1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有 ( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：与相等的向量有，，，共3个．
答案：C
2．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，模与向量的模相等的向量有
( )
A．7个 B．3个
C．5个 D．6个
解析：||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.
答案：A
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为的是 ( )
①(－)－ ②(＋)－
③(－)－ ④(－)＋
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：①(－)－＝－＝；
②(＋)－＝－＝；
③(－)－＝－≠；
④(－)＋＝＋.
答案：A
4．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则＝( )
A．－a－b B．a＋b
C.a－b D．2(a－b)
解析：如图，
∵＝a，＝b，
∴＝－b，＝－a，
∴＝＋＝－b－a.
答案：A
5．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
解析：＝－
＝－＝－(－)
＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.
答案：－c－a＋b
6．化简－＋－－＝________.
解析：－＋－－＝＋＋＋＋＝＋＋＋＝.
答案：
7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1) ＋；
(2) ＋＋；
(3) －－.
解：(1) ＋＝.
(2)因为M是BB1的中点，所以＝.
又＝，所以＋＋＝＋＝.
(3) －－＝－＝.
向量，，如图所示．
8．已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′.
求证：＋＋＝2.
证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，
＝＋，
∴＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝，
∴＋＋＝2.
1．下列命题中正确的个数是 ( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．
②向量a,b,c共面，即它们所在的直线共面．
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；
②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；
③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在．
答案：A
2．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝ ( )
A.a－b＋c B．a－b＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
解析：＝＋＝＋
＝＋×(＋)
＝＋(－＋－)
＝＋→＋
＝a＋b＋c.
答案：C
3．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．a∥e1
B．a∥e2
C．a与e1，e2共面
D．以上三种情况均有可能
解析：若a∥e1，则存在实数t使得a＝te1，
∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，
则e1与e2共线，不符合题意．
同理，a与e2也不平行．
由向量共面的充要条件知C正确．
答案：C
4．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P、A、B、C四点 ( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断是否共面
解析：＝＋＋
＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋.
由共面的充要条件知P,A,B,C四点共面．
答案：B
5．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则有＋－－化简的结果为________．
解析：延长DE交边BC于点F，则＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.
答案：0
6．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________.
解析：＝＋＋＝－＋＝3e1＋(k－4)e2.由A，B，D三点共线可知，存在λ使＝λ，即2e1＋ke2＝3λe1＋λ(k－4)e2.
∵e1，e2不共线，∴
可得k＝－8.
答案：－8
7.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：A，E，C1，F四点共面．
证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，
∴＝＝＝，∴＝，
＝，
∴＝＋＋＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋.由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线．
证明：设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝，
∴＝＝b，
＝(－＝(＋－)
＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c
＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝.所以E，F，B三点共线．
1．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝ ( )
A．12 B．8＋
C．4 D．13
解析：(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13.
答案：D
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为 ( )
A．60° B．30°
C．135° D．45°
解析：∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，
∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉
＝1－1··cos〈a，b〉＝0，
∴cos〈a，b〉＝.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
答案：D
3．已知a，b是异面直线， a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为 ( )
A．－6 B．6
C．3 D．－3
解析：由a⊥b，得a·b＝0，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.∵e1·e2＝0，∴2k－12＝0，∴k＝6.
答案：B
4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是 ( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
解析：·＝(－)·(－)＝·－·－·＋＝>0.
同理，可证·>0，·>0.
∴三角形的三个内角均为锐角．
答案：B
5．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.
解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
答案：22
6．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则对角线AC1的长度等于________．
解析：＝(＋＋)2
＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝16＋9＋25＋2×4×3×cos 90°＋2×4×5×cos 60°＋2×3×5×cos 60°
＝50＋20＋15＝85，
∴||＝.
答案：
7.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
解：(1) ＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，→·＝0.
又△ABC为正三角形，
∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2
＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋＝－1.
又||＝＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
8．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为C′G的中点.
(1)求EF，C′G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
解：设＝a，＝b，＝c，
则a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.
(1)∵＝＋＝－c＋(a－b)
＝(a－b－c)，
＝＋＝－c－a，
∴·＝(a－b－c)·(－c－a)
＝(－a2＋c2)＝，
||2＝(a－b－c)2＝(a2＋b2＋c2)＝，
||2＝(－c－a)2＝c2＋a2＝，
∴||＝，||＝，
cos〈，〉＝＝，
所以EF，C′G所成角的余弦值为.
(2)∵＝＋＋＋
＝(a－b)＋b＋c＋
＝(a－b)＋b＋c＋(－c－a)
＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＝，
∴FH的长为.
1．在以下三个命题中，真命题的个数是 ( )
①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底，则a,b,c共面；
②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；
③若a,b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ,μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a，b不共线．当c＝λa＋μb时，a,b,c共面，故只有①②正确．
答案：C
2．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 ( )
A．a B．b
C．a＋2b D．a＋2c
解析：能与p，q构成基底，则与p，q不共面．
∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q.
∴A、B、C都不合题意．因为{a，b，c}为基底，
∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
答案：D
3.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M.设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
解析： ＝＋＋
＝－＋＋
＝－＋＋＋
＝－a＋b＋c.
答案：A
4．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，其中a＝4i＋j，b＝j＋3k，c＝2k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为 ( )
A．(7,3,12) B．(12,7,3)
C．(2,4,6) D．(12,3,7)
解析：设O为坐标原点，则＝a＋2b＋3c＝(4i＋j)＋2(j＋3k)＋3(2k＋i)＝7i＋3j＋12k，
∴点A在{i，j，k}下的坐标为(7,3,12)．
答案：A
5．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x,y,z使得xa＋yb＋zc＝0，则x,y,z满足的条件是________．
解析：若x≠0，则a＝－b＋c，即a与b，c共面．
由{a，b，c}是空间向量的一个基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
答案：x＝y＝z＝0
6．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝α a＋β b＋γc，则α,β,γ分别为________．
解析：∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3
＝e1＋2e2＋3e3，
∴解得
答案：，－1，－
7.如图所示，空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，D为BC的中点，H为OD的中点.设＝a，＝b，＝c，试用向量a,b,c表示向量.
解： ＝－.
∵＝＝(＋)＝(b＋c)，
＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)＝a＋(b＋c)，
∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a＋b＋c，
即＝－a＋b＋c.
8.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－；
(2)设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x,y,z的值．
解：(1)∵＋＝，
∴－－＝－(＋)
＝－＝－＝.
(2)∵＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝－－，
∴x＝，y＝－，z＝－.
1．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝( )
A．－1 B．1
C．0 D．－2
解析：∵p＝a－b＝(1,0，－1)，
q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.
答案：A
2．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是 ( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：＝(3,4，－8)，＝(5,1，－7)，
＝(2，－3,1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
||＝＝，
∴||2＋||2＝75＋14＝89＝||2.
∴△ABC为直角三角形．
答案：C
3．已知a＝(2,0,3)，b＝(4，－2,1)，c＝(－2，x,2)，若(a－b)⊥c，则x等于( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
解析：∵a－b＝(－2,2,2)，又(a－b)⊥c，
(a－b)·c＝0，即4＋2x＋4＝0.∴x＝－4.
答案：B
4．已知A(1,0,0),B(0，－1,1),O(0,0,0)，＋λ与的夹角为120°，则λ的值为 ( )
A．± B.
C．－ D．±
解析：∵＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)，
∴＋λ＝(1，－λ，λ)，
∴(＋λ)·＝λ＋λ＝2λ，
|＋λ|＝＝，
||＝.
∴cos 120°＝＝－，∴λ2＝.
又<0，∴λ＝－.
答案：C
5．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ＝________.
解析：a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，
∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)．
∵|λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.
∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2.
∵λ>0，∴λ＝3.
答案：3
6．已知3a－2b＝(－2,0,4)，c＝(－2,1,2)，a·c＝2，|b|＝4，则cos〈b，c〉＝________.
解析：(3a－2b)·c＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12，
即3a·c－2b·c＝12.
由a·c＝2，得b·c＝－3.
又∵|c|＝3，|b|＝4，
∴cos〈b，c〉＝＝－.
答案：－
7．已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
(1)a，b，c；
(2)a＋c与b＋c所成角的余弦值．
解：(1)因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4.这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，又因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，
于是c＝(3，－2,2)．
(2)由(1)得，a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，因此a＋c与b＋c所成角的余弦值cos θ＝＝－.
8．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动(O为坐标原点).当·取最小值时，求点Q的坐标．
解：＝(1,1,2)，因为点Q在直线OP上，所以与共线，故可设＝λ＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数，则Q(λ，λ，2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以·＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－.
所以当λ＝时，·取最小值．
此时Q点坐标为(，，)．
1．若A(1，－2,3)，B(2,5,6)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 ( )
A．(1，－2,3) B．(2,5,6)
C．(1,7,3) D．(－1，－7,3)
解析：∵＝(1,7,3)，
又与平行的非零向量都可作为l的方向向量，
∴(1,7,3)＝可作为l的方向向量．
答案：C
2．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为 ( )
A．(－，－，－) B．(－，，－)
C．(－，，) D．(，，)
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则有
取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2,2)．因为|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是(－，，－)．
答案：B
3．设平面α的法向量为(1，－2,2)，平面β的法向量为(2，λ，4)，若α∥β，则λ等于( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：∵α∥β，∴(1，－2,2)＝m(2，λ，4)，
∴λ＝－4.
答案：D
4.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等答出下列结论：
①A1M∥D1P；
②A1M∥B1Q；
③A1M∥平面DCC1D1；
④A1M∥平面D1PQB1.
这四个结论中正确的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴∥，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．
又B1Q与D1P不平行，故②不正确．
答案：C
5．若＝λ＋u (λ，u∈R)，则直线AB与平面CDE的位置关系是________．
解析：∵＝λ＋u，
∴与，共面，
∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE.
答案：AB∥平面CDE或AB?平面CDE
6．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
解析：∵l1∥l2，∴＝＝，
∴x＝－14，y＝6.
答案：－14 6
7.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．
证明：直线MN∥平面OCD.
证明：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(1,0,0)，
P(0，，0)，D(－，，0)，
O(0,0,2)，M(0,0,1)，
N(1－，，0)．
＝(1－，，－1)，
＝(0，，－2)，＝(－，，－2)．
设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n·＝0，n·＝0，
即取z＝，解得n＝(0,4，)．
∵·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，即⊥n，
∴MN∥平面OCD.
8.如图，在正方体AC1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点.当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
解：建立如图所示的坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．
再设Q(0,2，c)，
∴＝(1，－1,0)，
＝(－1，－1，1)，
＝(－2,0，c)，
＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的法向量为
n1＝(x，y，z)，
则?
令x＝1，则y＝1，z＝2.
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，那么n1也是平面D1BQ的一个法向量．
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
1.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为 ( )
A．60° B．90°
C．105° D．75°
解析：取AC中点D，建立如图坐标系，设AB＝a，则B(a,0,0)，
C1(0，，a)，A(0，－，0)，
B1(a,0，a)．
∴cos〈，〉＝＝0.
∴AB1与C1B所成的角为90°.
答案：B
2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为 ( )
A. B.
C. D.
解析：建系如图，设棱长为1，
则A1(1,0,1)，E(1，，0)，
F(0，，1)，B1(1,1,1)．
＝(0,1,0).设平面A1EF的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令y＝2，则
∴n＝(1,2,1)，cos〈n，〉＝＝，
即线面角的正弦值为.
答案：B
3．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ( )
A. B.
C. D.
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，
M(a,0，)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，∴＝(a,0，)，
＝(a，a,0)，＝(a,0，a)．
设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝1，则可得n＝(1，－1，－2)．
∴d＝＝＝a.
答案：A
4．正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD.若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为 ( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：建系如图，设AB＝1，
则A(0,0,0)，B(0,1,0)，
P(0,0,1)，D(1,0,0)，C(1,1,0).
平面PAB的法向量为
n1＝(1,0,0).
设平面PCD的法向量
n2＝(x，y，z)，
则得
令x＝1，则z＝1.
∴n2＝(1,0,1)，cos〈n1，n2〉＝＝.
∴平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为.
∴此角的大小为45°.
答案：B
5．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与ACD垂直,则B与D之间的距离为________．
解析：由B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝.MN＝1.因为＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，
∴||＝.
答案：
6．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为边长是1的正方形，PA＝2，则AB与PC的夹角的余弦值为________．
解析：因为·＝·(＋)＝·＋·＝1××cos 45°＝1，
又||＝1，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
答案：
7.(2012·山东高考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.
(1)求证：BD⊥平面AED；
(2)求二面角F－BD－C的余弦值.
解：(1)因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，
又AE⊥BD，
且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，
所以BD⊥平面AED.
(2)连接AC，由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设CB＝1，
则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，－，0)，
F(0,0,1)，
因此＝(，－，0)，＝(0，－1,1).
设平面BDF的一个法向量为m＝(x，y，z)，
则m·＝0，m·＝0，
所以x＝y＝z，
取z＝1，则m＝(，1,1).
由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，
则cos〈m，〉＝＝＝，
所以二面角F－BD－C的余弦值为.
8.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为BC的中点．
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；
(2)求直线AM与平面ANE所成的角．
解：(1)如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz.
依题意，易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，N(1,1,1)，E(，1,0)．
∴＝(－，0，－1)，＝(－1,0,1)．
∵cos〈，〉＝＝＝－，
所以异面直线NE与AM所成角的余弦值为.
(2) ＝(0,1,1)，＝(－，1,0)．
设平面ANE的法向量为n＝(x，y，z)，
则取x＝2，则n＝(2,1，－1).
又＝(－1,0,1)，
∴cos〈，n〉＝＝－，
则直线AM与平面ANE所成的角为60°.
1．若两个不同平面α,β的法向量分别为u＝(1,2，－1)，v＝(2,3,8)，则 ( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α,β相交但不垂直 D．以上均不正确
解析：u·v＝(1,2，－1)·(2,3,8)
＝1×2＋2×3－1×8＝0.
∴u⊥v.∴α⊥β.
答案：B
2．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为(1，，2)，则m为( )
A．－4 B．－6
C．－8 D．8
解析：∵l∥α，平面α的法向量为(1，，2)，
∴(2，m,1)·(1，，2)＝0.
∴2＋m＋2＝0.∴m＝－8.
答案：C
3．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则等于 ( )
A．(，－，4) B．(，－，－3)
C．(，－，4) D．(，，－3)
解析：由·＝0得3＋5－2z＝0，∴z＝4.
又⊥平面ABC，
∴即解得
答案：B
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于( )
A．AC B．BD
C．A1D D．AA1
解析：建立如图所示坐标系.
设正方体棱长为1，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，
C(0,1,0)，D(0,0,0)，
A1(1,0,1)，E(，，1)．
∴＝(，，1)－(0,1,0)
＝(，－，1)，
＝(－1,1,0)，＝(－1，－1,0)，
＝(－1,0，－1)，＝(0,0，－1)．
∵·＝(，－，1)·(－1，－1,0)
＝－＋＋0＝0，
∴⊥，∴CE⊥BD.
答案：B
5．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2,0)和点Q(cos x，－1,3)，其中x∈[0，π].若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．
解析：由题意得⊥.
∴cos x·(2cos x＋1)－(2cos 2x＋2)＝0.
∴2cos2x－cos x＝0.∴cos x＝0或cos x＝.
又x∈[0，π]，∴x＝或x＝.
答案：或
6．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，且有＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．给出结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
解析：由·＝－2－2＋4＝0知AP⊥AB，故①正确；
由·＝－4＋4＋0＝0，知AP⊥AD，故②正确；
由①②知是平面ABCD的法向量，故③正确，④不正确．
答案：①②③
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．
求证：PC⊥平面BEF.
解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标为A(0，0,0)，B(2,0,0)，C(2,2，0)，D(0,2，0)，P(0,0,2).
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．
∴＝(2,2，－2)，＝(－1，，1)，
＝(1,0,1)，
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，
∴PC⊥平面BEF.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a，则
A(a,0,0)，B(a，a,0)，
C(0，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)．
设E(0，a，e) (0≤e≤a).
(1) ＝(－a，a，e－a)，
＝(－a，－a,0)，
·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).
∵＝(a，a,0)，＝(a,0，a)，＝(0，a，e)，
∴
取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，).
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.
