四川省德阳市第五中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学（理）试题（含答案）

德阳五中高2021级高二上期入学考试
数学试卷（理科）
（总分150分答题时间120分钟）
1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至12题，第II卷13-22题，共150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名 考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卷上，答在试卷上的无效.考试结束后，只将答题卷和机读卡交回.
一 选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上）
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4.若非零实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.下列函数中最小值为4的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知直线.若，则实数（ ）
A.或1 B.0或1 C.或2 D.或2
7.若实数满足约束条件，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8.已知在递减等比数列中，，若，则（ ）
A.9 B.6 C.8 D.7
9.方程所表示的曲线的图形是（ ）
A. B.
C. D.
10.设的内角，所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为（ ）
A. B.
C. D.
11.如图，在矩形中，，点在以点为圆心且与相切的圆上，.若，则的值为（ ）
A.2 B. C.3 D.
12.在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13.等差数列中，，则__________.
14.已知是边长为2的正三角形，是的中点，则__________.
15.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________.
16.已知中，点在边上，，则的取值范围为__________.
三 解答题：解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.已知向量与垂直.
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值.
18.已知的三个顶点坐标为.
（1）求的中线所在直线方程的一般式方程；
（2）求的面积.
19.设函数.
（1）求的最小正周期和最值；
（2）已知分别是内角的对边，，求线段的长.
20.已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
21.已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点.
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程.
22.数学家研究发现，音叉发出的声音（音叉附近空气分子的振动）可以用数学模型来刻画.1807年，法国数学家傅里叶用一个纯粹的数学定理表述了任何周期性声音的公式是形如的简单正弦函数之和.若某种声音的模型是函数，.
（1）求函数在上的值域；
（2）若，试研究函数在上的零点个数，并说明理由.
德阳五中高2021级高二上期入学考试
数学答案（理科）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D D C C B B D A B C
13.60 14. 15. 16.
17.解：（1）因为且与垂直，
所以，即，即，
解得.
（2）
设向量与的夹角为，所以
18.解（1）设的中点，则，即.
所以的中线所在直线方程为，即.
（2），
所以，即.
所以.
19.解（1）
（2），
，
，
舍.
，
，
综上，的最小正周期为，最大值为2，最小值为.
20.（1）解法一：因为①，
所以②，
②-①得即，
所以，
又当时，，又，所以，所以，
所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以.
解法二：时，
是以2为首项，2为公比的等比数列
当时，
由
（2）解：由（1）可得，
所以，
则
两式相减得，
所以.
21.解（1）设圆的半径为，由于圆与直线相切，
圆的方程为；
（2）①当直线与轴垂直时，易知符合题意；
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，即，
连接，则，
则由，得直线.
故直线的方程为或.
22.（1）因为，所以，
所以，即，
所以函数在上的值域为.
（2）因为，所以.
①当时，，因为，所以，解得，
所以在上只有一个零点.
②当时，或.令，则
ⅰ若，记则在上单调递减，且，
所以，由①得，所以在上只有一个零点.
ⅱ若，则在上单调递减，在上单调递增，且，
所以，由①得；，因为，所以，解得；
所以在上有两个零点.
ⅲ若，则在上单调递减，在上单调递增，且，
，由①得；，当时，令，
则，根据零点存在定理，
所以连续函数在上存在零点，
因为在上单调递减，所以连续函数在上只有一个零点.
同理，连续函数在上只有一个零点.
所以在上有三个零点.
综上，当或时，在上只有一个零点；
当时，在上有两个零点；
当时，在上有三个零点