3.6 二次函数的应用
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一、选择题
1、［难］在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］（1）说法①错误．如答图1，设点A关于y轴的对称点为A′，若结论①成立，则可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP＝∠PBO．而∠AOP是△PBO的外角，∠AOP＞∠PBO，由此产生矛盾，故说法①错误；
（2）说法②错误．如答图2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）＝16为定值，故错误；
（3）说法③正确．联立方程组，求得点A、B坐标，进而求得BP、BO、BA，验证等式BP2＝BO BA成立，故正确；
（4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB＝2，当k＝0时，取得最小值为4，故正确．
［答案详解］解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y＝x2﹣2与y＝kx得：x2﹣2＝kx，即x2﹣3kx﹣6＝0，
∴m+n＝3k，mn＝﹣6．
设直线PA的解析式为y＝ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，
解得a＝，b＝﹣4，
∴y＝（）x﹣4．
令y＝0，得x＝，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y＝（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）．
∵+＝＝＝0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA＝OA′，∠POA＝∠POA′．
假设结论：PO2＝PA PB成立，即PO2＝PA′ PB，
∴＝，
又∵∠BPO＝∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′＝∠PBO，
∴∠AOP＝∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：＝﹣，
∴OB＝﹣OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴＝，
∴PB＝﹣PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝（PA+AO）[﹣PA﹣（﹣OA）]＝﹣（PA+AO）（PA﹣OA）＝﹣（PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD＝﹣km，PD＝4+km．
∴PA2﹣AO2＝（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）＝PD2﹣OD2＝（4+km）2﹣（﹣km）2＝8km+16，
∵m+n＝3k，∴k＝（m+n），
∴PA2﹣AO2＝8 （m+n） m+16＝m2+mn+16＝m2+×（﹣6）+16＝m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝﹣（PA2﹣AO2）＝﹣ m2＝﹣mn＝﹣×（﹣6）＝16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k＝﹣时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1），
∴BP2＝12，BO BA＝2×6＝12，
∴BP2＝BO BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB＝S△PAO+S△PBO＝OP （﹣m）+OP n＝OP （n﹣m）＝2（n﹣m）＝2＝2，
∴当k＝0时，△PAB面积有最小值，最小值为2＝4．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选：B．
［经验总结］本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中PA、PB的对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用．
2、［中］如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝；
②抛物线的最大值为；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
［思路分析］用待定系数法求出函数的解析式即可对①②进行判断；利用勾股定理对③进行判断即可；求出直线AC的解析式，设P（t，﹣t+2），再利用两点间距离公式求出OP的最大值即可．
［答案详解］解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2）代入，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+2，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，
故①正确；
当x＝时，抛物线有最大值，
故②不正确；
∵B（﹣1，0），A（4，0），C（0，2），
∴AB＝5，AC＝2，BC＝，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB＝90°，
故③正确；
设直线AC的解析式为y＝kx+m，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+2，
设P（t，﹣t+2），
∴OP＝，
∴当t＝时，OP有最小值为，
故④正确；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数求函数的解析式是解题的关键．
3、［中］某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝24m；
②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
［思路分析］根据图象可以判断①；设出池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，再把（15，0）代入解析式求出a即可判断②；把x＝12代入解析式求出y＝﹣1.8，再用5﹣1.8即可判断③；把x＝6代入解析式即可判断④．
［答案详解］解：①观察图形可知，AB＝30m，
故①错误；
②设池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5，
将（15，0）代入，可得a＝，
故抛物线的解析式为y＝x2﹣5；
故②正确；
③∵y＝x2﹣5，
∴当x＝12时，y＝﹣1.8，
故池塘最深处到水面CD的距离为5﹣1.8＝3.2（m），
故③错误；
④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12 m时，
将x＝6代入y＝﹣x2﹣5，得y＝﹣4.2，
可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m），
即为原来的，
故④正确．
故选：B．
［经验总结］本题考查抛物线的实际应用，体现了数学建模、数学抽象、数学运算素养．
4、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
［思路分析］分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．
［答案详解］解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；
A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；
同理可知C点路线优于A点路线，
综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：B．
［经验总结］本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．
5、［中］如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
［思路分析］据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．
［答案详解］解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，
∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，
∴BC＝BE＝5，
∴AD＝BE＝5，故①小题正确；
又∵从M到N的变化是2，
∴ED＝2，
∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，
∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；
过点P作PF⊥BC于点F，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠PBF，
∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，
∴PF＝PBsin∠PBF＝t，
∴当0＜t≤5时，y＝BQ PF＝t t＝t2，故③小题正确；
当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，
PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，
∵＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠Q＝90°，
∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．
综上所述，正确的有①③④．
故选：C．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．
6、［中］定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
［思路分析］由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．
［答案详解］解：直线l：y＝x+b经过点M（0，），则b＝；
∴直线l：y＝x+．
由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；
∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．
∵0＜d＜1，
∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；
∵当x＝1时，y1＝×1+＝＜1，
当x＝2时，y2＝×2+＝＜1，
当x＝3时，y3＝×3+＝＞1，
∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．
①若B1为顶点，由B1（1，），则d＝1﹣＝；
②若B2为顶点，由B2（2，），则d＝1﹣[（2﹣）﹣1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．
故选：B．
［经验总结］考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．
7、［中］已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
［思路分析］根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
［答案详解］解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
8、［中］我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
［思路分析］观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
［答案详解］解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故A正确，不符合题意；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，故B正确，不符合题意；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故C正确，不符合题意；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故D错误，符合题意，
故选：D．
［经验总结］本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
9、［中］已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
［思路分析］将m＝2，x＝2代入解析式可判定①，将x＝1代入解析式可得y＝0，可判断②，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断③，由m的取值范围可判断抛物线对称轴的位置，从而判断④．
［答案详解］解：当m＝2时，y＝x2﹣4x+3，
将x＝2代入y＝x2﹣4x+3得y＝4﹣8+3得y＝﹣1，
∴（2，﹣1）在抛物线上，①错误．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1＝x2﹣2x﹣mx+m+1＝x2﹣2x﹣m（x﹣1）+1，
∴当x＝1时，y＝1﹣2+1＝0，
∴抛物线经过定点（1，0），
∴②正确．
∵y＝x2﹣（m+2）x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1+，
当m＞0时，1+＞1，
∴当x＞1+时，y随x增大而增大，③错误．
点A（﹣3，0），B（1，0）关于直线x＝﹣1对称，
当﹣4≤m＜0时，﹣1≤1+＜1，
∴抛物线对称轴在直线x＝﹣1与点B之间，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与线段AB有2个交点，④正确．
故答案为：②④．
［经验总结］本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10、［中］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
［思路分析］设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，根据矩形的面积公式列出S关于x的函数关系式，配方成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
［答案详解］解：设矩形场地的一边长为xm，则另一边长为（40﹣x）m，
所以S＝x（40﹣x）
＝﹣x2+40x
＝﹣（x﹣20）2+400，
∵﹣1＜0，
∴x＝20时，S取得最大值，最大值为400，
答：当x＝20m时，矩形场地的面积S最大；
故答案为：20．
［经验总结］本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据题意表示出另一边长是根本，将长乘以宽得出面积并配方找最大值是关键．
11、［中］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
［思路分析］根据函数图象上的坐标的特征求得A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；然后由两点间的距离公式求得A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，…AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；最后将其代入求值即可．
［答案详解］解：根据题意，知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x＝i（i＝1、2、…、n）的图象上，
B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x＝i（i＝1、2、…、n）图象上，
∴A1（1，）、A2（2，2）、A3（3，）…An（n，n2）；
B1（1，﹣）、B2（2，﹣1）、B3（3，﹣）…Bn（n，﹣）；
∴A1B1＝|﹣（﹣）|＝1，
A2B2＝|2﹣（﹣1）|＝3，
A3B3＝|﹣（﹣）|＝6，
…
AnBn＝|n2﹣（﹣）|＝；
∴＝1，
＝，
…
＝．
∴，
＝1++…+，
＝2[+++…+]，
＝2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣），
＝2（1﹣），
＝．
故答案为：．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合题．解答此题的难点是求＝1++…+的值．在解时，采取了“裂项法”来求该数列的和．
12、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
［思路分析］飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
［答案详解］解：由题意，
s＝﹣1.5t2+60t，
＝﹣1.5（t2﹣40t+400﹣400）
＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
即当t＝20秒时，飞机才能停下来．
故答案是：20．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得t＝20时，s取最大值．
13、［中］已知，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ．
［思路分析］把x＝0代入y＝x+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y＝x+2与y＝﹣x联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，依据抛物线的顶点在直线y＝﹣x上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x﹣h）2﹣h，最后，求得当抛物线恰好与菱形的边AB、BC都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围．
［答案详解］解：把x＝0代入y＝x+2得：y＝2，
∴A（0，2）．
将y＝x+2与y＝﹣x联立，解得：x＝﹣2，y＝1，
∴B（﹣2，1）．
∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上，
∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且k＝﹣h．
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2﹣h．
如图1所示：
当抛物线经过点C（O）时，抛物线恰好与BC、AB均有交点，
将点C（0，0）代入y＝（x﹣h）2﹣h得：h2﹣h＝0，解得h＝0（舍去）或h＝．
如图2所示：当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BC、AB均有交点
此时点B恰好为抛物线的顶点，
∴h＝﹣2．
∴当﹣2≤h≤时，抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点．
故答案为：﹣2≤h≤．
［经验总结］本题主要考查的是二次函数的应用，解答本题主要应用了函数与方程的关系，求得抛物线与菱形的边AB、BC恰好都有公共点时h的值是解题的关键．
14、［中］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
［思路分析］根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离．
［答案详解］解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25，
x2﹣5x+4＝0，
（x﹣1）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝1，x2＝4，
故他距篮筐中心的水平距离OH是4m．
故答案为：4．
［经验总结］此题考查二次函数的运用，根据所建坐标系确定水平距离的求法是此题关键．
15、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序号）．
［思路分析］利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
［答案详解］解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2．
∴﹣＝2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如下图：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
［经验总结］本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
16、［中］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
［思路分析］先设抛物线的解析式为y＝ax2，设出点D坐标（5，b），继而得出B（10，b﹣3），代入解析式后可求解得出抛物线的解析式，由b的值可得水面CD到拱顶的距离，进而求出时间
［答案详解］解：设抛物线的解析式为y＝ax2，
设D（5，b），则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得，
∴y＝﹣x2；
∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1，
1÷0.2＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
故答案为：5．
［经验总结］本题考查二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题
17、［中］某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克） … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
［思路分析］（1）描点，用平滑曲线连接这些点即可得出函数图象是一次函数，待定系数法求解可得；
（2）①根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
②根据题意列方程，解方程即可得到结论．
［答案详解］解：（1）如图，
设y＝kx+b，
把（20，30）和（25，25）代入y＝kx+b中得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+50；
（2）①w＝（x﹣18）（﹣x+50）＝﹣x2+68x﹣900＝﹣（x﹣34）2+256，
∵﹣1＜0，
∴当x＝34时，w有最大值，
即超市每天销售这种商品获得最大利润时，销售单价为34元；
②当w＝240时，﹣（x﹣34）2+256＝240，
（x﹣34）2＝16，
∴x1＝38，x2＝30，
∵超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，
∴x＝30．
［经验总结］本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
18、［中］如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，已知点P（0，﹣3）．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝2，
①求该抛物线的解析式和顶点C的坐标；
②将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移n（n＞0）个单位长度，使顶点C落在点E处，平移后的抛物线与y轴交于点D．若CE＝CD，求n的值．
（2）当b≥6，0≤x≤3时，函数值y的最大值满足0≤y≤12，求b的取值范围．
［思路分析］（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式，由配方法可求出点C的坐标；
②由题意得出CE＝n，D（0，n﹣3），由CD＝CE可得出关于n的方程，解方程可得出答案；
（2）当b≥6时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤3时，函数的增减性，从而得到当x＝3时，函数取最大值，再根据函数值y的最大值满足0≤y≤12，列出不等式组解答即可．
［答案详解］解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于P（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝，
∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，
则＝2，解得：b＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴顶点C的坐标为（2，1）；
②∵将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移n（n＞0）个单位长度，使顶点C落在点E处，
∴CE＝n，D（0，n﹣3），
∵C（2，1），
∴CD2＝22+（n﹣4）2，
∴22+（n﹣4）2＝n2，
∴n＝；
（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝﹣，
∴当b≥6时，x＝≥3，
∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，
∴当0≤x≤3时，取x＝3，y有最大值，
∴y最大值＝﹣9+3b﹣3＝3b﹣12，
∵函数值y的最大值满足0≤y≤12，
∴0≤3b﹣12≤12，
解得：4≤b≤8，
又∵b≥6，
∴6≤b≤8．
［经验总结］本题考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质，勾股定理的应用，平移的性质，二次函数最值问题，二次函数增减性应用等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质、平移的性质等相关知识，灵活运用数形结合思想、方程思想解决问题．
19、［中］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
［思路分析］（1）求出B（60，2），用待定系数法即得y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）分两种情况：当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210，当60＜x≤80时，；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，可得当x＝50时，W取最大值为40（万元），当60＜x≤80时，W＝+70，当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元）．
［答案详解］解：（1）在y＝中，令x＝60，得，
∴B（60，2），
∴当30≤x≤60时，设y＝kx+b，图象过（60，2）和（30，5）
∴，
解得：
∴y＝﹣0.1x+8（30≤x≤60）；
（2）根据题意，当30≤x≤60时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣50＝﹣0.1x2+10x﹣210，
当60＜x≤80时，W＝（x﹣20）y﹣50＝（x﹣20）×﹣50＝﹣+70，
综上所述：W＝；
（3）当30≤x≤60时，W＝﹣0.1x2+10x﹣210＝﹣0.1（x﹣50）2+40，
当x＝50时，W取最大值为40（万元），
当60＜x≤80时，W＝+70，
∵﹣2400＜0，W随x的增大而增大，
∴当x＝80时，W取最大值为﹣+70＝40（万元），
综上所述，当x＝50或x＝80 时，获得的利润最大，最大利润是40万元，
答：当销售价格定为50元/件或80元/件，获得利润最大，最大利润是40万元．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，求二次函数最大值等，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
20、［中］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
［思路分析］（1）设日销售量p（盒）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，把（1，78），（2，76）代入求出即可；
（2）设日销售利润为w元，根据销售利润＝售价﹣成本列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）先求出前20天最高日销量和最高日售价，再根据题意列出方程，解方程即可．
［答案详解］解：（1）设日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝kx+b，
把（1，78），（2，76）代入得：，
解得：，
即日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80；
（2）设日销售利润为w元，
w＝（﹣2x+80）（x+25﹣20）＝﹣（x﹣10）2+450；
∵﹣＜0，1≤x≤20，且x为整数，
∴当x＝10时，w取得最大值，最大值是450；
∴在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
（3）∵日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式为p＝﹣2x+80（1≤x≤20，且x为整数），
∴前20天最高日销售量为x＝1时，即p＝78（盏），
∵销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
∴前20天最高日销售量为当x＝20时，即y＝30元，
由题意得：（30﹣a﹣20）（78+7a）﹣450＝30，
解得：a1＝6，a2＝﹣（舍去），
∴a的值为6．
［经验总结］本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，即用所学的数学知识来解决实际问题．
21、［中］某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？
［思路分析］（1）根据题意可知点P所表示的实际意义，列算式求出每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少多少kg；
（2）先求出A点坐标，再求出y与x之间的函数关系式，再求出自变量x的取值范围；
（3）根据题意写出二次函数解析式，根据其性质，求出当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大，及最大产量是多少．
［答案详解］解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，
（75﹣66）÷（28﹣10）＝，
∴每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg，
故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，kg；
（2）
设在10棵的基础上增种m棵，
根据题意可得m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣，b＝80，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+80；
自变量x的取值范围：0≤x≤80；
（3）设增种果树a棵，
W＝（60+a）（﹣0.5a+80）
＝﹣0.5a2+50a+4800，
∵﹣0.5＜0，
∴a＝﹣＝50，
W最大＝6050，
∴当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，掌握用待定系数法求二次函数解析式，用二次函数的性质求出最大产量是解题关键．
22、［中］打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
［思路分析］（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式，根据图象可得x的取值范围即可；
（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润．
［答案详解］解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100的小数位数只有一位且小数部分为偶数的数）；
（2）设销售利润为w元，
w＝（x﹣50）（﹣5x+500）＝﹣5x2+750x﹣25000＝﹣5（x﹣75）2+3125，
∵抛物线开口向下，
∴50＜x＜100，
∴当x＝75时，w有最大值，是3125，
∴当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3125元．
［经验总结］本题考查了一次函数的应用，二次函数的最值问题，在本题中，还需注意的是自变量的取值范围．
23、［中］某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
x（天） 1 2 3 …
y（元） 96 100 104 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元；
①该厂第几天的利润为15600元？
②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围．
［思路分析］（1）根据题意和表格中的数据可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）①根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
②根据题意列出不等式，根据函数性质求n的取值范围．
［答案详解］解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c，
由（1，96），（2，100），（3，104）得，，
解得：，
∴y＝4x+92；
（2）①w＝[160﹣（4x+92）]（50x+100）＝﹣200x2+3000x+6800＝﹣200（x﹣）2+18050，
令w＝15600，
即﹣200（x﹣）2+18050＝15600，
解得x＝4或x＝11（舍），
∴第4天的利润为15600元；
②由题意得：
w＝（160﹣y﹣n）m
＝[160﹣（4x+92）﹣n]（50x﹣100）
＝﹣200x2+（3000﹣50n）x+6800﹣100n，
对称轴x＝﹣＝，
∵工厂若想在第6天获得最大利润，
∴≤≤，解得：8≤n≤16，
∴n的取值范围为8≤n≤16．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确得出关系式是关键．
24、［中］某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
［思路分析］（1）根据表中数据可以求出每件进价；设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据利润＝单件×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；
（3）进价提高4元，根据利润＝单件×销售量列出函数解析式，再根据m的取值分情况讨论函数的最值．
［答案详解］解：（1）由表中数据知，每件商品进价为：40﹣2400÷120＝20（元），
∴每件进价 20元；
设一次函数解析式为y＝kx+b，
根据题意，得，
解得：k＝﹣2，b＝100，
所以y与x的函数表达式为y＝﹣2x+200；
故答案为：20，y＝﹣2x+200；
（2）由题意，得w＝（﹣2x+200）（x﹣20）＝﹣2x2+240x﹣4000＝﹣2（x﹣60）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝60时，w有最大值，最大值为3200，
∴当每件售价为60元时，周销售利润w最大，最大利润为3200元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣20﹣4）（﹣2x+200）＝﹣2x2+248x﹣4800＝﹣2（x﹣62）2+2888，
∵﹣2＜0，对称轴为x＝62，24≤x≤m，
∴当50＜m＜62时，周销售最大利润为﹣2m2+248m﹣4800，
当m≥62时，周销售最大利润为2888元．
［经验总结］本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．3.6 二次函数的应用
— 能力提升 —
一、选择题
1、［难］在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、［中］如图，已知抛物线经过点B（﹣1，0），A（4，0），与y轴交于点C（0，2），P为AC上的一个动点，则有以下结论：
①抛物线的对称轴为直线x＝；
②抛物线的最大值为；
③∠ACB＝90°；
④OP的最小值为．
则正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④
3、［中］某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论：
①AB＝24m；
②池底所在抛物线的解析式为y＝﹣5；
③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m；
④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，
则最深处到水面的距离减少为原来的．
其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．①④
4、［中］在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q
5、［中］如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④
6、［中］定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn） （n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（ ）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A．或 B．或 C．或 D．
7、［中］已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2；
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
8、［中］我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），下列结论错误的是（ ）
A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1
B．当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大
C．当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0
D．当x＝1时，函数的最大值是4
二、填空题
9、［中］已知抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+2）x+m+1（m为常数），则下列说法正确的是 ．
①当m＝2时，点（2，1）在抛物线上；
②对于任意的实数m，x＝1都是方程x2﹣（m+2）x+m+1＝0的一个根；
③若m＞0，当x＞1时，y随x的增大而增大；
④已知点A（﹣3，0），B（1，0），则当﹣4≤m＜0时，抛物线与线段AB有两个交点．
10、［中］用总长为80m的篱笆围成一个面积为Sm2的矩形场地，设矩形场地的一边长为xm，则当x＝ m时，矩形场地的面积S最大．
11、［中］如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝ ．
12、［中］飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s＝﹣1.5t2+60t，飞机着陆后滑行 秒才能停下来．
13、［中］已知，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点在直线y＝﹣x上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是 ．
14、［中］如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 m．
15、［中］已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序号）．
16、［中］如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米．若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升，则再持续 小时水位才能到拱桥顶．
三、解答题
17、［中］某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）有如下表所示的关系：
销售单价x（元/千克） … 20 22.5 25 37.5 40 …
销售量y（千克） … 30 27.5 25 12.5 10 …
（1）根据表中的数据在如图中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点，请用所学知识求出y关于x的函数关系式；
（2）设该超市每天销售这种商品的利润为w（元）（不计其它成本）．
①求出w关于x的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求w＝240（元）时的销售单价．
18、［中］如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点P，已知点P（0，﹣3）．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝2，
①求该抛物线的解析式和顶点C的坐标；
②将抛物线y＝﹣x2+bx+c向上平移n（n＞0）个单位长度，使顶点C落在点E处，平移后的抛物线与y轴交于点D．若CE＝CD，求n的值．
（2）当b≥6，0≤x≤3时，函数值y的最大值满足0≤y≤12，求b的取值范围．
19、［中］某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件的生产成本为20元，销售价格在30元/件至80元/件之间（含30元/件和80元/件），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求出该种产品从生产到销售完，获得的利润w（万元）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
（3）当销售价格定为多少元/件时，获得的利润最大？最大利润是多少？
20、［中］小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型LED护眼台灯，成本是20元/盏，在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量p（盏）与时间x（天）之间满足一次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏．护眼台灯的销售价格y（元/盏）与时间x（天）之间符合函数关系式y＝x+25（1≤x≤20，且x为整数）．
（1）求日销售量p（盏）与时间x（天）之间的函数关系式；
（2）在这20天中，哪天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）“双十一”当天，小亮采用如下促销方式：销售价格比前20天中最高日销售价格降低a元；日销售量比前20天最高日销售量提高了7a盏；日销售利润比前20天中的最大日销售利润多了30元，求a的值．
注：销售利润＝售价﹣成本．
21、［中］某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 ，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？
22、［中］打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y（盒）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润．
23、［中］某加工厂收到一批热销产品订单，要求在10天内完成，若该产品的出厂价为每件160元，第x天（x为正整数）的每件生产成本为y元，y与x的对应关系如表（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
x（天） 1 2 3 …
y（元） 96 100 104 …
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）统计发现该厂每天生产的件数m＝50x+100，设该厂每天的利润为W元；
①该厂第几天的利润为15600元？
②若该厂每生产一件产品就捐n元给“红十字基金组织”（n＞0），工厂若想在第6天获得最大利润．求n的取值范围．
24、［中］某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的两组对应值如表：
售价x（元/件） 40 50
周销售量y（件） 120 100
周销售利润w（元） 2400 3000
注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
（1）每件商品的进价为 元/件，y与x的函数关系式为 （不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当每件商品售价x为多少元时，周销售利润w最大？并求出此时的最大利润；
（3）若该商品每件进价提高了4元，其每件售价不超过m元（m是大于50的常数，且是整数），该商店在销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，直接写出周销售的最大利润．
