课件29张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.1
3.1.13.1.1 空间向量及其加减运算 李老师下班回家，先从学校大门口骑自
行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，
最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个
过程中，李老师从学校大门口回到住处所发
生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．
问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？
提示：不是．
问题2：如何刻画李老师行驶的位移？
提示：借助于空间向量的运算．空间向量大小方向大小模有向线段大小方向长度为0模为1相等相反相同相等0－a大小方向a＋ba－bb＋aa＋(b＋c) 1.向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小.
2.零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行.
3.单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量.
4.空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．[例1] 下列说法中正确的是 ( )
A．若|a|＝|b|，则a,b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有 ＋ ＝
[思路点拨] 根据向量的概念及运算律两方面辨析． [精解详析] |a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定.对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有 ＋ ＝ ，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．
[答案] B [一点通]
(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．1．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量
相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量
a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；④若空间向量m，n，p满足
m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必
相等．其中正确命题的个数为 ( )
A．4 B．3
C．2 D．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a与b的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．
答案：D2．给出下列四个命题：
(1)方向相反的两个向量是相反向量；
(2)若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；
(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；
(4)对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
其中正确命题的序号为 ( )
A．(1) (2) (3) B．(4)
C．(3) (4) D．(1) (4) 解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)：不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确．
答案：B [思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点． [一点通]
(1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．
(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．答案：A答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD－A′B′C′D′.
化简下列向量表达式，并在图中标出
化简结果．
点击下图进入“应用创新演练”
课件36张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.1
3.1.2考点三3.1.2 空间向量的数乘运算 空间中有向量a，b，c(均为非零向量).
问题1：向量a与b共线的条件是什么？
提示：存在唯一实数λ，使a＝λb.
问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
提示：一定；不一定．
问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?
提示：不能. 1．空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积 λa仍然是一个
，称为向量的数乘运算．
(2)向量a与λa的关系:向量相同相反|λ|倍 (3)空间向量的数乘运算律:
设λ,μ是实数，则有
①分配律：λ(a＋b)＝ .②结合律：λ(μ a)＝ . λa＋λb(λμ)a2．共线向量互相平行或重合共线向量同一个平面a＝λbp＝xa＋yb方向向量 ＋t x ＋y 1.λa是一个向量.当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
2.平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．
3.共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏． 答案：A [一点通] 判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则,结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．答案：A求证：四边形EFGH是梯形．答案：C
点击下图进入“应用创新演练”
课件43张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.1
3.1.3考点三考点四3.1.3 空间向量的数量积运算 2008年5月12日，四川汶川发生特大地震.为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件.已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10 N/kg)．
问题1：向量F1和－F2夹角为多少？
提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？1.空间向量的夹角2．空间向量的数量积λ(a·b) b·a a·b＋a·ca·ba·b＝0|a|·|b|－|a|·|b|≤ 1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.
2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．
3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． [思路点拨] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结合正四面体的特征． [一点通] 在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算．答案：B[一点通] 利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：答案：C [例3] 如图所示，平行六面体
ABCD－A1B1C1D1中，从同一顶点出
发的三条棱的长都等于1，且彼此的
夹角都是60°，求对角线AC1和BD1
的长． [一点通] 求两点间的距离或某条线段的长度的方法：先将此线段用向量表示，然后用其他已知夹角和模的向量表示此向量，最后利用|a|2＝a·a，通过向量运算去求|a|，即得所求距离．答案：C6．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，
将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D
间的距离． [例4] 已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC. [一点通] 用向量法证明垂直的方法：把未知向量用已知向量来表示，然后通过向量运算进行计算或证明．7．已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零
向量c在直线l上，则c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；
反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α.
答案：B8．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，
且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN
的中点．
求证：OG⊥BC. 3．利用空间向量的数量积解决几何中的夹角垂直关系，其思路是将直线的方向向量用已知向量表示，然后进行数量积的运算．
点击下图进入“应用创新演练”
课件35张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.1
3.1.4考点三3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于
将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”、“东400米”“5楼”三个量确定. 设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量． 问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？
提示：能．
问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？
提示：p＝500e1＋400e2＋15e3. 1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c ，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得
，其中 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点O的 的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底． 不共面p＝xa＋yb＋zc{a，b，c}a，b，c两两垂直 (2)空间向量的坐标表示
以e1，e2，e3的 为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任意一个向量p，一定可以把它 ，使它的 与原点O重合，得到向量 ＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝
.把 称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作 ．公共起点O平移起点xe1＋ye2＋ze3x，y，zp＝(x，y，z) 1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
2. 0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． [例1] 若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
[思路点拨] 判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
[精解详析] 假设a＋b，b＋c，c＋a共面，则存在实数λ,μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.
∵{a，b，c}为基底．∴a，b，c不共面． [一点通] 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面.如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一
个基底.给出下列向量组：
①{a，b，x}，②{x，y，z}，
③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}.
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．答案：3 [思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止． [一点通] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则．答案：A[一点通] 用坐标表示空间向量的方法与步骤: (1)三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件．
(2)用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底{a，b，c}为单位正交基底，可由p＝xa＋yb＋zc得到p的坐标为(x，y，z)．
点击下图进入“应用创新演练”
课件36张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.1
3.1.5考点三3.1.5 空间向量运算的坐标表示 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石.这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N.
问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？
问题2：巨石受到的合力有多大？
提示：|F|＝5 000 N. 1．空间向量的加减和数乘的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
(1)a＋b＝ ；
(2)a－b＝ ；
(3)λa＝ (λ∈R)；
(4)若b≠0，则a∥b?a＝λb(λ∈R)? ，
， .a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3a1－b1，a2－b2，a3－b3λa1，λa2，λa3a1＝λb1a2＝λb2a3＝λb32．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a·b＝ ；
(2)|a|＝ ＝ ；
(3)cos〈a，b〉＝
＝；
(4)a⊥b? .a1b1＋a2b2＋a3b3a1b1＋a2b2＋a3b3＝03．空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)则.
(1) ＝( )；
(2)dAB＝| |＝ . a2－a1，b2－b1，c2－c1 1．空间向量与平面向量的坐标运算的联系
类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．
2．长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关． [思路点拨] 先由点的坐标计算得到向量p，q的坐标，然后进行各种运算． [一点通]
(1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算;先算括号里，后算括号外．
(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．1．已知a＝(1，－2,4)，b＝(1,0,3)，c＝(0,0,2)．求：
(1)a·(b＋c)；
(2)4a－b＋2c.
解：(1)∵b＋c＝(1,0,5)，
∴a·(b＋c)＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21；
(2)4a－b＋2c＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8，
17)． [例2] 设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
[思路点拨] 先求ka＋b，a－3b的坐标，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解；也可由两向量平行或垂直的充要条件进行整体运算，再代入坐标求解． [一点通]
(1)要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．
(2)在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件．在条件不明确时，要分类讨论．答案：A [例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂
直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，
CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，
棱AA1＝2，
N为A1A的中点．
(1)求BN的长；
(2)求A1B与B1C所成角的余弦值．
[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量的坐标，再利用向量方法进行求解． [一点通] 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求.利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．答案：B 1.在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况．
2.运用向量坐标运算解决几何问题的方法:
点击下图进入“应用创新演练”
课件43张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.2
第
一
课
时知识点一知识点二考点三第一课时 空间向量与平行关系 问题1：在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
提示：能．
问题2：在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定吗？
提示：确定． 1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线 的向量．
2．平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的 a，则a叫做平面α的法向量. 平行或共线方向向量 由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．
? 问题1：若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，当a∥u时，l与α有什么关系？若a⊥u呢？
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l?α.
问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β是什么位置关系？
提示：u∥v时，α∥β，u⊥v时，α⊥β. 空间中平行关系、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则
线线平行 l∥m? ? ；
线面平行 l∥α? ? ；
面面平行 α∥β? ? .
线线垂直 l⊥m? ? ；
线面垂直 l⊥α? ? ；
面面垂直 α⊥β? ? .a∥ba＝kb，k∈Ra⊥ua·u＝0u∥vu＝kv，k∈Ra⊥ba·b＝0a∥ua＝ku，k∈Ru⊥vu·v＝0 1.直线的方向向量不是唯一的，可以分为方向相同和相反两类．解题时，可以选取坐标最简的方向向量．
2.一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线．
3.因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系． (3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，根据下列条件判断α和l的位置关系：
①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；
②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；
③u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．
[思路点拨] 先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系，再判断线面、面面关系． [一点通] 解答本题的关键是：①搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；②要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量关系转化为几何关系时，注意其等价性．1．已知直线l的方向向量为u＝(2,0，－1)，平面α的一个法向
量为v＝(－2,1，－4)，则l与α的位置关系为________．
解析：∵u·v＝(2,0，－1)·(－2,1，－4)＝－4＋0＋4＝0 ，
∴u⊥v，∴l∥α或l?α.
答案：l∥α或l?α2．根据下列条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、
直线与平面的位置关系．
(1)直线l1与l2的方向向量分别是
a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)．
(2)平面α，β的法向量分别为
u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)．
(3)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)．
(4)直线l的方向向量、平面α的法向量分别是
a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)．解：(1)∵a＝(1，－2，－2)，b＝(－2，－3,2)，
∴a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.
(2)∵u＝(1,3,6)，v＝(－2，－6，－12)，
∴v＝－2(1,3,6)＝－2u，∴u∥v，∴α∥β.
(3)∵a＝(2,0,3)，v＝(1，－4，－3)，
∴a与v既不共线也不垂直，∴l与α斜交．
(4)∵a＝(3,2,1)，v＝(1，－2,1)，
∴a·v＝3－4＋1＝0，a⊥v，
∴l?α或l∥α. [例2] 已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，求平面ABC的一个法向量．[一点通] 利用待定系数法求法向量的解题步骤：3．已知平面内的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则该平
面的一个法向量为 ( )
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)答案：C4.四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，
SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD
＝1.在如图所示的坐标系Axyz中，分别
求平面SCD和平面SAB的一个法向量． [例3] 如图所示,正方体ABCD－
A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱
A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFDB. [精解详析]如图，分别以DA,DC,
DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空
间直角坐标系．
设正方体棱长为a，
则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，
D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，
B(a，a,0)，C1(0，a，a) . [一点通] 证明面面平行问题可由以下方法去证明：
①转化为相应的线线平行或线面平行;②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行.本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．
求证：MN∥平面A1BD.
证明：法一：如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所
在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设正
方体的棱长为1，则可求得6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
求证：平面A1BD∥平面CB1D1.证明：如图，分别以AB,AD,AA1
为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标
系.设正方体的棱长为1，
则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，
D(0,1,0)，B1(1,0,1)，
C(1,1,0)，D1(0,1,1)， 利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
点击下图进入“应用创新演练”
课件59张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.2
第
三
课
时考点三考点四第三课时 空间向量与空间角、距离 山体滑坡是一种常见的自然灾害．
甲、乙两名科技人员为了测量一个山
体的倾斜程度，甲站在水平地面上的
A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，
B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？
问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？
问题3：如何求水平地面与斜坡面所成二面角β?1．空间角及向量求法|cos〈a，b〉||cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉|[0，π]2．空间距离的向量求法|AB|答案：A [思路点拨] 可考虑以下两种思路：一是由定义作出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解． [一点通] 求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．
思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面为直角梯形，AD∥BC，
∠BAD＝90°，PA⊥底面
ABCD，且PA＝AD＝AB＝
2BC，M、N分别为PC，PB
的中点．求BD与平面ADMN
所成的角θ.4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，AB的
中点，求EF和平面ACC1A1夹角的大小． [思路点拨] 解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解． (2)设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小，如图②.
此方法的解题步骤如下：5.正方体ABEF－DCE′F′中，M，N
分别为AC，BF的中点(如图)，求
平面MNA与平面MNB所成锐二面
角的余弦值． [例4] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
[思路点拨] 结合图形建立适当的空间直角坐标系，然后利用公式求解．[精解详析] 如图,建立空间直角坐标系，[一点通] 用向量法求点面距离的方法与步骤：7.如图，在60°的二面角α－AB－β内，
AC?β，BD?α，AC⊥AB于A，BD⊥
AB于B，且AC＝AB＝BD＝1，则CD
的长为________．8．四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平
面ABCD，PD＝DA＝2，F，E分别为AD，PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求点E到平面PFB的距离． 1．两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．
2．直线的方向向量为u，平面的法向量为n，直线与平面所成角为θ，则sin θ＝|cos〈u，n〉|，不要漏了绝对值符号．
3．利用两平面的法向量n1，n2求出cos〈n1，n2〉后，要根据图形判断二面角是锐角还是钝角． 4．求点到平面的距离时，关键是建立恰当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，然后通过公式代入求解．求点到面的距离，还可用等积法求解．
点击下图进入“应用创新演练”
课件42张PPT。理解教材新知把握热点考向应用创新演练
第三章
考点一考点二3.2
第
二
课
时考点三第二课时 空间向量与垂直关系 直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．
问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？
提示：垂直．
问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
提示：垂直．证明垂直关系的向量方法 用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键． [例1] 在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E. [一点通] 利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向
量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝ ( )
A．1 B．－2
C．－3 D．3
解析：l1⊥l2?a⊥b，
∴2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3.
答案：D2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为
AC的中点.
证明： (1)BD1⊥AC；
(2)BD1⊥EB1. [例2] 如图所示，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的
中点．
求证：EF⊥平面B1AC. [一点通] 法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝
(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝
________.
解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.
∴(1,3，z)·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.
答案：34.如图所示，在正方体ABCD－
A1B1C1D1中，O为AC与BD的
交点，G为CC1的中点，求证：
A1O⊥平面GBD.同理可证，A1O⊥OG.
又∵OG∩BD＝O，
∴A1O⊥平面GBD.
法二：如图，取D为坐标原点，DA，
DC，DD1所在的直线分别为x轴，
y轴、z轴建立空间直角坐标系．
设正方体棱长为2，
则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，
B(2,2,0)，D(0,0,0)， [一点通] 证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直．5．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是
△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶
EC＝PF∶FB＝1∶2. 求证：平面GEF⊥平面PBC. 证明：法一：如图，以三棱锥的顶点
P为原点，以PA，PB，PC所在直线分
别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，
E(0,2,1)，F(0，1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中
点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.1．用向量法证明线面垂直的方法与步骤 2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
点击下图进入“应用创新演练”
