5.7 二次函数的应用
— 同步练习 —
一、选择题
1、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
3、在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度y（ m）与水平距离x（ m）之间的关系如图所示，点B为落地点，且OA＝1 m，OB＝4 m，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
4、五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
5、在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x
C．y＝﹣x2+3x﹣2 D．y＝x2﹣3x+2
6、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
7、如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
8、北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
二、填空题
9、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序号）．
10、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
11、发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时，炮弹位置达到最高．
12、退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
13、据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解析式为 ．
14、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
15、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
16、图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 ．
三、解答题
17、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
18、2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
19、已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
20、如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m），建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．
21、荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）降价后平均每天可以销售荔枝 千克．（用含x的代数式表示）
（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
22、2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
23、如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．
（1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式；
（2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；
（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？
24、如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．5.7 二次函数的应用
— 同步练习 —
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一、选择题
1、如图，二次函数y＝﹣x2+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2；
④图象上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2，
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
［思路分析］①错误．由图象可知当a＜x＜b时，y＞0．
②错误．当a＝﹣1时，b＝3
③错误．△MCE的周长的最小值为2+2．
④正确．设x1关于对称轴的对称点x1′，由题意推出x1＜1＜x1′＜x2，因为函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，所以y2＜y1．
［答案详解］解：①当a＜x＜b时，y＞0．故①错误．
②＝＝1，
∴当a＝﹣1时，b＝3，故②错误．
③当m＝2时，C（0，3），E（2，3）．E′与E关于x轴对称，
∴E′（2，﹣3），
∴CE′＝2，
∴△MCE的周长的最小值为2+2，故③错误．
④设x1关于对称轴的对称点x1′，
∴x1′＝2﹣x1，
∵x1+x2＞2，
∴x2＞﹣x1+2，
∴x2＞x1′，
∵x1＜1＜x2，
∴x1＜1＜x1′＜x2，
∵函数图象在x＞1时，y随x增大而减小，
∴y2＜y1，∴④正确．
故选：A．
［经验总结］本题考查二次函数综合题、最小值问题、增减性问题等知识，解题的关键是灵活掌握二次函数的有关性质，第四个结论的判断关键是利用对称点性质解决问题，所以中考压轴题．
2、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O与水面的距离CO是2m，则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（ ）
A．0.4m B．0.6m C．0.8m D．1m
［思路分析］首先建立平面直角坐标系，可设函数关系式为y＝ax2．根据AB＝1.6，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m，那么A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），利用待定系数法即可求解析式，再把y＝﹣0.5代入进而得出答案．
［答案详解］解：建立如图所示的坐标系，
设函数关系式为y＝ax2，
A点坐标应该是（﹣0.8，﹣2），
那么﹣2＝0.8×0.8×a，
即a＝﹣，
故y＝﹣x2；
当y＝﹣0.5时，﹣0.5＝﹣x2，
解得x＝±0.4，
∴水面的宽度为0.8m．
故选：C．
［经验总结］本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
3、在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度y（ m）与水平距离x（ m）之间的关系如图所示，点B为落地点，且OA＝1 m，OB＝4 m，羽毛球到达的最高点到y轴的距离为，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
［思路分析］由已知得A（0，1），B（4，0），抛物线对称轴为直线x＝，用待定系数法得抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；令x＝得羽毛球到达最高点时离地面的高度为m．
［答案详解］解：由已知得：A（0，1），B（4，0），抛物线对称轴为直线x＝，
设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+1；
令x＝得y＝﹣×（）2+×+1＝，
∴羽毛球到达最高点时离地面的高度为m，
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出抛物线的解析式．
4、五一假期，小明去游乐园游玩，坐上了他向往已久的摩天轮．摩天轮上，小明离地面的高度h（米）和他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的部分函数关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．摩天轮旋转一周需要6分钟
B．小明出发后的第3分钟和第9分钟，离地面的高度相同
C．小明离地面的最大高度为42米
D．小明出发后经过6分钟，离地面的高度为3米
［思路分析］（1）由图象可知，用两个最高点对应的时间作差即可．
（2）根据图象看出第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米．
（3）观察图得出，抛物线的顶点对应的高度为45米，与42米不符．
（4）从图上看出，小明出发后经过6分钟恰好到达最低点，最低点为3米，即可当得到结论．
［答案详解］解：由图可知小明第一次到达最高点时间节点为3分钟，第二次到达最高点时间节点为9分钟.9﹣3＝6．
∴A选项正确．
由图可知，第3分钟与第9分钟小明离地面的高度均为45米，高度相同．
∴B选项正确．
抛物线的顶点对应的高度为45米．
∴C选项错误，符合题意．
摩天轮旋转一周需要6分钟，摩天轮的最低点为3米，旋转一圈回到最低点．
∴D选项正确．
故选：C．
［经验总结］本题考查了函数的图象，常量和变量，解答问题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合思想解答．
5、在边长为的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，P是BD上一动点，过P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F．设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2+x
C．y＝﹣x2+3x﹣2 D．y＝x2﹣3x+2
［思路分析］根据正方形的性质求出AC＝BD＝2，OB＝OD＝BD＝1，当1＜x＜2时，P在OD上，由EF∥AC，可得△DEF∽△DAC，根据相似三角形对应边成比例求出EF＝4﹣2x，再根据三角形的面积公式即可求出y与x之间的关系式．
［答案详解］解：∵四边形ABCD是正方形，边长为，
∴AC＝BD＝2，OB＝OD＝BD＝1，
设BP＝x，△OEF的面积为y，当1＜x＜2时，P在OD上，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴EF：AC＝DP：OD，
即EF：2＝（2﹣x）：1，
∴EF＝4﹣2x，
∴y＝EF OP＝×（4﹣2x）（x﹣1）＝﹣x2+3x﹣2，
故选：C．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，根据x的取值范围判断P在OD上，进而利用数形结合是解答本题的关键．
6、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm
［思路分析］根据各个选项中的语句，可以写出y与x的函数关系式，然后即可判断哪个选项符合题意．
［答案详解］解：A．正方体集装箱的体积ym3，棱长xm，则y＝x3，y与x不是二次函数，不符合题意；
B．小莉驾车以108km/h的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm，则y＝108x，y与x不是二次函数，不符合题意；
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤，则y＝，y与x不是二次函数，不符合题意；
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积ym3，底面圆半径xm，则y＝14πx2，y与x是二次函数，符合题意；
故选：D．
［经验总结］本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式．
7、如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）
A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
［思路分析］根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．
［答案详解］解：设与墙垂直的矩形的边长为xm，
则这个花园的面积是：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18，
∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18，
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．
8、北京环球国际影城霸天虎过山车是很多人喜欢的项目．过山车在轨道上运行的过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，其运行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了过山车在该路段运行的水平距离x与y的三组数据A、B、C，根据上述函数模型和数据，可推断出，此过山车运行到最低点时，所对应的水平距离x可能为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
［思路分析］根据函数图象，可以得到对称轴x的取值范围，从而可以得到哪个选项是正确的．
［答案详解］解：设该抛物线的对称轴为x，
由图象可得，
解得6＜x＜9，
故选：C．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出对称轴x的取值范围．
二、填空题
9、已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是 （填写序号）．
［思路分析］利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．
［答案详解］解：∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2．
∴﹣＝2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致图象如下图：
由图象可知：y1＞y2，
∴①的说法正确；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的说法正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的说法正确；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，
∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的说法不正确．
综上，正确结论是：①②③，
故答案为：①②③．
［经验总结］本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
10、根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为 s时，小球达到最高点．
［思路分析］把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．
［答案详解］解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，
故答案为：2．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
11、发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，则第 秒时，炮弹位置达到最高．
［思路分析］求出抛物线的对称轴，即可得炮弹位置达到最高时x的值．
［答案详解］解：∵此炮弹在第7秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是直线x＝＝11，
∴炮弹位置达到最高时，时间是第11秒．
故答案为：11．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题的关键是求出抛物线的对称轴．
12、退休的李老师借助自家15米的院墙和总长度为30米的围栏，在院墙外设计一个矩形花圃种植花草．为方便进出，他在如图所示的位置安装了一个1米宽的门，如果设和墙相邻的一边长为x米，花圃面积为y平方米，则y与x之间的函数关系式为 ．
［思路分析］若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，利用矩形的面积计算公式，即可得出y与x之间的函数关系式，再结合院墙长15米及平行于墙的一边长非负，即可得出x的取值范围．
［答案详解］解：若和墙相邻的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（30+1﹣2x）米，
依题意得：y＝x（30+1﹣2x）＝﹣2x2+31x．
又∵，
∴8≤x＜15.5，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
故答案为：y＝﹣2x2+31x（8≤x＜15.5）．
［经验总结］本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
13、据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为y万吨，如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为x（x＞0），那么y关于x的函数解析式为 ．
［思路分析］2019到2021是两年时间，2019年蔬菜产量为100万吨，所以y＝100（1+x）2．
［答案详解］解：y＝100（1+x）2．
故答案为：y＝100（1+x）2．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握求平均变化率的方法．
14、如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣x2+x+，则铅球推出的水平距离OA的长是 m．
［思路分析］根据题目中的函数解析式和图象可知，OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值，然后令y＝0求出相应的x的值，即可得到OA的长．
［答案详解］解：∵y＝﹣x2+x+，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝﹣2，x2＝10，
∴OA＝10m，
故答案为：10．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确OA的长就是抛物线与x轴正半轴的交点的横坐标的值．
15、定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论：
①当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（，）；
②当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当m＜0时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点．
其中正确的结论有 ．（只需填写序号）
［思路分析］①把m＝﹣3代入[2m，1﹣m，﹣1﹣m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；
②令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；
③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；
④根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答．
［答案详解］解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
①当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；
②当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得x＝，x1＝1，x2＝﹣﹣，
|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；
③当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0 即对任意m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m＝0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的．
故答案为：①②④．
［经验总结］此题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．
16、图1是一个斜坡的横截面，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分，设喷出水珠的竖直高度为y（单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A的水平距离为x（单位：米），图2记录了y与x的相关数据，则y与x的函数关系式为 ．
［思路分析］根据函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将点（0，0）代入，求出a，即可得到函数关系式．
［答案详解］解：由图2可知，函数图象的对称轴为x＝4，最大值为4，设函数的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
将点（0，0）代入得，16a+4＝0，
解得：a＝﹣，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣（x﹣4）2+4．
故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+4．
［经验总结］此题考查了求二次函数的解析式，正确理解函数图象是解题的关键．
三、解答题
17、为了充分发挥科技导向作用，某公司计划建立总量为x（单位：万条，x≥100）的行业数据库，经过调研发现：运行总成本y（单位：万元）由基础成本、技术成本、维护成本三部分组成，其中基础成本保持不变为500万元，技术成本与x成正比例，维护成本与x的平方成正比例，运行中得到如表数据：
x（单位：万条） 200 300
y（单位：万元） 700 860
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该公司为了实现数据共享，计划吸收会员，每名会员需交纳会员费30万元，已知会员数Q与x之间的关系式为Q＝mx+n，且x＝600时，Q＝1000，且此时公司的利润W（单位：万元）最大，求m、n的值（利润＝会员费﹣运行总成本）．
［思路分析］（1）利用待定系数法求函数关系式；
（2）根据销售利润＝总收益﹣总成本列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其即可．
［答案详解］解：（1）设y＝ax2+bx+500，把（200，700），（300，860）代入得，
，
解得，
∴y＝0.002x2+0.6x+500（x≥100）；
（2）由题意可知，W＝30（mx+n）﹣（0.002x2+0.6x+500）＝﹣0.002x2+（30m﹣0.6）x+30n﹣500，
∵﹣0.002＜0，
∴当x＝﹣＝600时，W有最大值，
∴m＝0.1时，600m+n＝1000，
∴n＝940，
∴m，n的值分别为0.1，940．
［经验总结］本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中收益和成本之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
18、2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为（4，12），着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，若斜坡CD的坡度i＝3：4（即＝）．
求：（1）点A的坐标；
（2）该抛物线的函数表达式；
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长．（精确到0.1米）
（参考数据：≈1.73）
［思路分析］（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
［答案详解］解：（1）∵OA＝4，且点A在y轴正半轴，
∴A（0，4）．
（2）∵抛物线最高点B的坐标为（4，12），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+12，
∵A（0，4），
∴a（0﹣4）2+12＝4，解得a＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣4）2+12．
（3）在Rt△CDE中，＝，CD＝2.5，
∴CE＝1.5，DE＝2．
∴点D的纵坐标为﹣1.5，
令﹣（x﹣4）2+12＝﹣1.5，
解得，x＝4+3≈9.19或x＝4﹣3≈﹣1.19（不合题意，舍去），
∴D（9.19，﹣1.5）．
∴OC＝9.19﹣2＝7.19≈7.2（m）．
∴OC的长约为7.2米．
［经验总结］本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
19、已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销售量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数关系，部分数据如表：
x（元/件） 13 14 15 16
y（件） 1100 1000 900 800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当线下售价x为多少时，线下月销售量最大，最大是多少件？
（3）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销售量固定为400件．
①求出总利润w（单位：元）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）的函数关系式；
②回忆一次函数的概念，请你给上一问求出的函数命名，并用字母表示出它的一般形式．
［思路分析］（1）设y＝kx+b（k≠0），用待定系数法求解即可；
（2）设线下月林润为w′元，表达出w′与x的关系式，化为顶点式，可得出函数最值；
（3）①根据w＝线上利润+线下月利润，表示出w关于x的函数关系即可；
②根据函数的定义可知是二次函数，可得出其一般形式．
［答案详解］解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝14，y＝1000；x＝13，y＝1100代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）w根据题意可知，w′＝y（x﹣10）
＝（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣17）2+4900，
∴当线下售价x＝17件时线下的月利润总和达到最大；
（3）①根据题意可知，ww＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）2+7300；
②上述关系式为二次函数，一般形式为：y＝ax2+bx+c．
［经验总结］本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．
20、如图所示，三孔桥横截面的三个孔是都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同．正常水位时，大孔水面宽度AB为10m，顶点M距水面6m（即MO＝6m），小孔顶点N距水面4m（即NC＝4m），建立如图②所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）现有一艘船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，则这艘船在正常水位时能否安全通过拱桥大孔？
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出此时大孔的水面宽度EF．
［思路分析］（1）用待定系数法即可得大孔抛物线的解析式；
（2）求出x＝2时y的值，与4.5作差，比较差与0.5的大小即可；
（3）求出E、F坐标，即可得到答案．
［答案详解］解：（1）设大孔抛物线的解析式为y＝ax2+6，把点A（﹣5，0）代入得：
25a+6＝0，
解得a＝﹣，
∴大孔抛物线的解析式为y＝﹣x2+6；
（2）当x＝2时，y＝﹣x2+6＝﹣×22+6＝，
∵﹣4.5＝＞0.5，
∴这艘船在正常水位时能安全通过拱桥大孔；
（3）由NC＝4m，可知点F的纵坐标为4，代入解析式y＝﹣x2+6得：
﹣x2+6＝4，
解得：x＝±，
由抛物线对称性可知点E为（﹣，4），点F为（，4），
∴EF＝（米）．
答：大孔的水面宽度EF为米．
［经验总结］此题主要考查了二次函数的应用，解题关键是建立函数模型，准确找出模型类型，然后利用待定系数法求出模型（即函数）的表达式，最后根据函数的性质得出结论．
21、荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元．
（1）降价后平均每天可以销售荔枝 千克．（用含x的代数式表示）
（2）设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式．
（3）该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？
［思路分析］（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；
（2）利用利润＝（售价﹣成本）×销售量可得出结论；
（3）令y＝480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可．
［答案详解］解：（1）根据题意可知降后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克，
故答案为：（40+10x）．
（2）根据题意可知，y＝（40+10x）（28﹣18﹣x），
整理得y＝﹣10x2+60x+400．
（3）令y＝480，代入函数得﹣10x2+60x+400＝480，
解方程，得x1＝4，x2＝2，
∵要尽可能地清空库存，
∴x＝4，
此时荔枝定价为28﹣4＝24（元/千克）．
答：应将价格定为24元/千克．
［经验总结］本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，得出y关于x的二次函数是解题的关键．
22、2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
［思路分析］（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可
［答案详解］解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
［经验总结］本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
23、如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．
（1）设矩形一边为x（米），面积为y（平方米），求y与x的函数表达式；
（2）当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长；
（3）当x为何值时，所围苗圃面积最大，最大值是多少？
［思路分析］（1）根据题意可知，矩形的一边长为xm，则另一边长为（18﹣x）m，故矩形的面积y＝x（18﹣x），然后化简，即可得到y关于x的函数表达式；
（2）令y＝72，解关于x的一元二次方程即可；
（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解决问题．
［答案详解］解：（1）由题意可得，
y＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x，
即y关于x的函数表达式为y＝﹣x2+18x；
（2）当y＝72时，则﹣x2+18x＝72，
解得：x1＝6，x2＝12，
∴矩形的一边长为6米，另一边长为12米；
（3）由（1）知，y＝﹣x2+18x＝﹣（x﹣9）2+81，
∵﹣1＜0，
∴当x＝9时，y取得最大值，最大值为81，
∴当x＝9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81m2．
［经验总结］本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
24、如图，用一根60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
（1）若所围成的矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
（2）矩形框架ABCD面积的最大值为 平方厘米．
［思路分析］（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，根据面积公式列出一元二次方程，解之即可；
（2）在（1）的基础上，列出二次函数，再利用二次函数的性质可得出结论．
［答案详解］解：（1）设框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴x ＝144，
解得x＝12或x＝18，
∴AB＝12cm或AB＝8cm，
∴AB的长为12厘米或8厘米；
（2）由（1）知，框架的长AD为xcm，则宽AB为cm，
∴S＝x ，即S＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣15）2+150，
∵﹣＜0，
∴要使框架的面积最大，则x＝15，此时AB＝10，最大为150平方厘米．
故答案为：150．
［经验总结］此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值．
