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第二章
考点一考点二2.1知识点一知识点二考点三 在平面直角坐标系中：
问题1：直线x＝5上的点到y轴的距离都等于5，对吗？
提示：对．
问题2：到y轴的距离都等于5的点都在直线x＝5上，对吗？
提示：不对，还可能在直线x＝－5上．
问题3：到y轴的距离都等于5的点的轨迹是什么？
提示：直线x＝±5. 曲线的方程、方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是 ．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.这个方程的解曲线上的点 在平面直角坐标系中，已知 A(2,0)，B(－2,0)．
问题1：平面上任一点P（x,y）到A的距离是多少？ 问题2：平面上到A，B两点距离相等的点（x,y）满足的方程是什么？ 问题3：到A，B两点距离相等的点的运动轨迹是什么？
提示：轨迹是一条直线．1．求曲线的方程的步骤2．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件，求出 ．
(2)通过曲线的方程，研究 ．曲线的性质表示曲线的方程 正确理解曲线与方程的概念
(1)定义中两个条件是轨迹性质的体现．条件“曲线上点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外(纯粹性)；而条件“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)． (2)定义中的两个条件是判断一个方程是否为指定曲线的方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C的方程时，必须注意两个条件同时成立． [例1] 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[思路点拨] 按照曲线的方程与方程的曲线的定义进行分析． [精解详析] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5. (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上.因此,第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0. [一点通] (1)这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．
(2)判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形.变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法．1．命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真
命题，下列命题中正确的是 ( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，
但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C
上，故A、C、D都不正确，B正确．
答案：B 2.方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是 ( )
A．直线2x－y＝0
B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0
D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0
解析：方程可化为(2x－y)(2x＋y＋3)＝0，
即2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
∴表示两条直线2x－y＝0或2x＋y＋3＝0.
答案：C [思路点拨] 对于(1),只需判断点P,Q的坐标是否满足方程即可；对于(2)，就是把点M的坐标代入方程，从而得到关于m的方程，进而求出m的值． [一点通]
(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．
(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，
则点M(2,1) ( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：将M点的坐标代入直线l、曲线C的方程验证可知
点M在直线l上，也在曲线C上．
答案：B答案：4 15．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取
值范围． [例3] 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．
[思路点拨] 关键是寻找Q点满足的几何条件．可以考虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中点．[一点通] 求曲线的方程的常用方法及特点6．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求
另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．7．已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲
线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程． 1．求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线为坐标轴建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．
2．求曲线的方程与求轨迹是有不同要求和区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
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第二章
考点一考点二2.2
2.2.1知识点一知识点二考点三2.2.1 椭圆及其标准方程 取一条定长的无弹性的细绳，把它的两端分别固定在图板的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖．
问题1：若绳长等于两点F1，F2的距离，画出的轨迹是什么曲线？
提示：线段F1F2.
问题2：若绳长L大于两点F1，F2的距离，移动笔尖(动点M)满足的几何条件是什么？
提示：|MF1|＋|MF2|＝L. 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的
的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的 ，
叫做椭圆的焦距.距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点两焦点间的距离 在平面直角坐标系中，设A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(0，－4)．
问题1：若|PA|＋|PB|＝10，则P点的轨迹方程是什么？
问题2：若|PC|＋|PD|＝10，则P点的轨迹方程是什么？ 若|F1F2|＝2c，|MF1|＋|MF2|＝2a (a>c)，则椭圆的标准方程焦点坐标及a,b,c的关系见下表：(a>b>0)(a>b>0)(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a2－b2 1.平面内到两定点F1，F2的距离和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a.
当2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；
当2a＝|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；
当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2.标准方程中根据x2，y2对应的分母的大小可以确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上:x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上． 3.标准方程中的两个参数a，b确
定了椭圆的形状和大小，是椭圆定型
的条件．a，b，c三个量满足：a2＝b2
＋c2，恰好是一个直角三角形的三条边，构成如图所示的直角三角形，称为椭圆的“特征三角形”．椭圆的特征三角形清晰地反映了参数a，b，c的几何意义． [思路点拨] 由椭圆的定义和余弦定理分别建立关于|PF1|和|PF2|的方程，解方程组求得|PF1|，再用面积公式求解．答案：B答案：B [思路点拨] 解答本题可设出椭圆的标准方程，也可设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式，以便讨论和运算简化，再确定相应系数，要注意对焦点位置的讨论． [一点通] 用待定系数法求椭圆的标准方程，一般解题步骤可归纳为3．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆上一点P
到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． [例3] 已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程．
[思路点拨] 由△ABC的周长等于18，|BC|＝8，可知点A到B，C两个定点的距离之和是10，所以点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，但点A与点B，C不能在同一直线上．适当建立平面直角坐标系，可以求出这个椭圆的标准方程． [一点通] 利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的条件，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两点的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后确定椭圆的方程.这就是用定义法求椭圆标准方程的方法，但要注意检验．答案：B5．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，
动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动
圆圆心的轨迹方程．解：如图所示，
设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.
由题意得动圆M内切于圆C1，
∴|MC1|＝13－r.
圆M外切于圆C2，
∴|MC2|＝3＋r.
∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8， 1.运用椭圆定义解题时，一定要注意隐含条件a>c.
2.注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．
3.求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．
4.解答与椭圆相关的求轨迹问题的一般思路是
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第二章
考点一考点二2.2
2.2.2
第一课时考点三2.2.2 椭圆的简单几何性质 提示：有.椭圆是以原点为对称中心
的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称
轴的轴对称图形． 问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？
提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．
问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？
提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．
问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？
提示：b越小，椭圆越扁．(1)椭圆的简单几何性质：－a≤x≤a且－ b≤y≤b－b≤x≤b且 － a≤y≤aA1(－a,0),A2(a,0)，B1(0，－b),B2(0，b)A1(0，－a),A2(0，a)，B1(－b,0), B2(b,0)2b2aF1(－c,0),F2(c,0)F1(0，－c),F2(0，c)2Cx轴和y轴(0,0) (2)当椭圆的离心率越 ，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越 ，则椭圆越接近于圆．接近于1接近于0 2.椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上．
3.椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线构成直角三角形，三边满足a2＝b2＋c2；②焦点到长轴邻近顶点的距离为a－c(又称近地距离)，到长轴另一顶点的距离为a＋c(常称为远地距离)． 第一课时 椭圆的简单几何性质 [例1] 求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[思路点拨] 化为标准方程，确定焦点的位置及a，b，c的值，再研究相应几何性质． [一点通] 已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．答案：A [思路点拨] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c. [一点通] 利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法.其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并列出关于参数的关系式，利用解方程(组)求得参数．答案：D [例3] 如图所示，F1,F2分别为
椭圆的左、右焦点，M为椭圆上一点，
且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求
椭圆的离心率．
[思路点拨] 通过已知条件MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°，得到Rt△MF1F2中边的关系，结合椭圆的定义建立参数a,b,c之间的关系，进而求出椭圆的离心率．答案：D6．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的
垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P.若△F1PF2为
等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________． 1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．
2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．
3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．
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第二章
考点一考点二2.2
2.2.2第二课时考点三考点四2.2.2 椭圆的简单几何性质第二课时 椭圆方程及几何性质的应用1．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线与椭圆有
公共点时，求实数m的取值范围． [思路点拨] 可先求出A，B两点坐标，再转化为两点间的距离问题；也可以利用弦长公式求解． [思路点拨] 结合图形可知，要求|PQ|的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离即可，而椭圆上的点的坐标是有范围的，于是转化为二次函数在闭区间上的最值问题． [一点通] 解决与椭圆有关的最值问题，一般是用坐标法，即设出椭圆上任一点的坐标(x，y)，依据椭圆方程将距离(或距离的平方)转化为关于x或y的二次函数，而椭圆的范围限制了x，y的取值范围，因此问题转化为定区间上二次函数的最值问题，从而可解．答案：C （2）在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一定要注意判别式的应用，在有些问题中，这一条件是暗含的，易忽略．
（3）解决解析几何中的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法或基本不等式法及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围．
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第二章
考点一考点二2.3
2.3.1知识点一知识点二考点三2.3.1 双曲线及其标准方程 我海军“马鞍山”舰和“千岛湖”舰组成第四批护航编队远赴亚丁湾，在索马里海域执行护航任务．某日“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“马鞍山”舰相距1 600 m的“千岛湖”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速为340 m/s)．
问题1：“千岛湖”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？
提示：340×3＝1 020（米）．
问题2：若把“马鞍舰山”和“千岛湖”舰看成两个定点A，B，快艇看成动点M，M满足什么条件？
提示：|MB|－|MA|＝1 020. 双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这 叫做双曲线的焦点， 叫做双曲线的焦距．差的绝对值两个定点两焦点间的距离 在平面直角坐标系中，已知A(－3,0)，B(3,0)，C(0，
－3)，D(0，3)．
问题1：若动点M满足||MA|－|MB||＝4，则M的轨迹方程是什么？
问题2：若动点M满足||MC|－|MD||＝4，则点M的轨迹方程呢？F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a2＋b2 1．双曲线定义的理解
(1)定义中的常数是“差的绝对值”，“绝对值”这一条件不可忽略.若没有绝对值，表示的只是双曲线的一支．①若|PF1|－|PF2|＝2a(a>0) ，曲线只表示双曲线靠近F2的一支．
②若|PF1|－|PF2|＝－2a(a>0) ，曲线只表示双曲线靠近F1的一支．
(2)若|F1F2|＝2a，动点的轨迹不再是双曲线，而是两条射线．
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在． [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组，求得a，b，c，从而得双曲线标准方程;也可以设成mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，可避免讨论并简化运算．[一点通] 求双曲线标准方程的步骤:答案：A [思路点拨] 根据双曲线的定义和勾股定理分别列出关于|PF1|，|PF2|的方程，求得|PF1|，|PF2|或|PF1|·|PF2|即可． [一点通] 利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形的使用，特别是与|PF1|2＋|PF2|2，|PF1|·|PF2|间的关系；二是要与三角形知识相结合，如勾股定理、余弦定理、正弦定理等，同时要注意整体思想的应用．解析：双曲线中a2＝16，a＝4,2a＝8.由双曲线定义知
||MF1|－|MF2||＝8，又|MF1|＝3|MF2|，
所以3|MF2|－|MF2|＝8，解得|MF2|＝4.
答案：B4．已知动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝9外切且与圆C2：(x－
3)2＋y2＝1内切，则动圆圆心M的轨迹方程是________． [例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的系数应满足的条件进行分类讨论． [一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．答案：C6．当0°≤α≤180°时，方程x2cos α＋y2sin α＝1表示的曲线
如何变化？ ②定量：根据已知条件列出关于a，b，c(或m，n)的方程组．解方程组，将解代入所设方程即为所求．2．椭圆与双曲线的比较
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第二章
考点一考点二2.3
2.3.2考点三第二课时2.3.2 双曲线的简单几何性质第二课时 双曲线方程及几何性质的应用 [例1] 已知直线y＝kx－1与双曲线4x2－y2＝1.当k为何值时，直线与双曲线：
(1)有两个公共点；(2)有一个公共点；(3)没有公共点？
[思路点拨] 讨论直线与双曲线的位置关系问题，可以将问题转化为讨论直线与双曲线的方程组成方程组的解的个数问题．1．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个交点，
则k的值为________． [思路点拨] 设直线l的方程为y＝2x＋m，由题意建立关于m的等式，求出m即可．3．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A,B两
点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．4．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，且倾斜
角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两
点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解：∵直线l过点F2且倾斜角为45°，
∴直线l的方程为y＝x－2.
代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0.
设A(x1，y1),B(x2，y2). [思路点拨] 将l与C的方程联立消去一个未知数，得到一元二次方程，利用根与系数的关系可求得弦长；由l与C相交，知Δ>0，从而求出a的范围，可得离心率的范围． [一点通]
(1)直线和双曲线的交点问题，可转化为由它们的方程组成的方程组的解的问题，而方程组的解往往转化为一元二次方程的解.讨论一元二次方程根的基本步骤：①观察二次项系数，看是否需要讨论;②分析判别式，看是否有根;③应用根与系数的关系，虽不解方程却能观察根的情况.遵循以上原则，养成良好的思维习惯．
(2)直线与双曲线有两个不同交点时，应要求方程组有两个不同的解，因此一元二次方程中二次项的系数一定不能为零． 1.研究直线与双曲线的位置关系要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的判别式Δ，得到直线与双曲线的交点个数．
2.在解决直线与双曲线的综合问题时，若遇到向量关系，一般将其转化成坐标运算求解．
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第二章
考点一考点二2.3
2.3.2考点三第一课时2.3.2 双曲线的简单几何性质 有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》，歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线．如果我是反比例函数，你就是那坐标轴．虽然我们有缘，能够生在同一个平面．然而我们又无缘，漫漫长路无交点…… 问题1：双曲线的对称轴和对称中心各是什么？
提示：坐标轴、坐标原点．
问题2：在双曲线中，有两条线与双曲线无限靠近，但不能相交，这条直线叫做什么？
提示：双曲线的渐近线．
问题3：过双曲线的某个焦点平行于渐近线的直线与双曲线有几个交点？
提示：只有一个交点．1．双曲线的几何性质F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2c x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈Rx轴、y轴坐标原点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)2a 2b等长y＝±x第一课时 双曲线的简单几何性质 [例1] 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [一点通] 已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的先化成标准方程．弄清方程中的a，b对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．答案：C答案：A答案：D答案：B答案：B答案：2
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第二章
考点一考点二2.4
2.4.1知识点一知识点二考点三2.4.1 抛物线及其标准方程 如图，我们在黑板上画一条直线EF，
然后取一个三角板，将一条拉链AB固定
在三角板的一条直角边上，并将拉链下
边一半的一端固定在C点，将三角板的
另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D
处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉
笔会画出一条曲线．问题1：画出的曲线是什么形状？
提示：抛物线
问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？
提示：是．AB是直角三角形的一条直角边．
问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？
提示：|DA|＝|DC|. 抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)
的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的
，直线l叫做抛物线的 .距离相等焦点准线 平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.
问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝4x.
问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？
提示：y2＝－4x.
问题3：到定点C和定直线l3，到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？
提示：x2＝4y，x2＝－4y.抛物线标准方程的几种形式y2＝2px (p>0)y2＝－2px (p>0)x2＝2py (p>0)x2＝－2py (p>0)[例1] 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：
(1)准线方程为2y＋4＝0；
(2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.
∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．
∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.
[一点通] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．答案：A2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、
到焦点的距离是5.
(1)求抛物线方程和m的值；
(2)求抛物线的焦点和准线方程． [例2] 已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A
(－2,4).在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小． [精解详析] ∵(－2)2<8×4，
∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．
如图，设抛物线的准线为l，过点P作
PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B. [一点通] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用;其次是注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．3．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直
径的圆与y轴 ( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．位置由F确定答案：B答案：A [例3] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？[精解详析] 如图所示， [一点通] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛
物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，
则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
A．11.25 cm B．5.625 cm
C．20 cm D．10 cm答案：B6．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧
道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求
使卡车通过的a的最小整数值． 1.求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四
种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照
“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p的值)的程序求解．
2.应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．
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第二章
考点一考点二2.4
2.4.2第一课时考点三2.4.2 抛物线的简单几何性质 一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？
原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？
提示：一个焦点．
问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？
提示：不对．
问题3：抛物线有渐近线吗？
提示：没有．1.抛物线的简单几何性质x≥0， y∈Rx≤0， y∈Rx∈R， y≥0x∈R， y≤0x轴y轴O(0,0)e＝1向右向左向上向下 2．焦半径与焦点弦
抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表： 1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．
2.抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、 双曲线不同．
4.抛物线的离心率e＝1(定值)．
5.抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离.由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，|y|也越大，说明抛物线开口越大． 6.抛物线与双曲线都是“开放型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支．第一课时 抛物线的简单几何性质 [例1] 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
[思路点拨] 解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[一点通] 用待定系数法求抛物线方程的步骤：1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等
于3的抛物线的标准方程是 ( )
A．x2＝±3y B．y2＝±6x
C．x2＝±12y D．x2＝±6y答案：C2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的
垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线
的标准方程是________．答案：y2＝5x [例2] 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．
[思路点拨] 先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． [一点通] 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．答案：C4．等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两个
顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上.若该三角形的斜边长
为4，求抛物线的方程．解：如图，设等腰直角三角形OAB的
顶点A，B在抛物线上．
根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称．
由题意得A(2,2)在抛物线y2＝2px上，
∴p＝1，抛物线的方程为y2＝2x. [例3] 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．
[思路点拨] 由弦所在直线经过焦点(1,0)，且弦长为36，可知直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．
[精解详析] ∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．
故可设弦所在直线的斜率为k，且与抛物线交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点．
∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
∴直线的方程为y＝k(x－1)． [一点通] 解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．答案：A6．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾
斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试
求抛物线的方程． 1．抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程三者相依并存，知道其中一个，就可求其他两个．
2．涉及抛物线的焦点弦问题，可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．
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第二章
考点一考点二2.4
2.4.2第二课时考点三2.4.2 抛物线的简单几何性质第二课时 抛物线方程及几何性质的应用 [例1] 已知抛物线的方程为y2＝2x，直线l的方程为y＝kx＋1(k∈R)，当k分别为何值时，直线l与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？ [一点通] 设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程：ax2＋bx＋c＝0.
(1)若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
(2)若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．答案：D答案：C [例2] 已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.3．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A,B两点，若AB中点
的横坐标为2, 则k＝ ( )
A．2或－1 B．－1
C．2 D．3答案：C [例3]如图，已知△AOB的一个顶点
为抛物线y2＝2x的顶点O，A,B两点都
在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)证明直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值． [一点通]
(1)圆锥曲线中的定点、定值问题，往往是选择某一参数，用参数表示要研究的问题，通过运算证明与参数无关；也可利用特殊情况寻找定点、定值，然后对一般情况作出证明．
(2)解决有关抛物线的最值问题，一种思路是合理转化，数形结合求解；另一种思路是代数法，转化为二次函数求最值.常见的题型有：
①曲线上的点到直线的距离的最值问题；
②过定点弦长的最值问题；
③三角形面积的最值问题．答案：A6．设A，B为抛物线y2＝4x上两点，且AB不与x轴垂直，
若线段AB的垂直平分线恰过点M(4,0)，求证：线段AB
中点的横坐标为定值． 1．解涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时，要注意利用根与系数的关系，设而不求，能避免求交点坐标的复杂运算．
2．在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这类问题的关键是代换和转化．
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