19.2 三角形的中位线
一、教学目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.
3.经历观察、操作、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.
4.在推理论证的过程中感悟多种证明思路和转化、化归的数学思想.
二、教学重难点
重点：三角形中位线的性质定理的理解和证明，并能应用它证明或解决有关的问题.
难点：三角形中位线的性质定理的证明、探索(辅助线的添加方法)及熟练应用.
三、教学用具
多媒体等.
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【操作】 (1)在横格纸上画直线l1，使得l1与横线垂直，观察l1被各条横线分成的线段是否相等？ (2)再画一条直线l2，那么 l2被各条横线分成的线段有何关系？ 预设答案：相等 【猜想】 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 相等 . 如何来证明？ 教师活动：引导学生动手操作，得出猜想：引出本节课的研究内容. 学生动手操作、思考并回答. 通过动手操作，激发学生的学习兴趣、调动学生的积极性、开拓学生的思维.
环节二 探究新知 【探究】 已知，直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交直线l1 、 l2 、 l3于点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC. 求证：A1B1=B1C1 分析：证明“线段相等”→常利用全等 添加辅助线构造全等 那需要添加怎样的辅助线呢？ 证明：过点B1作EF∥AC，分别交直线l1 、 l3于点EF. ∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形. ∴EB1=AB，B1F=BC. ∵AB=BC， ∴EB1=B1F. 又∵∠A1EB1=∠B1FC1，∠A1B1E=∠C1B1F， ∴△ A1B1E≌△C1B1F.(ASA) ∴A1B1=B1C1. 【归纳1】 由此得到如下结论：平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(∵l1∥l2∥l3，AB=BC，∴A1B1=B1C1) 【归纳2】 作为上述结论的特例，应有如下推论： 经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．(∵△ACC1中，BB1∥CC1，AB=BC，∴AB1=B1C1.) 【归纳3】 已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE． 像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 教师活动：教师给出中位线的定义，引导学生理解三角形中位线定义的两层含义：①∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线；②∵DE为△ABC的中位线，∴D，E分别是AB，AC的中点.然后让学生自己动手任意画一个三角形，画出它的中位线，待学生画完图形后，教师追问，引导学生思考. 【思考】 问题1： 一个三角形有几条中位线？ 预设答案：DE、DF、EF共3条. 问题2：三角形的中位线与三角形的中线一样吗？ 问题3： 如图，DE是△ABC的中位线， DE与BC有怎样的关系？ 教师活动：教师带领学生回顾两条线段之间的关系包含两种，即：位置关系和数量关系.然后引导学生观察图形、提出猜想，这两条线段可能是平行的关系，再让学生用直尺测量所画图形中DE、BC这两条线段的长度，初步得出这两条线段的数量关系. 【猜想】 DE//BC，DE=BC. 追问：你能证明你的猜想吗？ 【证明猜想】 教师活动：教师带领学生根据猜想写出已知和求证，然后分析证明线段平行、相等的常见思路. 已知：如图D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点. 求证：DE//BC，且DEBC. 证明：过点D作DE′∥BC， DE′交AC于点E′ . 根据“经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边”可知，点E应与点E ′重合. ∴DE∥BC. 同理，过点D作DF∥AC， DF交BC于点F，则点F为BC的中点， ∴四边形DFCE为平行四边形. ∴DE=FC=BC. 追问：你还有别的证明方法吗？ 教师活动：让学生自己思考，并尝试证明，最后教师选代表回答，汇总学生的证明思路，并指出，由于辅助线的做法不一样，证明的方法也不唯一. 证明：延长DE到F，使EFDE，连结FC. ∵AECE，AEDCEF，DEEF. ∴△ADE≌△CFE. ∴ADCF，AFCE. ∴AB//FC. 又∵ADDB， ∴BD∥CF，且BD=CF. ∴四边形BCFD是平行四边形. ∴DE//BC，且DEBC. 教师活动：教师总结在刚才的证明中，通过引辅助线，把未知化归为已知，运用已有知识解决问题；可用全等三角形的知识来解决，还可以用平行四边形的知识来解决，特别是构造平行四边形以后两种不同的方法.给同学们两分钟时间进行体会与反思. 【归纳】 你能用文字语言叙述这个结论吗？ 三角形中位线定理： 文字语言：三角形的的两边中点连线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言：在△ABC中，∵AD=DB，AE=EC， ∴DE∥BC (位置关系) DE= BC (数量关系) 教师活动：教师强调三角形的中位线定理是三角形的重要性质定理，它在图形证明和计算中具有广泛的应用，这个定理的特点是：同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系，应用这个定理时，不一定同时用到两个结论，有时用到平行关系，有时用到倍分关系，根据具体情况，灵活使用.今后在解题过程中，如果三角形中出现了两边的中点，我们就要思考是否应该用到三角形的中位线定理. 小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答. 思考，梳理并总结. 学生观察思考 学生思考动手画图，并回答. 观察，思考并总结. 学生观察思考，合理提出猜想.并尝试用多种思路证明猜想. 小组合作，书写证明过程，全班交流，选派代表回答. 学生思考并尝试用语言总结. 因为辅助线的作法学生可能想不到，可提醒学生作一条AC的平行线，就会出现平行四边形和三角形，从而为我们解决问题带来了可能. 为证明三角形中位线定理作铺垫，并为九年级平行线分段成比例的引入作准备． 给出三角形中位线的定义，让学生通过动手画图，直观感受中位线，加深理解.再通过追问比较中位线和中线的区别，进一步巩固学生对中位线概念的理解，培养学生严谨细致的学习习惯. 通过观察思考猜想、证明的探究方法，进一步培养学生的合情推理能力及逻辑思维能力. 在对定理的推理论证过程中，体会证明的多种思路. 进一步加深对三角形中位线定理的理解，培养学生的语言表达能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 1. 已知三角形各边长分别为6cm，9cm，10cm，求连接各边中点所组成的三角形的周长. 教师活动：先由学生独立思考，若学生有想法，则由学生说出思路，若学生没有思路，教师在引导学生分析，启发学生. 解：如图所示：点D、E、F是△ABC三边的中点，AB=10cm，BC=9cm，AC=6cm. 由三角形中位线定理得，DE=BC =4.5cm， DF=AC =3cm，EF=AB=5cm. ∴ △DEF的周长=4.5+3+5=12.5(cm) 答：连接各边中点所组成的三角形的周长为12.5cm. 【归纳】 中点三角形：顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形. 中点三角形的周长是原三角形的周长的一半. 中点三角形的面积是原三角形的面积的四分之一 学生思考解答的思路并回答. 通过对例题的讲解，及时巩固所学知识，加深对平行四边形判定方法的理解，提高学生分析问题、解决问题的能力.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：连接AC． 在△ABC中， ∵点E，F分别是边AB，BC的中点， ∴EF//AC，EF=AC． 同理，GH//AC，GH=AC． ∴EF//GH，且EF=GH． ∴四边形EFGH是平行四边形． 结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形． 2. △ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、CA的中点，则下列关于线段AD和EF之间关系的说法中正确的是( ) A.ADEF B.ADEF C.AD和EF互相平分 D.以上答案都不对 答案：C 3. △ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，E为AB的中点，若BC10，AD12，则DE的长为( ) A.5 B.5.5 C.6 D.6.5 答案：D 自主完成练习 通过课堂练习巩固新知，加深对平行四边形的判定定理的理解及应用.
环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容 通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
环节六 布置作业 教科书第85页习题19.2 第12题、第15题. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共22张PPT)
19.2 三角形的中位线
学习目标
三角形的中位线
1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.
2.能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算.
3.经历观察、操作、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力.
4.在推理论证的过程中感悟多种证明思路和转化、化归的数学思想.
操作
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
(1)在横格纸上画直线l1，使得l1与横线垂直，观察l1被各条横线分成的线段是否相等？
(2)再画一条直线l2，那么 l2被各条横线分成的线段有何关系？
l1
l2
相等
相等
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也 相等 .
猜想
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如何来证明？
l1
l2
证明：
已知，直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交直线l1 、 l2 、 l3于点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
分析：
证明“线段相等”
常利用全等
添加辅助线构造全等
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
过点B1作EF∥AC，分别交直线
l1 、 l3于点EF.
E
F
∴四边形ABB1E，BCFB1都是平行四边形.
∴EB1=AB，B1F=BC.
∵AB=BC，
∴EB1=B1F.
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
证明：
已知，直线l1 、 l2 、 l3互相平行，直线AC与直线A1C1分别交直线l1 、 l2 、 l3于点A ， B ， C，和点A1 ， B1 ， C1，且AB=BC.
求证：A1B1=B1C1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
分析：
证明“线段相等”
常利用全等
添加辅助线构造全等
又∵∠A1EB1=∠B1FC1，
∠A1B1E=∠C1B1F，
E
F
∴△ A1B1E≌△C1B1F.(ASA)
∴A1B1=B1C1.
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
l1
l2
l3
A
B
C
A1
B1
C1
如果一组平行线在一条直线截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(∵l1∥l2∥l3，AB=BC，∴A1B1=B1C1)
【平行线等分线段定理】：
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
l1
l2
l3
A
B
C
A1
C1
归纳
【平行线等分线段定理】
【推论】
经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边．(
∵△ACC1中，BB1∥CC1，AB=BC，∴AB1=B1C1.)
B1
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
D
E
D，E分别是AB，AC的中点
DE为△ABC的中位线
已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．
像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
【三角形的中位线】
归纳
【问题1】：一个三角形有几条中位线？
DE、DF、EF共3条.
F
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
【问题2】：三角形的中位线与三角形的中线一样吗？
思考
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
三角形中线
三角形中位线
相同点
都是与中点有关的线段，都有3条，都在三角形的内部.
不同点
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接三角形一个顶点与它对边中点的线段.
A
B
C
D
E
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
【问题3】：如图，DE是△ABC的中位线， DE与BC有怎样的关系？
思考
两条线段的关系
位置关系
数量关系
DE//BC
DE BC
DE与BC的关系
1cm
2cm
猜想
你能证明你的猜想吗？
证明：
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
证明猜想
已知：如图D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE//BC，且DE BC.
A
B
C
D
E
(E′)
过点D作DE′∥BC， DE′交AC于点E′ .
根据“经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边”可知，点E应与点E ′重合.
∴DE∥BC.
同理，过点D作DF∥AC， DF交BC于点F，则点F为BC的中点，
∴四边形DFCE为平行四边形.
∴DE=FC=BC.
F
你还有别的证明方法吗？
证明：
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
证明猜想
已知：如图D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.
求证：DE//BC，且DE BC.
A
B
C
D
E
F
延长DE到F，使EF DE，连结FC.
∵AE CE， AED CEF，DE EF.
∴△ADE≌△CFE.
∴AD CF， A FCE.
∴AB//FC.
∴DE//BC，且DE BC.
又∵AD DB，
∴四边形BCFD是平行四边形.
∴BD CF.
＝
＝
三角形的中位线定理
A
B
C
D
E
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
你能用文字表述这一结论吗？
三角形的两边中点连线平行于第三边，并且
文字语言：
符号语言：
等于第三边的一半.
在△ABC中，∵AD=DB，AE=EC，
(数量关系)
DE= BC
∴DE∥BC (位置关系)
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
例1. 已知三角形各边长分别为6cm，9cm，10cm，求连接各边中点所组成的三角形的周长.
解：
如图所示：点D、E、F是△ABC三边的中点，AB=10cm，
由三角形中位线定理得，DE=BC =4.5cm，
DF=AC =3cm，EF=AB=5cm.
∴ △DEF的周长=4.5+3+5=12.5(cm)
答：连接各边中点所组成的三角形的周长为12.5cm.
BC=9cm，AC=6cm.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
拓展
A
B
C
D
E
F
中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.
中点三角形的面积是原三角形的面积的四分之一
【中点三角形】
顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1. 如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC．在△ABC中，
∵点E，F分别是边AB，BC的中点，
∴EF//AC，EF AC．
同理，GH//AC，GH AC．
∴EF//GH，且EF GH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
C
A
B
D
F
E
G
H
结论：顺次连接四边形四边中点所得的四边形是平行四边形．
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
2. △ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、CA的中点，则下列关于线段AD和EF之间关系的说法中正确的是( )
A.AD EF B.AD EF
C.AD和EF互相平分 D.以上答案都不对
C
分析：
A
B
C
D
E
F
DE AC
＝
＝
DE AF
＝
＝
四边形AEDF是平行四边形
AD和EF互相平分
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
随堂练习
3. △ABC中，AB AC，AD是BC边上的高，E为AB的中点，若BC 10，AD 12，则DE的长为( )
A.5 B.5.5 C.6 D.6.5
D
A
B
C
D
E
DE AC
DE
AC
AB
只需求
BD BC 5
AD 12
勾股定理
13
6.5
DE AC
分析：
三角形的中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
三角形的中位线
定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
A
B
C
E
D
布置作业
教科书第85页习题19.2
第12题、第15题.
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
