19.1 多边形内角和
多边形
一、教学目标
1.了解多边形及有关概念（边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形）.
2.经历类比三角形有关概念探究多边形的过程，感悟类比方法的价值.
3.通过对多边形的学习，体会数学知识之间的联系，提高分析和解决问题的能力.
4.通过从具体情境中识别出多边形，感受数学与生活的联系.
二、教学重难点
重点：多边形及其相关概念.
难点：多边形对角线的概念及其与边数之间的关系.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【观察思考】 你能从图中找出一些由线段围成的图形吗？ 观察这些图形有什么共同特点？ 都是由一些线段首尾顺次相接组成的. 观看图片，思考问题 通过观察图片，让学生从具体情境中抽象出图形，丰富学生对几何图形的感性认识.
环节二 探究新知 【思考】 问题1：能否类比三角形的定义给它们下定义？ 教师引导学生回忆三角形的概念，并让学生类比三角形的概念说出多边形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 多边形的概念 在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 教师强调“在同一平面内”，并举出实例加深印象. 追问1：在三角形中我们研究了内角、外角，类似地，你能结合下图指出它的内角和外角吗？ 教师给出多边形的内角和外角的概念 多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.简称多边形的角. 在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 追问2：三角形由三条线段首尾顺次相接组成，所以叫做三角形，那么我们能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行分类呢？ 教师引导学生根据多边形的边数对多边形进行分类，并说出上面多边形的名称 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形. 问题2：你能说出下面两个多边形的不同点吗？ 教师引导学生找出两个图形的不同点 引出凸多边形的概念 一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形. 问题3：能否将多边形分成我们熟悉的三角形？ 引出对角线的概念 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 【追问】画出五边形的所有对角线，一共有几条？ 类比三角形的概念试着给出多边形的概念. 画出多边形的内、外角，并熟悉内角、外角的概念. 思考并回答问题 认真观察图形，讨论并找出不同点，并动手画一画，理解凸多边形的概念 动手操作，并思考回答. 通过类比三角形的定义给出多边形的定义，感悟类比方法的重要性.并通过让学生举例加深对多边形概念的理解. 参考三角形的内角、外角画出五边形的内、外角，从熟悉的图形入手，让学生感知数学知识之间的联系，并熟悉内、外角的概念. 类比三角形对多边形进行分类，让学会感知类比方法的价值. 通过观察图形找出不同点，让学生深刻理解凸多边形的概念. 通过将多边形分成熟悉的三角形引出对角线的概念，为后面研究多边形作铺垫. 让学生经历画对角线的过程，进一步熟悉对角线的概念，为后面研究多边形对角线作铺垫.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例 n 边形有多少条对角线？ 分析：先分析从一个顶点出发可以画出(n－3)条对角线，且顶点个数是n，得到n(n－3)；我们还知道每条对角线连接多边形的两个顶点，因此还要除以2，即n边形的对角线条数可以表示为. 答案：n边形有条对角线. 分组讨论，并说出推理过程和结论 通过自主探究的形式讨论分析问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.若一个多边形从一个顶点出发可引出5条对角线，则这个多边形是______边形． 2.一个n边形从一个顶点出发，连接各顶点，可以得到______个三角形． 3.n边形的对角线条数为______条． 答案：1.八 2.n－2 3. 学生自主练习 通过课堂练习巩固本节课所学内容，尤其是对角线相关问题，为后一课时要学的内容作铺垫.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第74页习题19.1第5、6题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.(共14张PPT)
19.1 多边形内角和
多边形
学习目标
多边形
准备好了吗？一起去探索吧！
1.了解多边形及有关概念(边、顶点、内角、外角、对角线、凸多边形)；
2.经历类比三角形有关概念探究多边形的过程，感悟类比方法的价值；
3.通过对多边形的学习，体会数学知识之间的联系，提高分析和解决问题的能力；
4.通过从具体情境中识别出多边形，感受数学与生活的联系.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
你能从图中找出一些由线段围成的图形吗？
观察思考
观察这些图形有什么共同特点？
都是由一些线段首尾顺次相接组成的.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
你能类比三角形的定义给多边形下定义吗？
思考
三角形
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
多边形
在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
不是多边形
组成多边形的线段叫做多边形的边
多边形的边
，相邻两边的公
共端点叫做多边形的顶点.
多边形的顶点
A
B
C
A
B
C
D
E
F
G
H
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
在三角形中我们研究了内角、外角，类似地，你能结合下图指出它的内角和外角吗？
∠A1
内角：
、∠A2
、∠A3
、…、∠An–1
、∠An
∠1是其中一个外角
外角：
1
多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.简称多边形的角.
在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
思考
A1
A2
A3
An–1
An
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
思考
能否按照组成多边形的线段的条数将多边形进行分类呢？
三角形
ABC
四边形ABCD
五边形ABCDE
六边形ABCDEF
八边形ABCDEFGH
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形.
A
B
C
A
B
C
D
E
F
G
H
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
思考
你能说出下面两个多边形的不同点吗？
一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形就是凸多边形.
凸多边形
不是凸多边形
B
A
C
D
B
A
C
D
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
思考
能否将多边形分成我们熟悉的三角形？
A
B
C
D
E
对角线
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
画出五边形的所有对角线，一共有几条？
5条对角线
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
应用新知
n 边形有多少条对角线？
典型例题
合作探究：
1.学生分组探究；
2.学生讲解分析推理过程；
3.教师完善过程并给出结论.
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
应用新知
典型例题
A
B
C
D
A
B
C
D
E
多边形的边数
对角线条数
4
2
5
5
...
...
n
...
A
B
C
D
E
F
6
9
B
A
F
E
D
C
例 n 边形有多少条对角线？
从每个顶点出发可以画(n－3)条对角线；
每条对角线连接多边形的两个顶点.
n(n－3)
2
巩固新知
探究新知
创设情境
应用新知
课堂小结
布置作业
随堂练习
抢答
2.一个n边形从一个顶点出发，连接各顶点，可以得到______个三角形．
1.若一个多边形从一个顶点出发可引出5条对角线，则这个多边形是______边形．
n-2
3.n边形的对角线条数为______条．
八
探究新知
创设情境
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
多边形
多边形及其相关概念：
在平面内，由若干条不在同一条直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
组成多边形的线段叫做多边形的边.
相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.
相邻两边组成的角叫做多边形的内角(角).
在顶点处一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形的分类：
按照边的条数分为：三角形、四边形、五边形、六边形……
n 边形对角线的条数：
布置作业
教科书第74页习题19.1
第5、6题
探究新知
创设情境
应用新知
课堂小结
巩固新知
再见19.1 多边形内角和
多边形的内角和
一、教学目标
1.掌握多边形的内角和与外角和公式，并认识正多边形.
2.经历猜想、探索、推理、归纳等过程，让学生体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法.
3.通过探索并证明多边形的内角和与外角和的过程，引导学生从不同的角度寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力.
4.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程.
二、教学重难点
重点：多边形的内角和与外角和公式.
难点：多边形的内角和与外角和公式的推导.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【观察思考】 观察下面的图，能否从中找出我们上节课学过的多边形？ 浙江金华市兰溪市的诸葛八卦村 你能算出这个多边形的内角和吗？ 观看图片，思考问题 通过观察图片，让学生从具体情境中抽象出图形，丰富学生对几何图形的感性认识，并能从上节课所学的内容引到本节课要学的内容.
环节二 探究新知 【探究】 通过回顾三角形、正方形、长方形的内角和，引出四边形内角和的探究. 提出问题：任意一个四边形的内角和都等于360°吗？ 提示1：能否利用三角形的内角和求出四边形的内角和？ 引导学生分析解决问题的思路—将四边形分割成两个三角形. 得出结论：四边形的内角和都等于360°. 提示2：想想还有其它的方法吗？在四边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD. 同样得出结论：四边形的内角和都等于360°. 追问1：类比上面的过程，你能探索出五边形的内角和吗？ 提示：可以将这个五边形划分成几个三角形. 得出结论：五边形的内角和等于540°. (还可以通过其它的方法探究得出此结论，让学生自由发挥.) 追问2：类比上面的过程，你还能继续探索 n 边形的内角和吗？ 提示：类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格： 根据动画展示，填写表格. 观察表格，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗？ 得出结论：n边形的内角和等于(n2)180°(n为不小于3的整数). 想一想：还有其它的分割方法能探究出多边形的内角和吗？ 分组讨论： 1.学生分组探究； 2.学生展示探究过程； 3.教师完善过程并给出结论. 成果展示： 【思考】 上面研究了多边形的内角和，在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.多边形外角和又有怎样的规律？ 同样，我们还是先从四边形开始探究. 观看课件动画展示，很容易想到：四边形的每一个外角和它相邻的内角互补；四个内角与四个外角的和是180°×4.又知道四边形的内角和：360°，所以四边形的外角和：180°×4 – 360°=360°. 在探究四边形的外角和方法基础上，继续探究n边形的外角和. 同样我们能够得到：n边形的每一个外角和它相邻的内角互补；n个内角与四个外角的和是180°×n.又知道n边形的内角和：(n–2)×180°，所以n边形的外角和：180°×n–(n–2)×180°=360°. 结论：n 边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数). 【想一想】 提出问题：正方形的边、角有什么特点？ 接着给出反例：长方形和平行四边形. 长方形：各个内角都相等，但是各条边不都相等. 平行四边形：各条边都相等，但是各个角不都相等. 追问1：结合前边的分析，你能给出多边形的定义吗？ 预设：多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形. 追问2：下图中各个正多边形分别读作什么？(正多边形的命名) 正多边形的特点：各条边都相等、各个角都相等. 【交流】 三角形具有稳定性，但四边形则具有不稳定性（即各边的长确定后，图形形状不能确定），在日常生活中，四边形的不稳定性，也有较为广泛的应用，例如中活动的铁栅栏门，正是由于四边形可以变动，所以它可以拉开，也可以收拢.你能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？ 学生回答并猜想 说出证明思路及过程 类比连接对角线的方法完成表格，并总结出n边形的内角和定理. 分组讨论交流，并展示交流成果. 学生思考、分析并回答. 类比三角形说出各正多边形的读法 学生思考并回答. 从熟悉的、已知的特例出发，建立起四边形和三角形的联系，为解决一般问题作铺垫. 通过连接对角线将四边形分割成两个三角形求出四边形内角和，渗透将复杂图形化为简单的基本单元的化归思想. 将研究方法进行迁移，明确边数、从一个顶点出发的对角线条数、分割的三角形数、五边形内角和之间的关系，为后面的研究奠定基础. 进一步研究n边形的内角和，引导学生找出边数与内角和之间的关系，进而得出结论：n边形的内角和等于(n－2)×180°. 通过分组讨论的方式，引导学生从不同的角度寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力,同时激发学习兴趣. 让学生类比四边形的外角和推导过程，推导得出结论：多边形的外角和等于360°.培养学生独立分析问题与解决问题的能力. 让学生类比正方形学习正多边形，并通过举反例加深印象，提高分析问题和解决问题的能力. 通过交流有关多边形在实际生活中的应用，增强学生学习的积极性.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1：求正六边形每个内角的度数. 提示：正六边形的6个内角有什么关系？ 解：正六边形的内角和为(6–2)×180°= 720°. 而且正六边形的6个内角的度数都相等， 所以每个内角的度数为：720°÷6 = 120°. 例2已知四边形ABCD中，∠A∠C180°，求∠B与∠D的关系. 提示：∠A，∠B，∠C，∠D有什么关系？ 解：因为∠A∠B∠C∠D360°， 又∠A∠C 180°， 所以∠B∠D 360°(∠A∠C) 180°. 学生思考、计算并回答. 巩固学生对多边形的内角和和外角和定理的认识和理解.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 一个多边形的每个内角都是150°，它是______边形. 2. 已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是_______边形. 3. 已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是_____边形. 4. 一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是( ) A.60° B.90 C.180° D.360° 答案： 1.12 2.八 3.六 4.C 学生自主练习 学生通过练习，巩固本节课所学内容，熟练掌握利用内角和与外角和公式，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第74页习题19.1第1、2、3题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.(共20张PPT)
19.1 多边形内角和
多边形的内角和
学习目标
多边形的内角和
准备好了吗？一起去探索吧！
1.掌握多边形的内角和与外角和公式，并认识正多边形.
2.经历猜想、探索、推理、归纳等过程，让学生体会化归思想和从具体到抽象的研究问题的方法.
3.通过探索并证明多边形的内角和与外角和的过程，引导学生从不同的角度寻找解决问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力.
4.通过动手操作、交流讨论激发学生的学习热情，体验从猜想到证明的成就感，并从中体会数学学习是一个充满探索的过程.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
观察思考
观察下面的图，能否从中找出我们上节课学过的多边形？
浙江金华市兰溪市的诸葛八卦村
你能算出这个多边形的内角和吗？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究
先回顾一下我们学过的三角形、正方形、长方形的内角和.
180°
360°
360°
任意一个四边形的内角和都等于360°吗
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究
1.四边形的内角和是多少？
将四边形分割成两个三角形.
连接对角线.
180°
180°
360°
四边形的内角和等于360°.
还有其它的方法吗？
O
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究
1.四边形的内角和是多少？
在四边形内任取一点O，连接OA，OB，OC，OD.
180°
四边形的内角和等于360°.
类比上面的过程，你能探索出五边形的内角和吗
180°
180°
180°
360°
360°
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究
2.五边形的内角和是多少？
A
B
C
D
E
可以将这个五边形划分成几个三角形.
180°
180°
180°
五边形的内角和等于540°.
类比上面的过程，请你继续探索 n 边形的内角和!
540°
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究
3.一般地，n边形的内角和是多少呢？
多边形的边数
分成的三角形个数
多边形的内角和
2
2 180°
3
3 180°
...
...
...
n
4
5
4
4 180°
6
类比上面的方法(从一个顶点出发画对角线)，完成下列表格.
A
B
C
D
E
(n 2) 180°
你能发现n边形的内角和与边数的关系吗？
A
B
C
D
E
F
B
A
F
E
D
C
n 2
n边形的内角和等于(n 2) 180°(n为不小于3的整数).
A
C
B
D
你能给出这个定理的证明吗？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
探究
证明n边形的内角和等于(n 2) 180°(n为不小于3的整数).
B
A
F
E
D
C
O
B
A
F
E
D
C
P
n个三角形
内角和 n 180° 360°
(n 1)个三角形
内角和 (n 1) 180° 180°
(n 2) 180°
(n 2) 180°
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
思考
上面研究了多边形的内角和，在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.多边形外角和又有怎样的规律？
A
C
D
B
每一个外角和它相邻的内角互补；
四个内角与四个外角的和是180°×4；
四边形的内角和：360°；
所以四边形的外角和：180°×4 – 360°=360°.
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
思考
上面研究了多边形的内角和，在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，它们的和叫做多边形的外角和.多边形外角和又有怎样的规律？
A
C
D
B
四边形的外角和：360°.
B
A
F
E
D
C
n 边形
每一个外角和它相邻的内角也互补；
n边形的内角和：(n 2) 180°；
所有内角与所有外角的和是 ；
所以n边形的外角和：
n 边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数).
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
正方形的边、角有什么特点？
各个内角都相等
各条边都相等
同时满足
各个内角都相等
各条边不都相等
不是
正方形
各个内角不都相等
各条边都相等
不是
正方形
想一想
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
想一想
各个内角都相等
各条边都相等
你能给正多边形下定义吗？
多边形中，如果 ， ，这样的多边形叫做正多边形.
下图中的各个正多边形分别读作什么？
正方形
正三角形
正五边形
正六边形
角都相等
边都相等
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
创设情境
探究新知
三角形具有稳定性
交流
四边形呢
四边形具有不稳定形
你能举出应用四边形的不稳定性的其他例子吗？
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
应用新知
典型例题
例1：求正六边形每个内角的度数.
解：正六边形的内角和为
提示：
正六边形的6个内角有什么关系？
而且正六边形的6个内角的度数都相等，
所以每个内角的度数为：720°÷6 = 120°.
(6–2)×180°= 720°.
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
应用新知
典型例题
例2：已知四边形ABCD中，∠A ∠C 180°，求∠B与∠D的关系.
解：因为∠A ∠B ∠C ∠D 360°，
提示：
∠A，∠B，∠C，∠D有什么关系？
A
B
C
D
又∠A ∠C 180°，
所以∠B ∠D 360° (∠A ∠C) 180°.
巩固新知
探究新知
创设情境
应用新知
课堂小结
布置作业
随堂练习
抢答
1. 一个多边形的每个内角都是150°，它是______边形.
2. 已知一个多边形，它的内角和等于五边形的内角和的2倍，这个多边形是_______边形.
3. 已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形是_____边形.
4. 一个多边形的边数增加1，则内角和增加的度数是( )
A.60° B.90° C.180° D.360°
12
八
六
C
探究新知
创设情境
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
多边形的内角和
多边形的内角和定理：
n 边形的内角和等于(n 2) 180°(n为不小于3的整数).
多边形的外角和定理：
n 边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数).
正多边形的概念：
多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形.
布置作业
教科书第74页习题19.1
第1、2、3题
探究新知
创设情境
应用新知
课堂小结
巩固新知
再见
