24.3 圆周角
第1课时 圆周角
一、教学目标
1.了解圆周角的概念；
2.掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题；
3.由圆周角与圆心角的关系的探索学会以特殊情形为基础，通过转化来解决一般问题的方法，并渗透分类的数学思想；
4.通过学生自主探究圆周角的概念及定理，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用.
二、教学重难点
重点：圆周角定理及其两个推论与应用.
难点：分三种情况探索圆周角定理及理解两个推论.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 什么是圆心角？ 教师活动：教师提出问题，全班学生回顾并作答：“顶点在圆心的角叫做圆心角(如下图)”.然后教师可追问：一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有什么位置关系？ 回忆所学知识，思考并回答. 通过回忆圆心角的定义及特点，引发学生思考新问题，建立起新旧知识之间的联系，便于学生理解和接受.
环节二 探究新知 【观察思考】 问题1：如图，△ABC内接于⊙O，观察图中的A，它有什么特点？ 预设答案：①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点. 教师活动：教师以A为例引导学生观察思考，找出A的顶点、两条边分别与圆的位置关系.进而归纳出圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角. 教师适当强调，圆周角应该满足两个条件，①顶点在圆上；②角的两边与圆各另有一个公共点.这两个条件缺一不可. 【想一想】 判断下列各图中，哪些是圆周角？ 预设答案：(1)√，(2)×，(3)×，(4)×，(5)×，(6)√. 观察思考并回答. 学生抢答. 观察所给图形，找出A的顶点、两条边分别与圆的位置关系，引出圆周角的定义. 巩固圆周角的定义.
【思考】 问题2：如图，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆.你能发现BAC和∠BOC的大小有什么关系吗？ 预设答案：BACBOC 教师活动：教师提出问题，引导学生思考，因为△ABC是等边三角形，不难得出BAC60°，AOB BOCAOC120°.从而BACBOC.进而教师追问：当△ABC是任意三角形时，这个结论还成立吗？ 如图，△ABC是⊙O的任一内接三角形.继续探究BAC和∠BOC的大小关系. 教师活动：教师提出问题，组织学生动手测量，得出结论：BACBOC.然后小组交流讨论，通过得出的结论，提出猜想. 【猜想】 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 追问：你能证明这个猜想吗？ 教师活动：教师提出问题后，先让学生在圆中画出同弧所对的圆心角和圆周角，引导学生观察圆心与圆周角位置，发现有3类情况： 1.圆心在圆周角的一边上，如图(1)； 2.圆心在圆周角的内部，如图(2)； 3.圆心在圆周角的外部，如图(3). 【证明】 在第（1）种情况下，如何证明？ 预设答案：∵OAOC，∴∠A∠C 又∵∠BOC∠A∠C ∴. 教师活动：教师提出问题，带领学生分析第(1)种情况的证明思路，然后让学生自行完成第(2)、(3)种情况的证明，最终教师PPT展示. 第(2)种情形： 第(3)种情形： 【归纳】 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 【做一做】 如图，在⊙O中，BOC50°，求A的大小. 答：25°. 学生观察图形，并结合所学知识进行计算回答. 动手测量，得出结论，小组交流，提出猜想. 学生自行完成后面两种情况的证明.小组交流后，选代表回答. 学生抢答. 从特殊情形入手，便于学生观察得出结论，再对一般情形进行合理猜想，使学生在学习新知的同时感知由特殊到一般的数学思想. 培养学生的动手能力，使学生在自主探索，合作交流的过程中完成学习任务. 通过证明使学生对圆周角定理的认识从感性上升到理性. 培养学生的逻辑思维能力以及分类讨论的数学思想. 及时巩固圆周角定理.
【思考】 问题3：“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？ 预设答案：相等. 教师活动：教师提出问题后，先让学生试着猜想，然后再验证. 证明：连接OA，OB. 由圆周角定理得：， ，. ∴∠AC1B∠AC2B∠AC3B 追问1：等弧所对的圆周角呢？相等吗？ 教师活动：教师提出问题，学生仿照前面的思路证明，教师PPT展示过程. 证明：连接OA、OB、OC、OD； ∵ ，∴∠AOC∠BOD 又∵， ∴∠ADC∠BAD. 结论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. 追问2：反过来，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那它们所对的弧相等吗？ 预设答案：相等. 教师活动：教师引导学生理解由圆周角相等，可推出所对的圆心角相等，结合“圆心角的度数与它所对的弧的度数相等”可得：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.从而得出圆周角定理的推论： 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等. 【做一做】 如图，AB是直径，C是圆上任意一点(不与A、B重合)，求∠ACB °. 预设答案：90. 教师活动：教师提出问题，学生应用所学知识作答.在学生得到结果后，教师追问：如果∠ACB90°，能得出AB是直径吗？引导学生得出答案后，归纳总结圆周角定理的另一个推论： 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 【归纳】 学生思考并证明. 学生思考并作答. 学生回顾，尝试用自己的语言复述. 让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系. 由一般到特殊进一步认识定理，加深对定理的理解，获得推论2. 梳理本节课的重点内容，加深对圆周角定理及其推论的理解.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，ACD60°，ADC70°. 求∠APC的度数. 解：连接BC，则ACB90°， DCBACBACD90°60°30°. 又∵BAD∠DCB30°， ∴APCBADADC30°70°100°. 学生思考，明确思路. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力.
环节四 巩固新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与1、2、3、4相等的角. 解：1CBD；2ACB；3CAB；4ABD. 2.如图AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿. 答：50°. 3.已知：如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AOB=2BOC. 求证：ACB2BAC. 解：∵AOB2ACB， AOB=2BOC， ∴ACBBOC. ∵BOC=2BAC， ∴ACB2BAC. 4.证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 已知：△ABC中，OB是AC边的中线， 且OBAC. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：由题意得：OAOBOC. 即△ABC三个顶点都在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上. ∵AC是⊙O的直径， 根据直径所对的圆周角是90°可得：ABC90°，即△ABC是直角三角形. 学生自主练习 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第31页习题24.3第1、2题. 学生课后自主完成. 通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.(共25张PPT)
24.3 圆周角
第1课时
学习目标
1.了解圆周角的概念；
2.掌握圆周角定理及其推论，并会熟练运用它们解决问题；
3.由圆周角与圆心角的关系的探索学会以特殊情形为基础，通过转化来解决一般问题的方法，并渗透分类的数学思想；
4.通过学生自主探究圆周角的概念及定理，合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用.
圆周角
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
回顾
A
B
O
圆心角
A
B
C
O
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有什么位置关系？
观察思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，△ABC内接于⊙O，观察图中的 A，它有什么特点？
A
B
C
O
1.顶点在圆上；
2.角的两边与圆各另有一个公共点.
顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
缺一不可
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
判断下列各图中，哪些是圆周角？
想一想
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
抢答
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
如图，△ABC是等边三角形，⊙O是其外接圆.你能发现 BAC和∠BOC的大小有什么关系吗？
A
B
C
O
BAC 60°，
BOC 120°.
BAC BOC
当△ABC是任意三角形时，这个结论还成立吗
A
B
C
O
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
如图，△ABC是⊙O的任一内接三角形. BAC和∠BOC的大小有什么关系吗？
100°
50°
猜想
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
你能证明这个猜想吗
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
以⊙O上任一点A为顶点的圆周角有无数多个，按圆心与圆周角的位置关系，分为三种情况：
1.圆心在圆周角的一边上，如图(1)；
2.圆心在圆周角的内部，如图(2)；
3.圆心在圆周角的外部，如图(3).
A
B
O
C
(1)
A
B
O
C
(2)
A
B
O
C
(3)
分类讨论
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
证明
A
B
O
C
(1)
在第(1)种情况下，如何证明 ？
OA OC
∠A ∠C
∠BOC ∠A ∠C
尝试完成第(2)、(3)种情况的证明.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
证明
A
B
O
C
(2)
D
A
B
O
C
(3)
D
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
A
B
O
C
(1)
A
B
O
C
(2)
A
B
O
C
(3)
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
A
B
O
C
如图，在⊙O中， BOC 50°，求 A的大小.
解：由圆周角定理可得：
抢答
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？
C2
A
B
O
C1
C3
小组合作
1.猜想可能的结果；
2.验证你的猜想.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？
A
B
O
∠AC1B ∠AC2B ∠AC3B
C2
C1
C3
∠AC1B ∠AC2B ∠AC3B
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
“在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角相等”那么同弧所对的圆周角呢？
∠ADC ∠BAD
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
等弧
B
A
O
D
C
∠AOC ∠BOD
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
反过来，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那它们所对的弧相等吗？
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
B
A
O
D
C
ADC BAD
AOC BOD
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，AB是直径，C是圆上任意一点(不与A、B重合)，求 ACB °.
A
B
C
O
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
做一做
90
180°
如果 ACB 90°，能得出AB是直径吗？
圆周角定理及其推论
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
归纳
分析：
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P， ACD 60°， ADC 70°. 求∠APC的度数.
O
A
D
C
P
B
解：连接BC，则 ACB 90°，
DCB ACB ACD 90° 60° 30°.
又∵ BAD ∠DCB 30°，
∴ APC BAD ADC 30° 70° 100°.
APC BAD ADC
70°
ACB ACD
BCD
90°
60°
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
1.如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，找出图中分别与 1、 2、 3、 4相等的角.
A
D
C
B
1
4
2
3
解： 1 CBD；
2 ACB；
3 CAB；
4 ABD.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
2.如图AB是⊙O的直径，C，D是圆上的两点，若∠ABD=40°，则∠BCD=＿＿＿.
50°
A
O
B
C
D
·
AB是直径
∠ADB 90°
∠BCD ∠BAD
∠ABD 40°
∠BAD 50°
50°
40°
条件中如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，从而构造出直角三角形来解题.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
3.已知：如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径， AOB=2 BOC.
求证： ACB 2 BAC.
A
O
B
C
·
解：∵ AOB 2 ACB，
AOB=2 BOC，
∴ ACB BOC.
∵ BOC=2 BAC，
∴ ACB 2 BAC.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
4.证明：如果三角形一边上的中线等于该边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
A
B
C
O
已知：△ABC中，OB是AC边的中线，
且OB AC.
求证：△ABC是直角三角形.
证明：由题意得：OA OB OC.
即△ABC三个顶点都在以点O为圆心，OA的长为半径的圆上.
∵AC是⊙O的直径，
根据直径所对的圆周角是90°可得：
ABC 90°，即△ABC是直角三角形.
圆周角
顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.
圆周角定理及其推论
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
圆周角
布置作业
教科书第31页
习题24.3第1、2题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境24.3 圆周角
第2课时 圆内接四边形
一、教学目标
1.理解圆内接多边形的定义，掌握圆内接四边形的概念和性质；
2.能运用圆内接四边形的性质证明和计算；
3.经历圆内接四边形的性质的探究与证明，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法；
4.通过学生自主探究、合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用.
二、教学重难点
重点：圆内接四边形的概念及性质.
难点：圆内接四边形与圆周角性质的综合应用.
三、教学用具
多媒体课件
四、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【回顾】 什么是圆周角？你还记得圆周角定理及其推论吗？ 预设答案：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 教师活动：引导学生回顾上节课的内容，教师追问： 直径是特殊的弦，它所对的圆周角相等，都是90°，那对于一般的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？也就是说，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 学生回忆圆周角定理及其推论，根据老师的提问思考. 先复习回顾已学知识，在此基础上提出问题，引导学生思考新知识，建立起新旧知识之间的联系，便于学生理解和接受.
环节二 探究新知 【合作探究】 接下来我们以同弦为例进行探究. 问题1：BD是⊙O的弦(不是直径)，则它所对的圆周角都相等吗？ 猜想：∠A∠E，∠C∠F 追问1：能否验证你的猜想呢？ 预设答案：∵∠A，∠E所对的弧都是； ∠C，∠F所对的弧都是； 根据同弧所对的圆周角相等，得： ∠A∠E，∠C∠F. 教师活动：教师PPT展示，任意作出弦BD所对的4个圆周角，引导学生发现，根据角的顶点在弦的上方还是下方，把4个角归为两类，让学生提出猜想，并验证，最终教师PPT展示验证的过程. 追问2：∠A∠C吗？ 预设答案：不一定相等. 教师活动：教师提出问题后，引导学生先观察图形： 不难发现，∠A是锐角，∠C是钝角.显然不相等.并进一步引导学生发现，若BD是直径，则它所对的圆周角∠A∠C，从而得出结论：∠A∠C不一定相等. 追问3：∠A和∠C有什么数量关系呢？ 教师活动：教师引导学生把问题转化为四边形的一组对角的数量关系，进一步让学生观察这个四边形有什么特点，引导学生发现四边形的四个顶点都在圆上，从而引出圆内接多边形的概念. 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆. 如上图中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；⊙O是四边形ABCD的外接圆. 追问3就转化为了：圆内接四边形的一组对角有什么关系？ 猜想：互补. 证明：连接OB，OD. ∵， 又∵∠1∠2360° ∴∠A∠C180° 同理：∠ABC∠ADC180° 教师活动：教师引导学生猜想，然后学生自主验证、小组交流后，尝试用语言归纳总结出所得结论.教师汇总并补充. 圆内接四边形的对角互补. 追问4：现在，你能回答课程刚开始的问题了吗？同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？ 预设答案：同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补. 教师活动：教师提出问题，引导学生回顾刚才探究的过程，然后得出结论，需要提醒的是，前面只探究了同弦所对的圆周角，对于同圆或等圆中等弦的情况，学生可自行探究. 学生观察、猜想，并尝试自主验证猜想，小组交流后，尝试用语言归纳总结所得的结论. 让学生经历观察、猜想、验证、归纳总结等过程.充分理解圆内接四边形的性质，培养学生大胆猜想，勇于探究的数学精神.
【思考】 问题2：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE有什么关系？ 预设答案：相等. 证明：∵∠DCE∠DCB180°，∠A ∠DCB180°. ∴∠A∠DCE. 教师活动：教师引导学生自主探究，小组交流后，尝试用语言总结出所得结论，选代表回答，教师补充. 圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 【归纳】 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角. 【做一做】 1.如图在圆内接四边形ABCD中， (1)若∠B=30°，则∠D=＿＿. (2)若∠A∶∠C5∶4，则∠A＿＿. 答：(1)150°；(2)100°. 学生观察、思考、验证，小组交流，尝试用语言总结所得结论. 探究圆内接四边形性质的推论. 及时巩固所学知识.
【延伸】 问题3：所有的圆都有内接四边形，反过来，所有的四边形都有外接圆吗？ 教师活动：教师提出问题后，先引导学生独立思考，然后适当提醒，比如，以四边形ABCD为例(如下图)，可以先假设四边形ABCD有外接圆⊙O.也就是说，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.则应满足AC180°， BD180°.这显然与已知图形相矛盾，故假设不成立，四边形ABCD没有外接圆. 结论： 所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 追问：什么样的四边形才有外接圆呢？ 教师活动：教师引导学生从“圆内接四边形的对角互补”入手，提出猜想“对角互补的四边形有外接圆”，并尝试让学生仿照前面用反证法进行验证，若学生没有思路，教师适当提醒. 已知：如图，四边形ABCD中，AC180°， BD180°. 求证：四边形ABCD内接于一个圆. 证明：过A，B，D作⊙O ，假设C不在⊙O上，点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O于C'，连结DC'， 根据圆内接四边形的性质得： ADC'B180° ， ∵AC180°， ∴DC'BC. 这与三角形外角定理矛盾， 故C不可能在圆外. 类似地可证C不可能在圆内. ∴C在⊙O上，也即A，B，C，D四点共圆. 【归纳】 1.所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆. 2.对角互补的四边形有外接圆.这也是证明四点共圆的一种常用方法. 学生思考猜想，并尝试用反证法证明. . 通过思考、猜想、验证，归纳等过程，使学生明白所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆.进一步得出四点共圆的条件.
环节三 应用新知 【典型例题】 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 例1 在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比是2 3 6，求这个四边形各角的度数. 解：设A，B，C的度数分别等于2x°，3x°，6x°. ∵四边形ABCD内接于圆， ∴ACBD180°. ∵2x6x180. ∴x22.5 ∴A45°，B67.5° ，C135°， D180°67.5°112.5°. 学生思考，明确思路. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，进一步提高学生分析能力和有条理的表达能力.
环节四 巩固新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BOD100°，求BAD与BCD的度数. 解：∵BOD、 BAD是同弧所对的圆心角、圆周角. ∴BADBOD50°. ∵BAD、 BCD是圆内接四边形ABCD的一组对角. ∴BCD180°BAD130°. 2.若四边形ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( ) A. A∶B∶C∶D 1∶2∶3∶4 B. A∶B∶C∶D 4∶3∶2∶1 C. A∶B∶C∶D 4∶1∶3∶2 D. A∶B∶C∶D 4∶3∶1∶2 答：D 3.已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD//BC，AC与BD相交于点P，APB20°，求四边形各个角的度数. 解：∵ BC是⊙O的直径，∴BDC90°. ∵AD//BC，∴， ∴ADBCAD. 又∵APBADBCAD20°， ∴ADBCAD10°. ∴ADCADBBDC10°90°100°， BCD180°100°80°. 同理可得：DAB100°，ABC80°. 4.证明：圆内接平行四边形是矩形. 已知： ABCD是⊙O的内接四边形. 求证： ABCD是矩形. 证明：∵ ABCD是⊙O的内接四边形. ∴AC，AC180°. ∴AC90°. 即： ABCD是矩形. 学生自主练习 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.
环节五 课堂小结 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学生回顾本节课所学知识，谈收获，体会，师评价. 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第32页练习第9-11题. 学生课后自主完成. 通过作业，反馈对所学知识的掌握程度.(共22张PPT)
24.3 圆周角
第2课时
学习目标
1.理解圆内接多边形的定义，掌握圆内接四边形的概念和性质；
2.能运用圆内接四边形的性质证明和计算；
3.经历圆内接四边形的性质的探究与证明，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法；
4.通过学生自主探究、合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用.
圆内接四边形
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
回顾
直径是特殊的弦，对于一般的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，
90°的圆周角所对的弦是直径.
A
B
O
C
圆周角
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
BD是⊙O的弦(不是直径)，则它所对的圆周角都相等吗？
A
O
B
D
F
E
猜想
A E
C F
能否证明你的猜想呢？
同弧所对的圆周角相等.
A C吗？
B
D
A
O
C
不一定相等
锐角
钝角
当BD是直径时：
C
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A和 C有什么数量关系呢？
思考
四边形一组对角的数量关系.
四个顶点都在圆上
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形一组对角的数量关系.
四边形ABCD是⊙O的内接四边形；
⊙O是四边形ABCD的外接圆.
A
O
B
D
C
A
O
B
D
C
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
圆内接四边形的一组对角有什么关系？
思考
连接OB，OD.
∵
又∵∠1 ∠2 360°
∴∠A ∠C 180°
猜想
互补
1
2
证明
同理：
∠ABC ∠ADC 180°
圆内接四边形的对角互补.
A
O
B
D
C
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
现在，你能回答课程刚开始的问题了吗？
思考
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？
∠A ∠E
∠C ∠F
∠A ∠C 180°
∠E ∠F 180°
同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补.
A
O
B
D
F
E
C
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形；∠A与∠DCE有什么关系？
∠DCE ∠DCB 180°
∠A ∠DCB 180°
∠A ∠DCE
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.
思考
A
O
B
D
C
E
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.
A
O
B
D
C
E
做一做
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，在圆内接四边形ABCD中，
(1)若∠B=30°，则∠D=＿ ＿.
(2)若∠A∶∠C 5∶4，则∠A ＿ ＿.
150°
A
O
B
C
D
·
(1)∠B ∠D 180°
∠D 150°
100°
∠B 30°
(2)∠A ∠C 180°
∠A∶∠C 5∶4
∠A 180° 100°
反过来，所有的四边形都有
外接圆吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
所有的圆都有内接四边形，
A
B
C
D
假设四边形ABCD有外接圆⊙O.
四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
A C 180°， B D 180°.
矛盾
四边形ABCD没有外接圆
所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
什么样的四边形才有外接圆呢？
圆内接四边形的对角互补.
猜想：对角互补的四边形有外接圆.
如何证明？
这与三角形外角定理矛盾，
故C不可能在圆外.
∴C在⊙O上，也即A，B，C，D四点共圆.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
延伸
已知：如图，四边形ABCD中， A C 180°， B D 180°.
求证：四边形ABCD内接于一个圆.
(A，B，C，D四点共圆)
反证法
证明：过A，B，D作⊙O ，假设C不在⊙O上，
点C在圆外或圆内，
O
A
B
C
D
C'
A
B
C
D
若点C在圆外，设BC交圆O
于C'，连结DC'，
根据圆内接四边形的性质得
A DC'B 180° ，
∵ A C 180°，
类似地可证C不可能在圆内.
∴ DC'B C.
O
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
1.所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆.
2.对角互补的四边形有外接圆.这也是证明四点共圆的一种常用方法.
探究新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
例1 在圆内接四边形ABCD中， A， B， C的度数之比是2 3 6，求这个四边形各角的度数.
解：设 A， B， C的度数分别等于2x°，3x°，6x°.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴ A C B D 180°.
∵2x 6x 180.
∴x 22.5
∴ A 45°， B 67.5° ， C 135°，
D 180° 67.5° 112.5°.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， BOD 100°，求 BAD与 BCD的度数.
B
A
C
D
O
解：∵ BOD、 BAD是同弧所对的圆心角、圆周角.
∴ BAD BOD
50°.
∵ BAD、 BCD是圆内接四边形ABCD的一组对角.
∴ BCD 180° BAD 130°.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
2.若四边形ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( )
A. A∶ B∶ C∶ D 1∶2∶3∶4
B. A∶ B∶ C∶ D 4∶3∶2∶1
C. A∶ B∶ C∶ D 4∶1∶3∶2
D. A∶ B∶ C∶ D 4∶3∶1∶2
A
O
B
C
D
·
D
比较 A C 和 B D所占的份数是否相等即可.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
3.已知：四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD//BC，AC与BD相交于点P， APB 20°，求四边形各个角的度数.
A
P
B
C
D
·
O
解：∵ BC是⊙O的直径，∴ BDC 90°.
∵AD//BC，∴ ，
∴ ADB CAD.
又∵ APB ADB CAD 20°，
∴ ADB CAD 10°.
∴ ADC ADB BDC 10° 90° 100°，
BCD 180° 100° 80°.
同理可得： DAB 100°， ABC 80°.
随堂练习
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
4.证明：圆内接平行四边形是矩形.
已知： ABCD是⊙O的内接四边形.
求证： ABCD是矩形.
证明：∵ ABCD是⊙O的内接四边形.
∴ A C， A C 180°.
∴ A C 90°.
即： ABCD是矩形.
A
B
C
D
·
O
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的性质
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角.
探究新知
应用新知
布置作业
巩固新知
课堂小结
创设情境
圆内接四边形
布置作业
教科书第32页
练习第9-11题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见
