2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1模块综合检测（含详解）

模块综合检测
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．命题“任意的x∈R,2x4－x2＋1<0”的否定是 (　　)
A．不存在x∈R,2x4－x2＋1<0
B．存在x0∈R,2x－x＋1<0
C．存在x0∈R,2x－x＋1≥0
D．对任意的x∈R,2x4－x2＋1≥0
解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x0∈R,2x－x＋1≥0.
答案：C
2．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 (　　)
A.＋＝1　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：抛物线的焦点为(2,0)，∴4＝m2－n2.又＝，所以可解得m＝4，n＝2 ，
故椭圆的方程为＋＝1.
答案：B
3．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)．
又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0.
∴2n＝5，n＝.
∴|a|＝ ＝.
答案：D
4．a<0是方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根的 (　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：因为a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0变成2x＋1＝0，这时方程根为x＝－，所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”不能推出“a<0”；另一方面，当a<0时，Δ＝4－4a>0，∴方程一定有两个不相等的实数根，又两根之积为<0，∴方程的根一定是一正根一负根，所以“a<0”能推出“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”．
答案：B
5．设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝ (　　)
A. B．2
C. D．2
解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∵·＝0，∴⊥，
∴m2＋n2＝4c2＝40.
∵|＋|2＝||2＋||2＋2·＝40，
∴|＋|＝2 .
答案：B
6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC1的长为 (　　)
A. B．2
C. D．2
解析：由题意知·＝·＝·＝，
∴＝(＋＋)2
＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝6，
∴||＝.
答案：C
7．已知点F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.若△ABF2为等边三角形，则该双曲线的离心率e为 (　　)
A. B.或
C．2 D．3
解析：如图，令x＝－c，
则－＝1，∴y＝±，
∴|AF1|＝.
因△ABF2为等边三角形，
∴∠AF2F1＝30°.
∴tan ∠AF2F1＝＝，
＝2c，即 (e2－1)＝2e，
解得e＝ .
答案：A
8．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1上的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α.当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是 (　　)
A．41 B．15
C．9 D．1
解析：由S△F1PF2＝|F1F2|·yP
＝3yP，知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大.
此时∠F1PF2＝，
得a＝＝2 ，b＝＝，
故m＋n＝15.
答案：B
9．正四棱锥S－ABCD的侧棱长为，底边长为，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成的角等于 (　　)
A．30°　　　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝，SA＝，
可以求得SO＝，则B(，，0)，A(，－，0)，C(－，，0)，S(0,0，)．
因为E为SA的中点，
∴E(，－，)．
∴＝(－，－，)，
＝(－，，－)．
∵·＝－1，||＝，||＝，
所以cos〈，〉＝＝－，
BE与SC所成角为60°.
答案：C
10．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为 (　　)
A．－　　　　　　　　 B.
C. D．－
解析：法一：直线AB的斜率为
kAB＝＝＝－1，
即y1＋y2＝－2，y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝6.
线段AB的中点为(，)＝(，－1)
＝(，－1).
代入y＝x＋b，得b＝－.
法二：设直线AB的方程为y＝－x＋m，与y2＝2x联立，消去x得
y2＋2y－2m＝0.
y1＋y2＝－2，y1y2＝－2m.
由y1y2＝－1得m＝.
设AB的中点为M(x0，y0)，
则y0＝＝－1，
x0＝m－y0＝.
又M(，－1)在y＝x＋b上，
∴b＝－.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．命题“?x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵?x0∈R,2x－3ax0＋9＜0为假命题，
∴?x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
12．在双曲线－＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1PF2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是________．
解析：不妨设点P在右支上，则2|PF1|＝|PF2|＋|F1F2|.又|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2c－2a，|PF2|＝2c－4a.又|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，∴e2－6e＋5＝0.又e＞1，∴e＝5.
答案：5
13．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E.,F分别是BB1,CD的中点，则EF与平面CDD1C1所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则E(2,0,1)，F(1,2,0)，
∴＝(－1,2，－1).
又平面CDD1C1的一个法向量为＝(0,2,0)，cos〈，〉＝＝，故所求角的正弦值为.
答案：
14．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||为________．
解析：如图，设A的横坐标为x＋(x＞0)，
则||＝2x.
由抛物线的定义得
2x＝x＋，x＝，
∴A的坐标为(，p)或(，－p)，
∴||＝p.
答案：p
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知命题p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0.若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：∵綈p是綈q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
对于命题p，依题意知
Δ＝(－2a)2－4·4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，
∴－2≤a≤10.
令P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m，
m＞0}，
∴P?Q，
即或
解得m≥9.
因此，实数m的取值范围是{m|m≥9}．
16．(本小题满分12分)已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，O为坐标原点，点P(－1，)在椭圆上，且·＝0，
⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当O·O＝时求k的值．
解：(1)依题意，可知PF1⊥F1F2，
∴c＝1，＋＝1.
又a2＝b2＋c2，
所以可解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)直线l：y＝kx＋m与⊙O：x2＋y2＝1相切，
则＝1，即m2＝k2＋1.
由得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
直线l与椭圆交于不同的两点A，B.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∴Δ＞0?k2＞0?k≠0，x1＋x2＝－，
x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝，
·＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝±1.
17．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝ ，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A－A1C－B的正切值大小．
解：法一：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴AB⊥AA1.
在△ABC中，
AB＝1，AC＝ ，∠ABC＝60°.
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1.
又A1C?平面ACC1A1，∴AB⊥A1C.
(2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD，
又AB⊥A1C.
∴A1C⊥平面ABD，
∴BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角.
在Rt△AA1C中，
AD＝＝＝.
在Rt△BAD中，tan ∠ADB＝＝，
∴二面角A－A1C－B的正切值为.
法二：(1)∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.在△ABC中，AB＝1，AC＝ ，∠ABC＝60°.由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC.如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)，
∴＝(1,0,0)，＝(0，，－).
∵·＝1×0＋0×＋0×(－ )＝0，
∴AB⊥A1C.
(2)取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量．设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
则∴
∴x＝y，y＝z.令y＝1，则n＝(，1,1)，
∴cos 〈m，n〉＝
＝＝，
∴sin〈m，n〉＝＝，
∴tan〈m，n〉＝，
∴二面角A－A1C－B的正切值为.
18.(本小题满分14分)(2012·安徽高考)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.
(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；
(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.
解：(1)法一：由条件知，P(－c，).故直线PF2的斜率为kPF2＝＝－.
因为PF2⊥F2Q，所以直线F2Q的方程为y＝x－.
故Q(，2a).
由题设知，＝4,2a＝4，解得a＝2，c＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
法二：设直线x＝与x轴交于点M.由条件知，P(－c，).
因为△PF1F2∽△F2MQ，所以＝.
即＝，解得|MQ|＝2a.
所以解得a＝2，c＝1.
故椭圆方程为＋＝1.
(2)直线PQ的方程为＝，即y＝x＋a.
将上式代入椭圆方程得，x2＋2cx＋c2＝0，
解得x＝－c，y＝.
所以直线PQ与椭圆C只有一个交点.