技能提升作业(十三)
1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 由物理知识知，质量、路程、密度、功是标量，而速度、位移、力、加速度是向量．
答案 D
2．在下列命题中，正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a与b共线
D．若a≠b，则a一定不与b共线
解析 分析四个选项知，C正确．
答案 C
3．设a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A. a＝b
B．若a∥b，则a＝b
C. a＝b或a＝－b
D．若a＝c，b＝c，则a＝b
答案 D
4．设M是等边△ABC的中心，则，，是( )
A．有相同起点的向量
B．相等的向量
C．模相等的向量
D．平行向量
解析 由正三角形的性质知，|MA|＝|MB|＝|MC|.
∴||＝||＝||.故选C.
答案 C
5．如右图，在四边形ABCD中，其中＝，则相等的向量是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析 由＝知，四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质知，||＝||，且方向相同，故选D.
答案 D
6．如图，ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量，则与平行且长度为2的向量个数是________．
解析 如图所示，满足条件的向量有，，，，，，，共8个．
答案 8个
7．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________．
解析 这些向量的始点在同一直线，其终点构成一条直线．
答案 一条直线
8．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量，
其中能使a∥b成立的是________．
答案 ①③④
9．如下图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的各边中点，分别指出图中：
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量平行的向量；
(3)与向量模相等的向量；
(4)与向量模相等、方向相反的向量．
解 (1)与向量相等的向量有.
(2)与向量平行的向量有，，，，.
(3)与向量模相等的向量有，，.
(4)与向量模相等、方向相反的向量有，.
10．一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北45°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
解 (1)如下图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与平行．
又||＝||＝100 km，
∴在四边形ABCD中，AB綊CD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴||＝||＝200 km.
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1.下列给出的命题正确的是( )
A．两个相等的向量，起点、方向、长度必须相同
B．两个共线的向量，其方向一定相同
C．若两个向量不共线，则这两个向量都是非零向量
D．两个有共同起点的共线向量，其终边一定相同
答案 C
2．下列结论中正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
B．若向量与满足||>||，且与同向，则>
C．若a＝b，则a∥b
D．由于零向量方向不定，故零向量不能与任一向量平行
解析 由相等的向量是平行向量知，C正确．
答案 C
3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤＝b
其中正确的是________．
答案 ③
4．△ABC是等腰三角形，则两腰上的向量与的关系是________．
答案 ||＝||
5．如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解 (1)∵点E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF綊BC.
又点D为BC的中点，
∴与相等的向量有，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
技能提升作业(十四)
1．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．ABCD一定是矩形
B．ABCD一定是菱形
C．ABCD一定是正方形
D．ABCD一定是平行四边形
解析 由向量的平行四边形法则知，ABCD一定是平行四边形．
答案 D
2．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A. B.
C. D.
解析 (＋)＋(＋)＋＝(＋)＋(＋＋)＝＋0＝，故选C.
答案 C
3．向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
解析 向量a与b反向，且|a|<|b|，则a＋b应与b方向相同，因此B错．
答案 B
4．对任意向量a，b，在下式中：①a＋b＝b＋a；②(a＋b)＋c＝b＋(a＋c)；③|a＋b|＝|a|＋|b|；④|a＋b|≤|a|＋|b|，恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 因为向量加法满足交换律，结合律，所以①，②恒成立．|a＋b|＝|a|＋|b|仅当a与b同向或有零向量时成立，所以③不恒成立．由向量模的几何定义知④恒成立．故选C.
答案 C
5．正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为( )
A．0 B.
C．3 D．2
解析 |a＋b＋c|＝|2c|＝2|c|＝2.应选D.
答案 D
6．若a，b满足|a|＝2，|b|＝3，则|a＋b|的最大值为__________，最小值为__________．
解析 当a与b同向时，|a＋b|有最大值|a|＋|b|＝5.
当a与b反向时，|a＋b|有最小值|b|－|a|＝1.
答案 5 1
7．下列结论：
①a－a＝0；②a－b＝a＋(－b)；③设a，b为任意向量，则|a＋b|>0；④若∥，且||＝2012，||＝1，则|＋|＝2013.
其中正确的有________．
解析 a－a＝0，故①错；②正确；③中当a＋b＝0时，不成立，故③错；④中当与方向相反时，不正确，故④错．
答案 ②
8．设a表示“向东走了2 km”，b表示“向南走了2 km”，c表示“向西走了2 km”，d表示“向北走了2 km”，则
(1)a＋b＋c表示向________走了________km；
(2)b＋c＋d表示向________走了________km；
(3)|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
解析 (1)如图所示，a＋b＋c
表示向南走了2 km.
(2)如图②所示，b＋c＋d表示向西走了2 km.
(3)如图①所示，|a＋b|＝＝2，a＋b的方向是东南．
答案 (1)南 2 km
(2)西 2 km
(3)2 东南
9．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋；
(3)＋.
解
(1)如图，由正六边形的性质知，OABC为平行四边形，
∴＋＝.
(2)由图知，＝＝＝，
∴＋＝＋＝.
(3)∵＝，＝，
∴＋
＝＋＝＋＝0.
10.
如右图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝.
求证：＋＝＋.
证明 由图可知＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵＝，
又与模相等，方向相反，
故＋＝＋＝0.
∴＋＝＋.
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1.在Rt△ABC中，若∠A＝90°，||＝2，||＝3，则＋的模等于( )
A. B．2
C．3 D．5
解析 由题意知|＋|＝＝＝，应选A.
答案 A
2．已知下列各式：
①＋＋；
②(＋)＋＋；
③＋＋＋；
④＋＋＋.
其中结果为0的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ①＋＋＝＋＝0.
②(＋)＋＋＝＋＋＝＋＝≠0.
③＋＋＋＝＋≠0.
④＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
其中结果为0的有两个．
答案 B
3．①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；
②△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．
其中真命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①不正确，当a＋b＝0时，不成立．②正确．③不正确．当A，B，C共线时，不成立．④不正确．因为|a＋b|≤|a|＋|b|.应选B.
答案 B
4．已知正方形ABCD的边长为1，则|＋＋＋|等于________．
解析 |＋＋＋|＝|2|＝2.
答案 2
5．如图，在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，，.
解 如下图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO均为平行四边形．
根据向量的平行四边形法则，有
＝＋＝a＋b.
∴＝2＝2a＋2b.
在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b.
而＝＝＝a＋b，
由三角形法则得
＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.
技能提升作业(十五)
1．在△ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A. B.
C. D.
解析 如下图所示，－＝－＝.
答案 D
2．给出下列四个结论：
①＝＋； ②－＝；
③＋＋＝0; ④|a＋b|≥|a－b|.
其中错误的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ①正确，②错误，∵－＝＋＝≠.③错误，∵＋＋＝0≠0.④错误，当a与b方向相反时，有|a＋b|<|a－b|.综上知，仅①正确，故选C.
答案 C
3．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )
A．a＋b B．a－b
C．－a－(－b) D．－a＋(－b)
解析 ＝＋＝－＝b－a.故选C.
答案 C
4．如下图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A.＝ B.＋＝
C.－＝ D.＋＝0
解析 易知A、B、D正确，C错误．
答案 C
5．下列五个等式中，正确的个数是( )
①a＋b＝b＋a； ②a－b＝b－a；
③0－a＝－a; ④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A．5 B．4
C．3 D．2
解析 错误的有②和⑤.因为向量的减法不满足交换律，向量与其相反向量的和是0，而不是数0.①③④都是正确的，故选C.
答案 C
6．若菱形ABCD的边长为2，则|－－|＝____.
解析 |－－|＝|＋＋|＝||＝2.
答案 2
7．如图，平面内有四边形ABCD和点O，若＋＝＋，则四边形ABCD的形状是________．
解析 ∵＋＝＋，
∴－＝－.
即＝.又A，B，C，D四点不共线，
∴||＝||，且BA∥CD，故四边形ABCD为平行四边形．
答案 平行四边形
8．给出下列命题：
①若＋＝，则－＝；
②若＋＝，则＋＝；
③若＋＝，则－＝；
④若＋＝，则＋＝.
其中所有正确命题的序号为________．
答案 ①②③④
9．如图所示，在四边形ABCD中，＝＋，对角线AC与BD交于点O，设＝a，＝b，用a和b表示和.
解 ∵＝＋，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴点O是BD的中点，也是AC的中点．
∴＝－＝b－a，
＝－＝－－＝－b－a.
10．已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
解 如下图，设＝a，＝b，以AB，AD为邻边作?ABCD，则＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
由|a＋b|＝|a－b|知，||＝||，
∴四边形ABCD是矩形，故AD⊥AB.
在Rt△ABD中，
∴|a－b|＝10.
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1.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，用a，b表示向量为( )
A．a＋b B．－a－b
C．－a＋b D．a－b
解析 如下图，＝＋＝－＋＝－－＝－a－b.故选B.
答案 B
2．设a表示向西走10 km，b表示向北走10 km，则a－b表示( )
A．南偏西30°走20 km B．北偏西30°走20 km
C．南偏东30°走20 km D．北偏东30°走20 km
解析 如上图所示，设＝a，＝b，则a－b＝－＝，
又tan∠OBA＝＝＝，
∴∠OBA＝30°.
且||＝＝20(km)，应选A.
答案 A
3．如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析 ＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
答案 A
4．化简：－－＋＋.
解 －－＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＝.
5．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC，BD的交点，设＝a，＝b，＝c，试证明：b＋c－a＝.
分析 法1：要证b＋c－a＝，可转化为证明b＋c＝＋a，从而利用向量加法证明．
法2：可从c－a入手，利用向量减法证明．
证明 证法1：因为b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，
所以b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
证法2：因为c－a＝－＝－＝，＝＋＝－b，
所以c－a＝－b，即b＋c－a＝.
技能提升作业(十六)
1．给出下列四个结论
①－＝；
②0(a)＝0；
③0(0)＝0；
④若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．
其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①－＝，∴①错．②0(a)＝0，∴②错．
③0(0)＝0正确．④a与b共线，方向可能相同，也可能相反，∴④错．因此正确的只有③，应选B.
答案 B
2．下列叙述不正确的是( )
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
B. b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
解析 判断a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb.在A中，若b＝0时不成立．B正确．在C中，m＝2n，∴m∥n，∴C正确．D也正确，所以应选A.
答案 A
3．下列说法不正确的是( )
A．若＝，则A，O，B三点共线
B．若＝，则∥
C．若|λa|＝|λ||a|(λ∈R)，则λa与a方向相同
D．若a＝4m＋n，b＝m＋n则a－b＝3m
解析 A、B、D正确，C错．应选C.
答案 C
4．若AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则为( )
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b
解析 如右图所示，设AD与BE相交于O，则＝，＝，＝，＝.
∴＝2＝2(＋)
＝2(＋)＝b＋a，应选B.
答案 B
5．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB.如果＝3e1，＝3e2，那么等于( )
A．e1＋2e2 B. 2e1＋e2
C.e1＋e2 D.e1＋e2
解析 如图所示，＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋＝e1＋2e2，应选A.
答案 A
6．已知|a|＝4，b与a的方向相反，且|b|＝2，a＝mb，则实数m＝________.
答案 －2
7．若a，b为已知向量，且(4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，则c＝________.
解析 (4a－3c)＋3(5c－4b)＝0，
a－2c＋15c－12b＝0，
∴13c＝12b－a，
∴c＝b－a.
答案 b－a
8．有下面四个命题：
①对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb；
②对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na；
③对于实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b；
④对于实数m，n和非零向量a，若ma＝na，则m＝n.
其中真命题有________．
解析 由实数与向量积的运算知，①、②、④正确．
答案 ①②④
9．如图所示，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB.DC与OA交于E，设＝a，＝b，用a，b表示向量，.
解 因为A是BC的中点，所以＝(＋)，即＝2－＝2a－b.
＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b.
10．已知：＝3，＝3，且B，C，D，E不共线．
求证：BC∥DE.
证明 ∵＝3，＝3，
∴＝－＝3－3
＝3(－)＝3.
∴与共线．
又∵B，C，D，E不共线．
∴BC∥DE.
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1.若5＋3＝0，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．等腰梯形
解析 由于5＋3＝0知，∥且||≠||，∴此四边形为梯形．又||＝||，∴梯形ABCD为等腰梯形．
答案 D
2．点P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC的内部
B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上
D．BC边所在的直线上
解析 ∵＝λ＋，
∴－＝λ，
即＋＝λ.
∴＝λ.
∴C，P，A三点共线．
∴点P在AC边所在的直线上．
答案 B
3．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，求x，y.
解 ∵a与b不共线，根据向量相等得
解得
∴x＝3，y＝－4.
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
解析 ∵2＋＋＝0，而＋＝2，∴2＋2＝0，即＋＝0，∴＝.
答案 A
5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示a，b，c的有向线段能否一定构成三角形？
错解 在平面内任取一点A，作＝a，再以B为起点作＝b，则由向量的三角形法则知，＝a＋b，又a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)＝－＝.因此，当a＋b＋c＝0时，表示a，b，c的有向线段一定能构成三角形．
错因分析 上述解法只考虑了一般情况，而忽视了向量共线的特殊情况．
正解 (1)当a，b不共线时，即为上述解法，这时表示a，b，c的有向线段一定能构成三角形．
(2)当a，b共线时，由a＋b＋c＝0知，c＝－(a＋b)．显然c也与a，b共线，这时表示a，b，c的有向线段不能构成三角形．
综上知，若非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，则表示a，b，c的有向线段不一定能构成三角形．
技能提升作业(十七)
1．给出下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作为表示该平面所有向量的基底；
③零向量不可为基底中的向量．
其中正确的说法是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．②
解析 因为不共线的两个向量都可以作为一组基底，所以一个平面内有无数多个基底，又零向量和任何向量共线，所以基底中不含有零向量．因此本题中，①错，②、③正确，故选B.
答案 B
2．已知e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )
A．e1和e1＋e2
B．e1－2e2和e2－2e1
C．e1－2e2和4e2－2e1
D．e1＋e2和e1－e2
解析 分析四个选项知，在C中，4e2－2e1＝－2(e1－2e2)．∴e1－2e2与4e2－2e1共线，应选C.
答案 C
3．在△ABC中，＝3，则等于( )
A.(＋2)
B.(＋2)
C.(＋3)
D.(＋2)
解析 如右图所示，
＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋＝(＋2)，故选A.
答案 A
4．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则等于( )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈
解析 ∵ABCD是菱形，且AC是一条对角线，由向量的平行四边形法则知，＝＋，而点P在AC上，
∴三点A，P，C共线，∴＝λ＝λ(＋)，显然λ∈(0,1)，故选A.
答案 A
5．若四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，且＝a，＝b，则等于( )
A．b＋a B．b－a
C．a＋b D．a－b
解析 ＝＋＝＋＝b－a.
答案 B
6．已知a，b不共线，且c＝λ1a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1＝________.
解析 ∵a，b不共线，∴a，b可以作为一组基底，又c与b共线，∴c＝λ2b，∴λ1＝0.
答案 0
7．设向量a，b不共线，且＝k1a＋k2b，＝h1a＋h2b，若＋＝ma＋nb，则实数m＝________，n＝________.
解析 ＋＝(k1＋h1)a＋(k2＋h2)b＝ma＋nb.
∴m＝k1＋h1，n＝k2＋h2.
答案 k1＋h1 k2＋h2
8．已知向量a与b的夹角是45°，则－2a与3b的夹角是________．
答案 135°
9．设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解 如图所示，
＝－＝－－
＝－－(－)
＝－＝b－a.
同理可得＝a－b，
＝－＝－(＋)＝a＋b.
10．如图所示，在?ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点．已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
解 设＝a，＝b.
由M，N分别为DC，BC的中点，得＝b，＝a.
在△ABN和△ADM中，
①×2－②，得a＝(2d－c)．
②×2－①，得b＝(2c－d)．
∴＝(2d－c)，＝(2c－d).
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1.已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．不能确定
解析 a＋b＝3e1－e2＝c.故a＋b与c共线．
答案 B
2．设平面向量a1，a2，a3的和a1＋a2＋a3＝0.如果平面向量b1，b2，b3满足|bi|＝2|ai|，且ai顺时针旋转30°后与bi同向，其中i＝1,2,3，那么( )
A．－b1＋b2＋b3＝0 B．b1－b2＋b3＝0
C．b1＋b2－b3＝0 D．b1＋b2＋b3＝0
解析 选用特例法
∵a1＋a2＋a3＝0，
∴a1，a2，a3构成三角形，不妨设其为正三角形．则bi实际上是将三角形顺时针旋转30°后再将其各边长度变为原来的2倍，仍为封闭图形——三角形．
∴有b1＋b2＋b3＝0.
答案 D
3．已知＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，试判断A，B，C，D四点构成的图形．
解 ∵＝＋＋＝－8a－2b，
∴＝2，∴∥.
若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使＝λ，
即a＋2b＝－4λa－λb，∴矛盾．
∴A，B，C三点不共线，故A，B，C，D四点不共线．
因而∥，又||＝2||≠||.
故A，B，C，D四点构成梯形．
4．已知：如图，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且＝l，＝m，＝n，若＋＋＝0.求证：l＝m＝n.
证明 设＝a，＝b为基底．
由已知＝la，＝mb.
∵＝＋＝－a－b，
∴＝n＝－na－nb.
∴＝＋＝(l－1)a－b，①
＝＋＝a＋mb，②
＝＋＝－na＋(1－n)b.③
将①②③代入＋＋＝0，得
(l－n)a＋(m－n)b＝0，
∵a与b不共线，
∴l＝m＝n.
5.
在△ABC中，＝，DE∥BC，与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，如图所示，设＝a，＝b，试用a和b表示.
解 ∵M为BC的中点，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
＝(＋)＝(a＋b)．
∵∥，与共线，
∴存在实数λ和μ，使得＝λ＝λ(b－a)，
＝μ＝μ(a＋b)＝μa＋μb.
＝＋
＝a＋λ(b－a)＝a＋b.
根据平面向量基本定理，得
解得 λ＝μ＝.∴＝(b－a)．
技能提升作业(十八)
1．(2008·安徽)若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝( )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(3,7) D．(－3，－7)
解析 ＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．
答案 B
2．已知＝(－2,4)，＝(2,6)，则＝( )
A．(0,5) B．(0,1)
C．(2,5) D．(2,1)
解析 ＝(－)＝(4,2)＝(2,1)．
答案 D
3．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于y轴
B．平行于第一、第三象限的角平分线
C．平行于x轴
D．平行于第三、第四象限的角平分线
解析 a＋b＝(x,1)＋(－x，x2)＝(0,1＋x2)，
由1＋x2≠0及向量的性质可知，a＋b平行于y轴．
答案 A
4．若M(4，－1)，＝(4，－1)，则有( )
A．点M与点A重合
B．点M与点B重合
C．点M在上
D.＝(O为坐标原点)
解析 M(4，－1)，即＝(4，－1)，又＝(4，－1)，∴＝.
答案 D
5．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，则向量2b－a的坐标是( )
A．(3，－4) B．(－3,4)
C．(3,4) D．(－3，－4)
解析 a＝(3,2)，b＝(0，－1)，∴2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(0，－2)－(3,2)＝(－3，－4)．
答案 D
6．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点坐标为________．
解析 ＝(3，－2)，＝(－5，－1)，
∴＝(－)＝(－8,1)＝.
设P(x，y)，则
＝－＝(x－3，y＋2)，由＝，得
∴x＝－1，y＝－，∴P(－1，－)．
答案 (－1，－)
7．平面上三点分别为A(2，－5)，B(3,4)，C(－1，－3)，D为线段BC中点，则向量的坐标为________．
解析 依题意知＝(＋)＝(2,1)＝，则＝－＝(2，－5)－(1，)＝.
答案
8．已知O为坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，则向量＝________.
解析 设＝(x，y)，则x＝4 cos60°＝2，
y＝4 sin60°＝6，∴＝(2，6)．
答案 (2，6)
9．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(2,4)，求a，b.
解 ∵2a＋b＝(－4,3)，
∴4a＋2b＝(－8,6)．
又a－2b＝(2,4)，
∴(4a＋2b)＋(a－2b)＝(－8,6)＋(2,4)．
∴5a＝(－6,10)．
∴a＝.
又b＝(2a＋b)－2a
＝(－4,3)－2
＝，
∴a＝，b＝.
10．已知A，B，C三点坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝.
(1)求点E，F及向量的坐标；
(2)求证：∥.
解 (1)设O(0,0)，则＝＋＝＋
＝(－1,0)＋(2,2)
＝，
＝＋＝＋
＝(3，－1)＋(－2,3)＝，
∴E，F.
∴＝－＝.
(2)证明：∵＝－＝(4，－1)，
＝
∴＝＝.
∴∥.
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1.(2010·沈阳高一检测)若＝(4,8)，＝(－7，－2)，则3＝________.
解析 3＝3(－)＝3(－11，－10)
＝(－33，－30)．
答案 (－33，－30)
2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝( )
A．3a＋b B．3a－b
C．－a＋3b D．a＋3b
解析 ∵a＝(1,1)，b＝(－1,1)，∴3a－b＝(3,3)－(－1,1)＝(4,2)＝c.应选B.
答案 B
3．(2009·湖南)如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若＝x＋y，则x＝________，y＝________.
解析 如图，作DF⊥AB于F，设AB＝AC＝1?
BC＝DE＝，
∵∠DEB＝60°，
∴BD＝.
由∠DBF＝45°，解得DF＝BF＝×＝，
故x＝1＋，y＝.
答案 1＋
4．已知A(1,1)，B(－1,5)，求向量和的坐标．
解 ＝－＝(－1,5)－(1,1)＝(－2,4)，
＝－＝(2，－4)．
5．已知e1，e2是不共线的单位向量，a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，求向量2a＋3b.
解 ∵a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，
∴2a＋3b＝2(e1＋2e2)＋3(2e1－e2)＝8e1＋e2.
6．已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．
解 设顶点D的坐标为(x，y)，∵＝(4,1)，＝(5－x,6－y)，由＝，得
(4,1)＝(5－x,6－y)，
∴ ∴
∴顶点D的坐标为(1,5)．
技能提升作业(十九)
1．已知a＝(x,3)，b＝(3，－1)且a∥b，则x等于( )
A．－1 B．9
C．－9 D．1
解析 ∵a＝(x,3)，b＝(3，－1)且a∥b，
∴－x－3×3＝0，∴x＝－9.
答案 C
2．已知A(3，－6)，B(－5,2)，且A，B，C三点在一条直线上，则C点坐标不可能是( )
A．(－9,6) B．(－1，－2)
C．(－7，－2) D．(6，－9)
解析 设C(x，y)，则＝(x－3，y＋6)，＝(－8，8)．
∵A，B，C三点在同一直线上，∴＝，即x＋y＋3＝0，将四个选项分别代入x＋y＋3＝0验证可知，不可能的是C.
答案 C
3．若a＝，b＝，且a∥b，则锐角α为( )
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析 由a∥b，得×－sinα·sinα＝0, ∴sin2α＝，∴sinα＝±，又α为锐角，∴α＝45°.故选B.
答案 B
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8)
C．(－3，－6) D．(－2，－4)
解析 ∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，b＝(－2，－4)．
则2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
答案 B
5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则等于( )
A. B．2
C．－ D．－2
解析 ma＋nb＝m(2,3)＋n(－1,2)
＝(2m－n,3m＋2n)，
a－2b＝(2,3)－2(－1,2)＝(4，－1)，
又ma＋nb与a－2b平行，
∴(2m－n)(－1)－(3m＋2n)×4＝0，
即14m＋7n＝0，∴＝－.
答案 C
6．已知向量a＝(x,1)，b＝(1，x)方向相反，则x＝________.
解析 依题意知a＝λb(λ<0)，
∴(x,1)＝(λ，λx)．
∴解得λ＝－1，x＝－1.
答案 －1
7．已知M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝________.
解析 由题意得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，
即(1＋3λ，2＋4λ)＝(－2＋4μ，－2＋5μ)，
∴解得λ＝－1，μ＝0.
∴M∩N＝{(－2，－2)}．
答案 {(－2，－2)}
8．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则实数k＝________.
解析 ＝－
＝(4,5)－(k,12)＝(4－k，－7)，
＝－＝(10，k)－(4,5)＝(6，k－5)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥.
∴(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，
即k2－9k－22＝0，
解得k＝11，或k＝－2.
答案 －2或11
9．如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．
解 解法1：A，B，C三点共线，即，共线．
∴存在实数λ使得＝λ.
即i－2j＝λ(i＋mj)
于是∴m＝－2.
即m＝－2时，A，B，C三点共线．
解法2：依题意知i＝(1,0)，j＝(0,1)，
则＝(1,0)－2(0,1)＝(1，－2)，
＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)，
而，共线，
∴1×m－1×(－2)＝0，∴m＝－2.
∴故当m＝－2时，A，B，C三点共线．
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上，P在y轴上，P在第二象限？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形，若能，求出t的值，若不能，请说明理由．
解 由题可知＝(1,2)，＝(3,3)，设＝(x，y)，因为＝＋t，
所以(x，y)＝(1,2)＋t(3,3)＝(3t＋1,3t＋2)．
(1)若P在x轴上，∴y＝0，∴3t＋2＝0，∴t＝－；
若P在y轴上，∴x＝0,3t＋1＝0，∴t＝－；
若P在第二象限，则∴
∴－(2)假设OABP能成为平行四边形，则∥，且∥，又∵＝(3t＋1,3t＋2)，＝(3,3)，若∥，∴3(3t＋1)－3(3t＋2)＝0，这显然不成立．
∴OABP不能成为平行四边形.
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1.下列向量与a＝(1,3)共线的是( )
A．(1,2) B．(－1,3)
C．(1，－3) D．(2,6)
答案 D
2．已知向量a＝(3,4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα等于( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵a∥b，∴3cosα－4sinα＝0.
∴3cosα＝4sinα，又cosα≠0，∴tanα＝.应选A.
答案 A
3．已知向量a＝(1,3)，b＝(3，n)，如果a与b共线，那么实数n的值是________．
答案 9
4．已知A(2,3)，B(6，－3)，P是靠近A的线段AB的一个三等分点，则点P的坐标是________．
解析 设P(x，y)，则＝3，即
(4，－6)＝3(x－2，y－3)，
∴∴
∴P的坐标是.
答案
5．已知向量＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，当∥时，求x，y应满足的关系式．
解 ＝－＝－(＋＋)
＝－(4＋x，y－2)
＝(－4－x,2－y)．
∵∥，
∴x(2－y)－y(－4－x)＝0.
∴x＋2y＝0.
即x，y应满足的关系式为x＋2y＝0.
技能提升作业(二十)
1．(2010·重庆)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析 |2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8，
∴|2a－b|＝2.
答案 B
2．已知|a|＝6，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a·b等于( )
A．6＋ B．6－
C．6 D．7
解析 a·b＝|a||b|cos60°＝6×2×cos60°＝6.
答案 C
3．已知|a|＝2，|b|＝4，a·b＝－4，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
解析 cosθ＝＝＝－，∵θ∈[0°，180°]，
∴θ＝120°，故选D.
答案 D
4．已知|b|＝3，a在b方向上的投影为，则a·b＝( )
A．3 B.
C．2 D.
解析 由题意，得|a|cos〈a，b〉＝，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×＝.
答案 B
5．若非零向量a与b的夹角为，|b|＝4，(a＋2b)·(a－b)＝－32，则向量a的模为( )
A．2 B．4
C．6 D．12
解析 (a＋2b)·(a－b)＝a2＋2a·b－a·b－2b2
＝a2＋a·b－2b2＝－32，
又a·b＝|a||b|cos＝|a|×4×＝－2|a|，
∴|a|2－2|a|－2×42＝－32.
∴|a|＝2，或|a|＝0(舍去)．
答案 A
6．(2010·枣庄一模)若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝________.
解析 设b＝(x，y)，则∴x2＝9.
∴x＝±3，又a＝(－1,2)与b方向相反．
∴b＝(3，－6)．
答案 (3，－6)
7．(2011·大连高一检测)设向量a，b满足|a|＝1，|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．若a与b的夹角为60°，则k＝________.
解析 由|ka＋b|＝|a－kb|，
得k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
即(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝1，|b|＝1，a·b＝1×1cos60°＝，
∴k2－2k＋1＝0，∴k＝1.
答案 1
7．已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与共线的单位向量是________．
解析 A＝(－6,2)，
∴||＝＝2，
∴与共线的单位向量为±.
答案 (－，)或(，－)
8．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，a·(a＋b)＝1，则向量a，b的夹角的大小为________．
解析 ∵|a|＝，a·(a＋b)＝1，
∴a2＋a·b＝2＋a·b＝1.
∴a·b＝－1.
设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
答案
9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．
解 依题意，Δ＝|a|2－4a·b≥0，
∴|a|2≥4a·b.设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝≤＝，
又0≤θ≤π，∴θ∈.
即a与b的夹角的取值范围是.
10．已知|a|＝1，a·b＝，(a－b)·(a＋b)＝，求：
(1)a与b的夹角；
(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．
解 (1)∵(a－b)·(a＋b)＝，
∴|a|2－|b|2＝.∵|a|＝1，
∴|b|＝ ＝.
设a与b的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，
∴θ＝45°.
(2)∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝，
∴|a－b|＝.
∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝，
∴|a＋b|＝.
设a－b与a＋b的夹角为α，则
cosα＝＝＝.
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1.设a，b，c是三个向量，以下命题中正确的有( )
①若a·b＝a·c，且a≠0，则b＝c；
②若a·b＝0，则a＝0，或b＝0；
③若a，b，c互不共线，则(a·b)c＝a(b·c)；
④(3a＋2b)(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析 ①，②，③均错，④正确．
答案 A
2．△ABC中，·<0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 C
3．已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，则向量a在b方向上的投影是________，向量b在a方向上的投影是________．
解析 向量a在b方向上的投影是|a|cos60°＝4×＝2，向量b在a方向上的投影是|b|cos60°＝6×＝3.
答案 2 3
4．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.
解析 由|a－b|＝2，
得|a|2－2a·b＋|b|2＝4.
又|a|＝1，|b|＝2，
∴2a·b＝1.
∴|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋1＋4＝6.
∴|a＋b|＝.
答案
5．已知a，b为两个单位向量，则下面说法正确的是( )
A．a＝b
B．如果a∥b，那么a＝b
C．a·b＝1
D．a2＝b2
解析 ∵a与b是单位向量，∴|a|＝|b|，∴a2＝b2.
答案 D
6．已知两点A(2,3)，B(－4,5)，则与共线的单位向量是________．
解析 ＝(－6,2)，
∴||＝＝2，
∴与共线的单位向量为±.
答案 或
技能提升作业(二十一)
1．若a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 设a与b的夹角为θ，依题意cosθ＝＝＝.
答案 A
2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，y)，a⊥b，则y等于( )
A．－1 B．1
C．－2 D．2
答案 D
3．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)，B(4,1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析 ＝(3，－1)，＝(－1，－3)，＝(－4，－2)，∴||＝，||＝，||＝.
∴||＝||，且||2＋||2＝||2＝20.
∴△ABC为等腰直角三角形，应选C.
答案 C
4．(2011·重庆一中高三月考)已知a＝(0,1)，b＝(3，x)，向量a与b的夹角为，则x的值为( )
A．±3 B．±
C．±9 D．3
解析 cos＝＝，
∴2x＝，且x>0，∴3x2＝27，∴x＝3.
答案 D
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A. B.
C. D.
解析 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，
对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)．
又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，
∴m＝－，n＝－.
答案 D
6．已知向量a＝(1，－2)，b＝(2，λ)，且a与b夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．
解析 a·b＝2－2λ，|a|＝，|b|＝，由a与b的夹角为锐角，得＝>0，即2－2λ>0，∴λ<1.
当＝1时，解得λ＝－4，此时a与b夹角为0°，不合题意．
∴λ≠－4.故λ的取值范围是(－∞，－4)∪(－4,1)．
答案 (－∞，－4)∪(－4,1)
7．已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|等于________．
解析 a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，
∴x＝2，y＝1，∴a＝(2,1)．
又|a|＝，|b|＝，a·b＝0，
∴|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝25.
∴|a－2b|＝5.
答案 5
8．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．(用数字作答)
解析 由题意知|a|＝1，设a与b的夹角为θ，则
b·(a－b)＝b·a－b2＝0，
∴b2＝b·a，∴|b|2＝|a||b|cosθ.
∴|b|(|b|－cosθ)＝0，∴|b|＝0，或|b|＝cosθ.
∵θ∈[0，π]，∴|b|∈[0,1]．
答案 [0,1]
9．已知四点坐标：A(－1,3)，B(1,1)，C(4,4)，D(3,5)．
(1)求证：四边形ABCD是直角梯形；
(2)求cos∠DAB的值．
解 (1)证明：＝(2，－2)，＝(1，－1)，＝(3,3)，
∴＝2，∴∥.
又∵·＝2×3＋(－2)×3＝0，
∴⊥.
又∵||≠||，∴四边形ABCD为直角梯形．
(2)∵＝(4,2)，＝(2，－2)，
∴||＝＝2，
||＝＝2.
又∵·＝2×4＋(－2)×2＝4，
∴cos∠DAB＝＝＝.
10．(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．
解 (1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，
则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．
∴|＋|＝2，|－|＝4.
故所求的两条对角线长分别为4，2.
(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．
由(－t)·＝0，
得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，
∴t＝－.
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1.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为( )
A．(3，－2) B．(3,2)
C．(－3，－2) D．(－3,2)
解析 采用验证的方法知，c＝(－3，－2)满足c·a＝－6＋6＝0，所以c⊥a，b·c＝1×(－3)＋(－2)×(－2)＝1.因此可选C.
答案 C
2．下列4个说法：
①共线的单位向量是相等向量；
②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形．
③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.
④(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
把你认为正确的序号填在横线上__________．
解析 ①中共线的单位向量当方向相反时，不成立．②中当a＋b与c共线时，不成立．③正确，由向量的几何意义可知．④正确．应填③④.
答案 ③④
3．若向量a≠0，b＝，c＝(cosθ，sinθ)，则(b＋c)·(b－c)＝________.
解析 (b＋c)·(b－c)＝b2－c2
＝|b|2－|c|2＝1－1＝0.
答案 0
4．已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，当λ为何值时，a＋λb与a垂直？
解 ∵a＝(1,0)，b＝(1,1)，
∴a＋λb＝(1,0)＋λ(1,1)＝(1＋λ，λ)．
由于a＋λb与a垂直，
∴1＋λ＋0＝0，∴λ＝－1.
∴当λ＝－1时，a＋λb与a垂直．
5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的射影的数量为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵a＝(2,3)，b＝(－4,7)，∴a·b＝2×(－4)＋3×7＝13，|a|＝，|b|＝，
∴cosθ＝＝.
∴a在b上的射影为
|a|cosθ＝×＝.
答案 C
技能提升作业(二十二)
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析 由＋＝0，得＝－＝.
∴四边形ABCD为平行四边形．
又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形．
答案 D
2．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.＝ B.与共线
C.＝ D.与共线
解析 由题意知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，∴与共线．
答案 D
3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( )
A．以a，b为邻边的平行四边形的面积
B．以b，c为邻边的平行四边形的面积
C．以a，b为两边的三角形的面积
D．以b，c为两边的三角形的面积
解析 如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α，
∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|.
又|a|＝|c|，
∴|b·c|＝|b||c||cosθ|
＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值一定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积．
答案 A
4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，B，则与直线AB平行的向量的坐标可以是( )
①；②；③；④(－7,9)．
A．① B．①②
C．①②③ D．①②③④
解析 ∵A(4,6)，B，∴＝，易知①、②、③与平行，故选C.
答案 C
5．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析 由题意得－＝，解得m＝－1或2.
答案 D
6．G在△ABC所在平面上有一点P，满足＋＋＝，则△PAB与△ABC的面积之比为________．
解析 ∵＋＋＝，
∴＝－－＝＋＋＝2，
∴A，P，C三点共线，且点P是靠近点A的线段AC的三等分点，故＝.
答案
7．如下图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析 如下图，过B作BD∥MN，
易知m＝＝，n＝，
∴m＋n＝.∵＝＝1，
∴AD＋AC＝2AN.
∴m＋n＝2.
答案 2
8．利用向量证明：菱形的两条对角线互相垂直．
证明 设菱形ABCD，
则||＝||
·＝(＋)(－)
＝()2－()2＝||2－||2＝0，
∴⊥，即AC⊥BD.
9．已知：AM是△ABC中BC边上的中线，求证：
AM2＝(AB2＋AC2)－BM2.
证明 ∵M是BC的中点，
∴＝(＋)，＝，
|AM|2＝(||2＋||2)＋·.
∵＝＋，＝＋，
∴·＝||2－||2.
∴||2＝(||2＋||2)＋(||2－||2)．
∴AM2＝(AB2＋AC2)－BM2.
10．如图所示，以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，∠B＝90°，求点B的坐标．
解 设B(x，y)，则||＝.
∵B(x，y)，A(5,2)，
∴||＝.
又||＝||，
∴＝，
整理，得10x＋4y＝29①
∴又＝(x，y)，＝(x－5，y－2)，且⊥.
∴·＝0，∴x(x－5)＋y(y－2)＝0，
即x2＋y2－5x－2y＝0，②
由①、②解得或
∴B或.
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1.在△ABC中，若||＝1.5，||＝1.5，||＝1，则|－|的值为( )
A．0 B．1 C. D．2
解析 |－|＝||＝1.
答案 B
2．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值是( )
A. B．－
C．5 D．－5
解析 ＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．
∵∠C＝90°，∴⊥，∴·＝0.
∴(2,3)·(2－k,2)＝0，
即2(2－k)＋6＝0，∴k＝5.
答案 C
3．如图，在?ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________.
解析 设AC与BD的交点是O，则＝＝，＝＝(，1)，
∴＝＋＝(－1,2)．
又＝(1,2)，
∴·＝1×(－1)＋2×2＝3.
答案 3
4．在?ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则的坐标为________．
解析 ＝＋＝(1,2)＋(－3,2)＝(－2,4)．
答案 (－2,4)
5．(2009·海南、宁夏高考)已知O，N，P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )
A．重心 外心 垂心
B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心
D．外心 重心 内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)
解析 由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；
由＋＋＝0知，N为△ABC的重心；
∵·＝·，∴·(－)＝0.
∴·＝0，∴⊥，同理⊥.
∴P是△ABC的垂心．
答案 C
技能提升作业(二十三)
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析 由题意知，F1＋F2＋F3＋F4＝0.
又F1＋F2＋F3＝(－1，－2)，∴F4＝(1,2)．
答案 D
2．已知作用在A点的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，A(1,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,2) B．(9,1)
C．(－1,9) D．(3,1)
解析 由已知得F＝F1＋F2＋F3＝(8,0)．
∴＝＋＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．
答案 B
3．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )
A．5N B．5N
C．10N D．5N
解析 如下图所示，|F1|＝|F|cos60°＝10×＝5N，应选B.
答案 B
4．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )
A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2|
C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|
解析 船速v1应大于水速v2，即|v1|>|v2|.
答案 B
5．当两人提重为|G|的书包时，夹角为θ，用力为|F|，则当|F|最小时，θ应为( )
A．0 B.
C. D. π
答案 A
6．河水从东向西流，流速为2m/s，一轮船以2m/s垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．
解析 如图所示，记水速|v1|＝2m/s，船速|v2|＝2m/s.
v表示船实际航行的速度，则由图知：|v|＝＝2(m/s)．
方向与水流方向成135°.
答案 东北方向 2m/s
7．如下图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________．
解析 设每根绳子的拉力为f，则2|f|cos60°＝10.
∴|f|＝10(N)．
答案 10N
8．已知速度v1＝(1，－2)，速度v2＝(3,4)，则合速度v＝________.
答案 (4,2)
9．一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，求船到达B处所需的时间．
解 如右图所示，设|v1|＝12km/h，|v2|＝20km/h，船实际航行的速度为v，则
|v|＝ ＝16(km/h)．
|v|＝16km/h＝(m/min)．
所需时间t＝400×＝1.5(min)．
10．平面上有两个向量e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P，从P0(－1,2)开始沿着与向量e1＋e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|，另一动点Q，从点Q0(－2，－1)出发，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|.
设P，Q在t＝0秒时分别在P0，Q0处，则当⊥时，t等于多少秒．
解 ∵P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
∴＝(－1，－3)．
又∵e1＋e2＝(1,1)，∴|e1＋e2|＝.
∵3e1＋2e2＝(3,2)，∴|3e1＋2e2|＝.
∴当t时刻时，点P的位置为(－1＋t,2＋t)，点Q位置为(－2＋3t，－1＋2t)．
∴＝(－1＋2t，－3＋t)．
∵⊥，
∴(－1)×(－1＋2t)＋(－3)×(－3＋t)＝0.
∴t＝2.
即当⊥时所需时间为2秒.
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1.初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为v0，则发射角应为( )
A．60° B．45°
C．30° D．15°
解析 炮弹的水平方向的速度为v＝v0·cosθ＝v0，
∴cosθ＝，∴θ＝60°.
答案 A
2．一艘船以5km/h的速度行驶，同时河水的速度是2km/h，则船的实际航行速度的范围是( )
A．(3,7)km/h B．[3,7)km/h
C．(3,7]km/h D．[3,7]km/h
解析 船在逆水中的速度为(5－2)＝3km/h，船在顺水中的速度为(5＋2)＝7km/h.
答案 D
3．在光滑地面上，用与水平方向成30°角的力F拉物体A，移动了10m，若|F|＝10N，则F对物体所做的功为________．
解析 W＝F·s＝|F|·|s|cos30°＝10×10×
＝50(J)．
答案 50J
4．某人先位移向量a：“向东走5km”，接着再位移向量b：“向西走3km”，则a＋b表示( )
A．向东走2km B．向西走2km
C．向东走8km D．向西走8km
答案 A
5．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由A(10,5)移动到点B(8,2)．
试求：(1)F1，F2分别对质点做的功；
(2)F1，F2的合力F对质点所做的功．
解 ＝(8,2)－(10,5)＝(－2，－3)．
(1)W1＝F1·＝(3,4)·(－2，－3)＝－18 (J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－2，－3)＝3(J)．
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－2，－3)
＝(9，－1)·(－2，－3)
＝－15(J)．
