第22章一元二次方程 单元达标测试题2022-2023学年华东师大版九年级数学上册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第22章一元二次方程 单元达标测试题2022-2023学年华东师大版九年级数学上册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 95.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-05 11:23:54 | ||
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文档简介
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《第22章一元二次方程》
单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．﹣3x＝0 B． C．x3+x2＝1 D．x2+2x＝2x2﹣1
2．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．
3．方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6
4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54
5．若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
6．关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根分别是﹣2和3，则（ ）
A．p＝﹣1，q＝﹣6 B．p＝1，q＝﹣6 C．p＝5，q＝﹣6 D．p＝﹣1，q＝6
7．中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2450 B．x（x﹣1）＝2450
C．2x（x﹣1）＝2450 D．x（x﹣1）＝2450
8．已知实数x满足（x2+x）2﹣5（x2+x）﹣6＝0，则x2+x的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣1或6 D．1或﹣6
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（ ）
A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长
10．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．当k满足 时，方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是一元二次方程．
12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 （写出一个即可）．
13．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是 ．
14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为 ．
15．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．按要求解方程
（1）x2﹣4x+3＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
（3）x2+3x+1＝0（公式法）
（4）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）
18．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）请说明该方程实数根的个数情况；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1） （x2+1）＝8，求m的值．
20．位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称
无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，
假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
21．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2m/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
22．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求2x﹣y的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
23．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： ．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： ．
（2）请写出一种完整的解答过程．
24．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A、它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、它是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、它最高次项是三次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、它化简后为x2﹣2x﹣1＝0，属于一元二次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的一个根，
∴把x＝2代入得：22+2a﹣3a＝0，
解得：a＝4．
故选：B．
3．解：方程2x2＝3（x﹣6），
去括号，得2x2＝3x﹣18，
整理，得2x2﹣3x+18＝0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，
故选：B．
4．解：x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故选：A．
5．解：∵x＝是某个一元二次方程的根，
∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1，
∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0，
故选：D．
6．解：根据题意得﹣2+3＝﹣p，﹣2×3＝q，
所以p＝﹣1，q＝﹣6．
故选：A．
7．解：根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，全班有x名学生，
所以全班发送的祝福为：（x﹣1）x＝2450，
故选：D．
8．解：设t＝x2+x．则原方程转化为t2﹣5t﹣6＝0，
整理，得（t﹣6）（t+1）＝0．
所以t﹣6＝0或t+1＝0．
解得t＝6或t＝﹣1．
∵x2+x＝﹣1无实数解，
所以x2+x的值是6．
故选：A．
9．解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AD＝﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2＝0得x＝＝±﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根．
故选：B．
10．解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：由一元二次方程的定义可得k﹣1≠0，
解得k≠1；
故答案为：k≠1．
12．解：由题意可得，方程可以为：（x+1）（x﹣1）＝0，
即x2﹣1＝0．
故答案为：x2﹣1＝0．
13．解：根据题意得m+1+2m﹣7＝0，
解得m＝2．
即m的值为2．
故答案为：2．
14．解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故答案为：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
15．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
16．解：*＝（）2﹣×＝2﹣，①正确；
若a+b＝0，则a＝﹣b，
∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；
（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；
（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，
∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，
解得x1＝，x2＝，④正确．
故答案为：①②④
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：（1）x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1，
x﹣2＝±1，
解得：x1＝3，x2＝1；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0，x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（3）x2+3x+1＝0
a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）（x+2）2﹣25＝0
（x+2）2＝25
x+2＝±5
解得：x1＝3，x2＝﹣7．
18．解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
19．解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，（x1+1） （x2+1）＝8，
∴（x1+1） （x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∴2m﹣2+m2﹣2m+1＝8，
∴m2＝9，
∴m＝3或m＝﹣3．
故m的值为﹣3或3．
20．解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2＝7200，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）设售价应降低m元，
则每天的销量为（500+m）个．
根据题意可得（10﹣m﹣5）（500+m）＝2800，
解得m1＝，m2＝1（舍去）．
答：售价应降低元．
21．解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1＝，t2＝．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
22．解：（1）x2﹣4x+1的两种配方分别为：
x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
x2﹣4x+1＝（x﹣1）2﹣2x；
（2）由x2+y2﹣4x+6y+13＝0得：x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0
解得：x＝2，y＝﹣3
∴2x﹣y＝4+3＝7；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）
＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，
从而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，
即a＝1，b＝2，c＝1，
故a+b+c＝4．
23．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
24．解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．
单元达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．﹣3x＝0 B． C．x3+x2＝1 D．x2+2x＝2x2﹣1
2．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．
3．方程2x2＝3（x﹣6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，3，﹣6 B．2，﹣3，18 C．2，﹣3，6 D．2，3，6
4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝54
5．若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0
6．关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根分别是﹣2和3，则（ ）
A．p＝﹣1，q＝﹣6 B．p＝1，q＝﹣6 C．p＝5，q＝﹣6 D．p＝﹣1，q＝6
7．中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了2450条祝福，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2450 B．x（x﹣1）＝2450
C．2x（x﹣1）＝2450 D．x（x﹣1）＝2450
8．已知实数x满足（x2+x）2﹣5（x2+x）﹣6＝0，则x2+x的值为（ ）
A．6 B．﹣1 C．﹣1或6 D．1或﹣6
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线段AB于点D，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E．下列哪条线段的长度是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根（ ）
A．线段BC的长 B．线段AD的长 C．线段EC的长 D．线段AC的长
10．已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（ ）
A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解
C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．当k满足 时，方程（k﹣1）x2+3x+1＝0是一元二次方程．
12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 （写出一个即可）．
13．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是 ．
14．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为 ．
15．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解 ．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．按要求解方程
（1）x2﹣4x+3＝0（配方法）
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0（因式分解法）
（3）x2+3x+1＝0（公式法）
（4）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）
18．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框：
小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）请说明该方程实数根的个数情况；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且（x1+1） （x2+1）＝8，求m的值．
20．位于宁波市江北区的保国寺以其精湛绝伦的建筑工艺闻名全国，其中大雄宝殿（又称
无梁殿）更是以四绝“鸟不栖，虫不入，蜘蛛不结网，梁上无灰尘”吸引了各地游客前来参观．据统计，
假期第一天保国寺的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了保国寺旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低0.5元，平均每天可多售出100个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
21．如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2m/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动．
（1）AP＝ ，BP＝ ，CQ＝ ，DQ＝ （用含t的代数式表示）；
（2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2；
（3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm．
22．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13＝0，求2x﹣y的值；
（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值．
23．某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程： ．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程： ．
（2）请写出一种完整的解答过程．
24．对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”．
（1）已知一个“喜鹊数”k＝100a+10b+c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式 ；判断241 “喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数” ；
（2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程ax2+bx+c＝0①与cx2+bx+a＝0②，若x＝m是方程①的一个根，x＝n是方程②的一个根，求m与n满足的关系式；
（3）在（2）中条件下，且m+n＝﹣2，请直接写出满足条件的所有k的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A、它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、它是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
C、它最高次项是三次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、它化简后为x2﹣2x﹣1＝0，属于一元二次方程，故该选项符合题意．
故选：D．
2．解：∵2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的一个根，
∴把x＝2代入得：22+2a﹣3a＝0，
解得：a＝4．
故选：B．
3．解：方程2x2＝3（x﹣6），
去括号，得2x2＝3x﹣18，
整理，得2x2﹣3x+18＝0，
所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，18，
故选：B．
4．解：x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故选：A．
5．解：∵x＝是某个一元二次方程的根，
∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1，
∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0，
故选：D．
6．解：根据题意得﹣2+3＝﹣p，﹣2×3＝q，
所以p＝﹣1，q＝﹣6．
故选：A．
7．解：根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，全班有x名学生，
所以全班发送的祝福为：（x﹣1）x＝2450，
故选：D．
8．解：设t＝x2+x．则原方程转化为t2﹣5t﹣6＝0，
整理，得（t﹣6）（t+1）＝0．
所以t﹣6＝0或t+1＝0．
解得t＝6或t＝﹣1．
∵x2+x＝﹣1无实数解，
所以x2+x的值是6．
故选：A．
9．解：由勾股定理得，AB＝＝，
∴AD＝﹣a，
解方程x2+2ax﹣b2＝0得x＝＝±﹣a，
∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2＝0的一个根．
故选：B．
10．解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，
Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；
D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：由一元二次方程的定义可得k﹣1≠0，
解得k≠1；
故答案为：k≠1．
12．解：由题意可得，方程可以为：（x+1）（x﹣1）＝0，
即x2﹣1＝0．
故答案为：x2﹣1＝0．
13．解：根据题意得m+1+2m﹣7＝0，
解得m＝2．
即m的值为2．
故答案为：2．
14．解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
故答案为：（20﹣x）（32﹣x）＝540．
15．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．
16．解：*＝（）2﹣×＝2﹣，①正确；
若a+b＝0，则a＝﹣b，
∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；
（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；
（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，
∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，
解得x1＝，x2＝，④正确．
故答案为：①②④
三．解答题（共8小题，满分56分）
17．解：（1）x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝﹣3+4，
（x﹣2）2＝1，
x﹣2＝±1，
解得：x1＝3，x2＝1；
（2）x（x﹣2）+x﹣2＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0，x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（3）x2+3x+1＝0
a＝1，b＝3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5，
∴x＝，
解得：x1＝，x2＝；
（4）（x+2）2﹣25＝0
（x+2）2＝25
x+2＝±5
解得：x1＝3，x2＝﹣7．
18．解：小敏：×；
小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
19．解：（1）由题意可知：Δ＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，（x1+1） （x2+1）＝8，
∴（x1+1） （x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝8，
∴2m﹣2+m2﹣2m+1＝8，
∴m2＝9，
∴m＝3或m＝﹣3．
故m的值为﹣3或3．
20．解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意，得5000（1+x）2＝7200，
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：平均增长率为20%；
（2）设售价应降低m元，
则每天的销量为（500+m）个．
根据题意可得（10﹣m﹣5）（500+m）＝2800，
解得m1＝，m2＝1（舍去）．
答：售价应降低元．
21．解：（1）当运动时间为ts时，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案为：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2．
（3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示．
依题意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1＝，t2＝．
答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm．
22．解：（1）x2﹣4x+1的两种配方分别为：
x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
x2﹣4x+1＝（x﹣1）2﹣2x；
（2）由x2+y2﹣4x+6y+13＝0得：x2﹣4x+4+y2+6y+9＝0，
∴（x﹣2）2+（y+3）2＝0
解得：x＝2，y＝﹣3
∴2x﹣y＝4+3＝7；
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）
＝（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）
＝（a﹣b）2+（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0，
从而有a﹣b＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0，
即a＝1，b＝2，c＝1，
故a+b+c＝4．
23．解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
24．解：（1）∵k＝100a+10b+c是喜鹊数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0；
∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8，
∴241不是喜鹊数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“喜鹊数”是121．
故答案为：b2﹣4ac＝0；不是；121．
（2）∵x＝m是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2+bx+a＝0的一个根，
∴am2+bm+c＝0，cn2+bn+a＝0，
将cn2+bn+a＝0两边同除以n2得：a（）2+b（）+c＝0，
∴将m、看成是方程ax2+bx+c的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2+bx+c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1；
故答案为：mn＝1．
（3）∵m+n＝﹣2，mn＝1，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b+c＝0，
∴b＝a+c，
∵b2＝4ac，
∴（a+c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
故答案为：121，242，363，484．