3.7 二次函数与一元二次方程
— 易错精选 —
> > > 精品解析 < < <
一、选择题
1、［2021·较易］二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
［思路分析］根据二次函数y＝ax2﹣2x﹣3的图象与x轴有两个公共点可知Δ＞0且a≠0，据此可知a的取值范围．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，
∴Δ＞0且a≠0，
即36﹣4a×3＞0，
解得a＜3且a≠0．
故选：B．
［经验总结］本题考查了二次函数的定义和抛物线与x轴的交点，要结合判别式进行解答．
2、［2021·较易］已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
［思路分析］】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
［答案详解］解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y＝0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
3、［2021·较易］二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点
［思路分析］根据题目中的函数解析式可以求得这个二次函数的图象与坐标轴的交点个数．
［答案详解］解：当x＝0时，y＝1，
当y＝0时，0＝﹣x2+2x+1，
∴△＝b2﹣4ac
＝22﹣4 （﹣1） 1
＝8＞0．
∴与x轴有两个交点
∴即该函数图象与坐标轴共有三个交点．
故选：C．
［经验总结］本题考查抛物线与x轴的交点、与y轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
4、［2021·较易］若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
［思路分析］将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项①进行判断；
再利用根与系数的关系求出两根之积为30﹣m，这只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；
将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y＝0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
［答案详解］解：一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m化为一般形式得：x2﹣11x+30﹣m＝0，
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，
∴b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4（30﹣m）＝4m+1＞0，
解得：m＞﹣，故选项①正确；
∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝11，x1x2＝30﹣m，
而选项②中x1＝5，x2＝6，只有在m＝0时才能成立，故选项②错误；
二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m，
＝x2﹣11x+（30﹣m）+m
＝x2﹣11x+30
＝（x﹣5）（x﹣6），
令y＝0，可得（x﹣5）（x﹣6）＝0，
解得：x＝5或6．
∴抛物线与x轴的交点为（5，0）或（6，0），故选项③正确．
综上所述，正确的结论有2个：①③．
故选：C．
［经验总结］此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．
5、［2021·较易］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；②b＝a+c；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤
［思路分析］利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对①进行判断；由当x＝﹣1时，y＝0，可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断．
［答案详解］解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以①正确；
当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c；故②正确，
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴5a＜0，
∴8a+c＜0；故③正确；
当y＞0时，函数图象在x轴的上面，
∴x的取值范围是﹣1＜x＜3；故④正确；
⑤∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，函数y有最大值a+b+c，
当m≠1时，则有a+b+c＞am2+bm+c，
∴a+b＞m（am+b），故⑤错误．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
6、［2021·较易］二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5
［思路分析］根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标．
［答案详解］解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5，
∴x1x2＝﹣1×5＝﹣5，
故选：C．
［经验总结］考查抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴两个交点的横坐标的和除以2后等于对称轴．
二、填空题
7、［2022·较易］二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
［思路分析］根据待定系数法得到二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，根据题意代入x＝时，得到a﹣a+2＜0，解不等式求得a＜﹣，进一步求得b＞0，c＞0，即可判断①；由表格数据可知m＝2a+2，n＝42a+2，即可得出m+n＝4a+4，由a＜﹣，即可得出m+n＜﹣，即可判断②；根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，即可判断③；由y1＞y2，根据图象上点的坐标特征求得t即可判断④．
［答案详解］解：将（0，2），（1，2）代入y＝ax2+bx+c得：，
解得，
∴二次函数为：y＝ax2﹣ax+2，
∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴a﹣a+2＜0，
∴a＜﹣，
∴b＞，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①不正确；
∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，
∴m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，
∴m+n＝4a+4，
∵a＜﹣，
∴m+n＜﹣，故②正确；
∵抛物线过（0，2），（1，2），
∴抛物线对称轴为x＝，
又∵当x＝时，对应的函数值y＜0，
∴根据对称性：当x＝﹣时，对应的函数值y＜0，
而x＝0时y＝2＞0，
∴抛物线与x轴负半轴交点横坐标在﹣和0之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在﹣和0之间，故③正确；
∵P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，
∴y1＝a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2，y2＝a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
若y1＞y2，则a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）+2＞a（t+1）2﹣a（t+1）+2，
即a（t﹣1）2﹣a（t﹣1）＞a（t+1）2﹣a（t+1），
∵a＜0，
∴（t﹣1）2﹣（t﹣1）＜（t+1）2﹣（t+1），
解得t＞，故④不正确，
故答案为：②③．
［经验总结］本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．
8、［2022·较易］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧）．点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c）．其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④，其中正确结论的序号是 ．
［思路分析］根据二次函数的图象与性质逐项分析即可求出答案．
［答案详解］解：由对称轴可知：﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵（﹣1，0）关于直线的x＝1的对称点是（3，0），由于与y轴的交点C在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），
∴抛物线的开口向下，
∴x＞3时，y＜0，故②错误；
∵抛物线经过A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∵2≤c≤3，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，故④正确；
∵抛物线的开口向下，b＝﹣2a，
∴抛物线有最大值：＝c﹣a，
∵c＝﹣3a，
∴a＝﹣c，
∴二次函数的最大值＝c+c＝c，
∵2≤c≤3．
∴二次函数的最大值的最小值＝×2＝，故③正确；
故答案为①③④．
［经验总结］本题考查二次函数的图象，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系，本题属于中等题型．
9、［2021·较易］已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为 ．
［思路分析］由题意求出m2﹣m的值，代入代数式m2﹣m+2021进行计算即可得出答案．
［答案详解］解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴m2﹣m+2021＝1+2021＝2022．
故答案为：2022．
［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知x轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
10、［2021·较易］已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
［思路分析］根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程ax2+bx+c＝0的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点．
［答案详解］解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（﹣3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣m的另一个交点的横坐标为﹣6，
∴次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（﹣6，0），
故答案为：（﹣6，0）．
［经验总结］此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
11、［2021·较易］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
［思路分析］利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c＞0的解集．
［答案详解］解：由图象得：对称轴是直线x＝1，其中一个点的坐标为（3，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．
利用图象可知：
ax2+bx+c＞0的解集即是y＞0的解集，
∴﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
［经验总结］此题主要考查了利用二次函数的图象解一元二次方程的根，解决本题的关键是利用数形结合．
12、［2021·较易］如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）．
［思路分析］根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质判断即可．
［答案详解］解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），
∴c＝3，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，故③错误；
∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1，0之间，
∴与x轴的另一个一个交点在2，3之间，
∴方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，故④正确，
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
13、［2021·较易］抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是 （填写序号）．
［思路分析］由题意可知抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＜0，c＜0，即可判断①④；根据二次函数的对称性即可判断②；根据二次函数的性质即可判断③．
［答案详解］解：由题意可知抛物线开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，c＜0，
∵顶点坐标是（﹣2，3），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（﹣2，3），与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣2，
∴点P1（﹣7，y1）到对称轴的距离小于P2（π，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故③错误；
∵a＜0，c＞0，b＜0，
∴b2＞0，﹣2b＞0，4ac＜0，
∴b2+2b＞4ac，故④正确；
故答案为：①②④．
［经验总结］本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三、解答题
14、［2021·较易］在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y＝﹣3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 3 b ﹣ ﹣ ﹣ …
根据表格中的数据计算出：a＝ ，b＝ ；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： ；
（2）已知函数y＝x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 ＝x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
［思路分析］（1）根据待定系数法即可求得；
（2）描点，连线即可得到函数图象，性质可以观察增减性、最值等得到；
（3）画出图象，y2＞y1是指y2的图象在y1图象上方的部分，找出对应横坐标满足的条件即是的解集．
［答案详解］解：（1）x＝0，y＝﹣1代入y＝﹣3得：﹣1＝﹣3，
∴a＝1，
∴函数为y＝﹣3，
把（2，b）代入得，b＝﹣3＝﹣1，
故答案为：1，﹣1；
（2）描点、连线，画出函数图象如图：
观察图象，当x＞1时，y随x的增大而减小；
故答案为当x＞1时，y随x的增大而减小；
（3）观察图象，方程 ＝x+的解为x＝﹣3.4或x＝0.8或x＝1.2．
［经验总结］本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．
15、［2019·较易］已知函数y＝y1 y2，其中y1＝x+1，y2＝x﹣1，请对该函数及其图象进行如下探究：
解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为： ；
函数图象探究：①根据解析式，完成下表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y ﹣9 ﹣ m n ﹣1 ﹣ …
m＝ n＝ ；
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当x≤0时的函数图象；
结合画出的函数图象，解决问题：
①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；则y1 y2（用＜、＝、＞填空）；
②写出关于x的方程y1 y2＝﹣x+3的近似解（精确到0.1）．
［思路分析］（1）解析式探究：将已知条件代入即可求得该函数解析式；
①将x＝﹣2和﹣1分别代入函数解析式求出对应的数值；
②在平面直角坐标系中描点，用平滑曲线从左到右顺次连接各点，画出图象；
（2）解决问题：
①观察图象，得出结论；
②画出直线y＝﹣x+3，结合图象即可求得．
［答案详解］解：（1）∵y1＝x+1，y2＝x﹣1，
∴y＝y1 y2＝（x+1）（x﹣1）＝x3﹣1，
∴该函数解析式为y＝x3﹣1，
故答案为：y＝x3﹣1，
①当x＝﹣2时，y＝×（﹣8）﹣1＝﹣2，当x＝﹣1时，y＝×（﹣1）﹣1＝﹣，
故m＝﹣2，n＝﹣，
故答案为﹣2，﹣；
②根据上表在平面直角坐标系中描点，画出当x≤0时的函数图象．
（2）①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；由图象可知则y1＜y2；
故答案为＜；
②由图象可知关于x的方程y1 y2＝﹣x+3的近似解为2.4．
［经验总结］本题考查了一次函数的图象与性质，图象法求一元二次方程的近似值，列表，画函数图象，观察函数图象．
16、［2019·较易］某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝ ．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
［思路分析］（1）把x＝0.5代入函数解析式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）观察函数图象，得到函数y＝|x2﹣2x|的图象当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与直线y＝交点个数即可得到结论；
②画出直线y＝﹣x+1，根据题意和表格即可求得．
［答案详解］解：（1）把x＝﹣0.5代入y＝|x2﹣2x|，
得y＝|0.52﹣2×（﹣0.5）|＝1.25，
即m＝1.25，
故答案为：1.25；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：当x＞2时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x＝有4个交点，所以对应的方程|x2﹣2x|＝ 4个实数根．
故答案为4；
②如图，
由图象和表格可知方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为0.4，
故答案为0.4．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
17、［2022·中］已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
［思路分析］（1）将（2，4）代入解析式求解．
（2）由判别式Δ的符号可判断抛物线与x轴交点个数．
［答案详解］解：（1）将（2，4）代入y＝x2+mx+m2﹣3得4＝4+2m+m2﹣3，
解得m1＝1，m2＝﹣3，
又∵m＞0，
∴m＝1．
（2）∵m＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝12+8＝9＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
18、［2022·中］已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，过点D作CD的垂线交抛物线于M，N，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作x轴的垂线交MN于点F，以CD和DF为边作矩形CDFG，当点G恰好在抛物线上时，求点E的坐标．
［思路分析］（1）将点A和点B的坐标分别代入函数解析式求得a与b，从而得到函数解析式；
（2）过点F作FG⊥y轴于点G，再由“K型”相似证明△HGC∽△COD，然后结合相似三角形的性质求出点G的坐标，再由矩形的性质得到点F的横坐标，从而得到点E的坐标．
［答案详解］（1）解：将点A（﹣1，0），B（4，0）代入函数解析式得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵对称轴为x＝﹣＝，
∴D（，0），OD＝，
∵x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
过点G作HG⊥y轴于H，则∠CHG＝∠COD＝90°，
∴∠GCH+∠OCD＝90°，∠OCD+∠ODC＝90°，
∴∠GCH＝∠ODC，
∴△HGC∽△COD，
∴＝，
∴＝＝＝，
设点G（x，﹣x2+x+2），则GH＝x，
∴CH＝GH＝x，
∴x+2＝﹣x2+x+2，
解得：x＝0（舍）或x＝，
∴点G（，），GH＝，HC＝，
∵四边形CDEF是矩形，
∴CG＝DF，
∴点F的横坐标为+＝3，
∴点E的横坐标为3，
∴点E的坐标为（3，2）．
［经验总结］本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、矩形的性质，解题的关键是结合图形与相关的性质进行思考题目．
19、［2022·中］如图，抛物线y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l过点Q（﹣2，0），与抛物线y1交于点P．
（1）直接写出线段AB的长，并用含a的式子将抛物线y1的对称轴表示出来；
（2）将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，向右平移n﹣1（n为正整数）个单位得到抛物线yn，抛物线y2与直线l交于点Q．
①直线l与所有抛物线的交点个数为 个，所有抛物线的顶点所在直线是 ；
②抛物线yn与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．
［思路分析］（1）利用抛物线的解析式求得点A，B的坐标，利用二次函数的性质解答即可；
（2）①利用抛物线平移的性质解答即可；
②利用待定系数法求得a值，进而利用解析式求得点P，R的坐标，利用已知条件列出关于n的方程，解方程即可求得结论．
［答案详解］解：（1）令y1＝0，则（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝0，
解得：x＝a或x＝a+4，
∵点A在点B的左侧，
∴A（a，0），B（a+4，0）．
∴AB＝（a+4）﹣a＝4；
抛物线y1的对称轴为直线；
（2）①∵y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）＝（x﹣a﹣2）2﹣4，
∴抛物线y1的顶点为（a+2，﹣4），
∵将抛物线y1向右平移所得的抛物线的顶点的纵坐标不变且相互平行，
∴直线l与所有抛物线都有一个交点，所有的抛物线的顶点的纵坐标均为﹣4，
∴直线l与所有抛物线的交点个数为n个，所有抛物线的顶点所在直线是y＝﹣4，
故答案为：n，y＝﹣4；
②由抛物线y2与l交于点Q（﹣2，0），
得a+1＝﹣2，
∴a＝﹣3
∴，
∴，
∴点P（﹣2，﹣3），点R（﹣2，n2﹣4）．
∴RP＝（n2﹣4）+3＝n2﹣1，
∵四边形PARB的面积＝AB PR＝70，
即：，
解得：n1＝6，n2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴n的值为6．
［经验总结］本题主要考查了抛物线的性质，抛物线与x轴的交点，抛物线的对称轴，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
20、［2022·中］已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
［思路分析］（1）先根据判别式的值得到Δ＝1，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先解方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据OA+OB＝5得出|k|+|k+1|＝5，再根据绝对值的意义取绝对值求k的值即可．
［答案详解］（1）证明：∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0，
∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：由x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0，
解得：x1＝k，x2＝k+1，
∴A（k，0），B（k+1，0），
∵OA+OB＝5，
∴|k|+|k+1|＝5，
①当k＜﹣1时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k﹣（k+1）＝5，
解得：k＝﹣3；
②当﹣1≤k＜0时，|k|+|k+1|＝5变为﹣k+k+1＝5，
此方程无解；
③当k≥0时，|k|+|k+1|＝5变为k+k+1＝5，
解得：k＝2．
综上所述，k的值为﹣3或k＝2．
［经验总结］本题考查了抛物线与x轴的交点和绝对值的意义，解题关键是求出一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的两个根．3.7 二次函数与一元二次方程
— 易错精选 —
一、选择题
1、［2021·较易］二次函数y＝ax2﹣6x+3的图象与x轴有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜3 B．a＜3且a≠0 C．a＞3 D．a≥3
2、［2021·较易］已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
3、［2021·较易］二次函数y＝﹣x2+2x+1与坐标轴交点情况是（ ）
A．一个交点 B．两个交点 C．三个交点 D．无交点
4、［2021·较易］若关于x的一元二次方程（x﹣5）（x﹣6）＝m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①；②x1＝5，x2＝6；③二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（5，0）和（6，0）．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5、［2021·较易］如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；②b＝a+c；③8a+c＜0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的实数），其中结论正确的是（ ）
A．①②④⑤ B．①②③④ C．①③⑤ D．②③④⑤
6、［2021·较易］二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的所有解的积为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣5 D．5
二、填空题
7、［2022·较易］二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c实常数，且a≠0）的函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 …
y … m 2 2 n …
且当时，对应的函数值y＜0．有以下结论：①abc＞0；②m+n＜；③关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；④P1（t﹣1，y1）和P2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数t＞时，y1＞y2．其中正确的结论是 ．
8、［2022·较易］已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧）．点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，c）．其中2≤c≤3．对称轴为直线x＝1，现有如下结论：①2a+b＝0；②当x≥3时，y＜0；③这个二次函数的最大值的最小值为；④，其中正确结论的序号是 ．
9、［2021·较易］已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的坐标为（m，0），则代数式m2﹣m+2021的值为 ．
10、［2021·较易］已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是1和﹣3，若二次函数y＝ax2+bx+c+m（m＞0）与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是 ．
11、［2021·较易］如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是 ．
12、［2021·较易］如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为（0，3），它的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①c＝3；②2a+b＝0；③a﹣b+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0的其中一个根在2，3之间，正确的有 （填序号）．
13、［2021·较易］抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的顶点是（﹣2，3），与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间．下列四个结论：①abc＜0；②一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的一个根在0和1之间；③点P1（﹣7，y1），P2（π，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④b2+2b＞4ac．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题
14、［2021·较易］在初中阶段的函数学习中，我们经历的“确定函数的表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数图象解决问题“的学习过程．九年级数学共同体的同学根据学习函数的经验．通过列表、描点、连线的方法研究了函数y＝﹣3的相关性质和应用．以下是研究的部分过程，请你按要求完成下列问题．
（1）列表：下表列出x、y的部分对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣ ﹣ ﹣ ﹣1 3 b ﹣ ﹣ ﹣ …
根据表格中的数据计算出：a＝ ，b＝ ；
（2）根据上表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中已经描出部分点的位置，请继续通过描点、连线的方法．画出该函数图象，并写出该函数的一条性质： ；
（2）已知函数y＝x+的图象如图所示，结合你画的图象．直接写出方程 ＝x+的解．（保留1位小数，误差不超过0.2）
15、［2019·较易］已知函数y＝y1 y2，其中y1＝x+1，y2＝x﹣1，请对该函数及其图象进行如下探究：
解析式探究：根据给定的条件，可以确定出该函数的解析式为： ；
函数图象探究：①根据解析式，完成下表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y ﹣9 ﹣ m n ﹣1 ﹣ …
m＝ n＝ ；
②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出当x≤0时的函数图象；
结合画出的函数图象，解决问题：
①若A（x1，y1）、B（x2，y2）为图象上的两点，满足x1＜x2；则y1 y2（用＜、＝、＞填空）；
②写出关于x的方程y1 y2＝﹣x+3的近似解（精确到0.1）．
16、［2019·较易］某班数学兴趣小组对函数y＝|x2﹣2x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整：
（1）自变量x的取值范围取足全体实数，x与y的几组对应值列表如下：其中m＝ ．
x …… ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ……
y …… 3 m 0 0.75 1 0.75 0 1.25 3 ……
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出函数的一条性质 ；
（4）进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2﹣2x|＝有 个实数根；
②在（2）问的平面直角坐标系中画出直线y＝﹣x+1，根据图象写出方程|x2﹣2x|＝﹣x+1的一个正数根约为 ．（精确到0.1）
17、［2022·中］已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）．
（1）求m的值；
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
18、［2022·中］已知抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，过点D作CD的垂线交抛物线于M，N，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作x轴的垂线交MN于点F，以CD和DF为边作矩形CDFG，当点G恰好在抛物线上时，求点E的坐标．
19、［2022·中］如图，抛物线y1＝（x﹣a）（x﹣a﹣4）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l过点Q（﹣2，0），与抛物线y1交于点P．
（1）直接写出线段AB的长，并用含a的式子将抛物线y1的对称轴表示出来；
（2）将抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，向右平移2个单位得到抛物线y3，向右平移n﹣1（n为正整数）个单位得到抛物线yn，抛物线y2与直线l交于点Q．
①直线l与所有抛物线的交点个数为 个，所有抛物线的顶点所在直线是 ；
②抛物线yn与直线l交于点R，若四边形PARB的面积为70，求n的值．
20、［2022·中］已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线y＝x2﹣（2k+1）x+k2+k与x轴相交于A、B两点，当OA+OB＝5时，求k的值．
