数学人教A版2019选择性必修第一册2.5.1直线与圆的位置关系（共21张ppt）

(共21张PPT)
直线
2.5.1 直线与圆的位置关系
第1课时：直线与圆的位置关系
复习引入
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在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程，以及用方程研究两条直线的位置关系.下面我们类比用方程研究两条直线位置关系的方法，利用直线和圆的方程，通过定量计算研究直线与圆、圆与圆的位置关系.
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我们知道，直线与圆有三种位置关系：
(1)直线与圆相交，有两个公共点；
(2)直线与圆相切，只有一个公共点；
(3)直线与圆相离，没有公共点.
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新知探索
思考1：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据上述定义，如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？
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下面,我们通过具体例子进行研究.
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初中用圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系来判断，直线与圆的关系： ，直线与圆相切；
，直线与圆相交；
，直线与圆相离.
例析
例1.已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
解法1：联立直线与圆的方程，得
消去，得，解得
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
把，分别代入方程，得，.
所以，直线与圆的两个交点是，.
因此.
例析
例1.已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
解法2：圆的方程可化为，
因此圆心的坐标为，半径为，圆心到直线的距离
.
所以，直线与圆相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理，得.
新知探索
通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线与圆的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长.
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我们还可以根据圆的方程求圆心坐标与半径，从而求得圆心到直线的距离，通过比较与的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.
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例析
思考2.与初中的方法比较，你认为用方程判断直线与圆的位置关系有什么优点？例1中两种解法的差异是什么？
与初中的方法比较，用方程判断直线与圆的位置关系，不必作图，只需要通过代数运算即可完成，体现了解析几何的基本思想——几何问题代数化.
例1中的解法1，通过方程组的解进行判断和计算，是纯粹的代数方法.解法2，把几何条件代数化，即用距离公式直接计算出，这种解法实质上仍是几何方法.
例析
例2.过点作圆的切线，求切线的方程.
解法1：设切线的斜率为，则切线的方程为，
即.
由圆心到切线的距离等于圆的半径，得，
解得或.
因此，所求切线的方程为，或.
例析
例2.过点作圆的切线，求切线的方程.
解法2：设切线的斜率为，则切线的方程为，
因为直线与圆相切，所以方程组只有一组解.
消元，得.
因为方程只有一个解，
所以，
解得或.
所以，所求切线的方程为，或.
新知探索
答案：×，√，√.
辨析1.判断正误.
(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( )
(2)若直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( )
(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )
答案：B.
辨析2.若直线与圆相切，则的值为( ).
A.或 B. C. D.无解
练习
题型一：直线与圆位置关系的判断
例1.求实数的取值范围，使直线与圆分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离.
解：圆的方程化为标准形式为故圆心到直线的距离为，圆的半径为.
(1)若相交，则，即，所以或；
(2)若相切，则，即，所以；
(3)若相离，则，即，
所以.
练习
方法技巧：
判断直线与圆的位置关系应注意的问题
(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系.
(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算.
练习
变1.已知点在圆的外部，则直线与的位置关系是( ).
A.相切 B.相离 C.相交 D.不确定
答案：C.
解：由已知，且圆心到直线的距离为，
则，故直线与圆的位置关系是相交.
练习
题型二：直线与圆相交问题
例2.求直线被圆截得的弦长.
解：法1：圆可化为，
其圆心坐标为，半径.
点到直线的距离为，，
所以截得的弦长为.
法2：设直线与圆交于，两点.由得交点，，
所以弦的长为.
练习
方法技巧：
求弦长常用的三种方法
(1)几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系解题.
(2)交点坐标法：利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长.
(3)公式法：利用弦长公式，设直线，与圆的两交点，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长
.
练习
变2.过点的直线被圆截得的弦长为，求该直线方程.
解：由例题知，圆心，半径，又弦长为.
所以圆心到直线的距离.
又直线过点，知直线斜率一定存在.
可设直线斜率为，则直线方程为，
所以，解得或，
所以直线方程为或，
即或.
练习
题型三：直线与圆相切问题
例3.求与直线平行且与圆相切的直线的方程.
解：设直线的方程为，即，
的圆心坐标为，半径为.
由，得或，
所以直线的方程为或.
练习
方法技巧：
圆的切线方程的两种求解方法
(1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量的值，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意则直接写出切线方程.
(2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程联立消元，利用求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，则说明要求的两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直接写出切线的方程.
练习
变3.求与直线垂直且与圆相切的直线的方程.
解：设直线的方程为，即，
的圆心坐标为，半径为.
由，得或，
所以直线的方程为或.
课堂小结
直线与圆的位置关系及判断：
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P93的练习1、2、3题；
(3)课本P98习题2.5第1、2、3、4、5、8题.