2.5.2 圆与圆的位置关系
对点1-------圆与圆的位置关系的判断方法
1.圆与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 内含 C. 相切 D. 相交
【答案】D
解析：圆心C1，半径；圆心C2，半径2.
==，r2+r1=3，r2－r1=1.
r2－r1<故选．
注：教材例题介绍了两种方法：代数法和几何法，尽量使用几何法.
2.若圆：与圆：相切，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
解析：A，rA=；B(4，2)，rB=.
.
①两圆外切时：=rA+rB，5=2+，=9；
②两圆内切时：=，5=，=5或=－5，=－3(舍)或=7，=49.
综上，或．
故选．
提醒：圆与圆相切分情况两种：外切、内切.
3.设，若圆：与圆：相交，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：M(3，1)，rM=1；N(a，－1)，rN=.
==.
，，，.
故选A．
注：两圆半径大小不确定时，做差时不要忘记取绝对值.
4.已知与有且仅有条公切线，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：两圆有且仅有条公切线，两圆一定外切.
O1(0，1)，r1=1；O2(a，2)，r2=3.
==.
=r1+r2，=4，
则有，.
故选C．
注：本题间接、委婉地考察两圆的位置关系，间接、委婉地考察某个知识点是高考命题的常见方法.
5.在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
【答案】B
解析：以为圆心、为半径的圆记为圆A；以为圆心、为半径的圆记为圆B.
两圆圆心距为，2－1<<2+1.
两圆的位置关系为相交，公切线有两条，即满足条件的直线有条.
故选B．
注：此题也是间接、委婉地考察两圆的位置关系，但比上一题更抽象.
对点2-------两圆相交，公共弦的问题
1.两圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：两圆方程做差(左侧相减=右侧相减)，得.
故选：．
注：两圆无论何种位置关系，方程做差所得的直线方程都有其几何意义，高中阶段只需了解相交时的情况即可.
2.圆和圆交于，两点，则的垂直平分线的方程是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解析：两圆的圆心坐标依次为：C1()，C2(3，0).
线段AB是公共弦，其垂直平分线比经过两圆圆心，即直线C1C2.
，整理，得.
故选C．
注：如果联立两圆方程，解方程组求出交点坐标，再确定直线方程，计算稍显繁琐.
3.已知圆：，圆：，则这两个圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
解析：两圆的方程作差，得公共弦所在直线方程：.
圆的圆心坐标为，半径.
对于圆的弦心距，公共弦长的一半==，弦长为．
故选：．
注：和上一题类似，如果联立两圆方程，解方程组求出交点坐标，再求公共弦长，计算稍显繁琐.
对点3------与圆有关的轨迹问题
1.已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的倍，求点的轨迹方程.
解析：设.
=2，，化简，得.
点的轨迹方程为.
注：1.这种求轨迹的方法叫“设点直接法”；
2.通过此题可以给出圆的另一种定义方式.
2.已知在平面直角坐标系中，，圆，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 ．
【答案】 .
解析：设.
，，整理，得点的轨迹是圆.
两圆圆心距
根据题意，圆与圆有公共点，则，且r>0，即，
，.
答案为： .
注：此题看似复杂，关键是转化为“两圆位置关系”的问题.
3.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动．
求线段的中点的轨迹的方程
若点在曲线上运动，点在轴上运动，求的最小值．
解析：设点的坐标为，点的坐标为.
由，得．
在圆：上运动，，即，
整理，得.
点的轨迹的方程为．
圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.
如图1，
如图2，关于轴的对称点.
当点为直线与轴的交点时，取得最小值，且，
的最小值为．
注：第一问求轨迹的方法为“相关点代入法”；第二问求最小值涉及了“双动点”，认真体会解题方法2.5.2 圆与圆的位置关系
对点1-------圆与圆的位置关系的判断方法
1.圆与圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 内含 C. 相切 D. 相交
2.若圆：与圆：相切，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.设，若圆：与圆：相交，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知与有且仅有条公切线，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
对点2-------两圆相交，公共弦的问题
1.两圆：与圆：的公共弦所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
2.圆和圆交于，两点，则的垂直平分线的方程是( )
A. B. C. D.
3.已知圆：，圆：，则这两个圆的公共弦长为( )
A. B. C. D.
对点3------与圆有关的轨迹问题
1.已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的倍，求点的轨迹方程.
2.已知在平面直角坐标系中，，圆，若圆上存在点，满足，则的取值范围是 ．
3.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动．
求线段的中点的轨迹的方程
若点在曲线上运动，点在轴上运动，求的最小值．
