19.4 综合与实践
多边形的镶嵌
一、教学目标
1.了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌
设计.
2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.
3.经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维.培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力.
4.使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值.
二、教学重难点
重点：了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌.
难点：能运用多边形进行简单的镶嵌设计.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【情境引入】 观看视频，感受平面图形在生活中的应用. 认真观看视频 通过视频让学生初步感受多边形的镶嵌，提高学习兴趣.
环节二 探究 新知 【合作探究】 教师活动：教师给出图片，引导学生观察图片的共同特征，然后再让学生说出生活中的实例.接着给出平面镶嵌的概念. 问题：观察下面的图形，看看它们有什么共同特征？ 预设答案：都是由多个图形拼接而成的，图形间没有缝隙，也不重叠. 追问：生活中你还见过类似这样拼接而成的图案吗？ 平面镶嵌的概念： 我们常常可以看到用各种形状的地砖（或墙砖）铺砌成的平面图案.这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌. 【探究】 某同学家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种铺砌地面，你认为哪些可以供他选择 探究过程展示： 6个正三角形可以镶嵌 4个正方形可以镶嵌 正五边形不可以镶嵌 3个正六边形可以镶嵌 【思考】 为什么正五边形不能镶嵌，而正三角形、正方形、正六边形都能镶嵌？ 预设答案：正三角形、正方形、正六边形在一个顶点处的几个内角恰好拼成一个周角，这样镶嵌不重叠、无缝隙.而正五边形却不能. 【归纳】 平面镶嵌的条件： 要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°． 能单独用来镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360°. 【思考】 还有其它正多边形能镶嵌吗？ 设在一个顶点周围有k个正n边形的角，则有 整理得：(n2)(k2)=4 ∵ k为正整数，n为大于等于 3 的正整数 ∴解为或或. 小结：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能 镶嵌． 【延伸】 一般的三角形和四边形能镶嵌吗？ 三角形的内角和是180°，内角和的整数倍是360°.形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形. 在每个拼接点处有4个角，而这几个角的和恰好是这个四边形的四个内角之和，即为360°. 形状、大小完全相同的任意四边形能镶嵌成平面图形. 【归纳】 能单独镶嵌平面的正多边形有：正三角形，正方形，正六边形. 能单独镶嵌平面的全等任意多边形有：三角形，四边形. 认真观察，找出共同特征 举出生活中类似的图形拼接实例 熟悉平面镶嵌 分组探究，画图操作 认真思考 熟悉平面镶嵌的条件 认真思考 先自主探究再同桌交流 借助图片的共同特征及生活中的实例自然引出平面镶嵌的概念.培养学生的观察归纳能力，并进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用. 在探究过程中开发学生的创造性思维，培养自主探索能力. 让学生体会平面镶嵌的条件. 进一步熟悉平面镶嵌的条件，并培养学生的归纳概括能力. 通过推理证明发展学生的合情推理能力，进一步明确哪些正多边形能够镶嵌. 进一步巩固平面镶嵌的条件，并培养学生动手操作，自主探索的能力.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】用正三角形和正六边形(边长相同)作平面镶嵌，在一个顶点周围，正三角形与正六边形各需要多少个？ 解：设在一个顶点处有m个正三角形的角，有n个正六边形的角， 则：60m+120n=360 即：m+2n=6 所以，当m=2时，n=2；当m=4时，n=1. 答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边形1个. 明确例题的做法 让学生在探究过程中进一步加深对多边形的镶嵌的认识和理解，培养学生的应用意识.开发、培养学生的创造性思维.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，能铺满地面，则m= ，n= . 2.李老师家想用边长相等的正方形和正八边形铺设地板，请你帮忙设计一个图案？ 答案： 1. 3，2； 2. 图案仅供参考. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 请你设计一个多边形的镶嵌图案 要求：同时用两种正多边形. 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共21张PPT)
19.4 综合与实践
多边形的镶嵌
1.了解平面图形镶嵌的含义，掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的理由及简单的镶嵌设计.
2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的设计.
3.经历探索多边形镶嵌的过程，进一步发展学生的合情推理能力，开发、培养学生创造性思维.培养学生动手操作，自主探索，合作学习的能力.
4.使学生进一步体会平面图形在现实生活中的广泛应用，体会数学与现实生活的密切联系，认识数学的应用价值.
学习目标
多边形的镶嵌
情境引入
观看视频，感受平面图形在生活中的应用.
合作探究
观察下面的图形，看看它们有什么共同特征？
都是由多个图形拼接而成的，图形间没有缝隙，也不重叠.
想一想
我们常常可以看到用各种形状的地砖（或墙砖）铺砌成的平面图案.这种用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.
生活中你还见过类似这样拼接而成的图案吗？
探究
60°
60°
60°
60°
60°
60°
6个正三角形可以镶嵌
某同学家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种铺砌地面，你认为哪些可以供他选择
探究
某同学家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种铺砌底面，你认为哪些可以供他选择
4个正方形可以镶嵌
90°
90°
90°
90°
探究
某同学家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种铺砌底面，你认为哪些可以供他选择
正五边形不可以镶嵌
∠1+∠2+∠3=
108°
1
2
3
108°
108°
324°
探究
某同学家装修地板，在正三角形，正方形，正五边形，正六边形瓷砖中只能选择一种铺砌底面，你认为哪些可以供他选择
3个正六边形可以镶嵌
120°
120°
120°
思考
为什么正五边形不能镶嵌，而正三角形、正方形、正六边形都能镶嵌？
正三角形、正方形、正六边形在一个顶点处的几个内角恰好拼成一个周角，这样镶嵌不重叠、无缝隙.而正五边形却不能.
归纳
平面镶嵌的条件：
要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°．
能单独用来镶嵌平面的正多边形的内角度数一定能整除360°.
思考
还有其它正多边形能镶嵌吗？
整理得：(n 2)(k 2)=4
设在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角，则有
∵ k为正整数， n为大于等于3的正整数
∴解为 或 或 .
在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．
延伸
一般的三角形和四边形能镶嵌吗？
形状、大小完全相同的任意三角形能镶嵌成平面图形.
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
三角形的内角和是180°， 内角和的整数倍是360°.
延伸
一般的三角形和四边形能镶嵌吗？
形状、大小完全相同的任意四边形能镶嵌成平面图形.
在每个拼接点处有 个角，而这几个角的和恰好是这个四边形的四个内角之 ，即为 .
4
和
360°
归纳
能单独镶嵌平面的正多边形有：正三角形，正方形，正六边形.
能单独镶嵌平面的全等任意多边形有：三角形，四边形.
典型例题
【例】用正三角形和正六边形(边长相同)作平面镶嵌，在一个顶点周围，正三角形与正六边形各需要多少个？
作平面镶嵌需满足在一个顶点处各内角和等于360°.
解：设在一个顶点处有m个正三角形的角，有n个正六边形的角，
则：60m+120n=360
即：m+2n=6
所以，当m=2时，n=2；当m=4时，n=1.
答：需正三角形2个，正六边形2个或正三角形4个，正六边形1个.
分析：
随堂练习
1.设在一个顶点周围有m个正三角形，n个正方形，能铺满地面，则m= ，n= .
分析
由题意得：60m+90n=360，
即：2m+3n=12，
所以，m=3，n=2.
3
2
随堂练习
2.李老师家想用边长相等的正方形和正八边形铺设地板，请你帮忙设计一个图案？
图案仅供参考，答案不唯一.
平面镶嵌的概念：
用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里面叫做平面镶嵌.
多边形的镶嵌
要用图形不留空隙、不重叠地镶嵌一个平面区域，需使得拼接点处的所有内角之和等于360°．
平面镶嵌的条件：
请你设计一个多边形的镶嵌图案
要求：同时用两种正多边形.
再见
