24.2 圆的基本性质
第1课时 圆及其相关概念
一、教学目标
1.理解圆、弧、弦等与圆有关的概念；并了解它们之间的区别与联系；
2.探索并掌握点和圆的位置关系，及这三种位置关系对应的圆的半径与点到圆心的距离之间的关系；
3.经历圆的概念的形成过程，通过合作、探究等方法，发展学生的数学思考能力；
4.感受生活中的圆，感受圆中蕴含的数学美，感受数学的价值，培养审美意识.
二、教学重难点
重点：经历形成圆的概念的过程，掌握圆各部分的名称及圆的特征.
难点：了解点与圆的位置关系，理解点到圆心的距离与半径之间的关系.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【观察】 观察下列图形，都有哪些你熟悉的几何图形？ 教师活动：教师PPT展示图片，并提出问题，全班学生回答，学生回答后教师PPT呈现结果. 观察所给图片，根据老师的提问，回答. 通过观察生活中常见物体的图片，让学生感受圆无处不在，圆中蕴含数学美，激发学生学习兴趣.
环节二 探究新知 【交流】 你知道圆的哪些知识？ 预设答案：圆的周长：C=2πr；圆的面积：S=πr2 … … 教师活动：教师在上一问题后，继续提问，引导学生回顾，并思考，随机选取学生回答，最后PPT动态展示. 小组交流探讨，回顾圆的相关知识，并回答. 回顾旧知，并在此基础上提出新问题，调动学生积极性.变被动接受为主动探究，激发学生的学习兴趣和求知欲望.
【操作】 小学已经对圆有了初步认识，你能说出圆是如何画出来的吗，动手画一画. 预设答案：①用硬币画圆；②用细绳和铅笔画圆；③用圆规画圆.等等… … 教师活动：教师提出问题，可组织学生动手操作，最后教师动态呈现画圆的过程. 你能试着总结出圆的概念吗？ 教师活动：教师提出问题，引导学生思考并总结，小组交流探讨后，选代表回答，教师汇总补充： 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆. 其中，固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. 学生动手画图. 可先独立思考，然后小组内交流探讨，尝试总结. 培养学生动手能力，合作意识，使学生在交流与操作中获得知识，培养学生探究意识. 以问题串的形式引发学生自主思考探究，使学生在自主探索，合作交流的过程中完成学习任务.
【探究】 1.从画圆的过程中，你能说出圆上点有什么特性吗？ 预设答案：①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；②平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在同一个圆上． 教师活动：教师引导学生理解并归纳出圆的另一种定义： 圆心为O、半径为r的圆可以看成：平面内到定点(圆心O) 的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形． 在此基础上，教师带领学生对比圆的两种定义： 组内交流探讨，形成一致结论后，选代表发言 理解圆的另一种定义.
【延伸】 战国时期的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载. 【做一做】 下列关于圆的叙述正确的是 . ①圆是由圆心唯一确定的 ②圆上任意一点到圆心的距离都相等 ③到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆 ④圆是一条封闭的曲线 答：②④. 总结： (1)圆是由圆心和半径确定的，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； (2)圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面). 学生思考并回答. 通过《墨经》中对圆的描述，使学生进一步理解圆的概念. 通过追问，考查学生对知识的掌握情况，培养学生用所学知识解决问题的能力.
【探究】 教师活动：教师提出问题，并展示相关图片，引导学生思考.并适时提出问题追问. 1.圆中还有哪些元素呢？ 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． 以A，B为端点的弧记作；读作“圆弧AB”； 或“弧AB” 连接圆上任意两点的线段叫做弦. (如图AB、CD) 经过圆心的弦叫做直径. (如图CD) 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 教师活动：教师适当引导学生思考直径与弦的关系，让学生理解，①直径一定是弦，但是弦不一定是直径，②直径是最长的弦. 2.下面两段弧都是以A、B为端点，如何区分呢？ 大于半圆的弧叫做优弧. (一般用三个字母表示)，如：. 小于半圆的弧叫做劣弧.如：. 教师活动：教师适当提醒，引导学生思考，师生共同得出结论：每一个弧都对应唯一的弦，在同圆中每一条弦都对应两个弧.然后教师可让学生观看“弓”的实物图片，由此引出弓形的概念，由前面得出的结论“在同圆中每一条弦都对应两个弧”可得，同一个圆中弦AB与其所对的弧组成的弓形有两个，如下图. 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 3.下列每组中的两个圆能重合吗？ 预设答案：（1）不重合；（2）重合. 能够重合的两个圆叫做等圆. 半径相等的两个圆是等圆.反过来，同圆或等圆的半径相等. 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧. 【做一做】 教师提出问题，学生思考并抢答. 如图，点A，B，C在⊙O上，点O在线段AC上，点D在线段AB上，下列说法正确的是( ) A. 线段AB，AC，CD，OB都是弦 B. 与线段OB相等的线段有OA，OC，CD C. 图中的劣弧有2条 D. AC是弦，又是⊙O的直径，所以弦是直径 答：C. 学生结合图形，观察理解并回答. 学生抢答 通过问题串的形式引发学生思考，利用多媒体课件演示相关图形及概念，直观形象，便于学生理解. 巩固圆的相关概念等基础知识，培养学生竞争意识.
【思考】 1.平面上的圆把平面分成了哪几部分？ 2.观察点和圆的位置关系，能否对这六个点进行分类？ 3.设⊙O的半径为r，OA，OB，OC与r有怎样的数量关系？ 【归纳】 点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d 教师引导学生分析出位置关系和数量关系. 【做一做】 已知⊙O的面积为25π： (1)若PO=5.5，则点P在 ； (2)若PO=4，则点P在 ； (3)若PO= ，则点P在圆上； (4)若点P不在圆外，则PO . 答：(1)圆外； (2)圆内； (3)5； (4)≤5. 思考并回答问题 在教师的引导下积极思考并解决问题 思考并回答问题 与教师一起分析归纳出结论 独立完成 通过提问题循序渐进的引导学生解决新问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，体会解决问题的策略. 让学生通过观察图形或量一量的方式得到线段之间的数量关系，培养学生的观察能力. 引导学生总结归纳出“点和圆的位置关系”以及“点到圆心的距离的数量关系”互相呼应，培养学生归纳总结问题的能力. 通过练习，检验学生对新知识的掌握及运用情况.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径，求证：AD//CB. 证明：连接AC，DB. ∵AB、CD为⊙O的直径， ∴OAOB，OCOD. ∴四边形ADBC为平行四边形. ∴AD//CB. 学生思考，明确思路. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力.
环节四 巩固新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.判断下列说法的正误： (1)弦是直径；( ) (2)半圆是弧； ( ) (3)过圆心的线段是直径； ( ) (4)半圆是最长的弧；( ) (5)直径是最长的弦；( ) (6)经过圆上一点有无数条直径. ( ) 答：(1)×；(2)√；(3)×；(4)×；(5)√；(6)×. 2.以O为圆心，分别以2cm、3cm为半径画两个圆(这两个圆叫同心圆)，说出满足以下条件的点P的位置： (1) OP＞3 cm； (2) OP≤3 cm； (3) 2 cm＜OP＜3 cm； (4) OP0 cm. 解：(1) 点P在大圆外； (2) 点P在大圆上，或大圆内部； (3) 点P在小圆外大圆内； (4) 点P与圆心O重合. 3.矩形的四个顶点是否一定能在同一个圆上，为什么？ 解：连接AB，CD交于点O. ∵四边形ADBC为矩形， ∴ABCD. ∴OAOBOCOD. ∴矩形ABCD的四个顶点都在以O为圆心，OA的长为半径的圆上. 学生自主练习 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第25页习题24.2第1、2题. 学生课后自主完成. 通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.(共29张PPT)
24.2 圆的基本性质
第1课时
学习目标
1.理解圆、弧、弦等与圆有关的概念；并了解它们之间的区别与联系；
2.探索并掌握点和圆的位置关系，及这三种位置关系对应的圆的半径与点到圆心的距离之间的关系；
3.经历圆的概念的形成过程，通过合作、探究等方法，发展学生的数学思考能力；
4.感受生活中的圆，感受圆中蕴含的数学美，感受数学的价值，培养审美意识.
圆及其相关概念
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察
观察下列图形，都有哪些你熟悉的几何图形？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你知道圆的哪些知识？
交流
r
A
O
圆的周长：C=2πr
圆的面积：S=πr2
… …
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
小学已经对圆有了初步认识，你能说出圆是如何画出来的吗，动手画一画.
操作
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你能试着总结出圆的概念吗？
在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的封闭曲线叫做圆.
P
O
圆心
半径
r
以点O为圆心的圆，记作⊙O，
读作“圆O”.
用细绳和铅笔画圆
用圆规画圆
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
从画圆的过程中，你能说出圆上点有什么特性吗？
①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；
P
r
②平面内到定点(圆心O)的距离等于定长(半径r)的所有点都在同一个圆上．
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
O
圆心为O、半径为r的圆可以看成：平面内到定点(圆心O) 的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形．
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的的图形叫做圆.
圆心为O、半径为r的圆可以看成：平面内到定点(圆心O) 的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形．
探究
你能回顾一下圆的两种定义吗？
动态定义
静态定义
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
墨子
圆，一中同长也。
——《墨经》
做一做
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下列关于圆的叙述正确的是 .
①圆是由圆心唯一确定的
②圆上任意一点到圆心的距离都相等
③到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆
④圆是一条封闭的曲线
②④
(1)圆是由圆心和半径确定的，圆心确定圆的位置，
半径确定圆的大小；
(2)圆是一条封闭曲线(而不是一个圆面).
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
圆中还有哪些元素呢？
O
A
B
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A，B为端点的弧记作
读作“圆弧AB”
或“弧AB”
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
圆中还有哪些元素呢？
O
A
B
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
经过圆心的弦叫做直径.
C
D
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
注意：直径是弦，但弦不一定是直径；
直径是最长的弦.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
下面两段弧都是以A、B为端点，如何区分呢？
O
A
B
C
D
大于半圆的弧叫做优弧.
小于半圆的弧叫做劣弧.
(一般用三个字母表示)
如：
如：
注意：每一个弧都对应唯一的弦，
在同圆中每一条弦都对应两个弧.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
O
A
B
C
O
A
B
C
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
下列每组中的两个圆能重合吗？
O1
O2
（1）
（2）
不重合
重合
能够重合的两个圆叫做等圆.
A
B
r
r
半径相等的两个圆是等圆.
反过来，同圆或等圆的半径相等.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
O
（1）
（2）
在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.
O1
O2
B
A
D
C
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
如图，点A，B，C在⊙O上，点O在线段AC上，点D在线段AB上，下列说法正确的是( )
B. 与线段OB相等的线段有OA，
OC，CD
C. 图中的劣弧有2条
D. AC是弦，又是⊙O的直径，
所以弦是直径
A. 线段AB，AC，CD，OB都是弦
O
A
B
C
D
C
平面上的圆把平面分成了哪几部分？
圆内
圆外
圆上
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察点和圆的位置关系，能否对这六个点进行分类？
B
C
A
D
E
F
点C、F在圆外
点A、D在圆内
点B、E在圆上
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
设⊙O的半径为r，OA，OB，OC与r有怎样的数量关系？
B
C
A
O
思考
OA＜r
OB r
OC＞r
r
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
点P在圆外
点P在圆内
点P在圆上
归纳
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP d
P
O
P
O
P
O
d＜r
d r
d＞r
位置关系
数量关系
点和圆的位置关系
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
已知⊙O的面积为25π：
（1）若PO=5.5，则点P在 ；
（2）若PO=4，则点P在 ；
（3）若PO= ，则点P在圆上；
（4）若点P不在圆外，则PO .
5
圆外
圆内
≤5
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
例1 已知：如图，AB、CD为⊙O的直径，
求证：AD//CB.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
典型例题
B
A
C
D
O
证明：连接AC，DB.
∵AB、CD为⊙O的直径，
∴OA OB，OC OD.
∴四边形ADBC为平行四边形.
∴AD//CB.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
(1)弦是直径；( )
(2)半圆是弧； ( )
(3)过圆心的线段是直径； ( )
(4)半圆是最长的弧；( )
(5)直径是最长的弦；( )
(6)经过圆上一点有无数条直径. ( )
1.判断下列说法的正误：
抢答
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2.以O为圆心，分别以2cm、3cm为半径画两个圆(这两个圆叫同心圆)，说出满足以下条件的点P的位置：
抢答
A
O
B
2cm
3cm
(1) OP＞3 cm； (2) OP≤3 cm；
(3) 2 cm＜OP＜3 cm； (4) OP 0 cm.
解：(1) 点P在大圆外；
(2) 点P在大圆上，或大圆内部；
(3) 点P在小圆外大圆内；
(4) 点P与圆心O重合.
B
A
C
D
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
3.矩形的四个顶点是否一定能在同一个圆上，为什么？
抢答
解：连接AB，CD.
∵四边形ADBC为矩形，
∴AB CD.
∴OA OB OC OD.
∴矩形ABCD的四个顶点都在以O为圆心，OA的长为半径的圆上.
O
与圆相关的概念
弧、弦、直径、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧、弓形
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
圆及其相关概念
圆的定义
在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的的图形叫做圆.
圆心为O、半径为r的圆可以看成：平面内到定点(圆心O) 的距离等于定长(半径r)的所有点组成的图形．
点与圆的位置关系
点P在圆内
d＜r
点P在圆上
d r
点P在圆外
d＞r
布置作业
教科书第25页
习题24.2第1，2题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见24.2 圆的基本性质
第2课时 垂径定理
一、教学目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
二、教学重难点
重点：垂径定理及其逆定理的应用.
难点：对垂径定理的探索和证明，并能应用垂径定理进行简单计算或证明.
三、教学用具
多媒体课件、圆形纸片
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 什么是轴对称图形？ 预设答案：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形. 教师活动：教师提出问题，引导学生回顾轴对称图形的概念，然后教师可让学生举例说明，我们学过哪些轴对称图形呢？比如：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形… …都是轴对称图形.此时，教师可追问：圆是轴对称图形吗？ 根据老师的提问，回顾所学知识并思考. 回顾轴对称图形，并提出新问题，为本节课的学习作铺垫.
环节二 探究新知 【合作探究】 问题1：在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？ 预设答案：①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 教师活动：教师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，学生充分交流后，教师汇总补充，最后PPT动态展示. 在此基础上追问：你能证明上面的结论吗？ 动手操作，折纸、观察、归纳，重新认识圆，从折纸的角度认识圆的对称性 让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图.
【证明】 教师活动：教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上即可.然后让学生先独立思考证明思路，再小组内交流探讨，形成统一的证明过程，教师选代表回答，并补充完善. 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上. 证明：过点A作AA'CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA' 在△OAA'中，∵OAOA' ∴△OAA'是等腰三角形 又∵AA'CD ∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线. 教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论. 独立思考，然后小组内交流探. 通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程，初步培养学生分析问题、解决问题的能力.
【探究】 问题2：如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？ 猜想：CDAB. 教师活动：教师引导学生提出猜想，然后让学生仿照前面证明的思路尝试去验证自己的猜想.事实上，只要连接OA，OB.容易得出△AOB是等腰三角形 ，再结合AEEB，由等腰三角形三线合一即可得到： CDAB. 问题3：直径CD把劣弧分成与 两部分，把优弧分成与两部分，这时与、与各有怎样的关系？ 预设答案：；. 教师活动：再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.然后总结问题2、3的发现，让学生用语言描述所得到的结论，小组内交流，教师汇总并补充完善. 【归纳】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师活动：教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言. 学生思考，猜想，并阐释梳理证明思路. 再次观察折叠圆的过程，让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理. 巩固垂径定理的内容，并锻炼学生把文字语言转化为数学语言的能力.
【想一想】 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足. 教师活动：教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原因，并引导学生总结：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.并追问：怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？ 预设答案： 学生思考并抢答. 进一步加深对垂径定理的理解，巩固所学知识，并提升对知识的运用.
【探究】 问题4：当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB 教师活动：教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明.并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论： 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师追问：为什么强调“不是直径”呢？ 预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直. 学生结合图形，观察理解并回答. 引导学生思考、证明和总结，得出垂径定理的推论.培养学生的逻辑思维能力及运用所学知识解决问题的能力.
【想一想】 判断下列说法是否正确： 1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.平分弦的直径垂直于弦. 3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径. 预设答案：1.；2. ；3. . 教师提出问题，随机选人回答. 学生思考 巩固所学知识，加深对知识的理解.
【延伸】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师活动：教师带领学生归纳出垂径定理及推论中，蕴含的五个条件：①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.并引导学生发现，垂径定理是①②→③④⑤；垂径定理的推论是①③→②④⑤.并追问：还有别的结论吗？ 预设答案： 学生思考并回答. 在已有知识的基础上适当延伸拓展，使学生能够理解这5个条件可以知二推三，锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1：如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O到弦AB的距离. 解：连接OA，过圆心O做OEAB，垂足为E. AEEBAB63 (cm) 又∵OA5 cm ∴在Rt△OEA中，有 OE4 (cm) 即圆心O到弦AB的距离是4 cm. 教师活动：教师总结“圆心到弦的距离叫做弦心距. ” 例2：赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1 m). 解：过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交 于点C，交AB于点D，则CD7.2 m. 由垂径定理，得： ∴ADAB37.418.7 (m) 设⊙O的半径为R m，在Rt△AOD中，AOR，ODR7.2，AD18.7. 由勾股定理得：AO2OD2AD2， ∴R2 (R7.2)218.72 解得：R27.9. 答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m. 学生观察、思考并回答. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，发展应用意识，锻炼实践能力.
环节四 巩固新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.在⊙O中，若CDAB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. AMOM D. CMDM 答：C 2.在半径为4 cm的⊙O中，有长为4 cm的弦AB.计算： (1)点O与AB的距离； (2)AOB的度数. 解：(1)过点O作AB的垂线，垂足为C，连接OA. 由垂径定理得： 在Rt△AOC中，AO4. 由勾股定理得：AO2OC2AC2， ∴42OC222 解得：OC. (2)连接OB，OAOBAB4 cm 易得：△AOB是等边三角形. ∴AOB60°. 总结： 解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算. 3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 求证：ACBD. 证明：过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE. ∴ACBD. 学生自主练习 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价. 通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容. 使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.
环节六 布置作业 教科书第25页习题24.2第3、8题. 学生课后自主完成. 通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.(共21张PPT)
24.2 圆的基本性质
第2课时
学习目标
1.探索圆的对称性，进而得到垂径定理及其推论；
2.能利用垂径定理及其推论解决相关证明、计算及实际问题；
3.经历探索垂径定理及其推论的过程，发展推理能力，让学生领会数学的严谨性，培养学生实事求是的科学态度；
4.进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神，并体验发现的乐趣.
垂径定理
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
什么是轴对称图形？
回顾
如果一个图形沿一条直线 ，直线两旁的部分能够互相 ，那么这个图形叫轴对称图形.
对折
重合
线段
角
矩形
等腰三角形
等腰梯形
菱形
正方形
我们学过哪些轴对称图形？
… …
圆是轴对称图形吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？
O
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
合作探究
你能证明上面的结论吗？
证明：过点A作AA' CD，交⊙O于点A'，
垂足为M，连接OA，OA'
在△OAA'中，∵OA OA'
∴△OAA'是等腰三角形
又∵AA' CD
∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线.
F
F'
E
E'
B
B'
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
D
A
A'
M
O
⊙O关于直线CD对称
圆的对称性
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？
O
合作探究
C
D
A
B
E
猜想
CD AB
△AOB是等腰三角形
AE EB
三线合一
直径CD平分 ， .
CD AB
AE EB
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
O
C
D
A
B
E
直径CD把劣弧 分成 与 两部分，把优弧 分成 与 两部分，这时 与 、 与 各有怎样的关系？
与 重合；
与 重合.
通过上面的探究，你能用语言描述你的发现吗？
交流
题设：
①CD是⊙O直径
②CD AB
①直径
②垂直于弦
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
E
C
O
A
B
D
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
结论：
①平分弦
②平分弦所对的两条弧
①AE BE
② ，
归纳
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下列图形是否具备垂径定理的条件？
E
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
C
O
A
B
（1）
（2）
（3）
（4）
没有垂直
AB、CD都不是直径
D
O
A
B
C
抢答
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
过圆心
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
E
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
C
O
A
B
（1）
（2）
（3）
（4）
D
O
A
B
C
C
O
A
B
E
O
A
B
D
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CD AB
O
A
B
C
D
E
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
为什么？
圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
想一想
判断下列说法是否正确：
1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.平分弦的直径垂直于弦.
C
O
A
B
D
E
C
O
A
B
D
3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
过圆心
不是直径
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心，
②垂直于弦，
③平分弦，
④平分弦所对的优弧，
⑤平分弦所对的劣弧.
④平分弦所对的弧，
①②→③④⑤
①③→②④⑤
还有别的结论吗？
如：①④→②③⑤？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.
条件 结论
①②
③④⑤
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
①③
②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①④
②③⑤
①⑤
②③④
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧.
②③
①⑤④
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧.
… …
… …
… …
知二推三
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1：如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O到弦AB的距离.
O
A
B
E
解：连接OA，过圆心O做OE AB，垂足为E.
AE EB
AB
6
3 (cm)
又∵OA 5 cm
∴在Rt△OEA中，有
OE
4 (cm)
即圆心O到弦AB的距离是4 cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距.
B
A
O
D
C
R
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例2：赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形，桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求赵州桥桥拱所在圆的半径(精确到0.1 m).
37.4 m
7.2 m
解：过桥拱所在圆的圆心O作AB的垂线，交 于点C，交AB于点D，则CD 7.2 m.
由垂径定理，得
AD
AB
37.4
18.7 (m)
设⊙O的半径为R m，在Rt△AOD中，AO R，OD R 7.2，AD 18.7.
由勾股定理得：AO2 OD2 AD2，
∴R2 (R 7.2)2 18.72
答：赵州桥的桥拱所在圆的半径约为27.9m.
解得：R 27.9.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
1. 在⊙O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是( )
A.
B.
C. AM OM
D. CM DM
M
A
O
C
D
B
C
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
2.在半径为4 cm的⊙O中，有长为4 cm的弦AB.计算：
(1)点O与AB的距离；
(2) AOB的度数.
O
A
B
C
解：(1)过点O作AB的垂线，垂足为C，连接OA.
由垂径定理得：
在Rt△AOC中，AO 4.
由勾股定理得：AO2 OC2 AC2，
∴42 OC2 22
(2)连接OB，OA OB AB 4 cm
易得：△AOB是等边三角形.
∴ AOB 60°
AC
AB
4
2 (cm)
解得：OC .
解决有关弦的问题时，半径是常用的一种辅助线的添法．往往结合勾股定理计算.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
求证：AC BD.
O
A
B
C
D
E
证明：过O作OE AB，垂足为E，
则AE BE，CE DE.
AE CE BE DE.
∴AC BD.
简单计算
通常添加半径做辅助线，构造直角三角形，结合勾股定理进行计算或证明.
垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
垂径定理
布置作业
教科书第25页
习题24.2第3、8题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境24.2 圆的基本性质
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
一、教学目标
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角；
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算；
3.在探索圆心角、弧、弦、弦心距的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题；
4.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力等.
二、教学重难点
重点：掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理.
难点：“圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理”的证明.
三、教学用具
多媒体课件、圆形纸片
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 前面我们已经学习了圆的对称性，你能用自己的语言描述它吗？ 预设答案：①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 教师活动：教师提出问题，引导学生回顾圆的对称性，然后教师追问：圆是中心对称图形吗？ 先回顾前面学习的知识，再根据老师的提问，思考. 先回顾已学知识，在此基础上提出问题，引导学生思考新知识，建立起新旧知识之间的联系.
环节二 探究新知 【合作探究】 问题1：在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心将上面一个圆旋转180°，两个圆还能重合吗？ 预设答案：完全重合. 教师活动：教师提出提问，并让学生动手操作，观察，学生充分交流后，教师汇总补充，最后PPT动态展示.带领学生总结出：圆是中心对称图形，对称中心就是圆心. 追问1：如果是旋转任意一个角度呢？两个圆还能重合吗？ 预设答案：把圆绕圆心旋转任意一个角度，两个圆仍然完全重合. 教师活动：教师在上一问题的基础上追问，仍然让学生先动手操作，观察，然后教师任选几个角度(如30°，60°，120°，210°等)进行PPT动态展示. 追问2： 通过上面的观察，你能得到什么结论呢？ 预设答案：圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形，旋转中心为圆心. 动手操作，观察、归纳，从旋转的角度发现圆的中心对称性. 让学生通过动手实践来感受圆的中心对称性.引导学生来归纳出圆是中心对称图形.培养学生的观察能力与语言组织能力.
【思考】 问题2：观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？ 预设答案：顶点都在圆心. 教师活动：教师提出问题，引导学生观察思考，然后总结出圆心角的概念: 我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. 【想一想】 下列各角中，是圆心角的是( ) 答案：D 教师活动：教师提出问题，随机选人回答. 学生观察思考并回答. 通过观察引导学生思考，引出圆心角的概念. 巩固圆心角的概念，加深对知识的理解.
【探究】 问题3：在⊙O中，当圆心角∠AOB∠A'OB'时，它们所对的弧和，弦AB和弦A'B'、弦心距OM和弦心距OM'之间有怎样的关系？ 预设答案：，AB=A'B'，OM=OM'. 教师活动：教师提出问题，并展示PPT，让学生观察∠AOB和∠A'OB'重合的过程，进一步让学生观察这两个角所对的弧、弦、弦心距是否重合，再带领学生通过推理验证观察所得的结果. 解：根据圆的旋转对称性，把AOB连同 绕圆心O旋转，使线段OA与OA'重合，设A'OAa. ∵AOBA'OB'， ∴BOB'A'OB'A'OB， AOBA'OBα. ∴线段OB与线段OB'重合. 又∵OAOA'， OBOB'， ∴旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合. 这样，与重合，弦AB和弦A'B'重合、弦心距OM和弦心距OM'也重合，即，AB=A'B'，OM=OM'. 教师活动：组织学生对上述探究活动所得的结果进行交流，尝试让学生用自己的语言描述所得的结论. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 追问1：在等圆中，上述结论是否仍成立？ 教师活动：提出问题，引导学生发现，两个相等的圆，可以将其中的一个圆平移至与另一个圆重合，从而把等圆中的问题转化为同圆中的问题.进而得到结论： 在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 【归纳】 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等. 即∠AOB∠A'OB'，AB=A'B'，OM=OM'. 【思考】 追问2：“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？ 预设答案：不能. 追问3：①在⊙O中，如果，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弦AB和A'B'、弦心距OM和OM'有怎样的数量关系？ ②在⊙O中，如果ABA'B'，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弧和、弦AB和A'B'、弦心距OM和OM'有怎样的数量关系？ ③在⊙O中，如果OMOM'，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弧和、弦AB和A'B'有怎样的数量关系？ 预设答案：①②③问中，圆心角∠AOB∠A'OB'、弧和、弦AB和A'B'、弦心距OM和OM'均分别相等. 教师活动：提出问题，充分发挥学生的主观能动性，让学生自己大胆猜测，合情推理，可先学生小组讨论，然后组内选举出代表讲解.然后教师可组织学生用自己的语言描述上述结论，教师汇总并补充完善. 【归纳】 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等. 教师活动：引导学生对上述结论提炼，在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等弦心距相等.即：圆心角、弧、弦、弦心距这四组量，已知任意一组量相等，都可以得出另外三组量也相等. 学生思考，猜想，并阐释梳理证明思路. 学生根据老师的提问，思考并回答，尝试把所得的结果用自己的语言描述出来，小组交流后，选代表回答 通过观察，使学生对圆的旋转不变性的认识从感性上升到理性. 理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.培养学生的观察发现能力及对概念的理解能力. 通过3个追问逐步加深学生对圆心角、弧、弦、弦心距间相等关系定理的理解，进而得出圆心角、弧、弦、弦心距这4组量之间可以“知一求四”的关系.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1：如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上. 求证：AOBBOCCOA120°. 分析：圆心角相等弦相等. 证明：连接OA，OB，OC. ∵ABBCCA， ∴AOBBOCCOA 360°120°. 总结：圆心角、弧、弦、弦心距的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 例2：已知：如图，点O是∠FAD平分线上的一点，☉O分别交∠FAD的两边于点C，D和点E，F. 求证：CD=EF. 分析：弦相等弦心距相等. 证明：过点O作OKCD，OK'EF，垂足分别为K，K'. ∵OKOK'，(角平分线性质) ∴CDEF. 例3：如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE//AB，为40°，求BOD的度数. 教师活动：教师带领学生读题，然后针对题中条件“为40°”提出问题：什么是弧的度数，弧的度数如何定义呢？引导学生观察图形，并给出1°的圆心角所对的弧 就是1°的弧，最终得出结论：一般地，n°的圆心角对着n°的弧， n°的弧对着n°的圆心角.也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.然后再让学生根据已知条件进行解题. 解：连接OE. ∵为40°， ∴COE40°， ∵OCOE， ∴C70°. ∵CE//AB， ∴AODC70°. ∴BOD180°70°110°. 学生观察、思考并回答. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，发展应用意识，锻炼实践能力.
环节四 巩固新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 如果两个圆心角相等，那么( ) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对 答：D 2.如图，在☉O中，ABAC，B70°，则A____． 答：40°. 3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 . 答：60°. 4.圆的一条弦把圆周分成度数比为1 2的两条弧，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角. 解：由题意知：劣弧的度数为120°. 即AOB120°； 过点O做OCAB于点C， ∴AOCAOB60°. 在Rt△AOC中，sinAOC. ∴AC. 又∵AB2AC， ∴AB. (★拓展)5.在☉O中，2AOBCOD，那么成立吗？CD2AB呢？如成立，请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又是什么？ 解：成立，CD2AB 不成立.理由如下： 取的中点E，连接OE，CE，DE ， 易得AOBCOEDOE， 所以，从而. ABCEDE， 在△CDE中，CE+DECD， 即CD2AB. 学生自主练习 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价. 通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容. 使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.
环节六 布置作业 教科书第25页练习第6、7题. 学生课后自主完成. 通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.(共24张PPT)
24.2 圆的基本性质
第3课时
学习目标
1.理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角；
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弧、弦、弦心距之间的关系，并能运用此关系进行相关的证明和计算；
3.在探索圆心角、弧、弦、弦心距的关系的过程中，学会运用转化的数学思想解决问题；
4.通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力等.
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
回顾
圆的对称性
①圆是轴对称图形，
②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
圆是中心对称图形吗？
O
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心将上面一个圆旋转180°，两个圆还能重合吗？
合作探究
O'
对称中心为圆心.
圆是中心对称图形，
完全重合
180°
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
在两张透明纸上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'，把两张纸叠在一起，使⊙O和⊙O'重合，用图钉钉住圆心将上面一个圆旋转任意一个角度，两个圆还能重合吗？
合作探究
(O')
O
30°
60°
120°
210°
旋转中心为圆心.
圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形，
把圆绕圆心旋转任意一个角度，两个圆仍然完全重合.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察下面几个角的顶点，有什么共同特征？
思考
O
A
B
O
C
D
O
E
F
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
下列各角中，是圆心角的是( )
D
想一想
A
B
C
D
探究
∵ AOB A'OB'，
∴ BOB' A'OB' A'OB，
AOB A'OB α.
∴线段OB与线段OB'重合.
又∵OA OA'， OB OB'，
∴旋转后点A与点A'重合，点B与点B'重合.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
在⊙O中，当圆心角∠AOB ∠A'OB'时，它们所对的弧
和 ，弦AB和弦A'B'、弦心距OM和弦心距OM'之间有怎样的关系？
解：根据圆的旋转对称性，把 AOB连同 绕圆心O旋转，使线段OA与OA'重合，设 A'OA a.
O
A'
B'
A
B
M
M'
α
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
在⊙O中，当圆心角∠AOB ∠A'OB'时，它们所对的弧
和 ，弦AB和弦A'B'、弦心距OM和弦心距OM'之间有怎样的关系？
O
A'
B'
A
B
M
M'
α
与 重合；
AB与A'B'重合；
弦心距OM与OM'重合.
点A与点A'重合；点B与点B'重合
AB=A'B'
OM=OM'
通过上面的探究，你能用语言描述所得的结论吗？
交流
探究
在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
在等圆中，上述结论是否仍成立？
O
A'
B'
M'
A
B
M
O
O
A'
B'
A
B
M
M'
α
思考
在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
O
A'
B'
A
B
M
M'
∠AOB ∠A'OB'
AB=A'B'
OM=OM'
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？
B'
A'
O
B
A
AB=A'B'
∠AOB ∠A'OB'
前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢.
OM=OM'
M'
M
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
1.在⊙O中，如果 ，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弦AB和A'B'、弦心距OM和OM'有怎样的数量关系？
思考
O
A'
B'
A
B
M
M'
α
2.在⊙O中，如果AB A'B'，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弧 和 、弦心距OM和OM'有怎样的数量关系？
3.在⊙O中，如果OM OM'，那么圆心角∠AOB与∠A'OB'、弧 和 、弦AB和A'B'有怎样的数量关系？
相等
相等
相等
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.
归纳
圆心角相等
弧相等
弦相等
弦心距相等
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1：如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O上.
求证： AOB BOC COA 120°.
A
B
C
O
证明：连接OA，OB，OC.
∵AB BC CA，
∴ AOB BOC COA
360° 120°.
圆心角相等
弦相等
分析：
圆心角、弧、弦、弦心距的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
K
K'
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例2：已知：如图，点O是∠FAD平分线上的一点，☉O分别交∠FAD的两边于点C，D和点E，F.
求证：CD=EF.
证明：过点O作OK CD，OK' EF，垂足分别为K，K'.
∵OK OK'，(角平分线性质)
∴CD EF.
O
A
D
E
F
C
弦相等
弦心距相等
分析：
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例3：如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE//AB， 为40°，求 BOD的度数.
O
C
E
B
A
D
什么是弧的度数
把顶点在圆心的周角等分360份，每一份的圆心角是1°.
1°的圆心角所对的弧就是1°的弧.
一般地，n°的圆心角对着n°的弧， n°的弧对着n°的圆心角.
也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
O
1°的角
1°的弧
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例3：如图，AB，CD是☉O的两条直径，CE为☉O的弦，且CE//AB， 为40°，求 BOD的度数.
O
C
E
B
A
D
解：连接OE.
∵ 为40°，
∴ COE 40°，
∵OC OE，
∴ C 70°.
∵CE//AB，
∴ AOD C 70°.
∴ BOD 180° 70° 110°.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
1. 如果两个圆心角相等，那么( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
2.如图，在☉O中，AB AC， B 70°，则 A ____．
40°
A
B
C
O
3.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .
60°
B
A
O
第2题图
第3题图
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
4.圆的一条弦把圆周分成度数比为1 2的两条弧，如果该圆的半径为5，求这条弦的弦长及劣弧所对的圆心角.
B
A
O
解：由题意知：劣弧 的度数为120°.
即 AOB 120°；
过点O做OC AB于点C，
∴ AOC AOB 60°.
在Rt△AOC中，sin AOC .
∴AC .
又∵AB 2AC，
∴AB .
C
(★拓展)5.在☉O中，2 AOB COD，那么 成立吗？CD 2AB呢？如成立，请说明理由；如不成立，那它们之间的关系又是什么？
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
解： 成立，CD 2AB 不成立.理由如下：
取 的中点E，连接OE，CE，DE ，
易得 AOB COE DOE，
所以 ，从而 .
AB CE DE，
在△CDE中，CE+DE CD，
即CD 2AB.
A
B
C
D
E
O
圆的对称性
圆不仅是中心对称图形，还是旋转对称图形，旋转中心是圆心.
弧的度数
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等.
布置作业
教科书第25页
练习第6、7题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境24.2 圆的基本性质
第4课时 圆的确定
一、教学目标
1.理解并掌握确定圆的条件，以及过不在同一条直线的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念；
2. 理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题；
3.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的策略；
4.经历探索圆的确定条件的过程，发展学生的数学思考能力，进一步认识和理解研究图形方法.
二、教学重难点
重点：不在同一条直线上的三个点确定一个圆的证明及做法.
难点：过不在同一条直线上的三个点作圆，对反证法的理解.
三、教学用具
多媒体课件、圆形纸片
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 1.经过一点可以作 条直线？ 2.经过两点只可以作 条直线？ 预设答案：1.无数，2.一. 教师活动：教师提出问题，引导学生回顾所学知识，明确“两点确定一条直线”，然后教师追问：确定一个圆需要几个已知点呢？ 先回顾前面学习的知识，再根据老师的提问，思考. 先回顾已学知识，在此基础上提出问题，引导学生思考新知识，便于学生理解.
环节二 探究新知 【思考】 问题1：经过一点A可以作多少个圆？ 教师活动：先让学生思考，然后教师展示过一个点作圆的过程，引导学生理解作圆的实质是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了.所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆.由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个. 问题2：经过两点A，B作圆，能作多少个圆？这些圆的圆心分布有什么特点？ 教师活动：先让学生思考，然后教师展示过两个点作圆的过程，引导学生理解已知点A，B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径，即圆心到A，B的距离相等，因此圆心应在线段AB的垂直平分线上.在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到点A的距离即为半径，圆就确定下来了，由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个. 问题3：经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 分组讨论： 1.学生先分组进行讨论； 2.教师根据讨论情况作相应提示； 3.学生讲解思路，教师补充完善. 教师完善分析及展示作图过程 分析：对于经过不在同一条直线上的三点作圆的问题，因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离要相等.因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上.如下图，分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，设它们的交点为O，则OA=OB=OC.于是以点O为圆心，OA（或OB，OC）为半径，便可作出经过A，B，C三点的圆.因为过A，B，C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个，即不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 教师也可选择展示平台资源 【数学探究】经过不在同一条直线上的三点作圆 【拓展】 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.这个三角形叫做圆的内接三角形. 外接圆圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心. 教师活动：引导学生熟悉相关概念，让学生自己尝试总结出：“三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.”这一结论. 【做一做】 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 答：如下图： 结论： 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 观察、思考并回答. 理解如何过不在同一直线上的三点作圆 熟悉相关概念. 动手画图，观察并回答. 以探究的形式通过三个问题 逐步得出结论“不在同一直线上的三点可以确定一个圆”，既降低了学习的难度，又培养了学生的学习兴趣以及探索能力，进一步体会解决问题的策略. 通过让学生分组讨论的方式培养学生的合作意识，通过教师补充完善的过程体现数学中思维的严谨性. 通过播放资源加深学生对新知识的印象. 通过讲解让学生熟悉三角形的外接圆和三角形的外心等概念. 巩固所学知识，加深对三角形外接圆的理解.进而归纳出锐角、直角、钝角三角形外心的位置.
【思考】 问题4：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？ 预设答案：不能. 教师活动：教师提出问题后，让学生尝试过在同一条直线上的三个点画圆，在学生得出不能做出这样的圆的结论后，追问：如何证明经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆呢？ 【证明猜想】 已知：点A、 B、 C三点在直线l上 求证：过A、 B、 C三点不能作圆 证明：假设经过同一条直线l上的A、B、C三点可以作一个圆. 那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1和l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆． 教师活动：教师带领学生总结出证明的大概过程： 假设命题不成立→推出矛盾→原命题成立 【归纳】 在证明一个命题时，先假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫做反证法. 【延伸】 反证法证题的基本步骤： 第一步：假设命题的 不成立. 第二步：从这个假设出发，经过推理论证，得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设相 的结果. 第三步：由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明 是正确的. 答案：结论；矛盾；原命题. 问题5：什么样的命题适合用反证法证明呢？ （1）直接证明有困难 （2）否定性命题 （3）唯一性命题 （4）至多、至少型命题 学生观察思考并回答. 积极思考并解决问题 在教师的引导下归纳总结 结合反证法的概念填空 认真思考 通过观察引导学生思考，得出猜想. 教师通过引导，让学生自主思考探究，培养学生的推理能力以及逻辑思维能力. 教师引导学生归纳总结出反证法的概念，培养学生归纳总结问题的能力. 通过填空的形式让学生总结出反证法证题的基本步骤，进一步巩固反证法的概念. 通过提问让学生初步理解“什么样的命题适合用反证法证明”，体会“正难则反”的思想. 通过名人名言让学生加深对反证法的理解，并体会反证法在数学中的适用性.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 已知：如图，AB//CD，直线EF交AB于点O， 求证：12. 证明：假设1≠2，过点O作直线A ′B ′，使EOB′2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′//CD，这样，过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理 “过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.这说明1≠2不正确，所以12. 分组探究交流. 通过分组探究的方式让学生进一步熟悉反证法的推理过程及步骤，培养学生的合作探究意识以及知识的应用意识.
环节四 巩固新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.判断正误： (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( ) (4)经过三点一定可以确定一个圆( ) 答：(1)√；(2)×；(3)√；(4)×. 总结： 一个三角形只有一个外接圆，但一个圆有无数个内接三角形. 2.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答：B. 3. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( ) A．第①块 B．第④块 C．第③块 D．第②块 答：D. 4.完成下面的证明过程： 已知：如图，直线l1，l2， l在同一平面内，且l1l，l2l. 求证：l1//l2. 证明：假设 ，则l1与l2相交，设l1与l2交于点P.由已知条件 ， 得知，过点P有两条直线与直线l垂直， 这与“ ”相矛盾，所以，“假设 ”不成立，故 . 答：l1l2，l1l，l2l，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，l1l2，l1//l2. 学生自主练习 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价. 通过提问让学生回顾、总结、梳理本节课所学内容. 使零散的知识系统化，同时培养学生的语言表达能力.
环节六 布置作业 教科书第24页练习第1、2题. 学生课后自主完成. 通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.(共25张PPT)
24.2 圆的基本性质
第4课时
学习目标
1.理解并掌握确定圆的条件，以及过不在同一条直线的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念；
2. 理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题；
3.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力，进一步体会解决数学问题的策略；
4.经历探索圆的确定条件的过程，发展学生的数学思考能力，进一步认识和理解研究图形方法.
圆的确定
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
回顾
1.经过一点可以作 条直线.
无数
·A
无数条
2.经过两点只可以作 条直线.
一
·B
·A
有且仅有一条
两点确定一条直线
确定一个圆需要几个已知点呢
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
经过一点A可以作多少个圆？
·
·
·
·
·
A
可作无数个圆
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
经过两点A，B作圆，能作多少个圆？这些圆的圆心分布有什么特点？
思考
可作无数个圆
∵所作圆的圆心到A，B的距离相等
∴圆心在线段AB的垂直平分线上
B
A
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
思考
A
B
C
分组讨论：
1.学生先分组进行讨论；
2.教师根据讨论情况作相应提示；
3.学生讲解思路，教师补充完善.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
思考
A
B
C
所作圆经过A，B，C三点
圆心O到A，B，C三点距离相等
圆心O在线段AB的垂直平分线上
圆心O也在线段BC的垂直平分线上
圆心O为两线段垂直平分线的交点
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
思考
A
B
C
作法：
(1)连接AB，BC.
(2)分别作出线段AB，BC的垂直平分线，设它们交于点O；
(3)以点O为圆心，OA的长为半径作圆；
圆O即为所作圆.
O
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
l1
l2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能否作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
这个三角形叫做圆的内接三角形.
O
l1
l2
外接圆圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
圆O是△ABC的外接圆
△ABC是圆O的内接三角形
△ABC的外心
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
拓展
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
● O
A
B
C
C
A
B
┐
● O
● O
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
A
B
C
l
不能
如何证明呢
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
l1
l2
A
B
C
P
l
已知：点A、 B、 C三点在直线l上
求证：过A、 B、 C三点不能作圆.
证明：假设经过同一条直线l上的A、B、C三点可以作一个圆.
设这个圆的圆心为P，
那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，
即点P为l1与l2的交点，
而l1⊥l，l2⊥l，这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，
所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆．
假设命题不成立
推出矛盾
原命题成立
证明猜想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
在证明一个命题时，先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.
定义
与以前学过的证明不同
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
反证法证题的基本步骤：
(1)反设：假设命题的 不成立.
(2)推理：从(1)中的“反设”出发，逐步推理直至出现与已知条件、定义、基本事实、定理等中任一个相 的结果.
(3)结论：由矛盾的结果判定(1)中的“反设”不成立，从而肯定
的结论成立.
结论
矛盾
原命题
反设
归谬
存真
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
什么样的命题适合用反证法证明呢？
直接证明有困难
否定性命题
唯一性命题
至多、至少型命题
正难则反
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
反证法是数学家最精良的武器之一.
——牛顿
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1 用反证法证明：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
分组讨论：
1.学生先分组进行讨论；
2.学生讲解思路；
3.教师补充完善.
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
已知：如图，AB//CD，直线EF交AB于点O，
求证：∠1=∠2.
证明：假设 1≠ 2，过点O作直线A′B′，使 EOB′ 2.
根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′//CD，这样，
过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于CD，这与平行公理
“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明 1≠ 2不正确，所以 1 2.
B′
F
E
A
A′
O
B
C
D
1
2
反设
归谬
存真
不在同一条直线上的
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
1.判断正误：
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( )
(3) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( )
(4) 经过三点一定可以确定一个圆 ( )
一个三角形只有一个外接圆，但一个圆有无数个内接三角形.
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布置作业
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2. 若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B
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3. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )
A．第①块 B．第④块
C．第③块 D．第②块
D
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4.完成下面的证明过程：
已知：如图，直线l1，l2， l在同一平面内，且l1 l，l2 l.
求证：l1//l2.
证明：假设 ，则l1与l2相交，设l1与l2交于点P.由已知条件 ， 得知，
过点P有两条直线与直线l垂直，
这与“ ”相矛盾，所以，“假设 ”不成立，故 .
l1
l2
P
l
l1 l2
l1 l
l2 l
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
l1 l2
l1//l2
确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
反证法
在证明一个命题时，先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法.
三角形外接圆、外心等概念
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
这个三角形叫做圆的内接三角形.
外接圆圆心是三角形的三边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.
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圆的确定
反设
归谬
存真
布置作业
教科书第24页
练习第1、2题
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