北师大版八年级数学上册第一章专题四模型拓展——勾股定理模型课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
专题四 模型拓展——勾股定理模型
模型一 翻折勾股模型
模型图示：
(a－x)2＋b2＝x2 (a－x)2＋b2＝x2
(c－b)2＋x2＝(a－x)2 (a－x)2＝b2＋x2
(a－x)2＝b2＋x2
1. 有一张直角三角形纸片.
（1）如图Z1－4－1①，若两直角边AC＝6，BC＝8，将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长；
（2）如图Z1－4－1②，若D是BC的中点，请判断：AB2＋3AC2与4AD2是否相等？

（2）相等，理由如下：
在图Z1－4－1②中，
因为∠C＝90°，
所以AB2＝AC2＋BC2，CD2＝AD2－AC2.
因为D是BC的中点，
所以BC＝2CD.
所以AB2＝AC2＋4CD2＝AC2＋4（AD2－AC2）.
所以AB2＝AC2＋4AD2－4AC2.
所以AB2＋3AC2＝4AD2．

总结：如图Z1－4－2，观察这两个三角形，得这两个三角形的高相等，且有两边相等.如图Z1－4－3，将这个三角形拼在一起后构成一个边长为8的等边三角形，且该等边三角形的高即为这两个三角形的高.
2. 如图Z1－4－4，在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，求∠C的度数.
解：如答图Z1－4－1，过点A作AD⊥BC于点D.
设CD＝x，
则BD＝BC－CD＝5－x.
在Rt△ABD中，由勾股定理,
得AD2＝AB2－BD2.

模型三 共边勾股模型
模型图示：
a2－b2＝m2－n2＝c2 a2－b2＝m2－n2＝c2
a2－b2＝m2－n2＝c2 a2－b2＝m2＋n2＝c2
a2－b2＝m2＋n2＝c2
3. 如图Z1－4－5,在△ABC中，AB＝2，BC＝6，AC＝5，求边BC上的高．

模型四 等腰勾股模型
模型图示：
a2＋b2＝c2＝(m＋b)2 a2＋b2＝c2＝(m－b)2
(m＋a)2－a2＝b2
4. 如图Z1－4－6，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.求CD的长．

模型五 垂美模型
模型图示：
a2＋d2＝b2＋c2
S四边形ABCD＝(AC·BD)÷2
a2＋d2＝b2＋c2
S四边形ABCD＝(AC·BD)÷2
垂美四边形：对角线互相垂直的四边形．
垂美结论：垂美四边形对边的平方和相等．
5. 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）小美同学猜想“垂美四边形两组对边的平方和相等”，如图Z1－4－7①，在四边形ABCD中，若AC⊥BD，则AB2＋CD2＝AD2＋BC2．请判断小美同学的猜想是否正确，并说明理由；
（2）如图Z1－4－7②．在△ABC中，BC＝3，AC＝4，D, E分别是AC, BC的中点，
连接AE, BD，且AE⊥BD，求AB．
解：（1）猜想正确，理由如下.
因为在四边形ABCD中，AC⊥BD，
所以∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝∠AOD＝90°.
所以AB2＝OA2＋OB2，CD2＝OC2＋OD2，
BC2＝OB2＋OC2，AD2＝OA2＋OD2.
所以AB2＋CD2＝OA2＋OB2＋OC2＋OD2，
BC2＋AD2＝OB2＋OC2＋OA2＋OD2.
所以AB2＋CD2＝AD2＋BC2.


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