛物线方程为y2=12x.
答案：y2=12x【想一想】解答题2的关键点是什么？
提示：解答题2的关键点是利用焦半径公式求出未知数，进而解决其他问题.【变式训练】已知抛物线C：x2=2py(p＞0)上一点A(m,4)到其
焦点的距离为5.求p与m的值.
【解析】由抛物线方程得其准线方程： 根据抛物线定
义，点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离，即
解得p=2，
∴抛物线方程为x2=4y，将A(m,4)代入抛物线方程，解得m=±4.
综上，p=2，m=±4. 焦点弦问题
【技法点拨】
抛物线的焦点弦
如图，AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦
点F的一条弦，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
AB的中点M(x0,y0),相应的准线为l.ylxAA1MM1B1FO··B·①|AB|=x1+x2+p；
②|AB|=2x0+p；
③AB垂直于对称轴时，AB叫通径，焦点弦中通径最短；
④A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即
⑤
⑥以AB为直径的圆必与准线相切.【典例训练】
1.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物
线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p=_______.
2.过抛物线y2=10x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，则
________.【解析】1.由题意可知过焦点的直线方程为 联立有
答案： 22.过A、B作准线的垂线，垂足分别为A′、B′， 设A(x1,y1),
B(x2,y2)，则根据抛物线定义知 |BB′|=∵抛物线y2=10x，∴p=5，
答案:【互动探究】把题2抛物线解析式换为y2=x，则
________.
【解析】由于y2=x，则 所以
答案：4【归纳】解答题1的关键及解答题2时的突破口.
提示：（1）解答题1的关键是设出直线的方程与抛物线的方程联立方程组.
（2）解答题2的突破口是把|AF|与|BF|用焦半径公式表示进而进行化简.【变式训练】(2012·泉州高二检测)过抛物线y2=6x的焦点作
直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，若x1+x2=4,则｜AB｜
的长是( )
（A）9 （B）7 （C）5 （D）4
【解析】选B.设y2=6x焦点为F.根据抛物线定义可知p=3,|AB|= 综合题
【技法点拨】
抛物线中恒过点问题
（1）过抛物线y2=±2px（p>0）的顶点任作两条互相垂直的线OA、OB，则直线AB恒过定点（±2p，0）.
（2）解答直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要考虑直线斜率不存在的情形.【典例训练】
1.设点A和点B为抛物线y2=4px（p>0）上原点以外的两个动
点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示
什么曲线.
2.一个正三角形顶点都在抛物线上（抛物线的顶点在原点，对
称轴是坐标轴），其中一个顶点在原点，三角形的面积是
求抛物线的方程.【解析】1.如图
由OA⊥OB，可知AB过定点N（4p，0）.于
是设M（x，y），当AB与x轴不垂直时，
由KOM·KAB=-1可知 即
（x-2p）2+y2=4p2，当AB⊥x轴时，点M与点N重合，也满足方程
∴点M的轨迹方程是（x-2p）2+y2=4p2（x≠0)，它表示以点
（2p，0）为圆心，半径长为2p的圆（去掉坐标原点）.2.若抛物线的焦点在x轴正半轴上，如图，
点A与点B关于x轴对称，设正三角形的边长为a，则S△AOB=
解得 则A的横坐标是
纵坐标是设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)，点A在抛物线上，则
解得p=1，
∴抛物线的标准方程是y2=2x.
同理可知，抛物线的标准方程还可以是y2=-2x,x2=2y,x2=-2y.【规范解答】抛物线的性质在求最值中的应用
【典例】（12分）已知P为抛物线y2=4x上的动点，过P分别作y轴与直线x-y+4=0的垂线，垂足分别为A，B，求|PA|+|PB|的最小值.【解题指导】【规范解答】如图，延长PA交准线l于A′，焦点F（1，0），
………………………………………………………2分|PA|+|PB|=|PA′|-1+|PB|
=|PF|+|PB|-1①.………………………………………………6分
当F，P,B共线时②，|PA|+|PB|最小，即转化为F到x-y+4=0的
距离减去1.
此时 ………………………………………8分
∴|PA|+|PB|的最小值为 ……………………………11分
综上所述，|PA|+|PB|最小值为 ③.………………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）【规范训练】（12分）在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F的距离与到定点A(2,3)的距离之和最小.
【解题设问】点A(2,3)在抛物线的内部还是外部? _____外部【规范答题】∵y2=2x，
∴焦点的坐标为 ……………………………………2分
∵A(2,3)，
∴点A在抛物线的外部.……………………………………4分
连接AF交抛物线于点P,点P就是所求的点.
直线AF的方程是y=2x-1,……………………………………6分
与抛物线联立得方程组解得 ………………………………8分
由于点P在线段AF上（不含A，F点），
∴P点的坐标是 ……………………………10分
综上，P点的坐标是 ………………………12分1.顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离是3，抛
物线的标准方程是( )
(A)y2=12x (B)y2=-12x或x2=12y
(C)x2=12y (D)y2=12x或y2=-12x
【解析】选D.由条件知： 解得p=6，焦点在x轴的抛物线开
口向右或向左，所以抛物线标准方程是y2=12x或y2=-12x，故
选D.2.设AB为过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的弦，则|AB|的最小
值为( )
（A） （B）p （C）2p （D）无法确定
【解析】选C.由抛物线定义可求得，垂直于对称轴的通径最
短，即当 y=±p时,|AB|min=2p.3.方程(3-m)y2=(m-1)x表示抛物线，其中m不能为( )
（A）1 （B）3 （C）1或3 （D）1且3
【解析】选D.由条件知 解得m≠3且m≠1，故选D.4.过抛物线x2=-4y的焦点作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B
两点，O为抛物线的顶点，则△OAB的面积是_______.
【解析】由抛物线方程可知|AB|=2p=4，|OF|=1，
所以△OAB的面积为
答案：25.过抛物线y2=8x的焦点作直线l，交抛物线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为3，求|AB|的值.
【解析】由抛物线y2=8x知，p=4.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，根据抛物线定义知：∴x1+x2=|AB|-p.
由条件知 则x1+x2=6,
∴|AB|-p=6,
又∵p=4,∴|AB|=10.
综上，|AB|的值是10.课件58张PPT。第2课时 抛物线方程及性质的应用1.明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法.
2.会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题. 重点：代数法判断直线与抛物线的位置关系.
难点：应用抛物线的几何性质解决有关问题. 1.直线与抛物线的位置关系
(1)直线与抛物线的位置关系有_____、_____、_____.相离相切相交yx(2)直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有__个交点.
2.弦长公式
设直线l的方程为：y=kx+m，抛物线的方程为y2=2px(p＞0)，直
线与抛物线相交，两个交点P1，P2,将直线方程与抛物线方程联
立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2+Bx+C=0(或
Ay2+By+C=0).设P1(x1,y1)，P2（x2,y2），则弦长|P1P2|=11.直线与抛物线只有一个公共点时，当且仅当直线与抛物线相切，对吗？
提示：不对.直线与抛物线只有一个公共点包括两种情况：①相切；②直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行.
2.过坐标平面上任意一点都能作出抛物线的切线吗?
提示：不一定.根据点的位置不同而确定，当点在抛物线内部时，作不出切线.3.抛物线y2=4x被直线y=x所截，截得弦长是_______.
【解析】方法一：把抛物线y2=4x和直线y=x联立得方程组：
解得 或 即交点坐标是(0,0)和(4,4)，
根据两点间距离公式得方法二：把抛物线y2=4x和直线y=x联立方程组： 消元
得x2-4x=0，设两交点的横坐标为x1,x2，解得x1=0，x2=4,直
线斜率为1，代入弦长公式得：
答案:对抛物线的焦半径与焦点弦的认识
(1)焦半径：抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做焦半径，(2)焦点弦:过焦点的直线与抛物线相交所得到的弦叫做焦点弦.(3)求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决.设抛物线上任意一点P(x0,y0)，焦点弦的端点为A(x1,y1),
B(x2,y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：y2=2px
(p>0)y2=-2px
(p>0)x2=2py
(p>0)x2=-2py
(p>0)|AB|=
x1+x2+p|AB|=
p-(x1+x2)|AB|=
y1+y2+p|AB|=
p-(y1+y2) 直线与抛物线的位置关系
【技法点拨】
判断直线与抛物线位置关系的两种方法
(1)几何法
利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果；(2)代数法
设直线l的方程为：y=kx+m，抛物线的方程为y2=2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).相交：①有两个交点：
②有一个交点：A=0(直线与抛物线的对称轴平行，即相交);
相切：有一个公共点，即
相离：没有公共点，即【典例训练】
1.过点（0，-1）的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)1或2
2. 过点P(0,3)且与抛物线y2=5x只有一个公共点的直线方程分别为_______.【解析】1.选D.因为点（0，-1）在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1个或2个.
2.分斜率存在和不存在两种情况讨论.
(1)斜率不存在时,过P（0，3）的直线方程是x=0;（2）斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=kx+3，与抛物
线方程y2=5x联立得方程组 消去x得ky2-5y+15=0，
当k=0时，解得y=3，当k≠0时，Δ=(-5)2-4k×15=0解得
代入直线方程得5x-12y+36=0，综上，所求直线方程是x=0，
y=3，5x-12y+36=0.
答案:x=0，y=3，5x-12y+36=0【归纳】解答题2的注意点.
提示：设直线方程时要注意斜率存在与不存在两种情况讨论，否则会丢根.【变式训练】过点M(0,1)且和抛物线y2=3x仅有一个公共点的
直线方程是_______.
【解析】分斜率存在和不存在两种情况讨论.
(1)斜率不存在时，过M（0，1）的直线方程是x=0;
(2)斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=kx+1，与抛物线
方程y2=3x联立得方程组 消去x得ky2-3y+3=0，当k=0时，解得y=1，当k≠0时，Δ=(-3)2-4k×3=0解得 代
入直线方程得3x-4y+4=0，综上，所求直线方程是x=0，y=1，
3x-4y+4=0.
答案:x=0，y=1，3x-4y+4=0 求抛物线被直线所截弦长
【技法点拨】
弦长的求法及注意点
(1)求抛物线被直线所截弦长常用的方法是设而不求，结合根
与系数的关系，利用弦长公式求弦长.
(2)弦长公式(3)化简整理出的一元二次方程形式中，注意Δ＞0此方法可以推广到任意的二次曲线.【典例训练】
1.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于_____.
2.设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长 则k=_____.【解析】1.解题流程:
答案:2.把抛物线y2=4x与直线y=2x+k联立得方程组 消元
y整理得4x2+(4k-4)x+k2=0，Δ=(4k-4)2-4×4×k2＞0即
设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系知x1+x2=
代入弦长公式得
解得k=-4.
答案:-4 【互动探究】若题2中题干不变,k取何值时直线与抛物线无交
点？
【解析】把抛物线y2=4x与直线y=2x+k联立方程组得
消元y整理得4x2+(4k-4)x+k2=0，Δ=(4k-4)2-4×4×k2＜0解得
综上，当 时直线与抛物线没有交点.【想一想】解答题1的关键是什么？解答题2应注意的问题是什么?
提示：(1)关键是联立直线与抛物线方程利用弦长公式求解.
(2)利用弦长公式求解k的取值时要注意满足直线与抛物线联立后一元二次方程的Δ＞0．【变式训练】焦点在y轴上的抛物线被直线x-2y-1=0截得弦长
是 则抛物线的标准方程是_______.
【解题指南】本题没有明确焦点是在y轴的正半轴还是负半
轴，应该两种情况分类求解，避免讨论，巧设抛物线方程为
x2=ay(a≠0)【解析】设抛物线方程为x2=ay(a≠0),与直线方程联立方程组
得 消去y得2x2-ax+a=0，Δ=(-a)2-4×2×a＞0,
解得a＜0或a＞8,设两交点坐标是P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则x1+
代入弦长公式得：
解得a=-4或a=12都符
合题意，故抛物线方程为x2=-4y或x2=12y.
答案:x2=-4y或x2=12y 平分弦
【技法点拨】
解决平分弦问题常用方法
（1）点差法.设而不求，结合中点坐标公式.
（2）待定系数法.
（3）对称点法.利用对称点都在抛物线上，满足抛物线方程求解.【典例训练】
1.已知抛物线y2=2x，点(5,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的中点，则直线方程是_______.
2.抛物线y2=-8x中，以(-1,1)为中点的弦的直线方程是______.【解析】1.由于(5,0)恰在抛物线对称轴上，能符合题意的直线与对称轴垂直，故直线方程是x=5.
答案:x=52.方法一：设弦的两个端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有
两式相减得(y1+y2)（y1-y2）=-8(x1-x2)，
则直线的斜率 由于(-1,1)为中点，
1即y1+y2=2, 所以直线斜率为-4且过点
(-1,1)，则直线方程是y-1=-4(x+1)，整理得直线方程4x+y+
3=0.方法二：设抛物线y2=-8x关于点(-1,1)对称的抛物线上的任意点为(x,y)，则点(x,y) 关于点(-1，1)的对称点（-2-x,2-y）必在抛物线y2=-8x上，所以有(2-y)2=-8(-2-x) 两式相减得 4-4y=16x+16即4x+y+3=0为所求直线的方程.
答案:4x+y+3=0【想一想】解答题2的关键点是什么？
提示：解答题2的关键是设出坐标联立方程组求解或抓住抛物线的对称性求解.【变式训练】已知抛物线y2=6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰
在P点被平分,求这条弦所在直线方程.
【解析】方法一:设弦的两个端点为P1(x1,y1)，P2（x2,y2），
所求直线方程为y-1=k(x-4),
∵P1，P2在抛物线上,
两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2)①
将y1+y2=2代入①得
∴直线方程为3x-y-11=0. 方法二:设所求方程为y-1=k(x-4),
由 得ky2-6y-24k+6=0.
设两端点P1，P2的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2)，则
∵P1P2的中点为(4,1),
经验证k=3满足Δ＞0.
故所求直线方程为3x-y-11=0. 直线到抛物线最近距离问题
【技法点拨】
解决直线到抛物线最近距离的方法
(1)利用两点间的距离公式和二次函数知识求解；
(2)利用点到直线距离公式，结合二次函数求最值的方法；
(3)利用判别式先求出切点，再用点到直线的距离求解. 【典例训练】
1.已知点A(3,2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上，
使|PA|+|PF|取得最小值，则最小值为( )
(A) (B)2 (C) (D)
2.求抛物线y=x2上的点与直线l:x-y-2=0的最短距离.【解析】1.选D.设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定
义可知|PF|=|PD|,
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小值.当
D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小，为 故选D.
2.方法一：设抛物线上一点P(x0,y0)到直线l:x-y-2=0的距离为
d，
则方法二：设与直线l平行且与抛物线相切的直线方程为x-y+b=
0，代入抛物线方程消去y得:x2-x-b=0.
∵Δ=1+4b=0,∴
∴切线方程为 ∴抛物线上的点到l的最短距离【规范解答】直线与抛物线的综合应用
【典例】(12分)（2011·江西高考）已知过抛物线y2=2px(p＞
0)的焦点，斜率为 的直线交抛物线于A(x1，y1),B(x2,
y2)（x1＜x2）两点，且|AB|=9．
（1）求该抛物线的方程；
（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若 求λ
的值．【解题指导】【规范解答】（1）直线AB的方程是 与y2=2px联
立,从而有4x2-5px+p2=0,
所以： ………………………………………2分
由抛物线定义得：|AB|=x1+x2+p=9，所以p=4,…………4分
所以抛物线方程为y2=8x.…………………………………6分（2）由p=4，4x2-5px+p2=0化简得x2-5x+4=0,
从而 ……………………8分
从而
设 又因为
解得
λ=0或λ=2.…………………………………………………10分
综上：λ=0或λ=2③.………………………………………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程)【规范训练】(12分)已知直线l：y=x+m，m∈R. 若直线l关于x轴
对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2=4y是否相切？说明
理由.
【解题设问】直线l关于x轴对称的直线l′的直线方程是_______. y=-x-m【规范答题】因为直线l的方程为y=x+m，所以直线l′的方程为
y=-x-m.……………………………………………………2分
由 得x2+4x+4m=0.……………………………4分
Δ=42-4×4m=16(1-m).……………………………………6分
当m=1，即Δ=0时，直线l′与抛物线C相切；……………8分
当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切.………10分
综上，当m=1时，直线l′与抛物线C相切；
当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切.…………………12分 1.判断直线y=1与抛物线y=x2的位置关系( )
(A)相离 (B)相交
(C)相切 (D)相交或相切
【解析】选B.数形结合或把y=1代入y=x2可求出交点两个，故相交.2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
(A)不存在 (B)有无穷多条
(C)有且仅有一条 (D)有且仅有两条
【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题可知p=2，
∴|AB|=x1+x2+p=5+2=7＞通径长=4，
∴适合条件的直线有且只有两条.3.抛物线x2=-2y与过点P(0,-1)的直线l交于A,B两点，如果OA与OB的斜率之和为1，则直线l的方程是( )
(A)y=-x-1 (B)y=x+1
(C)y=x-1 (D)y=-x+1【解析】选C.显然直线l垂直于x轴不合题意，设所求的直线方
程为y=kx-1，代入抛物线方程化简，得x2+2kx-2=0，则Δ=
4k2+8＞0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-2k,x1·x2=-2,点
A,B在直线上，则y1=kx1-1,y2=kx2-1，由题意知 即
化简得 把x1+x2=-2k,x1·x2=-2
代入，解得k=1，所以所求直线方程为y=x-1，故选C.4.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点,则cos∠AFB=_______.
【解题指南】联立方程求出A、B两点后转化为解三角形问题.【解析】联立 消y得x2-5x+4=0，解得x=1或x=4.
不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),又
F(1,0),
可求 利用余弦定理得cos∠AFB=
答案:5. 已知抛物线C：y2=x上有关于直线l: 对称的不同两
点，求k的取值范围.
【解析】设关于直线l对称的弦为AB，A（x1,y1）、B（x2,y2）,
AB中点为M（x0,y0）,∵A,B在抛物线上，
两式相减得 且AB⊥l，
M在抛物线的内部，
解得-1
