20.2 数据的集中趋势与离散程度
20.2.2 数据的离散程度
一、教学目标
1. 理解方差的概念与作用.
2. 理解和掌握方差的计算公式，并能灵活运用方差知识解决问题.
3. 会用计算器计算一组数据的方差.
4. 通过实验和探索，体会用统计量表示数据波动情形的合理性，并能用它们解决有关实际问题.
二、教学重难点
重点：方差产生的必要性和方差的计算公式.
难点：理解方差公式以及方差的意义.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【情境引入】 两台机床生产的零件都是合格的，为了评判哪台机床生产的零件的精度更稳定，从产品中各抽出10个零件进行测量，结果如下表： 预设：先分别计算它们的平均数，再比较两个平均数的大小，就能评估出哪台机床生产的零件的精度大了！ 这种说法对吗？为什么？ 这节课我们就一起研究这个问题！ 学生思考、并举手回答. 通过实际问题的解决，引出本节课的学习，调动学生学习的积极性以及对数学知识学习的欲望.
环节二 探究新知 【思考】 问题⑥ 两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个进行测量，结果如下(单位：mm)： 提出问题：你能根据以上结果评判哪台机床生 产的零件的精度更稳定吗？ 要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值： 追问：平均值一样，这可怎么比较呢？ 它们的中位数也都是20.0mm，从数据集中趋势这个角度很难区分两台机床生产的零件的精度的稳定性了.这时，就需要考察数据的离散程度了. 把每组零件的直径分别用点来表示，如下图： 图中过20.0且与横轴平行的直线上的点表示与平均数相等都是20.0. 对于机床A：和20.0相等的有2个； 偏离平均数0.2mm的6个， 偏离平均数0.1mm的2个； 对于机床B：和20.0相等的有4个； 偏离平均数0.2mm的2个， 偏离平均数0.1mm的4个. 对比分析：直观上很容易看出机床B比机床A生产的零件的精度更稳定.那如何用数量来刻画一组数据的离散程度呢？ 统计学中常用下面的方法： 设一组数据是它们的平均数是我们用 来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差. 注意：一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大. 你现在知道怎样用数量来比较两台机床生产的零件哪台更稳定了吗？ 前边已经经过计算得到两台机床生产的零件中10个零件的直径的平均值是相等的，都是20.0，下面通过计算方差，来评判哪台机床的精度更稳定： 由于0.026＞0.012，可知机床A生产的10个零件的直径比机床B生产的10个零件的直径波动大. 【思考】 问题1：如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为，方差为 s2，那么，另一组数据 a1+2，a2+2，…，an+2 的平均数为 ，方差为 . 问题2：如果一组数据 b1，b2，…，bn 的平均数为4，方差为，那么另一组数据 的平均数为 ，方差为 . 根据方差的公式计算即可. 问题1答案： s2 问题2答案：2 根据计算结果及其计算过程，你能得出什么规律吗？ 总结：将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；将一组数据中的每一个数据都变为原来的 k 倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的 k2 倍. 学生尝试用学过的知识思考，并回答. 学生小组交流，汇总并举手发言. 学生计算、并组内交流，举手回答. 通过探究思考实际问题，让学生感受仅有平均水平是很难对所有事物进行分析，还需要关注数据的离散程度，即它们相对于“平均水平”的偏离程度，从而顺利引入方差的概念以及方差的计算公式. 借助两个思考题，让学生通过观察分析、组内交流，得出计算方差的规律，同时培养学生的观察、分析问题和总结的能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下： 甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4 乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 请你分别计算这两组数据的方差，并判断选谁参加比赛？ 分析：根据方差的计算公式可知，先计算每组数据的平均数，然后再根据方差的计算公式计算对应的方差，最后根据方差的大小判断选哪名学生参赛. 解： 乙的成绩比较稳定，故选乙参加比赛. 例2 用计算器求下列数据的方差(结果保留2位小数)： 138，156，131，141，128，139，135，130. 解：按键方法：(1)设定计算模式.在打开计算器后，先按键将其设定至“Start”状态； (2)按键清除计算器原先在“Start”模式下所储存的数据； (3)输入数据，依次按以下各键： (4)求方差.在计算器的键盘上，用σX表示一组数据的方差的算术平方根. 按键显示方差的算术平方根； 按键显示方差： 由上可得 s2 ≈ 68.94. 注意：用计算器计算方差时，一定要注意按键的选择及其顺序. 学生思考、计算并回答. 进一步巩固学生对“方差”的认识和理解.
环节四 巩固新知 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.已知一个样本的方差 ， 则这个样本的容量为 ，平均数为 . 答案：10 26 2.甲、乙两名运动员进行了5次跳远的成绩测试，而且知道= 0.016，= 0.025，那么由此可知 的成绩比 的成绩稳定. 答案：甲 乙 3.如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为，方差为 s2，那么，另一组数据 a1–2，a2–2，…，an–2 的平均数为 ，方差为 . 答案： s2 4. 考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取 10 株苗，测得苗高如下(单位：cm)： 甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11； 乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16. 计算甲、乙两组数据的方差，说明哪种小麦长得较整齐. 解： 所以甲种小麦长得较整齐. 学生自主练习 学生通过练习，可以更好地掌握方差的计算以及方差的意义，同时进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生尝试归纳总结本节所学内容及收获. 回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.
环节六 布置作业 教科书第137页习题20.2第9题. 学生课后自主完成. 加深认识，深化提高.(共19张PPT)
20.2.2 数据的离散程度
学习目标
方差
准备好了吗？一起去探索吧！
1. 理解方差的概念与作用.
2. 理解和掌握方差的计算公式，并能灵活运用方差知识解决问题.
3. 会用计算器计算一组数据的方差.
4. 通过实验和探索，体会用统计量表示数据波动情形的合理性，并能用它们解决有关实际问题.
情境引入
两台机床生产的零件都是合
格的，为了评判哪台机床生产的零件
的精度更稳定，从产品中各抽出10个
零件进行测量，结果如下表：
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
先分别计算它们的平均数，再比较两个平均数的大小，就能评估出哪台机床生产的零件的精度大了！
问题⑥ 两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出10个进行测量，结果如下(单位：mm)：
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
思考
你能根据以上结
果评判哪台机床生
产的零件的精度
更稳定吗？
要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值：
平均值一样，这可怎么比较呢？
需要考察数据的离散程度了！
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
思考
你能根据以上结
果评判哪台机床生
产的零件的精度
更稳定吗？
要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值：
把每组零件的直径分别用点来表示，如下图：
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 A
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 B
思考
把每组零件的直径分别用点来表示，如下图：
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 A
数据序号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20.2
20.1
20.0
19.9
19.8
零件直径 / mm
机床 B
平均数
平均数
偏离0.2
偏离0.2
偏离平均数0.2mm的有6个，
偏离平均数0.1mm的有2个，
偏离0.1
偏离0.1
偏离平均数0.2mm的有2个，
偏离平均数0.1mm的有4个，
直观上看，容易看出机床B比机床A生产的零件的精度更稳定.
如何用数量来
刻画一组数据的离散程度呢？
归纳
统计学中常用下面的方法：
设一组数据是
来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.
你现在知道怎样用数
量来比较两台机床生产的零件哪台更稳定了吗？
注意：一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大.
机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8
机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8
思考
你能根据以上结
果评判哪台机床生
产的零件的精度
更稳定吗？
要比较两组数据的稳定性，首先想到的是求它们的平均值：
下面通过计算方差，来评判哪台机床的精度更稳定：
所以机床A生产的10个零件直径比机床B生产的波动大.
B机床生产的稳定！
思考
如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为 ，方差为 s2，那么，另一组数据 a1+2，a2+2，…，an+2 的平均数为 ，方差为 .
s2
如果一组数据 b1，b2，…，bn 的平均数为 4，方差为 ，那么另一组数据 的平均数为 ，方差为 .
2
将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；
归 纳
将一组数据中的每一个数据都变为原来的 k 倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的 k2 倍.
不变
原方差的平方
典型例题
解：
例1 为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
请你分别计算这两组数据的方差，并判断选谁参加比赛？
典型例题
解：
乙的成绩比较稳定，故选乙参加比赛.
例1 为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次，命中的环数如下：
甲：7 8 6 8 6 5 9 10 7 4
乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
请你分别计算这两组数据的方差，并判断选谁参加比赛？
典型例题
例2 用计算器求下列数据的方差(结果保留2位小数)：
138，156，131，141，128，139，135，130.
解：按键方法：
(1)设定计算模式.在打开计算器后，先按键 将其设定至“Start”状态；
2ndf
MODE
1
(2)按键 清除计算器原先在“Start”模式下所储存的数据；
2ndf
DEL
(3)输入数据，依次按以下各键：
138 156 131 141 128 139
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
DATA
135 130 ；
DATA
DATA
典型例题
例2 用计算器求下列数据的方差(结果保留2位小数)：
138，156，131，141，128，139，135，130.
解：按键方法：
(4)求方差.在计算器的键盘上，用σX表示一组数据的方差的算术平方根.
按键 显示方差的算术平方根；
RCL
σX
由上可得
σX=8.302860953
按键 显示方差：
=
X2
ANS2 = 68.9375
s2 ≈ 68.94.
用计算器计算方差时，一定要注意按键的选择及其顺序.
抢答
随堂练习
1.已知一个样本的方差
，
则这个样本的容量为 ，平均数为 .
10
26
甲
乙
2.甲、乙两名运动员进行了 5 次跳远的成绩测试，且知 = 0.016，
= 0.025，由此可知 的成绩比 的成绩稳定.
3.如果一组数据 a1，a2，…，an 的平均数为 ，方差为 s2，那么，另
一组数据 a1–2，a2–2，…，an–2 的平均数为 ，方差为 .
s2
抢答
随堂练习
4. 考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取 10 株苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.
计算甲、乙两组数据的方差，说明哪种小麦长得较整齐.
解：
抢答
随堂练习
4. 考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取 10 株苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；
乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16.
计算甲、乙两组数据的方差，说明哪种小麦长得较整齐.
解：
所以甲种小麦长得较整齐.
方
差
方差：
方差的意义：
一般地，在平均数相同的情况下，方差越大，则意味着这组数据对平均数的离散程度也越大；反之，其离散程度就越小.
统计学中常用下面的方法：
设一组数据是
来衡量这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差.
教科书第137页习题20.2
第9题
再见
