2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册3.2.1函数的单调性（第五课时）（抽象函数最值） 课件（14张PPT）

(共14张PPT)
(第一册) 第三章 函数的概念与性质
第2讲
函数的基本性质
函数的单调性（第五课时）
(求抽象函数的单调性与最值)
02 十月 2022
人教A版（2019）必修第一册
学习目标
1、掌握抽象函数单调性的求解方法
2、掌握抽象函数最值的求解方法
例1.已知函数f (x)对任意的实数a，b都
有f (a·b)＝f (a)＋f (b)成立.
(1)求f (0)与f (1)的值；
(2)若f (2)＝p，f (3)＝q (p，q均为常
数)，求f (36)的值.
解：(1)令a=b=0,则f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0
令a=b=1,则f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0
(2)因为f(36)=f(6)+f(6)=2f(6)
而f(6)=f(2)+f(3)=p+q
所以f(36)=2f(6）=2p+2q
赋值法
点拨精讲
证明(1):设x10
当x>0时，恒有f(x)>1,所以f(x2-x1)>1
f(x2)=f[(x2-x1)+x1)]=f(x2-x1)+f(x1)-1
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)
=f(x2-x1)-1>0
所以f(x)为R上的增函数
(2)f(2)=f(1)+f(1)-1=2f(1)-1
f(3)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4
所以f(1)=2
所以f(a2+a-5)<2=f(1)
因为f(x)为R上的增函数
所以a2+a-5<1即-3即原不等式的解集为（-3，2）
课堂小结
1、根据抽象函数求函数值时，常用赋值法
2、在证明抽象函数单调性时要围绕单调性的概念利用抽象函数构造条件
1、已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：
①f(x1/x2) ＝f(x1)－f(x2)；②当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：函数f(x)为减函数；
(3)求不等式f(2x＋1)＞f(2－x)的解集．
当堂训练
解　(1)令x1＝x2＞0，
代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，
则 x1/x2＞1，由于当x＞1时，f(x)＜0，
所以f(x1/x2)＜0，即f(x1)－f(x2)＜0，因此f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数．
(3)因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以不等式f(2x＋1)＞f(2－x)等价于
故原不等式的解集为
解：（1）令x=y>0,则f(1)=f(x)-f(x)=0
(2)令x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)
当x>1时，f(x)<0,且x1/x2>1
所以f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0,即f(x)为定义域内的减函数
（3）因为f(x)为定义域内的减函数，
所以f(x)在[2,9]上也为减函数
所以f(x)的最小值为f(9)
令x=9,y=3
则f(9)=f(9/3)+f(3)
=f(3)+f(3)
=2f(3)
=-2
所以函数的最小值为-2