技能提升作业(二十四)
1．cos17°等于( )
A．cos20°cos3°－sin20°sin3°
B．cos20°cos3°＋sin20°sin3°
C．sin20°sin3°－sin20°cos3°
D．cos20°sin20°＋sin3°cos3°
解析 cos17°＝cos(20°－3°)
＝cos20°cos3°＋sin20°sin3°.
答案 B
2．cos(α＋30°)cosα＋sin(α＋30°)sinα等于( )
A. B.
C. D．－
解析 原式＝cos(α＋30°－α)
＝cos30°＝.
答案 B
3．已知cosα＝，则cos的值为( )
A. B．－
C. D.或－
解析 ∵cosα＝，∴sinα＝±＝±.
∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝·＋·＝有两解，应选D.
答案 D
4．cos295°sin70°－sin115°cos110°的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 原式＝cos(360°－65°)sin(90°－20°)－sin(180°－65°)cos(90°＋20°)
＝cos65°cos20°＋sin65°sin20°
＝cos(65°－20°)
＝cos45°＝.
答案 A
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos(A－B)的值是( )
A. B.
C. D.
解析 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴斜边AB＝5.
sinA＝＝，cosA＝＝，
sinB＝＝，cosB＝＝，
∴cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB
＝×＋×＝.
答案 C
6．已知平面向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(α，β∈R)，当α＝，β＝时，a·b＝________.
解析 a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝cos＝cos＝.
答案
7．若cosαcosβ＝1，则cos(α－β)的值为________．
解析 由cosαcosβ＝1，知
cosα＝cosβ＝－1，或cosα＝cosβ＝1.
∴sinα＝sinβ＝0.
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
答案 1
8．已知sinα＝－，α∈，cosβ＝，β∈.求cos(β－α)的值．
解 由sinα＝－，α∈，得
cosα＝－＝－＝－.
又由cosβ＝，β∈，得
sinβ＝－＝－＝－，
∴cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα
＝×＋×＝.
9．若sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值．
解 由sinα＋sinβ＝，得
sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＝.①
令u＝cosα＋cosβ，则平方，得
cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ＝u2.②
①＋②得u2＋＝2＋2cos(α－β)
∴u2＝＋2cos(α－β)．
∵cos(α－β)最大值为1，
∴u2最大值为.
故u的最大值为，
即cosα＋cosβ的最大值为.
10．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π)，x∈R的最大值是1，其图像经过点M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值．
解 (1)依题意有A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)，
将点M代入，得sin＝，
而0<φ<π，∴＋φ＝π，∴φ＝.
故f(x)＝sin＝cosx.
(2)依题意有cosα＝，cosβ＝，而α，β∈，
∴sinα＝ ＝，sinβ＝ ＝.
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
＝×＋×＝.
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1.下列式子中正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cosα－cosβ
②cos(α－β)＝cosα＋cosβ
③cos(α－β)＝cosαcosβ
④cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
⑤cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案 B
2．cos45°cos15°＋sin45°sin15°的值为( )
A. B.
C．－ D．－
解析 原式＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.
答案 B
3．cosα＋sinα不等于( )
A.cos B.cos
C．cos D.cos
解析 cos＝
＝
＝cosα＋sinα.
cos＝cos
＝cos
＝cos
＝cosα＋sinα.
cos＝cosαcos＋sinαsin
＝(cosα＋sinα)
≠cosα＋sinα.
答案 C
4．已知cos(α－β)＝，求(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2的值．
解 原式＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ
＝2＋2cos(α－β)
＝2＋2×
＝.
5．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，求cos(α－β)的值．
解 由sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，得
sinα＋sinβ＝－sinγ①
cosα＋cosβ＝－cosγ②
①2＋②2，得
(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝sin2γ＋cos2γ＝1.
整理，得(sin2α＋cos2α)＋(sin2β＋cos2β)＋2(sinαsinβ＋cosαcosβ)＝1，
∴1＋1＋2cos(α－β)＝1.
∴cos(α－β)＝－.
技能提升作业(二十五)
1．已知α，β都是锐角，下列不等式中不成立的是( )
A．sinα＋cosα>1
B．sinα－cosα<1
C．sin(α＋β)>sin(α－β)
D．cos(α＋β)>cos(α－β)
解析 令α＝β＝30°，则cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝1，故cos(α＋β)答案 D
2．对等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ的认识是( )
A．对任意的角α，β都成立
B．只对α，β取几个特殊值时成立
C．对于任何角α，β都不成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
解析 由于sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，
而sin(α＋β)＝sinα＋sinβ，
∴cosβ＝1，且cosα＝1.α＝β＝2kπ(k∈Z)，
因此有无限个α，β的值使等式成立．
答案 D
3．满足cosαcosβ＝－sinαsinβ的一组α，β的值是( )
A．α＝，β＝π B．α＝，β＝π
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
解析 ∵cosαcosβ＝－sinαsinβ，
∴cosαcosβ＋sinαsinβ＝，∴cos(α－β)＝.
当α＝，β＝时，α－β＝－＝－，此时，cos＝，∴α＝，β＝适合，应选A.
答案 A
4．sin15°＋cos15°的值是( )
A. B.
C. D．－
解析 sin15°＋cos15°＝sin(45°－30°)＋cos(45°－30°)
＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＋cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×－×＋×＋×＝.
答案 C
5．已知sinα＝，α∈，则sin的值等于( )
A. B.
C. D．－
解析 ∵α∈，sinα＝，∴cosα＝，
sin＝×－×＝－.
答案 D
6．在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则cosC的值是____．
解析 ∵在△ABC中，cosA＝，cosB＝，
∴sinA＝，sinB＝.
∴cosC＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)
＝－cosAcosB＋sinAsinB
＝－×＋×＝.
答案
7．化简：cos＋sin＝________.
解析 原式＝coscosα－sinsinα＋sincosα＋cossinα
＝cosα－sinα＋cosα＋sinα＝cosα.
答案 cosα
8．函数f(x)＝sinx－cosx(x∈R)的最小正周期为________，最大值为________．
解析 f(x)＝2＝2sin.
∴最小正周期T＝2π，最大值为2.
答案 2π 2
9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限的角，求sin的值．
解 sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα
＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα
＝sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝，
∴sinβ＝－.
又β是第三象限的角，
∴cosβ＝－.
∴sin＝sinβcos＋cosβsin
＝－×－×＝－.
10．已知锐角α满足cos＝－，求sinα，cosα的值．
解 ∵0<α<，
∴<＋α<.
又cos＝－，
∴sin＝.
∴sinα＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×
＝.
∴cosα＝＝ ＝.
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1.满足等式cos4xcos5x＝sin4xsin5x的x的一个值是( )
A．5° B．10°
C．15° D．20°
解析 由题意知cos9x＝0，故验证知x＝10°成立．
答案 B
2．在△ABC中，sinAsinBA．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析 由sinAsinB0，
∴∠A＋∠B为锐角，∴∠C为钝角．
答案 C
3．函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为____．
解析 f(x)＝(1＋tanx)cosx
＝cosx＋sinx
＝2
＝2cos
∴最小正周期为2π.
答案 2π
4．求值：.
解 原式＝
＝＝－.
5．化简：
(1)sinα－cosα；
(2)sinα＋cosα；
(3)3sinα＋4cosα.
解 (1)sinα－cosα
＝cossinα－sincosα
＝sin.
(2)sinα＋cosα
＝cossinα＋sincosα＝sin.
(3)3sinα＋4cosα
＝5
＝5(sinαcosφ＋cosαsinφ)
＝5sin(α＋φ)，其中tanφ＝.
技能提升作业(二十六)
1．已知下列四个等式：
①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；
③cos＝－sinα；
④tan(α－β)＝.
其中恒成立的等式有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．
答案 B
2.的值为( )
A. B. C．1 D．－
解析 原式＝＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.
答案 B
3．设tanα，tanβ是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b≠0)的两个实根，则的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由根与系数的关系，得tanα＋tanβ＝－，
tanα·tanβ＝，
∴＝＝＝.
答案 C
4．在△ABC中，tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则∠C等于( )
A. B.
C. D.
解析 由已知，得tanA＋tanB＝(tanAtanB－1)，
即＝－.
∴tan(A＋B)＝－，则tanC＝－tan(A＋B)＝，则∠C＝.
答案 A
5．若0<α<，0<β<，且tanα＝，tanβ＝，则α＋β等于( )
A. B.
C. D.
解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
答案 B
6．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝________.
解析 tan(α－β)＝＝＝.
答案
7.＝________.
解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.
答案 1
8．已知α∈，sinα＝，则tan＝______.
解析 ∵<α<π，sinα＝，
∴cosα＝－，∴tanα＝－.
∴tan＝＝＝.
答案
9．(1)已知α＋β＝，求(1＋tanα)(1＋tanβ)．
(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．
解 (1)∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝1，
即＝1，
∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.
∴(1＋tanα)(1＋tanβ)＝(tanα＋tanβ)＋1＋tanαtanβ＝2.
(2)由(1)知当α＋β＝45°时，
(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2.
∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)
＝222·2＝223.
10．已知tanα＝－，cosβ＝，α，β∈(0，π)．
(1)求tan(α＋β)的值；
(2)求函数f(x)＝sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．
解 (1)tanα＝－，cosβ＝，β∈(0，π)，
∴sinβ＝，∴tanβ＝2.
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
(2)∵tanα＝－， α∈(0，π)，
∴sinα＝，cosα＝－ .
∴f(x)＝(sinxcosα－cosxsinα)＋cosxcosβ－sinxsinβ
＝－sinx－cosx＋cosx－sinx
＝－sinx.
∴f(x)的最大值为.
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1.已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ等于( )
A．4 B. 2
C．1 D.
解析 ∵tan(α＋β)＝
又tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，
∴4＝，∴tanαtanβ＝.
答案 D
2.的值为( )
A. B.
C. D．－
解析 原式＝＝＝－tan(45°＋15°)＝－tan60°＝－.
答案 D
3．化简＝________.
解析 ∵tan(α＋β)＝，
∴tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tanα＋tanβ，
即tan(α＋β)－tanα－tanβ＝tan(α＋β)tanαtanβ，
∴原式＝tanβ.
答案 tanβ
4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，
求tan(α＋β)的值．
解 tanβ＝＝＝tan.
∵α，β均为锐角，
∴－<－α<，0<β<.
又y＝tanx在上为增函数，
∴β＝－α，∴α＋β＝.
∴tan(α＋β)＝tan＝1.
5．已知sinα＝，α∈，tan(α－β)＝，求tanβ及tan(2α－β)的值．
解 ∵sinα＝，α∈，
∴cosα＝＝ ＝.
∴tanα＝＝＝.
∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝
＝＝2.
技能提升作业(二十七)
1．sin15°sin75°的值为( )
A. B.
C. D.
解析 sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝×2sin15°cos15°＝sin30°＝.
答案 B
2．cos4－sin4等于( )
A．0 B.
C．1 D．－
解析 cos4－sin4
＝
＝cos＝.
答案 B
3．若sin＝，则cos2α的值等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析 由sin(＋α)＝，得cosα＝，
∴cos2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
答案 A
4．化简1－2cos2的结果为( )
A．2cos2θ B．－cos2θ
C．sin2θ D．－sin2θ
解析 1－2cos2＝1－
＝－cos＝－sin2θ.
答案 D
5．若sinx·tanx<0，则等于( )
A.cosx B．－cosx
C.sinx D．－sinx
解析 ∵sinx·tanx<0，∴x为第二或第三象限的角．
∴cosx<0，∴＝＝|cosx|
＝－cosx.
答案 B
6．函数f(x)＝sin－2sin2x的最小正周期是________．
解析 f(x)＝(sin2x－cos2x)－(1－cos2x)
＝sin2x＋cos2x－
＝sin－.
T＝＝π.
答案 π
7．化简＝________.
解析
＝
＝＝1.
答案 1
8．已知函数f(x)＝2sin(π－x)cosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝2sin(π－x)cosx＝2sinxcosx＝sin2x，所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由－≤x≤，得－≤2x≤π，
所以－≤sin2x≤1，
即f(x)的最大值为1，最小值为－.
9．(2010·江苏南通)已知＝1，tan(β－α)＝－，求tan(β－2α)的值．
解 ∵＝1，∴＝1.
∴tanα＝.
又tan(β－α)＝－，
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝
＝＝－1.
10．已知3sinθ＝cosθ.求2cos2θ－sin2θ的值．
解 ∵3sinθ＝cosθ，∴tanθ＝，
∴2cos2θ－sin2θ＝
＝＝＝＝1.
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1.－等于( )
A．－2cos5° B．2cos5°
C．－2sin5° D．2sin5°
解析 －
＝－
＝2
＝2cos95°＝－2sin5°.
答案 C
2．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，那么sin2α，cos2α的值分别为( )
A.， B．－，
C．－，－ D．－，±
解析 由sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，及sin2α＝－<0，知α∈，又sinα>|cosα|，所以α∈，2α∈，因此cos2α<0，sin2α<0.
答案 C
3．已知x∈，cosx＝，则tan2x＝________.
解析 ∵x∈，cosx＝，
∴sinx＝－，∴tanx＝－.
∴tan2x＝＝＝－.
答案 －
4．设cos2θ＝，则sin4θ＋cos4θ的值是________．
解析 sin4θ＋cos4θ
＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ
＝1－sin22θ
＝1－(1－cos22θ)
＝＋×2＝.
答案
5．(2010·保定一模)已知tanα＝2.
求：(1)tan的值；
(2)的值．
解 (1)∵tanα＝2，
∴tan＝＝＝－3.
(2)
＝＝tanα＋＝.
技能提升作业(二十八)
1．已知cosα＝－，且α∈，则cos的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析 ∵π<α<，∴<<，∴cos<0.
由cosα＝2cos2－1＝－，得cos2＝，
∴cos＝－.
答案 B
2．设α∈(π，2π)，则 等于( )
A．sin B．cos
C．－sin D．－cos
解析 ∵α∈(π，2π)，∴∈，∴cos<0.
∴ ＝ ＝|cos|＝－cos.
答案 D
3．函数y＝8sinxcosxcos2x的最小正周期为T，最大值为A，则( )
A．T＝π，A＝4 B．T＝，A＝4
C．T＝π，A＝2 D．T＝，A＝2
解析 y＝8sinxcosxcos2x＝4sin2xcos2x＝2sin4x，
∴最小正周期T＝＝，最大值A＝2.
答案 D
4．若α，β∈，且tanα＝，tanβ＝，则α－β的值为( )
A. B.
C. D.
解析 tan(α－β)＝＝＝1.
∵0<α，β<，∴－<α－β<，∴α－β＝.
答案 B
5．若f(x)＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是( )
A．最大值是9，最小值是－9
B．最大值不存在，最小值为7
C．最大值是7，最小值是－9
D．最大值是7，最小值不存在
解析 f(x)＝cos2x＋8sinx＝1－2sin2x＋8sinx
＝－2(sin2x－4sinx)＋1＝－2(sinx－2)2＋9.
∵x∈R，－1≤sinx≤1，
∴当sinx＝1时，f(x)有最大值7；
当sinx＝－1时，f(x)有最小值－9.
答案 C
6．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－的最大值为________．
解析 y＝sin2x＋3×－
＝sin2x＋cos2x
＝sin≤ .
答案
7．化简：＝________.
解析 原式＝
＝＝tanA.
答案 tanA
8．若tanx＝，则＝________.
解析
＝＝
＝＝2－3.
答案 2－3
9．在锐角△ABC中，求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
证明 ∵∠A＋∠B＋∠C＝π，
∴∠A＋∠B＝π－∠C.
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)．
∴＝－tanC.
∴tanA＋tanB＝－tanC(1－tanAtanB)．
∴tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.
10．若α，β为锐角，且sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，求tan(α－β)．
解 ∵sinα－sinβ＝－，cosα－cosβ＝，
两式平方相加，得
2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝.
即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.
∵α，β是锐角，且sinα－sinβ＝－<0.
∴0<α<β<，∴－<α－β<0.
∴sin(α－β)＝－＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
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1.下列各式中值为的是( )
A．sin15°cos15° B．2cos2－1
C. D.
解析 sin15°cos15°＝sin30°＝.
2cos2－1＝cos＝.
＝ ＝.
＝·
＝tan45°＝，故选D.
答案 D
2．(2009·广东)函数y＝2cos2－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π偶函数
D．最小正周期为的偶函数
解析 因为y＝2cos2－1＝cos＝sin2x，所以为奇函数，T＝＝π.故选A.
答案 A
3．(2009·上海)函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析 f(x)＝cos2x＋sin2x＋1＝sin＋1，所以最小值为1－.
答案 1－
4．求下列各式的值．
(1)tan20°＋4sin20°；
(2)cos12°cos24°cos48°cos96°.
分析 在(1)中切化弦、通分变形求解，在(2)中，注意式子中所给角为倍数关系，且为余弦，可都乘除sin12°，利用倍角公式可解．
解 (1)原式＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝
＝·
＝·
＝·
＝·
＝·＝－.
5．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(，)，若a·b＝，且解 a·b＝cosx＋sinx＝2
＝2sin.
又a·b＝，
∴sin＝.
又sin＝cos
＝cos＝cos，
∴cos＝.
∵∴cos＝－，sin＝.
∴＝tan＝－.
sin2x＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
∴＝×＝－.
