1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：∵y＝－2≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2上．反之点M在y＝－2上时，一定在y2＝4x上．
答案：B
2．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是 ( )
解析： A中方程x2＋y2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A错；B中方程x2－y2＝0可化为(x－y)(x＋y)＝0，表示两条直线x－y＝0，x＋y＝0，故B错；
C中方程lg x＋lg y＝1可化得y＝(x>0)，此方程只表示第一象限的部分,故C错；
D中的方程y＝|x|去绝对值得y＝表示两条射线,所以D正确．
答案：D
3．一动点C在曲线x2＋y2＝1上移动时，它和定点B(3,0)连线的中点P的轨迹方程是
( )
A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(x＋)2＋y2＝1
解析：设动点C的坐标为(x0，y0)，
P点坐标为(x，y)，
则由中点坐标公式可得
x＝，y＝，
即x0＝2x－3，y0＝2y.
又动点C(x0，y0)在曲线x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋4y2＝1.
答案：C
4．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是 ( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：由两点式，
得直线AB的方程是＝，
即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5.
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0.
答案：B
5．方程x2＋y2－3x－2y＋k＝0表示的曲线经过原点的充要条件是k＝________.
解析：若曲线过原点，则(0,0)适合曲线的方程，即有k＝0.
答案：0
6．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹方程是________．
解析：＝(－x－2，－y)，＝(3－x，－y)，
则·＝(－x－2)(3－x)＋(－y)2＝x2，
化简得y2＝x＋6.
答案：y2＝x＋6
7．求方程(x＋y－1)＝0表示的曲线．
解：(x＋y－1)＝0写成或x－y－2＝0.
由得
∴表示射线x＋y－1＝0(x≥)，
∴原方程表示射线x＋y－1＝0(x≥)或直线x－y－2＝0.
8．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：法一：
如图，设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点,
∴A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)．
∵l1,l2均过点P(2,4)，且l1⊥l2，∴PA⊥PB.当x≠1时，kPA·kPB＝－1.
而kPA＝＝，kPB＝＝，
∴·＝－1.
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
当x＝1时，A,B点的坐标分别为(2,0),(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设M的坐标为(x，y)，则A,B两点坐标分别是(2x,0),(0,2y).连接PM，如图．
∵l1⊥l2，∴2|PM|＝|AB|.
而|PM|＝，|AB|＝，
∴2＝.
化简，得x＋2y－5＝0，即为所求轨迹方程．
法三：∵l1⊥l2，OA⊥OB，
∴O，A，P，B四点共圆，且该圆的圆心为M.
∴|MP|＝|MO|.∴点M的轨迹为线段OP的中垂线．
∵kOP＝＝2，OP的中点坐标为(1,2)，
∴点M的轨迹方程是y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
1．已知命题甲：动点P到两定点A,B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点的轨迹是椭圆.命题甲是命题乙的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件.综上，甲是乙的必要不充分条件．
答案：B
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1,F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
3．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )
A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴8sin α>4，sin α>.
∵α为锐角，∴<α<.
答案：C
4．设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．线段
C．不存在 D．椭圆或线段
解析：∵a＋≥2 ＝6，
当且仅当a＝，a＝3时取等号，
∴当a＝3时，|PF1|＋|PF2|＝6＝|F1F2|，
点P的轨迹是线段F1F2；
当a>0，且a≠3时，|PF1|＋|PF2|>6＝|F1F2|，
点P的轨迹是椭圆．
答案：D
5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．
解析：∵a2＝9，b2＝2，
∴c＝＝＝，
∴|F1F2|＝2.
又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF2|＝2.由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝－，
∴∠F1PF2＝120°.
答案：2 120°
6．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1,F2为其两焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是________．
解析：由已知得a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，取等号．
故|PF1|·|PF2|的最大值为9.
答案：9
7．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.
(1)求M的横坐标；
(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．
解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1得
＋＝1，即x2＝9.
∴x＝±3，
即M的横坐标为3或－3.
(2)对于椭圆＋＝1，
焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，
故设所求椭圆的方程为＋＝1.
把M点的坐标代入得＋＝1，
解得a2＝15.
故所求椭圆的方程为＋＝1.
8．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：将圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，
∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图.
由于动圆M与已知圆B内切，设切点为C.
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即
|BC|－|MC|＝|BM|.
而|BC|＝6，|CM|＝|AM|，
∴|BM|＋|AM|＝6.
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6.
∴a＝3，c＝2，b＝＝，
∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1.
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为 ( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
答案：D
2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 ( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：由已知得a＝9,2c＝·2a，∴c＝a＝3.
又焦点在x轴上，∴椭圆方程为＋＝1.
答案：A
3.(2012·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2(a－c)＝2c，∴3a＝4c，∴e＝.
答案：C
4．已知椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值为 ( )
A．3 B．3或
C. D.或
解析：由椭圆的标准方程，易知m>0且m≠5.
①若0由＝1－()2＝，得m＝3.
②若m>5，则a2＝m，b2＝5.
由＝1－()2＝，得m＝.
所以m的值为3或.
答案：B
5．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，则椭圆的方程是________．
解析：如图所示，
cos∠OF2A＝cos 60°＝，
即＝.又a－c＝，
∴a＝2，c＝，
∴b2＝(2)2－()2＝9.
∴椭圆的方程是＋＝1.
答案：＋＝1
6．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．
解析：由题意知椭圆焦点在x轴上，
∴在直线x＋2y－2＝0中,
令y＝0得c＝2；令x＝0得b＝1.
∴a＝＝.∴e＝＝.
答案：
7．如图所示，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，
则△MF1F2为直角三角形．
在Rt△MF1F2中，
|F1F2|2＋|MF2|2＝|MF1|2，
即4c2＋b2＝|MF1|2.
而|MF1|＋|MF2|＝ ＋b＝2a，
整理得3c2＝3a2－2ab.
又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.
∴e2＝＝
＝1－＝，
∴e＝.
法二：设椭圆方程为
＋＝1(a>b>0)，
则M(c，b).
代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，
所以＝，即e＝.
8.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0).
其中，c＝，设B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，
解得x＝，y＝－，即B(，－)．
将B点坐标代入＋＝1，得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2. ①
又由·＝(－c，－b)·(，－)＝
?b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1. ②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
1．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于A，B两点.若|AB|＝8，则|AF1|＋|BF1|的值为 ( )
A．10 B．12
C．16 D．18
解析：∵|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝4a，
∴|AF1|＋|BF1|＝4×5－8＝12.
答案：B
2．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为 ( )
A．b2 B．ab
C．ac D．bc
解析：当直线AB为y轴时面积最大，|AB|＝2b，△AFB的高为c，∴此时S△AFB＝·2b·c＝bc.
答案：D
3．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是 ( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
解析：直线y＝kx＋1过定点(0,1).
由题意，(0,1)在椭圆上或在椭圆内部，
∴m≥1.又方程＋＝1表示椭圆，
∴m≠5.∴m≥1且m≠5.
答案：D
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点F作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为 ( )
A. B.
C. D.
解析：椭圆的方程可化为＋＝1，∴F(－，0)．
又∵直线AB的斜率为，
∴直线AB的方程为y＝x＋.
由得7x2＋12x＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，
x1·x2＝，
∴|AB|＝＝.
答案：B
5．(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝2，
所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
6．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3(1－)＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
7．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2＋2y2＝4交于A,B两点，P是l上满足·＝－1的点．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)设点C(－2,0)，若过点C的直线与动点P的轨迹恰有一个公共点，求该直线的斜率．
解：(1)设P(x，y)，A(x，y1)，B(x，－y1)，
则＝(0，y1－y)，＝(0，－y1－y)．
∵·＝－1，∴y2－y＝－1，
∴y＝y2＋1. ①
又点A在椭圆上，∴x2＋2y＝4. ②
由①②得x2＋2(y2＋1)＝4.
因此，点P的轨迹方程是＋y2＝1.
(2)由题意可设直线的方程为y＝k(x＋2)，
由
消去y得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.
由Δ＝0得(8k2)2－4(1＋2k2)(8k2－2)＝0，
∴k＝±,则直线的斜率为±.
8．(2011·北京高考)已知椭圆G：＋y2＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．
解：(1)由已知得a＝2，b＝1，
所以c＝＝.
所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，
离心率为e＝＝.
(2)由题意知，|m|≥1.
当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为(1，)，(1，－)，此时|AB|＝.
当m＝－1时，同理可得|AB|＝.
当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．
由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
x1＋x2＝，x1x2＝.
由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，即m2k2＝
k2＋1.
所以|AB|＝
＝
＝
＝.
当m＝±1时，|AB|＝，
所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2，
所以|AB|的最大值为2.
1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 ( )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
解析：因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
答案：C
2．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为( )
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由题意得解得即－1答案：A
3．P为双曲线－＝1上一点，F1,F2分别为双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝7，则|PF2|等于 ( )
A．13或1 B．1
C．13 D．15
解析：由双曲线方程得a＝3，b＝4，c＝5，显然双曲线右支上的点P到F1的距离最小为a＋c＝8，因此P在双曲线左支上，则|PF2|＝|PF1|＋2a＝13.
答案：C
4．椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为 ( )
A．48 B．24
C．24 D．12
解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0,5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得
所以或
又|F1F2|＝10，
∴△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°.
因此△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝×6×8＝24.
答案：B
5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：设右焦点为F1(4,0)，依题意，
|PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.
答案：9
6．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).
由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a，
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1.
答案：－y2＝1
7．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切，求圆C的圆心轨迹L的方程．
解：依题意得两圆的圆心分别为F1(－，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，所以||CF2|－|CF1||＝4<|F1F2|＝2.
所以圆心C的轨迹是双曲线，其中2a＝4,2c＝|F1F2|＝2，
即a＝2，c＝，所以b2＝c2－a2＝1.
故L的方程为－y2＝1.
8．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C.
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A,B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为
x2－＝1(x>1)．
1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为 ( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意e＝＝2，∴c＝2a.
又c＝4，∴a＝2.
∴b2＝42－22＝12.
∴双曲线方程是－＝1.
答案：A
2．(2011·湖南高考)设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为
( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：∵－＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为－＝0，即3x±ay＝0.
又双曲线的渐近线方程为3x±2y＝0，
∴a＝2.
答案：C
3．若双曲线－＝1的渐近线的方程为y＝±x，则双曲线焦点F到渐近线的距离为 ( )
A. B.
C．2 D．2
解析：∵a＝3，b＝，∴＝，∴m＝5，
∴c＝ ＝，
∴一个焦点的坐标为(，0)，到渐近线的距离
d＝＝.
答案：A
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正△MF1F2.若双曲线恰好平分该三角形的另两边，则双曲线的离心率为 ( )
A．1＋ B．4＋2
C．2－2 D．2＋2
解析：如图，设N为MF2的中点，N在双曲线上，
∴|NF1|－|NF2|＝2a.
又|F1N|＝c，|NF2|＝c，
∴c－c＝2a，
∴e＝＝＝＋1.
答案：A
5．(2011·辽宁高考)已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1,考虑到焦距为4，可得到一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再加上a2＋b2＝c2，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以离心率e＝2.
答案：2
6．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．
解析：设椭圆C1的方程为＋＝1(a1>b1>0)，
由已知得∴
∴焦距为2c1＝10.
又∵8<10，∴曲线C2是双曲线.设其方程为
－＝1(a2>0，b2>0)，
则a2＝4，c2＝5，∴b＝52－42＝32，
∴曲线C2的方程为－＝1.
答案：－＝1
7．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)∵离心率e＝＝，∴a＝b.
设双曲线方程为x2－y2＝n(n≠0)，
∵(4，－)在双曲线上，
∴n＝42－(－)2＝6.
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)∵M(3，m)在双曲线上，故m2＝3.
又F1(－2，0) ，
F2(2，0) ，
∴＝·＝－＝－1.
∴·＝0.
8．双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线离心率e的取值范围．
解：设直线l的方程为＋＝1，
即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得点(1,0)到直线l的距离d1＝，点(－1,0)到直线l的距离
d2＝.
∴s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.
∵e＝，∴5≥2e2，
∴25(e2－1)≥4e4，
即4e4－25e2＋25≤0，
∴≤e2≤5(e>1)．
∴≤e≤，
即e的取值范围为[，]．
1．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1,2)的直线l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有 ( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±2x，点P在渐近线上，
双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P且与双曲线相切的切线只有一条．过点P平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．
答案：B
2．如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所表示的图形只可能是( )
解析：直线方程可化为y＝ax＋b，曲线方程可化为＋＝1.对于A，直线中a>0，b>0，此时曲线表示椭圆，故A不正确；对于B、D，由椭圆知直线斜率应满足a>0，
而由B，D知直线斜率均为负值，故B，D不正确；
由C中直线可知a>0，b<0，曲线方程即为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线．
答案：C
3．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是 ( )
A. B.
C. D.
解析：右顶点为A(a,0)，则直线方程为x＋y－a＝0，可求得直线与两渐近线的交点坐标B(，)，C(，－)，则＝(，－)，＝(－，).
又2＝，∴2a＝b，∴e＝.
答案：C
4．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1作垂直于x轴的直线交双曲线于A，B两点.若△ABF2为直角三角形，则双曲线的离心率为 ( )
A．1＋ B．1±
C. D.±1
解析：∵△ABF2是直角三角形，
∴∠AF2F1＝45°，
|AF1|＝|F1F2|，＝2c.
∴b2＝2ac，∴c2－a2＝2ac，
∴e2－2e－1＝0.
解得e＝1±.又e>1，
∴e＝1＋.
答案：A
5．过双曲线－＝1左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为其右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．
解析：由双曲线方程知a＝2.
MF2|＋|NF2|－|MN|
＝2a＋|MF1|＋2a＋|NF1|－|MN|
＝4a＋|MN|－|MN|
＝4a＝8.
答案：8
6．(2011·山东高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，故所求双曲线的方程是－＝1.
答案：－＝1
7．双曲线C的中心在坐标原点，顶点为A(0，)，A点关于一条渐近线的对称点是B(，0)，斜率为2且过点B的直线l交双曲线C于M，N两点，求：
(1)双曲线的方程；
(2)|MN|.
解：(1)依题意可设双曲线方程为－＝1，
线段AB以中垂线y＝x即渐近线，∴b2＝2，双曲线方程为－＝1.
(2)MN的方程为y＝2(x－)，
?3x2－8x＋6＝0.
Δ＝56>0，x1＋x2＝，x1x2＝2，
∴|MN|＝|x1－x2|＝ ·＝.
8．双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||，||，||成等差数列，且与同向．
(1)求双曲线的离心率；
(2)设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：(1)设OA＝m－d，AB＝m，OB＝m＋d.
由勾股定理可得 (m－d)2＋m2＝(m＋d)2，
得d＝m，tan∠AOF＝，
tan∠AOB＝tan 2∠AOF＝＝.
由倍角公式得＝，
解得＝，则离心率e＝.
(2)直线AB的方程为y＝－(x－c)，与双曲线方程－＝1联立消y并将a＝2b，c＝b代入，
化简有x2－x＋21＝0.设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则＝ |x1－x2|
＝ ＝４，
将数值代入，有4＝ ，
解得b＝3，故所求的双曲线方程为－＝1.
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是 ( )
A．(0,1) B．(1,0)
C．(0，) D．(，0)
解析：由y＝4x2得x2＝y，
∴抛物线焦点在y轴正半轴上且2p＝，
∴p＝，∴焦点为(0，)．
答案：C
2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为 ( )
A．－2 B．2
C．－4 D．4
解析：由椭圆方程可知a＝，b＝，
∴c＝＝2，
∴椭圆右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.
答案：D
3．(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )
A. B．1
C. D.
解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为：(|AF|＋|BF|)－＝－＝.
答案：C
4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( )
A．4 B．8
C．8 D．16
解析：由抛物线的定义得|PF|＝|PA|，由直线AF的斜率为－，
可知∠PAF＝60°.
△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝＝8.
答案：B
5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．
解析：由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－.又圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.
答案：2
6.(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.
解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系.设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米.
答案：2
7．根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
解：(1)双曲线方程化为－＝1，
左顶点为(－3,0).
由题意设抛物线方程为
y2＝－2px(p>0)且＝－3，
∴p＝6，
∴方程为y2＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y2＝2px(p≠0)，A(m，－3).
由抛物线定义得5＝|AF|＝|m＋|.
又(－3)2＝2pm，
∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到1 m)
解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
依题意有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得p＝.
故得抛物线方程为x2＝－y.
B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝，
即|AB|＝，则|AB|＋1＝＋1，
因此所求水池的直径为2(1＋) m，约为5 m，
即水池的直径至少应设计为5 m.
1．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是
( )
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析：显然由准线方程x＝－2，可知抛物线焦点在x轴正半轴上，同时得p＝4，所以标准方程为y2＝2px＝8x.
答案：C
2．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为( )
A．(，±) B．(，±)
C．(，) D．(，)
解析：由题意知，点P到焦点F的距离等于它到顶点O的距离，因此点P在线段OF的垂直平分线上.而F(，0)，所以P点的横坐标为.代入抛物线方程得y＝±，故点P的坐标为(，±)．
答案：B
3．线段AB是抛物线的焦点弦，F为抛物线焦点.若A，B在其准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1等于 ( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
解析：法一：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，AB的方程为x＝my＋.消去x得y2－2my－p2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1y2＝－p2.
又A1(－，y1)，B1(－，y2)，F(，0)，
∴＝(p，－y1)，＝(p，－y2)，
则·＝p2＋y1y2＝0，即∠A1FB1＝90°.
法二：如图所示，
∵|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6.
又∵AA1∥BB1∥x轴，
∴∠1＝∠3，∠6＝∠4，
∴∠2＝∠3，∠4＝∠5，
∴∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝2(∠3＋∠4)＝180°，
∴∠3＋∠4＝90°，即∠A1FB1＝90°.
答案：C
4．(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 ( )
A．(0,2) B．[0,2]
C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要
|FM|>4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2.由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．
答案：C
5．设点A是抛物线y2＝4x上一点，点B(1,0)，点M是线段AB的中点.若|AB|＝3，则M到直线x＝－1的距离为________．
解析：由题意知点B即为抛物线的焦点，直线x＝－1即为抛物线的准线，如图.
∵|AB|＝3，
∴|AA′|＝3.又|BB′|＝2，
MM′即为梯形BB′A′A的中位线，
∴|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝.
答案：
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________．
解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，
因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.
答案：
7．直角三角形的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，且一直角边的方程是y＝2x，斜边长是5，求此抛物线的方程．
解：如图，设直角三角形为AOB，直角顶点为O，AO边的方程为y＝2x，
则OB边的方程为y＝－x.
由得A点坐标为(，p).
由得B点坐标为(8p，－4p)．
∵|AB|＝5，
∴ ＝5.
∵p>0，解得p＝，
∴所求抛物线方程为y2＝x.
8．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点.若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．
解：由抛物线的性质知A，B关于x轴对称.
设A(x，y)，则B(x，－y)，焦点为F(，0)．
由题意知AF⊥OB，
则有·＝－1.
∴y2＝x(x－)，
2px＝x(x－)．
∴x≠0.∴x＝.
∴直线AB的方程为x＝.
1．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2 B．2
C．2 D．2
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由题意知AB的方程y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.
∴|AB|＝＝＝＝2.
答案：B
2．抛物线y＝ax2(a>0)与直线y＝kx＋b两个交点的横坐标分别为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则 ( )
A．x3＝x1＋x2 B．x3＝＋
C．x1x2＝x1x3＋x2x3 D．x1x3＝x2x3＋x1x2
解析：将y＝kx＋b代入x2＝(a>0)，得
ax2－kx－b＝0，x1＋x2＝，x1x2＝－，
＋＝＝－.
而直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标x3＝－，
∴＋＝，
∴x1x2＝x2x3＋x1x3.
答案：C
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为 ( )
A．4 B．8
C．16 D．32
解析：由y2＝8x得p＝4，抛物线开口向右，所以F(2,0)，准线方程为x＝－2，则K(－2,0)．
设A(x1，y1)．由抛物线定义得
|AF|＝x1＋2，|AK|＝.
由|AK|＝|AF|得
＝·(x1＋2)，
∴(x1＋2)2＋8x1＝2(x1＋2)2，解得x1＝2，
∴y1＝±4，S△AFK＝×4×4＝8.
答案：B
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝ ( )
A. B.
C. D.
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4. ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，∴B(1,2)，
代入y＝k(x＋2)，得k＝.
答案：D
5．在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________．
解析：设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x－b，
代入y＝4x2得4x2－4x＋b＝0.
令Δ＝16－16b＝0，∴b＝1，
得直线y＝4x－1，
所以直线y＝4x－1与抛物线相切，切点到y＝4x－5的距离最短．
由4x2－4x＋1＝0，解得x＝，
所以y＝1，所求点为(，1)．
答案：(，1)
6．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
解析：由题意知，抛物线C的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2).
把A，B的坐标代入抛物线方程得
①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
又y1＋y2＝4，
∴＝＝1.
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
答案：y＝x
7．(2011·福建高考)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解：(1)由得x2－4x－4b＝0.(*)
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.
解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，
故点A(2,1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，
即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
8.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B、C两点，求证：直线B,C的斜率是定值．
证明：设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，
∴kAC＝－k(k≠0)，
AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
由方程组
消去y后，整理得
k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4,2)，B(xB，yB)的坐标是上述方程组的解，
∴4·xB＝，
即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，
∴kBC＝
＝
＝＝
＝－.
所以直线BC的斜率为定值．
