1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
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一、选择题
1、如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝x2﹣x+2 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝x2+x+2
［思路分析］将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．
［答案详解］解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4＝﹣，即m＝﹣2，
∴A（﹣2，4），
将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式
得：，
解得：b＝﹣1，c＝﹣2，
则二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2．
故选：A．
［经验总结］此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
2、将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣4）2+1 D．y＝（x+4）2+1
［思路分析］利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．
［答案详解］解：y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故选：A．
［经验总结］本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
3、与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1
［思路分析］与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．
［答案详解］解：与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．
即y＝x2+1，
故选：D．
［经验总结］考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．
4、在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点M（﹣1，﹣1）、M（2，2）、M（0.3，0.3）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点M（1，1），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣5x2+7x﹣1 B．y＝﹣x2+7x﹣5
C．y＝﹣2x2+7x﹣4 D．y＝﹣3x2+7x﹣3
［思路分析］由题意可得和谐点所在直线为y＝x，由抛物线经过（1，1）可得a与c的数量关系，联立直线与抛物线方程，根据Δ＝0求解．
［答案详解］解：由题意可得和谐点所在直线为y＝x，
把（1，1）代入y＝ax2+7x+c得1＝a+7+c，
∴c＝﹣a﹣6，
∴y＝ax2+7x﹣a﹣6．
令x＝ax2+7x﹣a﹣6，整理得ax2+6x﹣a﹣6＝0，
∵抛物线与直线y＝x只有1个公共点，
∴Δ＝62﹣4a（﹣a﹣6）＝0，
解得a1＝a2＝﹣3，
∴y＝﹣3x2+7x﹣3．
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握函数与方程的关系．
5、如图，在平面直角坐标系中放置Rt△ABC，∠ABC＝90°，点A（3，4）．现将△ABC沿x轴的正方向无滑动翻转，依次得到△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3…连续翻转14次，则经过△A14B14C14三顶点的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
［思路分析］过点B2作B2D⊥x轴，垂足为D，根据已知可得△AOB的三边长，再根据三角形有三条边，可得连续翻转3次是一个循环，14÷3＝4...2，从而可得△A14B14C14与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5＝12，然后求出A2、B2、C2的坐标，利用待定系数法求出过A2、B2、C2的抛物线解析式，最后利用向右平移48个单位即可解答．
［答案详解］解：过点B2作B2D⊥x轴，垂足为D，
∵∠ABC＝90°，点A（3，4），
∴OB＝3，AB＝4，
∴OA＝＝＝5，
∵三角形有三条边，连续翻转3次是一个循环，14÷3＝4...2，
∴△A14B14C14与△A2B2C2位置相同，一个周期长为3+4+5＝12，
∵△A2B2C2是直角三角形，
∴△A2B2C2是的面积＝A2C2 B2D＝A2B2 B2C2，
∴5B2D＝3×4，
∴B2D＝，
∴A2D＝＝＝，
∴OD＝OB+A1B1+A2D＝，
∴A2（7，0），B2（，），C2（12，0），
∴设过A2、B2、C2的抛物线解析式为y＝a（x﹣7）（x﹣12），
把B2（，）代入y＝a（x﹣7）（x﹣12）中得：
＝a（﹣7）（﹣12），
解得：a＝﹣，
∴过A2、B2、C2的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣7）（x﹣12），
将抛物线向右平移四个循环4×12＝48，得抛物线为y＝﹣（x﹣55）（x﹣60），
故选：D．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数解析式，规律型：点的坐标，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，以及抛物线的平移是解题的关键．
6、二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
［思路分析］根据图象得出二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，再求出a即可．
［答案详解］解：从图象可知：二次函数的顶点坐标是（1，﹣4），与x轴的交点坐标是（﹣1，0），
设二次函数的解析式是y＝a（x﹣1）2﹣4，
把（﹣1，0）代入得：0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
所以y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
7、把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
［思路分析］由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
［答案详解］解：y＝x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣4﹣1＝（x+1）2﹣5．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数解析式的三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
8、用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2﹣10
C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2﹣10
［思路分析］利用配方法把一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝x2﹣4x﹣6
＝x2﹣4x+4﹣10
＝（x﹣2）2﹣10，
故选：B．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．
9、设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（ ）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
［思路分析］当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
［答案详解］解：当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（5﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝4，
整理得：a（6﹣2h）＝1，
若h＝2，则a＝，故A错误；
若h＝4，则a＝﹣，故B错误；
若h＝6，则a＝﹣，故C正确；
若h＝8，则a＝﹣，故D错误；
故选：C．
［经验总结］本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
10、如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2x
C．y＝﹣x2﹣2x+1 D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x
［思路分析］把原点的坐标代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1，求得a＝﹣1，即可求得抛物线的解析式．
［答案详解］解：把（0，0）代入y＝ax2﹣2x+a2﹣1得，0＝a2﹣1，
∴a＝±1，
∵抛物线开口向下，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x，
故选：A．
［经验总结］本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
二、填空题
11、把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 ．
［思路分析］用配方法二次函数y＝x2﹣6x+5可化为y＝x2﹣6x+9﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4．
［答案详解］解：二次函数y＝x2﹣6x+5配成顶点式为y＝（x﹣3）2﹣4，
故答案是：y＝（x﹣3）2﹣4．
［经验总结］考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
12、请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
［思路分析］根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c＝2即可．
［答案详解］解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y＝x2+2，
故答案为：y＝x2+2（答案不唯一）．
［经验总结］本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
13、经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
［思路分析］根据A与B坐标特点设出抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），把C坐标代入求出a的值，即可确定出解析式．
［答案详解］解：根据题意设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a＝3，即a＝﹣，
则抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3，
故答案为y＝﹣x2+x+3．
［经验总结］此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
14、请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线解析式 ．
［思路分析］根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，c＝5即可．
［答案详解］解：由开口向上，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线的表达式可以为y＝﹣x2+5，
故答案为：y＝﹣x2+5（答案不唯一）．
［经验总结］本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a，b，c为常数，a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
15、将二次函数y＝3x2﹣6x+5转化成顶点式为： ．
［思路分析］利用配方法把一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝3x2﹣6x+5
＝3（x2﹣2x）+5
＝3（x2﹣2x+1﹣1）+5
＝3（x﹣1）2+2，
故答案为：y＝3（x﹣1）2+2．
［经验总结］本题考查的是二次函数的三种形式，掌握配方法把一般式化为顶点式的一般步骤是解题的关键．
16、写出一个开口向下，顶点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
［思路分析］根据题意可得抛物线的顶点坐标是（0，3），故设出抛物线的顶点式方程y＝ax2+3，再由开口向下可知a＜0，故可取a＝﹣1，即得结果．
［答案详解］解：∵抛物线的顶点坐标为（0，3）
∴可设抛物线的解析式为y＝ax2+3，
又∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，故可取a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3．
故答案为：y＝﹣x2+3（答案不唯一）．
［经验总结］本题考查了二次函数的性质，关键是要由顶点坐标正确设出抛物线的解析式．理解开口向下的含义．
17、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（2，2）、B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且该函数图象的顶点为不与A、B重合的点M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，则a的值为 ．
［思路分析］利用二次函数的顶点坐标的范围和二次函数的性质得到抛物线的顶点只能为（4，6），然后设顶点式可求出对应的a的值．
［答案详解］解：∵顶点为M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，
∴y＝2或y＝5或y＝6，
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点只能为（2，2）或（4，6）或（5，5），
∵该函数图象的顶点为不与A、B重合，
∴M（4，6），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2+6，把B（5，5）代入得a（5﹣4）2+6＝5，解得a＝﹣1；
∴a的值为﹣1．
故答案为﹣1．
［经验总结］本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
18、用配方法将抛物线y＝x2+6x+1化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k得 ．
［思路分析］根据配方法把一般式化为顶点式即可．
［答案详解］解：y＝x2+6x+1
＝x2+6x+9﹣9+1
＝（x+3）2﹣8，
故答案为：y＝（x+3）2﹣8．
［经验总结］本题考查的是二次函数的解析式的三种形式，能够正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，注意二次函数的性质要熟练掌握．
19、如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则抛物线的解析式为 ，正方形EFGH的边长为 ．
［思路分析］根据待定系数法得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用2OF＝FG，进而求出即可．
［答案详解］解：∵正方形ABCD边长为4，
∴抛物线的顶点坐标为：（0，4），B（2，0），
设抛物线解析式为：y＝ax2+4，
将B点代入得，0＝4a+4，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4，
设G点坐标为：（m，﹣m2+4），
则2m＝﹣m2+4，
整理的：m2+2m﹣4＝0，
解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（不合题意舍去），
∴正方形EFGH的边长FG＝2m＝2﹣2．
故答案为：y＝﹣x2+4，2﹣2．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．
20、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
［思路分析］过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，又CB＝3AC，得CE＝3CD，BE＝3AD，设AD＝m，则BE＝3m，A（﹣m，m2），B（3m，9m2），可得C（0，3m2），而P为CB的中点，故P（m，6m2），即可得y＝x2．
［答案详解］解：过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，如图：
∵AD⊥y轴，BE⊥y轴，
∴AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴＝＝，
∵CB＝3AC，
∴CE＝3CD，BE＝3AD，
设AD＝m，则BE＝3m，
∵A、B两点在二次函数y＝x2的图象上，
∴A（﹣m，m2），B（3m，9m2），
∴OD＝m2，OE＝9m2，
∴ED＝8m2，
而CE＝3CD，
∴CD＝2m2，OC＝3m2，
∴C（0，3m2），
∵P为CB的中点，
∴P（m，6m2），
又已知P（x，y），
∴，
∴y＝x2；
故答案为：y＝x2．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示C的坐标．
三、解答题
21、在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
［思路分析］（1）设v＝mt+n，代入（0，10），（2，9），利用待定系数法可求出m和n；设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，19），（4，36），利用待定系数法求解即可；
（2）令y＝64，代入（1）中关系式，可先求出t，再求出v的值即可；
（3）设黑白两球的距离为wcm，根据题意可知w＝70+2t﹣y，化简，再利用二次函数的性质可得出结论．
［答案详解］解：（1）设v＝mt+n，将（0，10），（2，9）代入，得，
解得，，
∴v＝﹣t+10；
设y＝at2+bt+c，将（0，0），（2，19），（4，36）代入，得，
解得，
∴y＝﹣t2+10t．
（2）令y＝64，即﹣t2+10t＝64，
解得t＝8或t＝32，
当t＝8时，v＝6；
当t＝32时，v＝﹣6（舍）；
（3）设黑白两球的距离为wcm，
根据题意可知，w＝70+2t﹣y
＝t2﹣8t+70
＝（t﹣16）2+6，
∵＞0，
∴当t＝16时，w的最小值为6，
∴黑白两球的最小距离为6cm，大于0，黑球不会碰到白球．
另解1：当w＝0时，t2﹣8t+70＝0，判定方程无解．
另解2：当黑球的速度减小到2cm/s时，如果黑球没有碰到白球，此后，速度低于白球速度，不会碰到白球．先确定黑球速度为2cm/s时，其运动时间为16s，再判断黑白两球的运动距离之差小于70 cm．
［经验总结］本题属于函数综合应用，主要考查待定系数法求函数解析式，函数上的坐标特点等知识，（3）关键是弄明白如何判断黑白两球是否碰到．
22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C．
（1）求二次函数的解析式及B点的坐标；
（2）求当PC长最大时，线段DE的长．
［思路分析］（1）利用待定系数法解答即可求得函数解析式，将两个函数解析式联立即可求得点B坐标；
（2）设点P（m，﹣），则C（m，m﹣），利用m的代数式表示出PC，求得当PC长最大时的m，再利用DE∥PC得出比例式即可求解．
［答案详解］解：（1）将A点坐标（1，0）代入y＝x+b得：
+b＝0，
解得：b＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+c，
将A点坐标（1，0）代入得：
﹣1﹣+c＝0，
∴c＝，
∴抛物线为y＝﹣x2﹣x+；
由，
解得：或，
∴B（﹣2，﹣）；
（2）设点P（m，﹣），则C（m，m﹣），
∴PC＝（﹣）﹣（m﹣）＝﹣m2﹣m+2＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝﹣时，PC取得最大值，此时P（﹣，）．
设PC与x轴交于点F，则F（﹣，0），如图，
∴OF＝，
∵A点坐标（1，0），
∴OA＝1，
∴AF＝OA+OF＝，
∵PC∥DE，
∴，
∴，
∴DE＝．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
23、如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
［思路分析］（1）待定系数法求解析式即可；
（2）设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），结合方程思想和三角形面积公式列方程求解．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得m＝1±，
当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，
当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法，理解二次函数图象上点的坐标特征，利用方程思想解题是关键．
24、如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
［思路分析］（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；
（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．
［答案详解］解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，
∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
［经验总结］本题考查了待定系数法、二次函数的性质、综合性较强，难度适中．
25、在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
［思路分析］（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；
（2）写出一组a，b，使得b2﹣4ac＞0即可；
（3）已知a＝b＝1，则y＝x2+x+1．容易得到P+Q＝p2+p+1+q2+q+1，利用p+q＝2，即p＝2﹣q代入对代数式P+Q进行化简，并配方得出P+Q＝2（q﹣1）2+6≥6．最后注意利用p≠q条件判断q≠1，得证．
［答案详解］解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以 P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以 P+Q＞6，得证．
［经验总结］本题主要考查了待定系数法求解二次函数表达式，以及二次函数图象的顶点坐标，代数式的化简，并利用配方法判断代数式的取值范围，以及利用b2﹣4ac判断二次函数图象与x轴交点个数的方法．第（3）小问的关键是利用p+q＝2，首先对代数式P+Q化简，然后配方说明P+Q的范围，另外注意q≠1．
26、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，3）三点．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
［思路分析］（1）将三点代入y＝ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解这个方程组得a、b、c的值，得到抛物线的解析式．
（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可求得．
［答案详解］解：（1）由题意得，
解得．
所以这个抛物线的表达式为y＝2x2﹣x﹣3．
（2）y＝2x2﹣x﹣3＝2（x﹣）﹣，
所以抛物线的开口向上，对称轴为x＝，顶点坐标为（，﹣）
［经验总结］本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是本题的关键．
27、把函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
［思路分析］利用配方法将函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，根据a的符号判断函数图象的开口方向，顶点坐标是（﹣m，k），对称轴是直线x＝﹣m．
［答案详解］解：由y＝3﹣4x﹣2x2，得
y＝﹣2（x+1）2+5（3分）
因为﹣2＜0，所以开口向下．（1分）
顶点坐标为（﹣1，5）（2分）
对称轴方程为x＝﹣1．（2分）
［经验总结］本题考查了二次函数的性质、二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
28、已知抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）与y轴的交点为C点．
（1）若抛物线经过原点，求m的值；
（2）若点A（x1，y1）和点B（4﹣x1，y1）在抛物线上，求C点的坐标；
（3）当2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．
［思路分析］（1）把（0，0）代入抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）中可得m的值；
（2）根据A和B是对称点可得抛物线的对称轴，根据对称轴方程列式可得m的值，从而得点C的坐标；
（3）分三种情况：①当2m＞﹣m时，即m＞0，②当2m＜﹣m＜2m+3时，即﹣1＜m＜0，③当2m+3＜﹣m时，即m＜﹣1，根据增减性列方程可得m的值，从而得结论．
［答案详解］解：（1）把（0，0）代入抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）中，
4m2＝0，
∴m＝0；
（2）∵点A（x1，y1）和点B（4﹣x1，y1）在抛物线上，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝2，即﹣＝2，
∴m＝﹣2，
∴C（0，16）；
（3）分三种情况：
y＝x2+2mx+4m2＝（x+m）2+3m2，
∴对称轴是：直线x＝﹣m，
①当2m＞﹣m时，即m＞0，
∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，
∴当x＝2m时，y＝9，
∴4m2+4m2+4m2＝9，
m＝±（负值舍），
此时的二次函数解析式为：y＝x2+x+3；
②当2m≤﹣m≤2m+3时，即﹣1≤m≤0，
∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，
∴当x＝﹣m时，y＝9，
∴m2﹣2m2+4m2＝9，
m＝±（不符合题意舍去）；
③当2m+3＜﹣m时，即m＜﹣1，
∵2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，
∴当x＝2m+3时，y＝9，
∴（2m+3）2+2m（2m+3）+4m2＝9，
m1＝0（舍），m2＝﹣1.5，
此时的二次函数解析式为：y＝x2﹣3x+9；
综上，二次函数解析式为：y＝x2+x+3或y＝x2﹣3x+9．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．
29、若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
［思路分析］（1）利用表中数据得到抛物线的顶点为（0，5），则设抛物线的解析式为y＝ax2+5，然后把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5求出a即可得到二次函数表达式；
（2）计算x＝﹣2时的函数值得到a的值，计算函数值为﹣27对应的自变量的值可确定b的值．
［答案详解］解：（1）由上表得抛物线的顶点为（0，5），
抛物线的解析式为y＝ax2+5，
把 x＝1，y＝3 代入 y＝ax2+5，得 a+5＝3，解得a＝﹣2．
所以二次函数表达式为 y＝﹣2x2+5；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2x2+5＝﹣2×4+5＝﹣3，则a＝﹣3；
当y＝﹣27时，﹣2x2+5＝﹣27，x＝4或x＝﹣4，则b＝4．
［经验总结］本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
30、已知二次函数y＝2x2﹣8x+6．
（1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为： ．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
［思路分析］（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴；
（3）把y＝0代入y＝2x2﹣8x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x＝0代入y＝2x2﹣8x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标．
［答案详解］解：（1）y＝2x2﹣8x+6＝2（x2﹣4x+4）﹣8+6＝2（x﹣2）2﹣2；
（2）∵y＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标是：（2，﹣2）；对称轴是：x＝2；
（3）∵y＝2x2﹣8x+6，
∴当y＝0时，2x2﹣8x+6＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；
当x＝0时，y＝6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）．
故答案为y＝2（x﹣2）2﹣2；（2，﹣2），x＝2．
［经验总结］本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
同时考查了二次函数的性质以及抛物线与坐标轴交点坐标的求法．1.3 不共线三点确定二次函数的表达式
— 过关训练 —
一、选择题
1、如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝x2﹣x﹣2 B．y＝x2﹣x+2 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝x2+x+2
2、将二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1 C．y＝（x﹣4）2+1 D．y＝（x+4）2+1
3、与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（ ）
A．y＝﹣x2 B．y＝x2﹣1 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝x2+1
4、在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点M（﹣1，﹣1）、M（2，2）、M（0.3，0.3）…，都是和谐点，若二次函数y＝ax2+7x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点M（1，1），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣5x2+7x﹣1 B．y＝﹣x2+7x﹣5
C．y＝﹣2x2+7x﹣4 D．y＝﹣3x2+7x﹣3
5、如图，在平面直角坐标系中放置Rt△ABC，∠ABC＝90°，点A（3，4）．现将△ABC沿x轴的正方向无滑动翻转，依次得到△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3…连续翻转14次，则经过△A14B14C14三顶点的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6、二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ）
A．y＝x2+2x﹣3 B．y＝x2﹣2x﹣3 C．y＝﹣x2+2x﹣3 D．y＝﹣x2﹣2x+3
7、把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5 C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
8、用配方法将二次函数y＝x2﹣4x﹣6化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣2 B．y＝（x﹣2）2﹣10
C．y＝（x+2）2﹣2 D．y＝（x+2）2﹣10
9、设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝2；当x＝5时，y＝6，以下判断正确的是（ ）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝4，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝8，则a＞0
10、如图，若抛物线y＝ax2﹣2x+a2﹣1经过原点，则抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2x B．y＝x2﹣2x
C．y＝﹣x2﹣2x+1 D．y＝﹣x2﹣2x或y＝x2﹣2x
二、填空题
11、把二次函数y＝x2﹣6x+5配成y＝（x﹣h）2+k的形式是 ．
12、请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式： ．
13、经过A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是 ．
14、请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，5）的抛物线解析式 ．
15、将二次函数y＝3x2﹣6x+5转化成顶点式为： ．
16、写出一个开口向下，顶点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 ．
17、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（2，2）、B（5，5），若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B两点，且该函数图象的顶点为不与A、B重合的点M（x，y），其中x，y是整数，且1＜x＜7，1＜y＜7，则a的值为 ．
18、用配方法将抛物线y＝x2+6x+1化成顶点式y＝a（x﹣h）2+k得 ．
19、如图，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则抛物线的解析式为 ，正方形EFGH的边长为 ．
20、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y＝x2的图象交于A、B两点，且CB＝3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P（x，y）（x＞0），写出y关于x的函数表达式为： ．
三、解答题
21、在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面70cm处．
小聪测量黑球减速后的运动速度v（单位：cm/s）、运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表．
运动时间t/s 0 1 2 3 4
运动速度v/cm/s 10 9.5 9 8.5 8
运动距离y/cm 0 9.75 19 27.75 36
小聪探究发现，黑球的运动速度v与运动时间t之间成一次函数关系，运动距离y与运动时间t之间成二次函数关系．
（1）直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当黑球减速后运动距离为64cm时，求它此时的运动速度；
（3）若白球一直以2cm/s的速度匀速运动，问黑球在运动过程中会不会碰到白球？请说明理由．
22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线交于A、B两点，其中点A在x轴上，已知A点坐标（1，0），点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），连接PA，直线AB，PA分别交y轴于点D，E，过P作y轴的平行线交直线于点C．
（1）求二次函数的解析式及B点的坐标；
（2）求当PC长最大时，线段DE的长．
23、如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24、如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．
25、在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
26、已知抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0），（0，﹣3），（2，3）三点．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
27、把函数y＝3﹣4x﹣2x2写成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
28、已知抛物线y＝x2+2mx+4m2（m为常数）与y轴的交点为C点．
（1）若抛物线经过原点，求m的值；
（2）若点A（x1，y1）和点B（4﹣x1，y1）在抛物线上，求C点的坐标；
（3）当2m≤x≤2m+3，与其对应的函数值y的最小值为9，求此时的二次函数解析式．
29、若二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 b
y a 3 5 3 ﹣27
（1）求二次函数的表达式；
（2）直接写出a，b的值．
30、已知二次函数y＝2x2﹣8x+6．
（1）把它化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为： ．
（2）直接写出抛物线的顶点坐标： ；对称轴： ．
（3）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
