数学人教A版（2019）必修第一册2.1 等式性质与不等式性质（共26张ppt）

(共26张PPT)
一元二次函数、方程和不等式
第二章
2
Contents
01
等式性质与不等式性质
02
基本不等式
03
二次函数与一元二次方程、不等式
等式性质与不等式性质
3
4
不等关系及其表示
在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、
大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不
少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等
式表示不等用不等式表示。
【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子
【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”
连接起来的式子
5
不等关系及其表示
问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
(1)某路段限速;
(2)某品牌酸奶的质量检查规定：酸奶中脂肪的含量应不少于蛋白质的含量应不少于
(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；
C
B
A
不等关系及其表示
问题2 某杂志原以每本元的价格销售,可以售出万本.据市场调查,杂志的单价每提高元,销售量就可能减少本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于万元？
设提价后每本杂志的定价为元,
实数大小的比较
实数大小比较
的基本事实①
【作差法】
①
②
③
①
②
③
实数大小比较
的基本事实②
【作商法】
①
②
③
实数大小的比较
例1 比较和的大小.
【解】运用作差法：
0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆.
2＞0，
所以＞
实数大小的比较
例2 ，比较和的大小.
【解】运用作商法：
1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆.
， 所以，
即 ，所以
一个重要不等式
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客。你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗
__________
一个重要不等式
正方形的面积为；
四个直角三角形面积之和为；
因此
若正方形的面积为0,也即是四个全等的直角三角形为等腰直角三角形时，
有
综
一个重要不等式
一般地，，这个不等式被称为重要不等式，
当且仅当时，等号成立.
，当且仅当时，等号成立.
事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式：
∵,,当且仅当时，等号成立.
∴
由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
，当且仅当时，等号成立.
一个重要不等式的应用
等式的基本性质
● 性质1 如果a＝b，那么b＝a；
● 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
对称性
● 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
传递性
● 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
同加同减性
同乘性
同除性
● 性质5 如果a＝b，c≠0，那么 .
类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？
不等式的基本性质
性质1 如果a>b，那么bb.
a>b b性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性．
不等式的基本性质
性质2 如果a>b，b>c，那么a>c.
a>b,b>c a>c
这个性质也可以表示为c这个性质是不等式的传递性．
不等式的基本性质
性质3 如果a>b，则a+c>b+c
a>b a+c>b+c
不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
结论：不等式中的任何一项可以改变符号后移到不等号另一边（移项法则）
可加性
不等式的基本性质
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc；
如果a>b，c<0，则ac不等式的两边同乘一个正数，所得的不等式与原不等式同向；
不等式的两边同乘一个负数，所得的不等式与原不等式反向
可乘性
a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质4扩展：如果a>b，c>0，则a/c>b/c；
如果a>b，c<0，则a/c不等式的基本性质
性质5：如果a>b，c>d，则a+c>b+d.
同向可加性
简记：大+大>小+小
a>b，
c>d
a+c>b+d.
这个性质可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加
不等式的基本性质
性质6：如果a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
a>b>0
c>d>0
ac>bd.
同向同正可乘性
这个性质可以推广到任意有限个同向同正不等式两边分别相乘
性质7：如果a>b>0，则an>bn.
a>b>0 an>bn
正数的可乘方性
不等式性质的应用
例4 已知 a > b >0, c <0, 求证: .
＞
证明：因为a > b >0,
于是
即
由 c < 0 , 得 ,
即
思考？
能否用作差法证明 ？
利用不等式求数式的范围
例5 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
不等式的基本性质
例6 已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
利用不等式求数式的范围
24
作差法
作商法
关于实数大小比较的基本事实
.
等式的基本性质
课堂总结
课堂总结
重要不等式
不等式的基本性质
,有
,
当且仅当时,等号成立.
性质一 如果那么;
性质二 如果那么;
性质三 如果那么;
性质四 如果那么；
性质五 如果且那么；
性质一 如果那么;如果那么
性质二 如果那么;
性质三 如果那么;
性质四 如果且那么;
如果且那么;
性质五 如果且那么
性质六 如果那么;
性质七 如果那么;
比较大小
重要不等式的应用
不等式性质的应用
利用不等式性质求数式的范围
题型总结
1
2
3
4
本 节 课 到 此 结 束
下节课再见