技能提升作业(一)
1．下列命题中正确的是( )
A．终边在x轴负半轴上的角是零角
B．第二象限角一定是钝角
C．第四象限角一定是负角
D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同
解析 易知A、B、C均错，D正确．
答案 D
2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第一、二象限
C．第一、三象限 D．第一、四象限
解析 取特殊值验证．
当k＝0时，知终边在第一象限；
当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．
答案 C
3．下列各角中，与角330°的终边相同的是( )
A．150° B．－390°
C．510° D．－150°
解析 330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，
∴330°与－390°终边相同．
答案 B
4．把－1485°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是( )
A．－4×360°＋45° B．－4×360°－315°
C．－10×180°－45° D．－5×360°＋315°
解析 －1485°＝－5×360°＋315°.
答案 D
5．设集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A∩B＝?
解析 集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角．∴A＝B.
答案 C
6．若α为第四象限的角，则180°＋α为________象限的角．
解析 解法1：α为第四象限的角，逆时针旋转180°，则α＋180°终边落在第二象限．
解法2：k·360°－90°<α
答案 第二
7．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________．
解析 与100°终边相同的角的集合为
{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}
令k＝－2，－1,0,1，
得α＝－620°，－260°，100°，460°.
答案 {－620°，－260°，100°，460°}
8．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．
解析 ∵2小时40分＝2小时，
∴－360°×2＝－960°.
答案 －960°
9．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.
解 由题意得5α＝k·360°＋α(k∈Z)，
∴α＝k·90°(k∈Z)．
∵180°<α<360°，
∴180°∴2∴k＝3.
∴α＝3×90°＝270°.
10．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，
(1)有几种终边不同的角？
(2)写出区间(－180°，180°)内的角？
(3)写出第二象限的角的一般表示法．
解 (1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，
α＝45°，135°，225°，315°.
∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．
(2)由－180°又k∈Z，故k＝－2，－1,0,1.
∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.
(3)其中是第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.
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1.若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )
A．A＝B＝C B．A＝B∩C
C．A∪B＝C D．A?B?C
解析 A表示终边在x轴非负半轴上的角的集合，B表示终边在x轴上的角的集合，C表示终边在坐标轴上的角的集合．∴A?B?C.
答案 D
2．如下图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是( )
A．{α|－45°≤α≤120°}
B．{α|120°≤α≤315°}
C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}
D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}
解析 由图知，－45°≤α≤120°，两边应加上k·360°(k∈Z)，得k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°.
答案 C
3．－100°按逆时针方向旋转一周后，所得角等于________．
解析 －100°＋360°＝260°.
答案 260°
4．已知：①240°；②－300°；③－1420°；④1420°.其中是第一象限角的是________(填序号)．
解析 ①240°在第三象限．
②－300°＝－360°＋60°，在第一象限．
③－1420°＝－360×4＋20°，在第一象限．
④1420°＝360°×4－20°，在第四象限．
答案 ②③
5．(1)60°与－60°角的终边有什么对称性？
(2)120°与－120°角的终边有什么对称性？
(3)420°与－420°角的终边有什么对称性？
(4)试猜想α与－α角的终边有什么对称性？
解 (1)关于x轴对称．
(2)关于x轴对称．
(3)关于x轴对称．
(4)关于x轴对称．
技能提升作业(二)
1．下列各命题中，假命题是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．不论用角度制还是弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
解析 在弧度制中，|α|＝，它是一个比值，可见与半径并无关系．故选D.
答案 D
2．在半径为5 cm的圆中，圆心角为周角的的角所对的圆弧长为( )
A.cm B.cm
C.cm D.cm
解析 记r＝5，圆心角α＝×2π＝，
∴l＝|α|r＝π.
答案 B
3．(2011·青岛高二检测)将－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－8π B.π－8π
C.－10π D.－10π
解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°，
又2π＝360°，315°＝π，
∴－1485°＝－5×2π＋π＝－10π.
答案 D
4．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ为( )
A．－π B.
C.π D．－
解析 ∵－＝－2π－，∴θ＝－π.
又－＝－4π＋，∴θ＝.
∴使|θ|最小的θ＝－.
答案 A
5．若α＝－3，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵－π<－3<－，∴－3在第三象限．
答案 C
6．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．
解析 由公式θ＝知，半径r变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．
答案 2
7．将下列弧度转化为角度：
(1)＝________；
(2)－＝________；
(3)＝________；
(4)－π＝________.
答案 (1)15°
(2)－157°30′
(3)390°
(4)－75°
8．将下列角度化为弧度：
(1)36°＝________rad；
(2)－105°＝________rad；
(3)37°30′＝________rad；
(4)－75°＝________rad.
解析 利用1°＝rad计算．
答案 (1)
(2)－
(3)
(4)－
9．(2011·海口高二检测)如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：
(1)终边落在射线OM上；
(2)终边落在直线OM上；
(3)终边落在阴影区域内(含边界)．
解 (1)终边落在射线OM上的角的集合为
A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．
(2)终边落在射线OM上的角的集合为
A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，终边落在射线OM的反向延长线上的角的集合为
B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，
∴终边落在直线OM上的角的集合为
A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．
(3)同理可得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}．
∴终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为
{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．
10．扇形AOB的周长为8 cm.
(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R，依题意有
解得θ＝或6.
即圆心角的大小为弧度或6弧度．
(2)设扇形所在圆的半径为 x cm，则扇形的圆心角θ＝，于是扇形的面积是
S＝x2·＝4x－x2＝－(x－2)2＋4.
故当x＝2 cm时，S取到最大值．
此时圆心角θ＝＝2弧度，弦长AB＝2 ·2sin 1
＝4sin1 (cm)．
即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB等于4sin1 cm.
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1.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z)( )
A．α＋β＝π B．α－β＝
C．α－β＝＋2kπ D．α＋β＝(2k＋1)π
解析 取特殊值验证知，应选D.
答案 D
2．已知集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，N＝{x|x＝－，k∈Z}，则( )
A．M∩N＝Φ B．N?M
C．M?N D．M∪N＝M
解析 M＝
＝，
N＝＝，
∴M?N.
答案 C
3．若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
解析 由已知，－<α<，－<β<，
∴－<－β<，∴－π<α－β<π.
又α<β，∴－π<α－β<0.
答案 (－π，0)
4．已知△ABC三内角之比为1?2?3，则三个内角的弧度数依次为________．
解析 ∵△ABC内角和为π，
∴三个内角分别为π×＝，π×＝，π×＝.
答案 ，，
5．一条铁路在转弯处成圆弧形，圆弧的半径为2 km，一列火车用以每小时30 km的速度通过，求10秒间转过的弧度数．
解 ∵圆弧半径r＝2 km＝2000 m，v＝30 km/h＝m/s，
10秒中转过的弧长为×10＝ m，
∴|α|＝＝＝.
即10秒间转过的弧度数为.
技能提升作业(三)
1．角α的终边经过点P(2,3)，则( )
A．sinα＝ B．cosα＝
C．sinα＝ D．tanα＝
解析 由P(2,3)知，x＝2，y＝3.
∴r＝＝，sinα＝＝＝.
答案 C
2．角α的终边经过点Ρ(0，b)(b≠0)，则( )
A．sinα＝0 B．sinα＝1
C．sinα＝－1 D．sinα＝±1
解析 由题意知角α的终边在y轴上，∴r＝|b|，sinα＝＝±1.
答案 D
3．下列命题正确的是( )
A．终边相同的角的同名三角函数值如果存在，那么必相等
B．同名三角函数值相等的角也相等
C．终边不相同的两个角的同名三角函数值一定不相等
D．不相等的两个角的同名三角函数值也不相等
解析 由三角函数的定义知，A正确．
答案 A
4．若三角形的两内角α，β满足sinαcosβ<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
解析 ∵α，β为三角形的内角，且sinαcosβ<0，又sinα>0，∴cosβ<0，∴β为钝角．
∴三角形为钝角三角形．
答案 B
5．设角α的终边过点P(3a,4a)(a≠0)，则下列式子中正确的是( )
A．sinα＝ B．cosα＝
C．tanα＝ D．tanα＝－
解析 ∵a≠0，∴tanα＝＝.
答案 C
6．若tanx>0，且sinx＋cosx<0，则x是________象限角．
解析 ∵tanx>0，∴x是第一或第三象限的角，又sinx＋cosx<0，∴x必为第三象限的角(若x为第一象限的角，则sinx＋cosx>0)．
答案 第三
7．角α终边上有一点P(x，x)(x∈R，且x≠0)，则sinα的值为________．
解析 由题意知，角α终边在直线y＝x上，当点P在第一象限时，x>0，r＝＝x，∴sinα＝＝.当点P在第三象限时，同理，sinα＝－.
答案 ±
8．计算sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°.
解 原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋0°)
＝sin90°＋tan45°＋tan45°＋cos0°
＝1＋1＋1＋1＝4.
9．一只蚂蚁从坐标原点沿北偏西30°方向爬行6 cm至点P的位置．试问蚂蚁离x轴的距离是多少？
解 如下图所示，蚂蚁离开x轴的距离是PA.
在△OPA中，OP＝6，∠AOP＝60°，
∴PA＝OPsin60°
＝6×＝3.
即蚂蚁离x轴的距离是3 cm.
10．已知角α的终边落在直线y＝2x上，试求α的三个三角函数值．
解 当角α的终边在第一象限时，在y＝2x上任取一点P(1,2)，则有r＝，
∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝2.
当角α的终边在第三象限时，同理可求得：
sinα＝－，cosα＝－，tanα＝2.
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1.下列三角函数值结果为正的是( )
A．cos100° B．sin700°
C．tan D．sin
解析 ∵－π<－<－，
∴－在第三象限，∴tan>0.
答案 C
2．若点P(3，y)是角α终边上一点，且满足y<0，cosα＝，则tanα＝( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 ∵cosα＝＝，
又x＝3，∴r＝5.
又x2＋y2＝r2，
∴9＋y2＝25，y2＝16.
又y<0，∴y＝－4，∴tanα＝＝－.
答案 C
3．y＝＋＋的值域是( )
A．{1，－1} B．{－1,1,3}
C．{－1,3} D．{1,3}
解析 当x在第一象限时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，
∴y＝3.
当x在第二象限时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，
∴y＝－1.
同理，当x在第三象限时，y＝－1，
当x在第四象限时，y＝－1.
综上知，y＝－1或3.
答案 C
4．已知角α的终边经过点P(＋1，－1)，求α的三个三角函数值．
解 ∵x＝＋1，y＝－1，
∴r＝＝2，
sinα＝＝＝；
cosα＝＝＝；
tanα＝＝＝2－.
5．若cosα<1，确定角α终边所在的象限．
解 ∵cosα<1，∴cosα>0.
∴角α终边在第一或第四象限或在x轴非负半轴上．
技能提升作业(四)
1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( )
A．sin1>sin1.2>sin1.5
B．sin1>sin1.5>sin1.2
C．sin1.5>sin1.2>sin 1
D．sin1.2>sin 1>sin 1.5
解析 <1<1.2<1.5<，画图易知．
答案 C
2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( )
A．sinα＋cosα B．tanα＋sinα
C．cosα－tanα D．sinα－tanα
解析 由α为第二象限角知，
sinα>0，tanα<0，由三角函数线知|tanα|>sinα.
∴－tanα>sinα，即sinα＋tanα<0.
答案 B
3．已知α是第三象限角，则下列等式中可能成立的是( )
A．sinα＋cosα＝1.2 B．sinα＋cosα＝－0.9
C．sinαcosα＝ D．sinα＋cosα＝－1.2
解析 画出角α的三角函数线易知，sinα＋cosα<－1.
答案 D
4．已知θ为锐角，则sinθ＋cosθ的值可能是( )
A. B.
C．2 D.
解析 由θ为锐角知，sinθ＋cosθ>1，但sinθ＋cosθ≤.故选A.
答案 A
5．若0≤θ<2π，且不等式cosθA．(，π) B．(，π)
C．(π，π) D．(π，π)
解析 从选择项入手，易知当θ∈时，sinθ>cosθ，且sinθ>tanθ.故选B.
答案 B
6．若角α的正弦线的长度为，且方向与y轴的正方向相反，则sinα的值为________．
答案 －
7．利用单位圆写出适合下列条件的[0°，360°)的角．
(1)sinα≥；
答：__________________________________________________.
(2)tanα≥；
答：__________________________________________________.
解析 (1)如图①所示．
图①
作直线y＝，交单位圆于A，B两点，则区域∠AOB满足sinα≥，故30°≤α≤150°.
(2)如图②所示，知30°≤α<90°，或210°≤α<270°.
图②
答案 (1)30°≤α≤150°
(2)30°≤α<90°，或210°≤α<270°
8．确定下列各式的符号．
(1)tan(－550°)；
(2)cos；
(3)sin.
解 (1)tan(－550°)＝tan(－720°＋170°)＝tan 170°<0.
(2)cos＝cos＝cos>0.
(3)sin＝sin＝sin>0.
9．在(0,2π)内，求使sinα·cosα<0，sinα＋cosα>0同时成立的α的范围．
解 ∵sinα·cosα<0，
∴α在第二或第四象限．
∵0<α<2π，
∴<α<π，或<α<2π.
∵sinα＋cosα>0，
∴<α<，或<α<2π.
10．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，在[0,2π)内求α的取值范围．
解 由题意知由三角函数线得
∴<α<，或π<α<.
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1.已知MP，OM，AT分别是60°角的正弦线，余弦线，正切线，则一定有( )
A．MPC．AT解析 作图易知．
答案 B
2．已知sinα＋cosα＝，则α是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第一或第三象限的角 D．第二或第四象限的角
解析 ∵sinα＋cosα＝，∴sinα与cosα符号相反，故α必在第二或第四象限．
答案 D
3．若角α终边上一点A的坐标是(2sin3，－3cos2)，则角α是第________象限角．
解析 ∵<3<π，∴2sin3>0.
∵<2<π，∴cos2<0.
∴－3cos2>0.
∴角α是第一象限角．
答案 一
4．若角α的终边与直线y＝3x重合，且sinα<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于________．
解析 由sinα＝<0，知n<0.
又P(m，n)在直线y＝3x上，
∴n＝3m<0，∴m<0.
又|OP|＝＝，
∴m2＋n2＝10,10m2＝10.
∴m＝－1，n＝－3.
∴m－n＝－1－(－3)＝2.
答案 2
5．已知解 如下图所示，在单位圆中
MP，OM，AT分别是x的正弦线、余弦线、正切线．
在△OMP中，OM>OP－MP，即cosx>1－sinx.
又AT>OA，∴tanx>1.
∴tanx>cosx>1－sinx.
∴2tanx>2cosx>21－sinx，
即c>b>a.
技能提升作业(五)
1．α是第四象限的角，cosα＝，sinα＝( )
A. B．－
C. D．－
答案 B
2．已知sinα＝，α∈(0，π)，则tanα等于( )
A. B.
C．± D．±
解析 ∵sinα＝，α∈(0，π)，∴cosα＝±，
∴tanα＝±.
答案 D
3．已知tanα＝，α∈，则cosα的值是( )
A．± B.
C．－ D.
解析 ∵tanα＝，α∈，∴cosα<0.而选项中只有C是负值，所以选C.
答案 C
4．若θ是一个锐角，且2sinθcosθ＝a，则sinθ＋cosθ等于( )
A. B．(－1)a＋1
C.－ D.
解析 ∵θ为锐角，∴sinθ>0，cosθ>0，∴a＝2sinθcosθ>0，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝1＋a，∴sinθ＋cosθ＝.
答案 A
5．已知sinx－cosx＝(0≤x<π)，则tanx等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析 由sinx－cosx＝(0≤x<π)知，sinx＝，cosx＝，∴tanx＝＝.
答案 D
6．若sin2x＋sinx＝1，则cos4x＋cos2x的值等于________．
解析 ∵sin2x＋sinx＝1，
∴sinx＝1－sin2x＝cos2x.
∴cos4x＋cos2x＝sin2x＋sinx＝1.
答案 1
7.＝5，则tanα＝________.
解析 易知cosα≠0，
∴原式可化为＝5.
解得tanα＝.
答案
8．设θ为斜△ABC的一个内角，则＋＝________.
解析 原式＝＋.
当θ为锐角时，原式＝2＋1＝3；
当θ为钝角时，原式＝－2＋1＝－1.
答案
9．若sinθ＝，cosθ＝，θ∈，求m的值．
解 由sin2θ＋cos2θ＝1，得
2＋2＝1，
解得m＝0，或m＝8.
当m＝0时，
sinθ＝－，cosθ＝，与θ∈矛盾．
当m＝8时，
sinθ＝，cosθ＝－，与θ∈相符，∴m＝8.
10．若cosα＝－，且tanα>0，求的值．
解 ∵cosα＝－，tanα>0，
∴α在第三象限．
∴sinα＝－＝－.
＝
＝
＝sinα(1＋sinα)
＝－×＝－.
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1.已知△ABC中，tanA＝－，则cosA＝( )
A. B.
C．－ D．－
解析 ∵sin2A＋cos2A＝1，
∴tan2A＋1＝.
∴cos2A＝＝＝.
由tanA＝－知，<∠A<π，cosA<0，
∴cosA＝－.
答案 C
2．sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵<α<，∴cosα∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.
∴cosα－sinα＝－.
答案 B
3．若f(x)＝则f＋f＝________.
解析 f＝cos＝，f＝f－1
＝f－1＝－1＝－，
∴f＋f＝－＝0.
答案 0
4．点P在角θ的终边上，且tanθ·cosθ<0，
求sinθ，cosθ的值．
解 由题意有r＝，tanθ·cosθ＝·
＝－·<0，
∴t>0，∴r＝.
∴sinθ＝－，cosθ＝.
5．若α是△ABC的内角，且sinα＋cosα＝，试判断这个三角形的形状．
解 ∵sinα＋cosα＝，
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，
即2sinαcosα＝－.
∵0<α<π，∴sinα>0.
则cosα<0，∴<α<π.
∴该三角形为钝角三角形．
技能提升作业(六)
1．sin(－1920°)的值是( )
A. B．－
C．－ D.
解析 sin(－1920°)＝－sin1920°＝－sin(5×360°＋120°)
＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－.
答案 C
2．若sin(3π＋α)＝－，则cos(－α)等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析 ∵sin(3π＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα＝－，
∴sinα＝.
∴cos＝cos
＝cos＝－sinα＝－.
答案 A
3．sin(π－2)－cos化简的结果是( )
A．0 B．－1
C．2sin2 D．－2sin2
解析 sin(π－2)－cos＝sin2－sin2＝0.
答案 A
4．若tan(7π＋α)＝a，则的值为( )
A. B.
C．－1 D．1
解析 由tan(7π＋α)＝a，得tanα＝a，
∴＝
＝＝＝.
答案 B
5．sin＋2sinπ＋3sinπ的值为( )
A．1 B.
C．0 D．－1
解析 sin＋2sinπ＋3sinπ＝－sin＋2sin＋3sin＝－sin－2sin＋3sin＝0.
答案 C
6．化简：sin(450°－α)－sin(180°－α)＋cos(450°－α)＋cos(180°－α)＝________.
解析 原式＝sin(90°－α)－sinα＋cos(90°－α)－cosα
＝cosα－sinα＋sinα－cosα＝0.
答案 0
7．化简：sin(－π)＋cos·tan4π－cosπ＝____.
解析 原式＝－sin＋cos·0－cos
＝sin＋0－cos＝－＝0.
答案 0
8．cos243°＋cos244°＋cos245°＋cos246°＋cos247°＝________.
解析 原式＝cos243°＋cos244°＋cos245°＋sin244°＋sin243°＝1＋1＋2＝.
答案
8．已知cosα＝，且－<α<0，
求的值．
解 ∵cosα＝，且－<α<0，
∴sinα＝－.
∴原式＝
＝
＝－＝2.
9．已知sin(3π＋θ)＝lg，求值：
＋.
解 ∵sin(3π＋θ)＝sin(π＋θ)＝－sinθ＝－，
∴sinθ＝.
原式＝＋
＝＋
＝＋
＝
＝＝＝18.
10．(2011·齐齐哈尔高一检测)已知α是第三象限的角，f(α)＝
(1)化简f(α)；
(2)若cos＝，求f(α)的值．
解 (1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos＝cos＝－sinα＝，
∴sinα＝－.
又α是第三象限的角，
∴cosα＝－＝－.
∴f(α)＝.
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1.(2011·郑州高一检测)sin的值为( )
A．－ B.
C．－ D.
解析 sin＝sin＝sin＝.
答案 B
2．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
解析 f＝sin＝sin
＝sin＝，
f＝f－1＝f－1
＝f－1－1＝f－2
＝sin－2＝－－2＝－，
∴f＋f＝－＝－2.
答案 －2
3．已知sin(π＋α)＝，
求sin(2π－α)－tan(α－π)·cosα的值．
解 ∵sin(π＋α)＝，
∴sinα＝－.
∴sin(2π－α)－tan(α－π)·cosα
＝－sinα－tanαcosα
＝－2sinα＝1.
4．设f(x)＝(n∈Z)，
求f的值．
解 当n为偶数时，
f(x)＝＝＝－sinx.
∴f＝－sin＝－.
当n为奇数时，
f(x)＝
＝＝sinx.
∴f＝sinx＝.
5．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，求
÷
的值．
解 ∵5x2－7x－6＝0的根为
x＝2，或x＝－，
∴sinα＝－.
∴cosα＝±＝±.
∴tanα＝±.
∴原式＝
＝tanα＝±.
技能提升作业(七)
1．用五点法作y＝2sin2x的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
解析 令2x分别等于0，，π，，2π时，得x＝0，，，，π.
答案 B
2．若cosx＝0，则角x等于( )
A．kπ(k∈Z) B.＋kπ(k∈Z)
C.＋2kπ(k∈Z) D．－＋2kπ(k∈Z)
答案 B
3．不等式sinx<0在x∈[0,2π]上的解集为( )
A．(0，π) B．(π，2π)
C．[π，2π] D．(，2π)
解析 sinx<0在[0,2π]上的解集为(π，2π)．
答案 B
4．使sinx≤cosx成立的x的一个区间为( )
A. B.
C. D．[0，π]
解析 选特殊值排除选项B、C、D.
答案 A
5．在区间[－2π，2π]上适合sinx＝的x的值有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 利用y＝sinx与y＝的图像易知在[－2π，2π]内有4个交点，因此，使sinx＝的x的值应有4个．
答案 D
6．下列函数图像相同的序号是________．
①y＝cosx与y＝cos(x＋π)；
②y＝sin与y＝sin；
③y＝sinx与y＝sin(2π－x)；
④y＝sin(2π＋x)与y＝sinx.
答案 ④
7．利用余弦曲线，写出满足cosx>0，x∈[0,2π]的x的取值范围是________．
答案 ∪
8．利用正弦曲线，写出函数y＝2sinx的值域是________．
解析 y＝sinx的图像如图．
由图知，当x＝时，sinx取到最大值1，当x＝时，sin＝.∴当≤x≤时，1≤y≤2.
答案 [1,2]
9．求函数y＝的定义域．
解 由2sinx＋≥0，得sinx≥－，如下图所示．
∴x的取值范围是2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数的定义域为(k∈Z)．
10．(2011·杭州高一检测)作出函数y＝－sinx，x∈[－π，π]的图像，并回答下列问题：
(1)观察函数的图像，写出满足下列条件的区间：
①sinx>0；②sinx<0；
(2)直线y＝与y＝－sinx的图像有几个交点？
解 用五点法作图如下：
x
－π
－
0
π
y＝－sinx
0
1
0
－1
0
(1)根据图像可知，图像在x轴上方的部分－sinx>0，在x轴下方的部分－sinx<0，所以当x∈(－π，0)时，－sinx>0；当x∈(0，π)时，－sinx<0.即当x∈(0，π)时，sinx>0；当x∈(－π，0)时，sinx<0.
(2)画出直线y＝，知有两个交点.
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1.对于正弦函数y＝sinx的图像，下列说法错误的是( )
A．向左右无限伸展
B．与x轴有无数个交点
C．关于y轴对称
D．与函数y＝cosx的图像形状相同，只是位置不同
答案 C
2．把y＝sinx的图像经过如下怎样的变换，就能得到y＝cosx的图像？( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移π个单位 D．向右平移π个单位
解析 由y＝sinx与y＝cosx的图像及诱导公式，知y＝sin＝cosx，∴将y＝sinx的图像向左平移个单位即得到y＝cosx的图像．
答案 A
3．在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围是________．
答案
4.
若函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是________．
解析 由函数y＝2cosx的图像的对称性，知阴影面积S1＝S2，S4＝S3，故封闭图形OABC的面积为2×2π＝4π.
答案 4π
5．已知函数y＝cosx，x∈.试根据函数的图像求y的取值范围．
解 y＝cosx的图像如下图所示．
又cos＝，cos＝－，而y＝cosx在上是减函数，所以y的取值范围是.
技能提升作业(八)
1．下列函数以π为周期的是( )
A．y＝cosx B．y＝sinx
C．y＝1＋cos2x D．y＝cos3x
答案 C
2．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 f(x)＝sin＝－sin＝－cos2x.
∴最小正周期为T＝＝π，且为偶函数．
答案 B
3．函数y＝|sinx|的图像( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于y轴对称 D．关于坐标轴对称
解析 易知y＝|sinx|为偶函数，∴图像关于y轴对称．
答案 C
4．下列四个函数为周期函数的是( )
A．y＝3
B．y＝3x
C．y＝sin|x|，x∈R
D．y＝sin，x∈R，且x≠0
解析 利用周期函数的定义，知y＝3为周期函数，每一个非零实数都是它的周期，B、C、D都不是周期函数．
答案 A
5．函数y＝|7sin(3x－)|的周期是( )
A．2π B．π
C. D.
解析 易知函数y＝7sin的周期是，所以y＝|7sin|的周期是.
答案 C
6．(2010·上海)函数y＝sin2x的最小正周期T＝________.
解析 T＝＝π.
答案 π
7．y＝3sin的最小正周期为π，则a＝______.
解析 由最小正周期的定义知＝π，∴|a|＝2，a＝±2.
答案 ±2
8．已知f(n)＝sin(n∈Z)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.
解析 ∵f(n)＝sin(n∈Z)，
∴f(1)＝，f(2)＝1，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－1，f(7)＝－，f(8)＝0，……，不难发现，f(n)＝sin(n∈Z)的周期T＝8，且每一个周期内的函数值之和为0.
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(100)
＝f(97)＋f(98)＋f(99)＋f(100)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝＋1＋＋0＝＋1.
答案 ＋1
9．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－sinx，求f(x)的解析式．
解 ∵f(x)是奇函数，又定义域为R，
∴f(0)＝0.
当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)．
又f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋sinx.
∴f(x)＝－x2－sinx.
故f(x)＝
10．判断函数f(x)＝ln(sinx＋)的奇偶性．
解 ∵>|sinx|≥－sinx，
∴sinx＋>0.
∴定义域为R.
又f(－x)＝ln
＝ln(－sinx)
＝ln
＝ln(＋sinx)－1
＝－ln(sinx＋)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
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1.下列函数中是偶函数的是( )
A．y＝－sinx B．y＝sin|x|
C．y＝cos D．y＝sin2x－1
答案 B
2．下列对函数y＝cosx的图像描述错误的是( )
A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图像相同，只是位置不同
B．介于直线y＝1和直线y＝－1之间
C．关于x轴对称
D．与y轴只有一个交点
答案 C
3．函数y＝sin(＋x)的奇偶性是________．
解析 y＝sin＝－cosx，是偶函数．
答案 偶函数
4．若函数f(x)＝2cos(ωx＋)(ω>0)的最小正周期为T，且T∈(1,3)．则正整数ω的最大值是________．
解析 依题意得T＝，1<<3，∴<ω<2π，
∴正整数ω的最大值为6.
答案 6
5．用定义证明6是函数f(x)＝5sin(x－)的周期．
证明 f(x＋6)＝5sin
＝5sin
＝5sin
＝5sin＝f(x)．
∴6是函数f(x)＝5sin的周期．
技能提升作业(九)
1．下列命题是假命题的是( )
A．正弦函数与函数y＝cos是同一函数
B．向左、右平移2π个单位，图像都不变的函数一定是正弦函数
C．直线x＝－是正弦函数图像的一条对称轴
D．点是余弦函数的图像的一个对称中心
答案 B
2．函数y＝2sin图像的一条对称轴是( )
A．x＝－ B．x＝0
C．x＝ D．x＝－
解析 解法1：y＝2sin的对称轴为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝.
解法2：当x＝时，sin＝1，
∴x＝是y＝2sin图像的一条对称轴．
答案 C
3．设M和m分别表示函数y＝cosx－1的最大值和最小值，则M＋m等于( )
A. B．－
C．－ D．－2
解析 依题意得M＝－1＝－，m＝－－1
＝－，∴M＋m＝－2.
答案 D
4．下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是( )
A. B.
C. D.
答案 D
5．当x∈时，函数f(x)＝2sin有( )
A．最大值为1，最小值为－1
B．最大值为1，最小值为－
C．最大值为2，最小值为－2
D．最大值为2，最小值为－1
解析 ∵x∈，∴x＋∈，
∴sin∈，故－1≤f(x)≤2.
答案 D
6．函数y＝sin2x，x∈R的最大值是________，此时x的集合是________．
解析 ∵x∈R，∴y＝sin2x的最大值为1，此时2x＝2kπ＋，x＝kπ＋(k∈Z)．
答案 1
7．若sinx＝a－1有意义，则a的取值范围是________．
解析 ∵sinx∈[－1,1]，∴－1≤a－1≤1，∴0≤a≤2.
答案 [0,2]
8．若f(x)＝2sinωx(0<ω<1)在区间上的最大值为，则ω＝________.
解析 由2sinωx≤，知sinωx≤，又0<ω<1,0≤x≤，∴0≤ωx≤，∴0≤x≤，令＝，得ω＝.
答案
9．(2011·河南省周口模拟)已知函数f(x)＝2sin.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值．
解 (1)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)当sin＝1时，f(x)有最大值2.
此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，值域为[－5,1]，求a和b的值．
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
∴－≤sin≤1.
当a>0时，则
∴
当a<0时，则
∴
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1.函数y＝Asinωx＋1(A，ω均为非零常数)，则( )
A．最大值A，最小正周期
B．最小值A，最小正周期
C．最小值1＋A，最小正周期
D．最大值|A|＋1，最小正周期
解析 ∵A≠0，ω≠0，∴y＝Asinωx＋1的最大值为|A|＋1，
最小正周期为.故选D.
答案 D
2．已知f(x)是定义在(－3,3)上的奇函数，当0A.∪(0,1)∪
B.∪(0,1)∪
C.∪(0,1)∪(1,3)
D．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)
解析 依题意完成函数f(x)在(－3,3)内的图像．
由图像，知
当x∈∪(0,1)∪时，f(x)cosx<0成立．因此选B.
答案 B
3．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
答案 (－π，0]
4．已知x∈[0,2π]，则函数y＝|sinx|的单调增区间是________．
答案 和
5．已知0≤x≤，求函数y＝cos2x－2acosx的最大值M(a)和最小值m(a)．
解 设cosx＝t，∵0≤x≤，∴0≤t≤1.
y＝t2－2at＝(t－a)2－a2，
(1)当a<0时，M(a)＝1－2a，m(a)＝0；
(2)当0≤a<时，M(a)＝1－2a，m(a)＝－a2；
(3)当≤a<1时，M(a)＝0，m(a)＝－a2；
(4)当a≥1时，M(a)＝0，m(a)＝1－2a.
技能提升作业(十)
1．当x∈时，函数y＝tan|x|的图像( )
A．关于原点对称 B．关于y轴对称
C．关于x轴对称 D．没有对称轴
答案 B
2．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
解析 由2x－≠kπ＋，得x≠＋，k∈Z.
答案 A
3．若tanx≤0，则( )
A．2kπ－B．2kπ＋≤x<(2k＋1)π，k∈Z
C．kπ－D．kπ－≤x≤kπ，k∈Z
解析 tanx≤0，∴kπ－答案 C
4．y＝cos＋tan(π＋x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 y＝cos＋tan(π＋x)＝sinx＋tanx.
∵y＝sinx，y＝tanx均为奇函数，∴原函数为奇函数．
答案 A
5．设a＝logtan70°，b＝logsin25°，c＝cos25°，则有( )
A．aC．c解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a＝logtan70°<0.
又0log＝1，而c＝cos25°∈(0,1)，∴b>c>a.
答案 D
6．函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期为，则ω＝________.
解析 由T＝，知|ω|＝＝2.
∴ω＝±2.
答案 ±2
7．若函数f(x)＝asin2x＋btanx＋1，且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________.
解析 由f(－3)＝5，得f(－3)＝－asin6－btan3＋1，
又f(3)＝asin6＋btan3＋1.
∴f(3)＋f(－3)＝2.
∵f(3)＝2－f(－3)＝2－5＝－3，
而f(π＋3)＝asin(2π＋6)＋btan(π＋3)＋1
＝asin6＋btan3＋1
＝f(3)＝－3.
答案 －3
8．给出下列命题：
①函数y＝cosx在第三、四象限都是增函数；
②函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；
③函数y＝sin是偶函数；
④函数y＝tanx的图像关于原点对称．其中正确命题的序号是__________．
解析 ①的说法是错误的．②中最小正周期应为，所以②也错．③中y＝sin＝cosx，是偶函数，所以③正确．对于④易知y＝tanx为奇函数，所以图像关于原点对称，故④正确．
答案 ③④
9．求函数y＝tan的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 由3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，
∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠＋，k∈Z}．
值域为R，最小正周期T＝，是非奇非偶函数，在区间(k∈Z)上是增函数．
10．求函数y＝－tan2x＋10tanx－1，x∈的最值及相应的x的值．
解 y＝－tan2x＋10tanx－1＝－(tanx－5)2＋24.
∵≤x≤，∴1≤tanx≤.
∴当tanx＝时，y有最大值10－4，此时x＝.
当tanx＝1时，y有最小值8，此时x＝.
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1.y＝tanx(x≠kπ＋，k∈Z)在定义域上的单调性为( )
A．在整个定义域上为增函数
B．在整个定义域上为减函数
C．在(k∈Z)上为增函数
D．在(k∈Z)上为减函数
解析 ∵f(x)＝tanx的定义域是{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}，
∴选项A是不对的，例如取x1＝，x2＝，x1∴tanx1>tanx2，选项B、D与f(x)＝tanx的性质相悖，也是错的．故选C.
答案 C
2．y＝tan(x∈R，且x≠π＋kπ，k∈Z)的一个对称中心是( )
A．(0,0) B.
C. D．(π，0)
解析 函数y＝tan的图像与x轴的交点及渐近线与x轴的交点都是对称中心，当x＝时，y＝tanπ＝0，∴一个对称中心为.
答案 C
3．若tan(2x－)≤1，则x的取值范围是( )
A.－≤x≤＋(k∈Z)
B．kπ－≤xC.－D．kπ＋解析 依题意得kπ－<2x－≤kπ＋(k∈Z)．
∴－答案 C
4．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是( )
A.∪ B.∪
C.∪ D.∪
解析 由题意知?
又α∈[0,2π)，∴α∈∪.
答案 B
5．若y＝tan(2x＋θ)图像的一个对称中心为，若－<θ<，求θ的值．
解 ∵函数y＝tanx图像的对称中心为，其中k∈Z，∴2x＋θ＝，其中x＝.
∴θ＝－，k∈Z，又－<θ<.
∴当k＝1时，θ＝－；当k＝2时，θ＝.
故θ的值为－或.
技能提升作业(十一)
1．把函数f(x)的图像向右平移个单位后得到函数y＝sin的图像，则f(x)为( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
解析 用x－代换选项中的x，化简得到y＝sin的就是f(x)，代入选项C，有f(x)＝sin＝sin.
答案 C
2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图像关于x＝对称的是( )
A．y＝sin(＋) B．y＝sin(2x＋)
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x－)
解析 当x＝时，
y＝sin＝sin＝sin＝1.
∴函数y＝sin的图像关于x＝对称，且周期T＝＝π.
答案 D
3．要将y＝sin的图像转化为某一个偶函数图像，只需将y＝sin的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
解析 把y＝sin的图像向左平移个单位即得y＝sin＝sin＝cos2x的图像．因为y＝cos2x为偶函数，所以符合题意．
答案 C
4．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析 由题意知ω＝＝2，
∴f(x)＝sin.
又f＝sinπ＝0，
∴图像关于点对称．
答案 A
5．如下图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b在一个周期内的图像，那么这个函数的一个解析式为( )
A．y＝2sin－1
B．y＝2sin－1
C．y＝3sin－1
D．y＝3sin－1
解析 由图像知A＝＝3，b＝－1，
T＝－＝π.
∴ω＝＝2，故可设解析式为y＝3sin(2x＋φ)－1，代入点，得－4＝3sin－1，
即sin＝－1，∴φ＋＝2kπ－(k∈Z)．
令k＝1，解得φ＝，所以y＝3sin－1.
答案 C
6．若f(x)＝2cos(ωx＋)的最小正周期不小于2，则正整数ω的最大值是________．
解析 由题意得≥2，∴|ω|≤π，又ω为正整数．∴ω的最大值为3.
答案 3
7．把函数y＝cos的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的5倍，最后把整个图像向下平移4个单位，所得图像的解析式为________．
解析 第一步得
y＝cos＝cos；
第二步得y＝cos；
第三步得y＝5cos；
最后得y＝5cos－4.
答案 y＝5cos－4
8．若函数y＝acosx＋b(a，b为常数)的最大值为1，最小值为－7，则y＝3＋absinx的最大值为________．
解析 当a>0时，依题意得?
当a<0时，依题意得?
∴y＝3＋absinx的最大值为15.
答案 15
9．(2011·银川高一检测)设函数f(x)＝sin
，y＝f(x)的图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解 (1)∵x＝是y＝f(x)图像的一条对称轴，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵0<φ<，∴φ＝.
(2)由(1)知φ＝，
∴f(x)＝sin.
由题意得
2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即4kπ－π≤x≤4kπ＋，k∈Z.
∴函数y＝f(x)的单调增区间为
(k∈Z)．
10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)，在一个周期内的图像如下图所示，求直线y＝与函数f(x)图像的所有交点的坐标．
解 由图像得A＝2，
T＝π－＝4π.
则ω＝＝，故y＝2sin.
又×＋φ＝0，∴φ＝.
∴y＝2sin.
由条件知＝2sin，
得x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
或x＋＝2kπ＋π(k∈Z)．
∴x＝4kπ＋(k∈Z)，或x＝4kπ＋π(k∈Z)．
则所有交点的坐标为
或(k∈Z).
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1.把函数y＝sinx的图像向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得到的函数的解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析 把函数y＝sinx的图像向右平移个单位，得到y＝sin的图像，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝sin的图像，应选A.
答案 A
2．如图所示是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2图像的一部分，它的振幅，周期、初相分别是( )
A．A＝3，T＝π，φ＝－
B．A＝1，T＝，φ＝－
C．A＝1，T＝，φ＝－
D．A＝1，T＝，φ＝－
解析 由图像知A＝(3－1)＝1.
T＝2×＝.
∴|ω|＝＝.
∴y＝sin＋2，把点代入解得φ＝－.
答案 B
3．函数y＝－sin的图像与x轴的各个交点中，离原点最近的一点是________．
解析 令4x＋＝kπ(k∈Z)，
则x＝－(k∈Z)，
令k＝1，得x＝.
答案
4．要得到y＝sin的图像，需将函数y＝sin的图像至少向左平移________个单位长度．
解析 ∵y＝sin＝sin，
∴将函数y＝sin的图像向左至少平移个单位长度．
答案
技能提升作业(十二)
1．函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图像是( )
解析 y＝x＋sin|x|是非奇非偶函数，在[0，π]上是增函数，故选C.
答案 C
2．如下图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s＝6sin(2πt＋)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析 依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1.故选D.
答案 D
3．要得到y＝tan的图像，只要将y＝tan2x的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
解析 ∵y＝tan＝tan2，∴将y＝tan2x的图像向右平移个单位即得y＝tan的图像．故选D.
答案 D
4．如图，表示电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图像，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sin
B．I＝300sin
C．I＝300sin
D．I＝300sin
解析 分析图像可知，A＝300，T＝2×＝，
∴ω＝＝100π.又当t＝时，I＝0.故选C.
答案 C
5．函数y＝－xcosx的部分图像是( )
解析 因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图像关于原点对称，所以排除A、C.当x∈(0，)时，y＝－xcosx<0，排除B.
答案 D
6．在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流强度I是时间t的正弦函数，关系式为I＝3sin，则它的最大电流和周期分别为________．
答案 3,4π
7．如图是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是__________．
解析 分析图像可知，A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8.
∴ω＝＝π.故可设函数解析式为
y＝2sin，代入点(0.1,2)得sin＝1.
∴φ＝.故解析式为y＝2sin.
答案 y＝2sin
8．一树干被台风吹断，折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为________米．
解析 如图所示，在Rt△ABC中，AC＝20米，∠B＝60°，
∴sinB＝，∴BC＝＝＝.
又AB＝BC＝，
∴树干高为AB＋BC＝20.
答案 20
9．心脏在跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mm Hg为标准值．设某人的血压满足函数关系式P(t)＝115＋25 sin(160πt)，其中P(t)为血压(mm Hg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较．(健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mm Hg和60～90 mm Hg)
解 (1)根据公式T＝，可得T＝＝.
(2)根据公式f＝，可得f＝80，即此人的心率是80次/分钟．
(3)函数P(t)＝115＋25 sin(160πt)的最大值是115＋25＝140，最小值是115－25＝90，即此人的血压为140/90 mm Hg，与标准值相比较偏高一点．
10．已知某游乐园内摩天轮的中心O点离地面的高度为50 m，摩天轮做匀速转动，摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t min后，点P的高度h＝40sin＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70 m以上的时间将持续多少分钟？
解 依题意得40 sin＋50≥70，
即cost≤－，
从而在一个周期内持续的时间为
≤t≤，∴4≤t≤8，即持续时间为4分钟.
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1.若角A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵∠A、∠B是锐角三角形的两个内角，
∴∠A＋∠B>90°，∴∠B>90°－∠A.
∴cosBcosA.
即cosB－sinA<0，sinB－cosA>0，
∴点P在第二象限．
答案 B
2．设∠A为△ABC的内角，且sinA＝，那么角A等于( )
A. B.
C.或 D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
3．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为________．
解析 由f(t)＝24sin160πt＋110，得周期T＝＝，
∴心跳次数为f＝＝80.
答案 80
4．某昆虫种群数量1月1日低到700，当年7月1日高达900，其数量在这两个值之间按正弦曲线规律性改变，若t以月为单位，则种群数量y关于时间t的函数解析式为________．
解析 依题意得，＝6，T＝12，
∴ω＝＝，A＝(900－700)＝100，
b＝(900＋700)＝800.
设y＝100sin＋800，
当t＝0时，y＝700，知φ＝－.
∴y＝100sin＋800
＝－100cost＋800.
答案 y＝－100cost＋800
5．求当函数y＝－cos2x＋acosx－－的最大值为1时a的值．
解 y＝－cos2x＋acosx－－
＝－2＋－－.
令t＝cosx，则t∈[－1,1]，
∴y＝－2＋－－.
①当<－1，即a<－2时，t＝－1，
y有最大值为－a－＝1，
∴a＝－>－2(舍去)．
②当－1≤≤1，即－2≤a≤2时，y有最大值为
－－＝1，∴a＝1－，或a＝1＋(舍去)．
③当>1，即a>2时，t＝1，y有最大值为－＝1，∴a＝5.
综上可知，a＝1－，或a＝5.
