课件23张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第一章
考点一考点二1.1
1.1.11.1.1 命题观察下列语句：
①x＝2是方程x2－4x＋4＝0的解；
②函数f(x)＝ 在定义域上是减函数吗？
③一个整数不是质数就是合数；
④3100不是整数；
⑤若sin α＝sin β (α，β∈R)，则α＝β或α＋β＝π；
⑥空间中与同一条直线平行的两条直线互相平行；
⑦x2－x－1>0.问题1：哪几个语句能判断为真？
提示：①⑥
问题2：哪几个语句能判断为假？
提示：③④⑤ 并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题，如“对数函数是单调函数吗？” “勿踏草地” “正弦函数的图象真优美啊！”都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2” “小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题． 命题是由条件和结论两部分组成，它的结构形式为
“若p则q”．其中,p是命题的条件，q是命题的结论.有些命题表面上没有明确的条件和结论，即不是“若p，则q”的形式.为了找到命题的条件和结论，我们可把命题改写成“若p，则q”的形式． [例1] 判断下列语句是否是命题.若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根．
(3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)当x＝4时，2x＋1<0. [精解详析] (1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，所以是一个假命题．
(2)不是命题，它是祈使句．
(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．
(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．
[一点通] 要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；而要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证．在判断时，要有推理依据，有时应综合各种情况作出正确的判断．1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c” ( )
A．不是命题 B．是真命题
C．是假命题 D．不能判断真假
解析：由不等式性质得a>b?a＋c>b＋c，
所以该命题是真命题．
答案：B2．判断下列语句是否是命题.若是，判断其真假．
(1)一个数列不是递增数列就是递减数列吗？
(2)矩形是平行四边形．
(3)在空间垂直于同一条直线的两条直线必平行．
(4)当x＝0时，2x＋1>0.
解：(1)是疑问句，不是命题；
(2)是命题，且是真命题；
(3)是命题，是假命题；
(4)是命题，是真命题. [思路点拨] 先写成“若p，则q”的形式，再由推理或举反例判断它们的真假． [一点通] 数学中，“若p，则q”这种形式是命题的结构形式，这里p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
但有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式． 3．命题 “一个正整数不是合数就是素数”的条件p：
______，结论q：________.它是________(填“真”或
“假 ”)命题．
解析：该命题可变为“若一个数是正整数，则它不是合
数就是素数”，所以条件p为“一个数是正整数”，结论q
为“它不是合数就是素数”．因为正整数1不是合数也不是
素数，所以它是假命题．
答案：一个数是正整数 它不是合数就是素数 假 4．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形的两个底角相等；
(2)当x＝2或x＝4时，x2－6x＋8＝0.
解：命题(1)中的条件是一个三角形是等腰三角形，
结论是这个三角形的两个底角相等．故命题可以写成：
若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等．显
然这个命题是真命题．
命题(2)中的条件是x＝2或x＝4，结论是x2－6x＋8＝0.
故命题可以写成：若x＝2或x＝4，则x2－6x＋8＝0.通
过检验可知这个命题是真命题． 1．判断一个语句是不是命题的两个要素：
（1）是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
（2）可以判断真假．
2．判断真假命题的方法：
首先考虑特例法，根据给定条件举出特例，如果得出与给定结论相反的结果，那么就可证明它是假命题.若条件和结论的因果关系不明显，不容易找到反例，只能根据所学知识进行证明． 3．任何一个命题都可以写成“若p,则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且把它们补充成语意完整的句子．
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第一章
考点一考点二1.1
1.1.2＆
1.1.3考点三1．1.2＆ 1．1.3四种命题 四种命题间的相互关系 观察下列四个命题：
(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形
(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．
(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．
(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．
问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？ 提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；
对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．四种命题结论条件互逆命题逆命题则若綈p则綈q条件的否定结论的否定否命题结论的否定条件的否定逆否命题若綈q则綈p2．四种命题之间的关系 3．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有 真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
． 相同的没有关系 1．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，再根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．
2．互为逆否命题的两个命题真假性相同． [例1] 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)如果x>10，那么x>0；
(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.
[思路点拨] 首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题． [精解详析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，
否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，
那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. (3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；
否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；
逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.
[一点通] (1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．
(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变． 解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确.
答案：C2．写出命题“若a>1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函
数”的逆命题、否命题和逆否命题．
解：逆命题：若函数y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，
则a>1.
否命题：若a≤1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上不是增
函数．
逆否命题：若函数y＝logax在(0，＋∞)上不是增函数，
则a≤1. [例2] 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)垂直于同一个平面的两直线平行．
(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．
(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0. [精解详析] (1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．
否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．
逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．
(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，
则m·n<0；假命题．
否命题：若m·n≥0，
则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，
则m·n≥0；真命题． (3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．
[一点通] 要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．3．有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2 (3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．
其中真命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3 解析：答案：B4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它
们的真假．
(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；
(2)相等的两个角的正弦值相等；
(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；
(4)若x∈A，则x∈A∩B. 解：(1)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b；真命题.
否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B;真命题.
逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b;真命题.
(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等;则这两个角相等;假命题.
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等;假命题.
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等;真命题．(3)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0;真命题.
否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3;真命题.
逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0;假命题．
(4)逆命题：若x∈A∩B，则x∈A;真命题.
否命题：若x?A，则x?A∩B;真命题.
逆否命题：若x?A∩B，则x?A;假命题. [例3] 判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
[思路点拨] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．
[精解详析] 法一：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真． [一点通]
(1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题.这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力．5．把本例命题改换成“已知a，x为实数，若关于x的不等式
x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”，判断其
逆否命题的真假．
解：法一：原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若
a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不
是空集．判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
∵a≥2，∴4a－7>0,即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真． 2．四种命题的真假性
一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：
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