数学人教A版（2019）必修第一册3.2.2函数的奇偶性（共40张ppt）

(共40张PPT)
(第一册) 第三章 函数的概念与性质
函数的基本性质
函数的奇偶性（第一课时）
2022年10月3日星期一
1
人教A版（2019）必修第一册
【学习目标】
奇函数的概念；
偶函数的概念；
函数奇偶性的判断；
【学习重点】
函数奇偶性的概念
【学习难点】
函数奇偶性的判断
【自学指导】阅读课本P82-84思考下列问题
1、奇函数与偶函数的概念分别是什么？
2、奇函数与偶函数的图像分别有什么特征？
3、判断函数的奇偶性的步骤是什么？
引入
引 例
1.已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出y=f(-x)的图象．
解:
f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4
f(-2)=f(2)
f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1
f(-1)=f(1)
f(-x)=(-x)2=x2
f(-x)=f(x)
思考 :(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？
(2)从解析式上如何体现上述特征？
偶函数的特征:
①解析式的基本特征：
f (-x)=f (x)
②图像特征:关于y轴对称.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
1. 偶函数的概念
2.已知f(x)=x3,画出它的图象,并求出f(-2),f(2),
　f(-1),f(1)及f(-x)
解:
f(-2)=(-2)3=-8, f (2)=8
f(-2)= - f(2)
f(-1)=(-1)3=-1, f(1)=1 f(-1)= - f(1)
f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=- f(x)
思考 : 通过练习,你发现了什么规律
(-x,-y)
(x,y)
奇函数的特征:
①解析式的基本特征：
f (-x)=-f (x)
②图像特征:关于原点对称.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
2.奇函数的概念
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
3.奇偶性的概念
(1)若f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立.
若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立.
(2)判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提．
注意事项
[a ,b]
[-b,-a]
x
o
(3)函数的奇偶性是函数的整体性质;而函数的单调性是函数的局部性质.
奇函数的图象(如y=x3 )
偶函数的图象(如y=x2)
y
x
o
a
a
P/(-a ,f(-a))
p(a ,f(a))
-a
y
x
o
a
P/(-a ,f(-a))
p(a ,f(a))
-a
奇偶函数的图像
3奇偶函数图象的性质
(1)奇函数的图象关于原点对称.如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.
(3)偶函数的图象关于y轴对称. 如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数为偶函数.
(2)奇函数单调性在原点两侧相同。
(4)偶函数的单调性在原点两侧相反。
例1. 判断下列函数的奇偶性
(1) f(x)=x3+2x； (2) f(x)=2x4+3x2；
解:
∵f(-x)=(-x)3+2(-x)
= -x3-2x
= -(x3+2x)
= - f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∵f(-x)=2(-x)4+3(-x)2
=2x4+3x2
∴f(x)为偶函数．
函数定义域为R．
解:
函数定义域为R．
= f(x)，
巩固双基
解:函数定义域为R．
∴f(x)为奇函数．
有既是奇函数又是偶函数的吗？
解:函数定义域为 [0 ,+∞)．
∵定义域不关于原点对称
∴f(x)为非奇非偶函数．
-2
3
0
x
y
(6) f(x)=x+1
解:函数f(x)的定义域为R．
∵ f(-x)=f(x)=0，
又 f(-x)=-f(x)=0，
∴f(x)为既奇又偶函数．
(5)f(x)=0 (x R)
根据奇偶性,
函数可划分为四类:
奇函数;
偶函数;
既奇又偶函数;
非奇非偶函数.
解:函数定义域为R．
∵ f(-x)= -x+1，
- f(x)= -x-1,
∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠ –f(x).
∴f(x)为非奇非偶函数.
注：对于形如 f(x)=x n 的函数，
若n为偶数，则它为偶函数。
若n为奇数，则它为奇函数。
练习1.判断下列函数的奇偶性
∴f(x)为奇函数.
解:定义域为{x|x≠0},
即 f(-x)= - f(x),
(2)f(x)=5
解:f(x)的定义域为R.
∵ f(-x)=f(x)=5
y
o
x
5
∴f(x)为偶函数.
∴f(x)既是偶函数, 又是奇函数.
解:函数的定义域为{-1,1},
例2.若函数
是偶函数,求m的值及函数的单调区间。
(1)
(2)
(3)
(4)
偶函数
非奇非偶函数
奇函数
非奇非偶函数
小结
o
o
o
o
x
x
x
x
y
y
y
y
例3、判断下列函数的奇偶性
课堂小结
1. 奇函数和偶函数定义.
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称.
一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称.
2.奇偶函数的性质:
3.判断函数奇偶性的步骤
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
作业、
1、书P85练习的第2题
2、书P86复习巩固的第5题
(第一册) 第三章 函数的概念与性质
函数的基本性质
函数的奇偶性（第二课时）
2022年10月3日星期一
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人教A版（2019）必修第一册
【学习重点】
【学习目标】
【学习难点】
学习目标
奇函数图象的对称性
了解函数的奇偶性与图象的对称性之间的关系
偶函数图象的对称性
奇偶函数图象的性质；
熟练解决函数单调性、奇偶性综合问题.
复习回顾
1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x ,
如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数.
如果都有f(-x)=f(x) f(x)为偶函数.
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称.
一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称.
2.两个性质:
4.判断函数奇偶性的步骤
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
3、奇偶性与单调性的关系
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
【1】已知函数f(x)=ax2+bx+c,(2a-3≤x≤1)是 偶函数，则a=___，b=____，c∈___.
1
0
R
课前热身
【2】对于奇函数f(x),若x能取到零,则f(0)=__.
0
【4】函数 是偶函数.
【3】对于定义在R上的函数 f (x),
下列判断是否正确？
若f (-2) = f (2),则函数 f (x)是偶函数．
若f (-2)≠f (2),则函数 f (x)不是偶函数．
函数的奇偶性可用于：
（1）求函数的解析式
（2）简化函数图象的画法
（3）判断函数的单调性
（4）比较函数值的大小
（5）求参数的取值范围
例题讲解
(一)求函数的解析式
练习1、已知 f(x) 是定义在Ｒ上的奇函数,当x＞0时, f(x)=x2+x-1, 求函数f(x)的表达式．
引申：如果改为偶函数呢？
x
y
o
例2.若 f(x) 为偶函数，g(x)为奇函数,且 求 f(x), g(x).
例3、已知函数的右半部分图象，根据下列条件把函数图象补充完整；
f(x)是偶函数； 2) f(x)是奇函数.
x
y
O
1
2
x
y
O
1
3
2
-1
B
A
(二)简化函数图象的画法
练习2、已知函数y=f(x)是偶函数,它在y轴右边的 图象如图,画出y=f(x)在 y轴左边的图象.
解:
o
y
x
练习3：如果奇函数f(x)在区间[3,7]上为增函数,且最小值是5,则在区间[-7,-3]上有没有最大值？是多少？
解:如图所示
函数有最大值
-7
-3
-5
3
5
x
y
7
o
函数f(x)在区间[-7,-3]上为增函数.
(三)比较函数值的大小
(四)求参数的取值范围
练习.定义在[-1,1]上的函数f(x) 是奇函数,并且在[-1,1] 上f(x)是增函数,求满足条件 f(1-a)+ f(1-a2)≤0的 a 的取值范围.
解:由f(1-a)+f(1-a2)≤0,
∵ f (x)是奇函数,
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
－2
2
0
1
故 a 的取值范围为
课堂小结
1.函数奇偶性的定义．
定义法
利用性质
2.函数奇偶性的判定
图象法:画出函数图象
①考查函数定义域是否关于原点对称；
②判断f(-x)＝±f(x)之一是否成立；
③作出结论.
拓展1：若对一切实数x, y 都有
(1)求f(0)的值;
(2)判定f(x)的奇偶性。
令 x = y = 0, 则
令y = -x , 则
故 f (x)是奇函数.
解:因为对于任何实数 x, y 都有
练习．已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0．
求证: f (x) 是偶函数.
令 x = y = 0, 则
令 x = 0 , 则
故 f (x)是偶函数.
　　解：已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y)，
课后巩固提高
1.奇函数 是定义在（-2，2）上的减函数，
若 求实数 的取值范围
2. 已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，
求f(x)的解析式。
3. 函数 是定义在（-1，1）上的奇
函数，且 。
（1）求f(x)的解析式;
(2) 证明f(x)在（-1，1）上是增函数；
（3） 解不等式f(t-1)+f(t)<0.