19.2 平行四边形的判定
一、教学目标
1.通过平移与作图探索并掌握判别四边形是平行四边形的条件.
2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算.
3.经历平行四边形判定定理的探索过程，发展合情推理的意识和表述能力，体会几何思维的真正内涵.
4.经历平行四边形的判定定理的探索过程，培养协作、探究精神.
二、教学重难点
重点：平行四边形判定方法的探究.
难点：平行四边形判定定理的理解和灵活应用.
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 前面我们学行四边形的定义和性质，你能说出它的具体内容吗？ 学习定义和性质后，由以前的经验接下来我们应该研究什么？ 教师活动：引导学生回顾所学，得出结论：接下来该研究判定了，引出本节课的教学内容，平行四边形的判定. 学生回顾、思考并回答. 通过对已有知识与经验的回顾反思，引导学生提出研究平行四边形判定的问题.
环节二 探究新知 【思考1】 将线段AB按图中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′ ，你能说出它一定是平行四边形吗？为什么？ 【探究】 已知：如图，在四边形ABCD中， AB//DC，且AB=DC. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 分析：已知AB∥DC，只要再证明AD∥BC，即可证明所求. 证明：连接AC. ∵ AB∥DC ， ∴∠BAC=∠DCA. 又 ∵AB=CD，AC=CA. ∴ △ABC ≌ △CDA . ∴∠ACB=∠CAD. ∴ AD∥BC . 因此，四边形ABCD是平行四边形. 【归纳】 由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法有： 平行四边形的判定定理1 文字语言： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 注：常用符号“ ”表示“平行且相等”， 读作“平行且等于”. 符号语言： 在四边形ABCD中，∵ABCD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 【思考】 一组对边平行， 另一组对边相等的四边形是否一定是平行四边形 预设答案：不一定 【思考2】 如图，过点A画两条线段AB，AD，以点B圆心， AD长为半径画弧，再以点D为圆心， AB长为半径画弧，两弧相交于C，连接BC， DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD. 这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？ 梳理条件：已知AB=DC， AD＝BC. 分析：已知两组对边分别相等，只要再证明任意一组对边平行，即可证明所画四边形为平行四边形. 证明：连接AC. ∵ AB=DC， AD＝BC，又 ∵AC=CA， ∴ △ABC ≌ △CDA，∠CAB=∠ACD . ∴ AB∥DC . ∵ AB=DC， AB∥DC . 因此，四边形ABCD是平行四边形. 【归纳】 由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有： 平行四边形的判定定理2 文字语言： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵AB=CD，AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形. 【思考3】 如图，作两条直线l1， l2相交于点O，在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD， 连接AB，BC，CD，DA. 这样画出来的四边形ABCD的对角线就互相平分. 这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？ 梳理条件：已知OA=OC， OB＝OD. 分析：可证明一组对边平行且相等来说明所画四边形为平行四边形. 证明：∵ OA=OC，OB＝OD， 又 ∵∠AOD=∠COB， ∴ △AOD ≌ △COB. ∴ AD=CB，∠DAO=∠BCO . ∵ ∠DAO=∠BCO ，∴ AD∥CB . ∵ AD∥CB ，且 AD=CB. ∴四边形ABCD是平行四边形. 【归纳】 由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有： 平行四边形的判定定理3 文字语言： 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 符号语言： 在四边形ABCD中， ∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 【归纳】 现在你学了几种平行四边形的判定方法？ 学生观察、思考. 小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答. 思考，梳理并总结. 学生观察思考 学生观察思考 小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答. 思考，梳理并总结. 学生观察思考 小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答. 思考并进行归纳 通过线段平移，引导学生发现判定平行四边形的新方法.同时还可以引导学生进一步认识平移的两大基本特征：平移的方向和距离. 引导学生探究平行四边形的判定方法，同时在思考、证明的同时，还可以适当地复习尺规作图的知识：作一条线段等于已知线段. 通过作图得到对角线互相平分的四边形，让学生通过推理，证明得到平行四边形的判定定理3，加深学生的理解，同时复习巩固有关尺规作图的相关知识. 归纳现阶段平行四边形的几种判定方法.
环节三 应用新知 【典型例题】 例5已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形. 教师活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生说出思路，若学生没有思路，教师在引导学生分析，启发学生. 分析： ABCD中， AE=CF，它们是对角线 上的线段，故可考虑使用“定理3”. 证明：连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO ∵AE=CF， ∴OE=AOAE=COCF=OF. ∴四边形BEDF是平行四边形. 【归纳】 学生思考证明的思路并回答. 通过对例题的讲解，及时巩固所学知识，加深对平行四边形判定方法的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.试判断四边形ABCD是否是平行四边形，并说明理由. 证明： ∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360° 又 ∵∠A=∠C，∠B=∠D， ∴ 2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°. ∴ AD∥BC ，同理得AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD于点F，且AE=CF. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明： ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°. 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ∵AE=CF，AB=CD， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF. ∴∠ABE=∠CDF， AB∥CD. 又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 3. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( ) A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形 答案：B 自主完成练习 通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的判定定理的理解及应用.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书第85页习题19.2 第8题、第9题. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共22张PPT)
19.2 平行四边形的判定
学习目标
平
行
四
边
形
的
判定
1. 通过平移与作图探索并掌握判别四边形是平行四边形的条件.
2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算.
3.经历平行四边形判定定理的探索过程，发展合情推理的意识和表述能力，体会几何思维的真正内涵.
4.经历平行四边形的判定定理的探索过程，培养协作、探究精神.
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
前面我们学行四边形的定义和性质，你能说出它的具体内容吗？
回顾
名称 文字叙述 图示
定义
性质1 性质2 性质3
A
B
C
D
O
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
平行四边形的对角线互相平分
由以前的经验接下来我们应该研究什么？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
将线段AB按图中所给的方向和距离，平移成线段A′B′，顺次连接A，B，B′，A′，构成一个一组对边平行且相等的四边形ABB′A′ ，你能说出它一定是平行四边形吗？为什么？
A
B
A'
B'
思考
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
已知：如图，在四边形ABCD中， AB//DC，且AB=DC.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
D
A
B
C
分析：
已知AB∥DC，只要再证明AD∥BC，即可证明所求.
证明：
∵ AB∥DC ， ∴∠BAC=∠DCA.
连接AC.
∴ △ABC ≌ △CDA .
又 ∵AB=CD，AC=CA.
∴∠ACB=∠CAD. ∴ AD∥BC .
因此，四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1
D
A
B
C
归纳
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法有：
文字语言：
符号语言：
注：常用符号“ ”表示“平行且相等”，
读作“平行且等于”.
在四边形ABCD中，∵AB CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
一组对边平行， 另一组对边相等的四边形是否一定是平行
四边形
5cm
3cm
4cm
4cm
3cm
3cm
3cm
3cm
不一定
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图， 过点A画两条线段AB，AD，
以点B圆心， AD长为半径画弧，
再以点D为圆心， AB长为半径画弧，两弧相交于C，
连接BC， DC，这样得到两组对边分别相等的四边形ABCD.
B
D
C
A
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？
B
D
C
A
梳理条件：
已知AB=DC， AD＝BC.
分析：
已知两组对边分别相等，只要再证明任意一组对边平行，即可证明所画四边形为平行四边形.
证明：
连接AC.
∵ AB=DC， AD＝BC，
∴ △ABC ≌ △CDA，∠CAB=∠ACD .
又 ∵AC=CA，
∴ AB∥DC .
因此，四边形ABCD是平行四边形.
∵ AB=DC， AB∥DC .
平行四边形的判定定理2
D
A
B
C
归纳
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
文字语言：
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
O
A
B
C
D
l1
l2
如图， 作两条直线l1， l2相交于点O，
在直线l1上截取OA=OC，在直线l2上截取OB=OD，
连接AB，BC，CD，DA.
这样画出来的四边形ABCD的对角线就互相平分.
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
这样做出来的四边形是平行四边形吗？为什么？
梳理条件：
已知OA=OC， OB＝OD.
分析：
可证明一组对边平行且相等来说明所画四边形为平行四边形.
证明：
∵ OA=OC，OB＝OD，
∴ △AOD ≌ △COB.
又 ∵∠AOD=∠COB，
∴ AD=CB，∠DAO=∠BCO .
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵ ∠DAO=∠BCO ，∴ AD∥CB .
O
A
B
C
D
l1
l2
∵ AD∥CB ，且 AD=CB.
平行四边形的判定定理3
D
A
B
C
O
归纳
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
由此得到判定四边形是否为平行四边形的方法还有：
文字语言：
符号语言：
在四边形ABCD中，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
平行四边形的判定 名称 文字叙述 符号语言 图示
定义
定理1 定理2 定理3
D
A
B
C
O
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB∥CD，AB=CD，
(或AD∥BC，且AD=BC)，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=CD，且AD=CB，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
例5. 已知：如图，点E，F是 ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF.求证：四边形BEDF是平行四边形.
D
A
B
C
O
E
F
分析：
ABCD中， AE=CF，它们是对角线
上的线段，故可考虑使用“定理3”.
证明：
连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO
∵AE=CF，
∴OE=AO AE=CO CF=OF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
归纳
巧选平行四边形的证明思路 已知条件 证明思路
一组对边相等
一组对边平行
对角线相交
①另一组对边也相等
②相等的边也平行
①另一组对边也平行
②相等的边也相等
对角线互相平分
证明：
1. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.试判断四边形ABCD是否是平行四边形，并说明理由.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
D
A
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360°
又 ∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ 2∠A+2∠B=360°，即∠A+∠B=180°.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴ AD∥BC ，同理得AB∥CD，
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
2. 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，过点A作AE⊥BD，交BD于点E，过点C作CF⊥BD交BD于点F，且AE=CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
随堂练习
分析：
已知AB=CD相等，可证AB∥CD或者
AD=CB.
证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°.
在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵AE=CF，AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF.
∴∠ABE=∠CDF， AB∥CD.
又∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
3. 四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边长，c，d为另一组对边长且a2＋b2＋c2＋d2＝2ab＋2cd，则这个四边形是( )
A．任意四边形 B．平行四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
B
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
平行四边形
的判定
从“角”考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 (定义拓展)
从“边”考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (定义法)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (判定定理1)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形 (判定定理2)
从“对角线”考虑
对角线互相平分的四边形是平行四边形 (判定定理3)
布置作业
教科书第85页习题19.2
第8题、第9题.
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见19.2 平行四边形的性质
第1课时
一、教学目标
1.理解并掌握平行四边形的概念．
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质．
3.能运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算，通过将平行四边形问题转化为三角形问题，体会数学转化思想．
4.通过观察、度量、猜想、证明平行四边形的性质，体会几何研究的思路和方法，培养学生逻辑推理能力.
二、教学重难点
重点：平行四边形边、角的性质探索和证明
难点：通过连接对角线，用全等三角形知识证明平行四边形对边相等、对角相等的性质．
三、教学用具
直尺，量角器，剪刀，纸片，多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一创设情境 【观察思考】 小学我们已经认识了平行四边形，你能从下面的视频中找到这样的图形吗？ 观看视频，思考问题 通过视频引导学生找到具有平行四边形形象的几何图形，培养学生从实物中抽象出几何图形的能力，发展学生的空间观念.
【思考】 在生活中, 你还能举出具有平行四边形形象的实例吗？ 教师活动：播放图片，演示从实物中抽象出平行四边形的过程. 试着说出几种具有平行四边形形象的实例，并从实例图片中找出平行四边形 通过图片展示，让学生真切感受生活中存在大量平行四边形，进一步熟悉平行四边形的形象. 进一步培养学生从实物中抽象出几何图形的能力.
【想一想】 在上述实例中，你还记得什么样的图形叫做平行四边形吗？ 教师活动：提出问题并给出定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 思考并回答 让学生复习巩固平行四边形的概念.
环节二探究新知 【思考】 如何用符号表示平行四边形呢？ 教师活动：带领学生回顾三角形的表示方法，类比出平行四边形的表示方法. 【思考】组成平行四边形的基本元素有哪些？ 教师活动：引导学生说出边、角，以及对边、对角. 试着说出平行四边形的表示方法. 思考并回答 通过回顾三角形的表示方法，类比出平行四边形的表示方法，让学生体会类比的数学思想.培养学生将文字语言转化为符号语言的能力. 引出边、角，并让学生认清平行四边形的对边、对角，为后面研究平行四边形的性质作铺垫.
【合作探究】 前面我们已经学行四边形的两组对边分别平行，除此之外，还有别的性质吗？ 教师活动：指导学生分组讨论交流，并让学生说出自己的做法和猜想 量一量：用直尺量对边得相等，用量角器量角得对角相等； 【思考】 你能证明你的猜想吗？ 已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC. 求证：(1) AB=DC ， AD=BC; (2)∠DAB=∠DCB，∠B=∠D. 证明:如图，连接AC． (1)∵AB∥DC，AD∥BC,
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA.(ASA)
∴AB=DC，AD=BC. (2)由(1)知 △ABC≌△CDA ∴∠B=∠D ∠DAB=∠BAC+∠DAC=∠DCA+∠BCA=∠DCB 分组讨论，通过各种方法操作并猜想平行四边形的性质 思考证明过程 让学生经历合作探究的过程，通过观察度量等手段猜想出平行四边形的性质；培养学生发现问题，解决问题和直观想象能力. 通过正向思维与逆向思维分析问题，解决问题，培养学生逻辑推理能力； 通过作辅助线让学生领悟平行四边形问题一般转化为三角形问题来处理，体会数学中的转化思想.
【归纳总结】 平行四边形的性质定理： 性质1 平行四边形的对边相等， 性质2 平行四边形的对角相等． 几何语言表示为： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC，AD=BC ，∠A=∠C，∠B=∠D 熟悉并掌握平行四边形性质定理 让学生熟悉平行四边形性质定理的文字语言、几何语言以及推理的基本模式，加深学生对数学语言与数学符号之间的转化.
环节三 应用新知 【典型例题】 例1.如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如果AE=2，求CD的长； (2)如果∠AEB=40°，求∠C的度数.
解：(1)∵ BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC. 又∵ ABCD， AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC=∠ABE.
∴AB=AE=2.
又∵CD=AB，∴CD=2. (2)由(1)知 ∠AEB=∠ABE=40° ∴∠A=180°(40°+40°)=100°
又∵∠C=∠A， ∴∠C=100°. 【思考】 想一想：如图，直线l1∥l2，AB，CD是夹在直线l1，l2之间的两条平行线段.请探究AB与CD的数量关系？并说明理由.
解：∵ l1 ∥ l2，AB∥CD，
∴四边形ABDC是平行四边形.
∴AB=CD. 请用一句话总结你发现的结论： ★夹在两条平行线之间的平行线段相等. 追问：AE与CF之间又有怎样的数量关系呢？ AE=CF
由上面的结论可知：★如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 因此，可以用点到直线的距离来定义两条平行线之间的距离.★两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离. 例2. 已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离. 解：过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F， ∴线段AE、AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离. ∴线段AE长为直线AD和直线BC之间的距离，线段AF长为直线AB和直线CD之间的距离. 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，AB=4，∴∠B=∠BAE. ∴BE=AE. 又∵AE +BE =AB ，∴2AE =16， ∴AE=2，同理AF= ∴直线AD和直线BC之间的距离是2，直线AB和直线DC之间的距离是 例3. 已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△ABC.求证：△ABC的顶点分别是△ABC三边的中点. 证明：∵AB∥BC，BC∥AB， ∴AB=BC. 同理AC=BC. ∴AB= AC. 同理BC= BA， CA= CB. 所以△ABC的顶点分别是△ABC三边的中点. 认真分析，试着写出解答过程 通过平行四边形性质的简单应用，让学生感到学有所获，培养学生的逻辑推理能力. 通过对例题的深入思考，引出两条平行线之间的距离的概念. 强化学生对于两条平行线之间距离的理解.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 在 ABCD中，已知∠A=60°，求∠B，∠C，∠D的度数. 解：如图 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
∵∠A=60°，∴∠C=60°，∠B=180° ∠A=120°. ∴∠D=∠B=120°. 2.已知:如图，在平行四边形ABCD中， E，F是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE = DF． 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB = CD AB // CD ∴∠BAE=∠DCF 又∵AE=CF ∴△BAE≌△DC F ∴BE=DF 自主完成练习 通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的性质的理解及应用.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书第78页练习2，3. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共22张PPT)
19.2 平行四边形的性质
第1课时
学习目标
1.理解并掌握平行四边形的概念．
2.探索并掌握平行四边形对边相等、对角相等的性质．
3.能运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算，通过将平行四边形问题转化为三角形问题，体会数学转化思想．
4.通过观察、度量、猜想、证明平行四边形的性质，体会几何研究的思路和方法，培养学生逻辑推理能力.
重点
平
行
四
边
形
的
性
质
难点
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
小学我们已经认识了平行四边形，你能从下面的视频中找到
这样的图形吗？
观察思考
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
平行
四边形
在生活中, 你还能举出具有平行四边形形象的实例吗？
思考
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
通过上述实例，你还记得什么样的图形叫做平行四边形吗？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
D
C
B
A
想一想
一级标题
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
如何用符号表示平行四边形呢？
C
A
B
D
A
B
C
记作： ABCD
读作：平行四边形ABCD
符号：
ABC
△
思考
一级标题
AB、 BC、 DC、 DA．
组成平行四边形的基本元素有哪些？
边：
角：
∠A、∠B、∠C、∠D．
D
A
B
C
对边
对角
对边
对角
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
创设情境
D
A
B
C
2.5cm
2.5cm
1.5cm
1.5cm
75°
105°
105°
75°
猜想：平行四边形对边相等，对角相等．
AD=BC；
边：
角：
∠A=∠C；
AB=DC
∠B=∠D
合作探究
量一量
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
平行四边形的对边平行，相邻的内角互为补角. 除此之外，平行四边形中，边、角还有别的性质吗？
创设情境
D
C
A
B
你能证明你的猜想吗？
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC.
求证：(1) AB=DC ， AD=BC; (2)∠DAB=∠DCB，∠B=∠D.
AB∥DC AD∥BC
∠B=∠D
∠DAB=∠DCB
AB=CD ， AD=BC
分析
全等
正向思维
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
∠D+∠DAB=180°
∠D+∠DCB=180°
D
C
A
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你能证明你的猜想吗？
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC.
求证：(1) AB=DC ， AD=BC; (2)∠DAB=∠DCB，∠B=∠D.
思考
B
分析
AB=CD，AD=BC
连接AC.
△ABC≌△CDA
∠B=∠D
∠DAB=∠DCB
∠BAC+∠DAC =∠DCA＋∠BCA
逆向思维
∠BCA=∠DAC
AC=CA
∠BAC=∠DCA
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究新知
创设情境
证明猜想
已知：如图，四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC.
求证：(1) AB=DC ， AD=BC; (2)∠DAB=∠DCB，∠B=∠D.
D
C
A
B
(1)∵AB∥DC，AD∥BC,
证明:连接AC．
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC.
在△ABC和△CDA中，
∠BCA=∠DAC
AC=CA
∠BAC=∠DCA
∴△ABC≌△CDA.(ASA)
∴AB=DC，AD=BC.
(2)由(1)知 △ABC≌△CDA
∴∠B=∠D
∠DAB=∠BAC+∠DAC
=∠DCA+∠BCA
=∠DCB
平行四边形问题
转化为
三角形问题
归纳
转化思想
平行四边形性质定理
激动人心的时刻马上要开
始了，纸笔都准备好喽~
性质1 平行四边形的对边相等.
性质2 平行四边形的对角相等．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AB=DC
∠A=∠C，∠B=∠D
D
C
A
B
几何语言表示为:
归纳总结
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
解：
典型例题
例1. 如图， ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)如果AE=2，求CD的长；
(2)如果∠AEB=40°，求∠C的度数.
A
B
C
D
E
CD=AB，AB=
(1)∵ BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC.
又∵
ABCD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC=∠ABE.
∴AB=AE=2.
又∵CD=AB，∴CD=2.
(2)由(1)知 ∠AEB=∠ABE=40°
40°
40°
100°
100°
∴∠A=180° (40°+40°)=100°
又∵∠C=∠A，∴∠C=100°.
思考
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
想一想：如图，直线l1∥l2，AB，CD是夹在直线l1，l2之间的两条平行线段.请探究AB与CD的数量关系？并说明理由.
解：
∵ l1 ∥ l2，AB∥CD，
∴AB=CD.
∴四边形ABDC是平行四边形.
请用一句话总结你发现的结论：
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
l1
l2
A
B
D
C
E
F
AE=CF
AE与CF有怎样的数量关系呢？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
创设情境
夹在两条平行线之间的平行线段相等.
AE=CF
如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条
直线的距离相等.
l1
l2
A
B
D
C
E
F
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离.
思考
解：
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例2. 已知：如图， ABCD中，AB=4，AD=5，∠B=45°.求直线AD和直线BC之间的距离，直线AB和直线DC之间的距离.
A
B
C
D
过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F，
45°
4
5
E
F
∴线段AE、AF的长分别为点A到直线BC和直线CD的距离.
∴线段AE长为直线AD和直线BC之间的距离，
线段AF长为直线AB和直线CD之间的距离.
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠B=45°，
AB=4，
∴∠B=∠BAE.
∴BE=AE.
又∵AE +BE =AB ，
∴2AE =16，
∴AE=2.
同理AF=.
∴直线AD和直线BC之间的距离是2，直线AB和直线DC之间
的距离是.
证明：
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例3. 已知：如图，过△ABC的三个顶点，分别作对边的平行线，这三条直线两两相交，得△A B C .求证：△ABC的顶点分别是△A B C 三边的中点.
∵AB∥B C，BC∥AB ，
B
C
A
C
B
A
∴AB =BC.
同理AC =BC.
∴AB = AC .
同理BC = BA ， CA = CB .
所以△ABC的顶点分别是△A B C 三边的中点.
1. 在 ABCD中，已知∠A=60°，求∠B，∠C，∠D的度数.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
解：
A
B
C
D
如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D(平行四边形的对角相等).
∵∠A=60°，
∴∠C=60°，∠B=180° ∠A=120°.
∴∠D=∠B=120°.
证明：
2.已知:如图，在平行四边形ABCD中， E，F 是对角线AC上的两点，且AE=CF．求证：BE = DF．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB = CD
AB // CD
∴∠BAE=∠DCF
又∵AE=CF
∴△BAE≌△DCF（SAS）
∴BE=DF
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练行线之间的距离
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
平行四边形的性质
平行四边形的性质
文字叙述 几何语言
边 对边平行 AB∥DC，AD∥BC
对边相等 AB=DC，AD=BC
角 对角相等 ∠A=∠C，∠B=∠D
邻角互补 ∠A+∠B=180°…
A
B
C
D
概念 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线之间的距离.
结论 (1)夹在两条平行线之间的平行线段长度相等；
(2)两条平行线之间的距离处处相等.
作图方法 直线a∥b，在直线a上任取一点A，向直线b作垂线，垂足为点B，线段AB的长就是a，b两条平行线之间的距离.
a
b
A
B
布置作业
教科书第78页练习2，3.
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见19.2 平行四边形的性质
第2课时
一、教学目标
1.探索并掌握平行四边形的对角线互相平分；
2.能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明；
3.通过观察、度量、猜想、证明等环节探索平行四边形的性质，在探索过程中进一步培养学生的逻辑推理能力和探索精神；
4.通过合作探究，让学生体会学习的乐趣，增强学习的信心.
二、教学重难点
重点：平行四边形对角线互相平分的性质及其应用.
难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明．
三、教学用具
直尺，剪刀，纸片，多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【思考】 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少. 同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？ 熟悉问题情境并思考. 通过情境引入，激发学生学习的兴趣.为讲解新课做铺垫.
环节二 探究新知 【探究】 如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O. (1)图中共有几对全等三角形？ (2)请你选择其中一组进行证明. 解：(1)根据平行四边形的性质“对边平行且相等、对角相等”，我们可以得到一共有4对全等三角形： (2) △OAD≌△OCB 证明：∵在 ABCD中， AB//DC， ∴OABOCD，OBAODC 又∵ ABCD，AB=CD， ∴△OAB≌△OCD(ASA) 引导：根据4组全等三角形，我们能得出哪些线段相等呢？ 而AB=CD，AD=CB正好验证了“平行四边形的对边相等”这一性质. 思考：根据“OB=OD,OA=OC”这2组相等线段，你能得出哪些结论呢？ ★性质3：平行四边形的对角线互相平分. 【归纳】 ★平行四边形的性质3 文字语言：平行四边形的对角线互相平分. 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴OAOC= AC，OBOD= BD. ★平行四边形的性质 【想一想】 你能利用平行四边形的性质判断老人这样分地公平吗？ 预设答案：公平. 教师活动：教师可先提示学生四个小三角形中有2对是全等的三角形，△AOD≌△COB ，△AOB≌△DOC，不妨把△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积依次记为S1，S2，S3，S4，则有S1S3，S2S4.再让学生观察△AOD和△AOB，由平行四边形的对角线互相平分可得：OBOD.即这两个三角形的底相等，再结合图形发现这两个三角形的高相同，所以S1S2.最终得出S1S2S3S4. ★结论：平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形. 思考并回答 学生动手操作，并猜想、验证. 熟悉并掌握平行四边形性质定理 通过对存在全等三角形的思考及证明，引导学生逐步分析，对出现的相等线段去旧存新，从而得出新的数学结论. 让学生熟悉平行四边形性质定理的文字语言、几何语言以及推理的基本模式，加深学生对数学语言与数学符号之间的转化. 呼应创设情境的问题，让学生初步体会利用平行四边形的对角线互相平分的性质解决问题.
环节三 应用新知 【典型例题】 例4. 已知：如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长. 分析：根据平行四边形的对角线互相平分，可将问题进行转化，BD=2BO=2DO. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD=5 ∵AB⊥AC， ∴△ABC是直角三角形. ∴AC=4，AO=2 ∴BO=. ∴BD=2BO2. 认真分析，试着写出解答过程 应用平行四边形的性质进行解答，培养学生的逻辑分析能力.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，若对角线AC与BD的交点为O，求△OBC的周长. 分析：C△OBC=OB+OC+BC=OB+OC+AD =BD+AC+AD 解：如图 ∵在 ABCD中，AC=24cm，BD=38cm， AD=28cm， ∴OC=AC=12cm，OB=BD=19cm， BC=AD=28cm. ∴△OBC的周长=OB+OC+BC =19+12+28 =59(cm) 2. 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OBOD，ABCD，ADBC. ∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm ∴ABAD5cm 又∵ ABCD的周长为60cm ∴ABAD30cm 则ABCD17.5cm，ADBC12.5cm. 总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差. 3.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OEOF. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，OAOC. ∵∠EAO∠FCO 在△AOE和△COF中， ∠AOE∠COF，OAOC，∠EAO∠FCO ∴△AOE≌△COF. ∴OEOF. 教师活动：教师根据学生的接受情况，考虑追问：如果改变直线EF的位置， OEOF还成立吗？让学生观察下面三个图形，让学生自行分析得出结论. 答案：成立 总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等. 自主完成练习 通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的性质的理解及应用.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书第79页练习2 习题19.2第5题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共18张PPT)
19.2 平行四边形的性质
第2课时
学习目标
1.探索并掌握平行四边形的对角线互相平分；
2.能综合运用平行四边形的性质进行有关的计算和证明；
3.通过观察、度量、猜想、证明等环节探索平行四边形的性质，在探索过程中进一步培养学生的逻辑推理能力和探索精神；
4.通过合作探究，让学生体会学习的乐趣，增强学习的信心.
平
行
四
边
形
的
性
质
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少.
A
B
C
D
O
老大
老二
老三
老四
同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
思考
探究
A
B
C
D
O
全等三角形
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O.
(1)图中共有几对全等三角形？
(2)请你选择其中一组进行证明.
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
△ABD≌△CDB
△ABC≌△CDA
证明：∵在 ABCD中， AB//DC，
∴ OAB OCD， OBA ODC
∴△OAB≌△OCD(ASA)
又∵ ABCD，AB=CD，
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
D
O
全等三角形
如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O.
(1)图中共有几对全等三角形？
(2)请你选择其中一组进行证明.
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
△ABD≌△CDB
△ABC≌△CDA
相等线段
AB=CD
AD=CB
OB=OD
OA=OC
对边相等
对角线互相平分
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
平行四边形的性质3
A
B
C
D
O
平行四边形的对角线互相平分.
文字语言：
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA OC= AC，OB OD= BD.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
平行四边形的性质 名称 文字叙述 几何语言 图示
性质1 平行四边形的 对边相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AD=BC
性质2 平行四边形的 对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 性质3 平行四边形的 对角线互相平分 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA OC= AC， OB OD= BD
A
B
C
D
O
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你能利用平行四边形的性质判断老人这样分地公平吗？
A
B
C
D
O
老大
老二
老三
老四
S1
S2
S3
S4
△AOD≌△COB
△AOB≌△DOC
S1 S3
S2 S4
E
△AOB与△AOD等底同高
S1 S2
S1 S2 S3 S4
公平
结论：
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.
解：
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
∵四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
O
∴BC=AD=5
BD=2BO=2DO
∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形.
∴AC= 4，
AO =2
∴BO= .
∴BD=2BO 2.
例4. 已知：如图， ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长.
解：
分析：
1. ABCD中，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，若对角线AC与BD的交点为O，求△OBC的周长.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
A
B
C
D
O
C△OBC=OB+OC+BC
=BD+AC+AD
∵在 ABCD中， AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，
∴OC=AC=12cm，
OB=BD=19cm，
BC=AD=28cm.
∴△OBC的周长=OB+OC+BC
=19+12+28
=59(cm)
如图.
分析：
2. 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
D
A
B
C
O
①相邻两边之和为60÷2=30(cm)
AB+AD=30cm
②OA+OB+AB (OA+OD+AD)=5cm
OA+OB+AB OA OD AD=5cm
AB AD=5cm
解二元一次方程组
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ OB OD，AB CD，AD BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm
∴AB AD 5cm
分析：
2. 已知 ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
D
A
B
C
O
①相邻两边之和为60÷2=30(cm)
AB+AD=30cm
②OA+OB+AB (OA+OD+AD)=5cm
OA+OB+AB OA OD AD=5cm
AB AD=5cm
解二元一次方程组
解：
又∵ ABCD的周长为60cm
∴AB AD 30cm
则AB CD 17.5cm，AD BC 12.5cm.
总结：
D
A
B
C
O
平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
如图： C△AOB C△AOD=AB AD
归纳
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，OA OC.
∴∠EAO ∠FCO
在△AOE和△COF中，
∠AOE ∠COF
OA OC
∠EAO ∠FCO
∴△AOE≌△COF.
∴OE OF.
3. 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：OE OF.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
A
B
C
D
O
F
E
改变直线EF的位置， OE OF还成立吗？
常用全等证明
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
A
B
C
D
O
F
E
试判断下列图中，OE OF 还成立吗？
成立
总结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
平行四边形的性质
性质3
平行四边形的对角线互相平分.
结论
1.平行四边形的两条对角线把平行
四边形分成4个面积相等的小三角形.
2.过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
A
B
C
D
布置作业
教科书第79页练习2
习题19.2第5题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
