数学人教A版2019选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程（共21张ppt）

(共21张PPT)
直线
2.4.2 圆的一般方程
问题引入
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思考1：我们知道，方程表示以为圆心，为半径的圆.可以将此方程变形为.
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一般地，圆的标准方程可以变形为
(2)
的形式.反过来，形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗？
新知探索
例如，对于方程，对其进行配方，得
，因为任意一个点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.所以，形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明，形如(2)的方程不一定是圆的方程.
问题1：方程中的满足什么条件时，这个方程表示圆？
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新知探索
(2)
将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，得
①
(1)当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)
表示以为圆心，为半径的圆；
(2)当时，方程(2)只有实数解，，
它表示一个点；
(3)当时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
新知探索
因此，当时，方程表示一个以为圆心，以为半径的圆.
我们把方程叫做圆的一般方程.
思考2：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
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圆的标准方程明确地表达了圆的几何元素，即圆心坐标和半径长(重“形”).圆的一般方程表现出明显的代数形式(重“数”)，圆心和半径长需要代数运算才能得出.
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新知探索
答案：√，×，√.
辨析1.判断正误.
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
(2)二元二次方程一定是某个圆的方程.( )
(3)方程表示圆.( )
答案：D.
辨析2.圆的圆心坐标是( ).
A. B. C. D.
例析
例4.求过三点，的圆的方程，并求出这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是.①
∵，，三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①，得到关于的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是.
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是，
半径.
例析
问题1：与例的方法比较，你有什么体会？
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；
(2)根据条件列出关于或的方程组；
(3)解出或，得到标准方程或一般方程.
例、例均采用了待定系数法求解.其中例2选用标准方程，例4选用一般方程，相比之下，例4的运算显得简单一些，简单的原因是得到的方程没有二次项，是一个三元一次方程组；而例2用圆的标准方程，得到的是三元二次方程组，需要消去二次项.一般来说，解一次方程比解二次方程简单.
例析
例5.已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
解：设点的坐标是，点的坐标是.由于点的坐标
是，且是线段的中点，所以
于是有，. ①
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的
方程，即. ② 把①代入②，
得，整理，得.
这就是点的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为的圆.
练习
题型一：对圆一般方程的理解
例1.若方程表示圆，求：
(1)实数的取值范围；
(2)圆心坐标和半径.
解：(1)据题意知，
即，解得，
故的取值范围为.
(2)将方程写成标准方程为，
故圆心坐标为，半径.
练习
方法技巧：
方程表示圆的判断方法
(1)配方法.对形如的一元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆.
(2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断是否为正，确定它是否表示圆.
练习
变1.已知，方程表示圆，则圆心坐标为________，半径为________.
答案：，.
解：由圆的一般方程的形式知，解得或.
当时，该方程可化为，
∵，∴不符合题意.
当时，方程可化为，即，
∴圆心坐标为，半径为.
练习
题型二：求圆的一般方程
例2.已知一圆过，两点，且在轴上截得的线段长为，求圆的方程.
解：(1)设圆的方程为，将的坐标分别代入上式，
得令，得，③
由已知，其中，是方程③的两根.
∴.④
联立解得，或
故所求圆的方程为或.
练习
方法技巧：
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为；
(2)根据已知条件，建立关于的方程组；
(3)解此方程组，求出的值；
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
练习
变2.求圆心在直线上，且过点和的圆的一般方程.
解：设所求圆的一般方程为，则圆心为.
∵圆心在直线上，∴.
又∵点和在圆上，
∴.
.③
解③组成的方程组，得.
∴所求圆的一般方程为.
练习
题型三：与圆有关的轨迹方程问题
例3.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
解：(1)设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则.
又，所以，
所以直线的方程为，即.
由得圆心，
则半径，
所以圆的方程为.
练习
例3.已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
解：(2)设
∵点的坐标为，∴即
又点在圆上运动，
∴，即.
整理得.
即所求线段的中点的轨迹方程为.
练习
方法技巧：
求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点依赖于某圆上的一个动点而运动，把用表示，再将点的坐标代入到已知圆的方程中，得点的轨迹方程.
练习
变3.点是圆上的定点，点是圆内一点，为圆上的动点.
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段的中点的轨迹方程.
解：(1)设线段的中点为，由中点公式得点坐标为.
∵点在圆上，∴，
故线段的中点的轨迹方程为.
(2)设线段的中点为，在中，.
设为坐标原点，连接，则，
∴，
∴，
故线段的中点的轨迹方程为.
课堂小结
1.圆的一般方程的概念：
当时，二次方程叫做圆的一般方程.
.圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程表示的圆以为圆心，以为半径长.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P88的练习1、2、3题；
(3)课本P88习题2.4第5、6、7、8、9题.