2022-2023学年人教版九年级数学上册第23章旋转 解答优生辅导训练题（含解析）

2022-2023学年人教版九年级数学上册《第23章旋转》解答优生辅导训练题（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转30°后得到△AB1C1，求∠BAC1的度数．
2．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜180°），得到△AB′C′（如图②）．
（1）探究DB′与EC′的数量关系，并给予证明；
（2）当DB′∥AE时，求此时旋转角α的度数；
（3）如图③，在旋转过程中，设AC′与DE所在直线交于点P，当△ADP成为等腰三角形时，求此时的旋转角α的度数．（直接写出结果）
3．一副三角板如图1摆放，∠C＝∠DFE＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，点F在BC上，点A在DF上，且AF平分∠CAB，现将三角板DFE绕点F以每秒5°的速度顺时针旋转（当点D落在射线FB上时停止旋转），设旋转时间为t秒．
（1）当t＝　 　秒时，DE∥AB；当t＝　 　秒时，DE⊥AB；
（2）在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若△AFP有两个内角相等，求t的值；
（3）当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，连接AE，设∠BAE＝x°，∠AED＝y°，∠DFB＝z°，试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．
4．小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含45°角的直角三角尺的斜边可与含30°角的直角三角尺的较长直角边完成重合（如图①），即△CD的顶点A′，C分别与△BAC的顶点A，C重合现在，他让△CDA固定不动，将△BAC通过变换使斜边BC经过△CDA的直角顶点D．
（1）如图②将△BAC绕点C按顺时针方向旋转a（0°＜a＜180°），使边BC经过点D，则a＝　 　；
（2）如图③，将△BAC绕点A按逆时针方向旋转使边BC经过点D，求证：BC∥AC；
（3）如图④，若AB＝2，将△BAC沿射线AC‘的方向平移m个单位长度使边BC经过点D，求m的值．
5．如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，∠EDF＝36°，∠ABC＝40°，CD平分∠ACB，将△DEF绕点D按逆时针方向旋转，记∠ADF为α（0＜α＜180°），在旋转过程中：
（1）如图2，当∠α＝　 　时，DE∥BC，当∠α＝　 　时，DE⊥BC；
（2）如图3，当顶点C在△DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N．
①此时∠α的度数范围是 　 　；
②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变，求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由．
③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．
6．如图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，∠B＝40°，∠E＝60°，AB∥DE，求∠DAC的度数．
7．如图，是两个全等的直角三角形，请问怎样将△BCD变成△EAB？
8．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，其中∠B＝52°，∠C＝60°．
（1）若AD平分∠BAC，求∠BAD的度数；
（2）若AC⊥DE于点F，求旋转角的度数．
9．将一副三角板如图①放置，点B、A、E在同一条直线上，点D在AC上，CA⊥BE，点A为垂足，∠BCA＝30°，∠AED＝45°．
（1）如图①，∠ADE的度数为　 　，∠ABC的度数为　 　；
（2）若将三角板ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜90°）．
①如图②，当旋转角α等于45°时，试问DE∥BA吗？请说明理由；
②如图③，当AD⊥BC于点F时，请求出旋转角α的度数．
10．如图，在△ABC中，点D在BC上，∠BAD＝∠C，将△ABC绕点A按逆时针旋转，边AB落在直线AD上得△AB1C1．求证：AC1∥BC．
11．有两个形状、大小完全相同的直角三角板ABC和CDE，其中∠ACB＝∠DCE＝90°．将两个直角三角板ABC和CDE如图①放置，点A，C，E在直线MN上．
（1）三角板CDE位置不动，将三角板ABC绕点C顺时针旋转一周，
①在旋转过程中，若∠BCD＝30°，则∠ACE＝　 　°；
②在旋转过程中，∠BCD与∠ACE有怎样的数量关系？请依据图②说明理由．
（2）在图①基础上，三角板ABC和CDE同时绕点C顺时针旋转，若三角板ABC的边AC从CM处开始绕点C顺时针旋转，转速为10°/秒，同时三角板CDE的边CE从CN处开始绕点C顺时针旋转，转速为1°/秒，当AC旋转一周再落到CM上时，两三角板都停止转动．如果设旋转时间为t秒，则在旋转过程中，当t＝　 　秒时，有∠ACE＝3∠BCD．
12．我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．
图形的变化 示例图形 与对应线段有关的结论 与对应点有关的结论
平移 （1）　 　 AA′＝BB′ AA′∥BB′
轴对称 （2）　 　 （3）　 　
旋转 AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补． （4）　 　
13．如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在AB边上，△BCD绕点C逆时针旋转角α到达△ECF的位置，点E在AC边上．
（1）直接填空：α的最小度数是 　 　；
（2）若EF∥CD，试判断△BCD的形状，并说明理由．
15．如图，在△ABC中，∠CAB＝63°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CC'∥AB，求旋转角的度数．
16．如图，△ABC为等边三角形，D是BC边上一点，AB＝10，AD＝9，△ABD经过旋转60°后到达△ACE的位置，
（1）求∠DAE的度数．
（2）△DCE的周长是多少？
17．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝α，若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．
（1）当△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2，则此时旋转角为 　 　（用含的式子表示）．
（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．
18．取一副三角板按如图所示拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A顺时针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．
①当α为多少度时，AB∥DC？
②当旋转到图③所示位置时，α为多少度？
③连接BD，当0°＜α≤45°时，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明．
19．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点位置如图所示．
（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是 　 　；
（2）将△ABC绕原点逆时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
20．我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转．这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法，同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样一道题目：
（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE，试说明AD＝BE；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法，请你帮小亮把说理过程补充完整．
解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝　 　（等式的性质）．
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转　 　°，能够与　 　重合．
∴△ACD≌　 　（旋转变换的性质）．
∴AD＝BE（ 　 　）．
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求∠AEB的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程（此问不用写推理依据）．
参考答案
1．解：∵∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，
顺时针旋转30°时，如图1所示：
由旋转的性质得：∠B1AC1＝∠BAC＝75°，∠B1AB＝30°，
∴∠BAC1＝75°﹣30°＝45°；
逆时针旋转30°时，如图2所示：
∠BAC1＝75°+30°＝105°；
综上所述，∠BAC1的度数为45°或105°．
2．（1）DB′＝EC′，
证明：如图②，
∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，
∴AD＝AE，
∵∠B′AC′＝∠DAE＝90°，
∴∠B′AD＝∠C′AE＝90°﹣∠DAC′，
在△B′AD和△C′AE中，
，
∴△B′AD≌△C′AE（SAS），
∴DB′＝EC′．
（2）解：∵DB′∥AE，
∴∠ADB′＝∠EAD＝90°
又∵△B′AD≌△C′AE，
∴∠AEC′＝∠ADB′，
∴∠AEC′＝90°，
即△AEC′为直角三角形，
又∵AE＝AC＝AC′，
∴∠EC′A＝30°，
∴α＝90°﹣30°＝60°；
（3）解：分为两种情况：
第一种情况：当P在DE上，①当AP＝DP时，
∵∠ADP＝45°，
∴∠DAP＝∠ADP＝45°，
∴α＝90°﹣45°＝45°；
②当AD＝DP时，
∵∠ADP＝45°，
∴∠DAP＝∠DPA＝（180°﹣∠ADP）＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴α＝90°﹣67.5°＝22.5°；
第二种情况：当P点在ED延长线时，∵∠ADP＝180°﹣45°＝135°，
∴此时只能AD＝AP，
∴∠APD＝∠PAD＝∠ADE＝22.5°，
∴α＝90°+22.5°＝112.5°，
即旋转角α的度数是45°或22.5°或112.5°．
3．解：（1）如图（1），当DE∥AB时，∠EDF＝∠BPF＝45°
∵AF平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝30°，
又∵∠BPF为△APF的一个外角，
∴∠PFA＝∠BPF﹣∠BAF＝45°﹣30°＝15°，
∴t＝＝3；
如图（2），当DE⊥AB时，
∠DPB＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠APF＝∠DPB＝45°，
∵∠BAF＝30°，
∴∠AFP＝180°﹣∠APF﹣∠BAF＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴t＝＝21．
故答案为：3；21．
（2）①如图（3），当∠PAF＝∠PFA时，
∵∠PAF＝30°，
∴∠PFA＝30°，
∴t＝6；
②如图（4），当∠PFA＝∠APF时，
∵∠PAF＝30°，∠PAF+∠PFA+∠APF＝180°，
∴∠AFP＝（180°﹣30°）＝75°，
∴t＝15；
③如图（5），当∠PAF＝∠APF时，
∠AFP＝180°﹣∠PAF﹣∠APF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴t＝24，
综上所述：当t为6或15或24时，△AFP有两个内角相等．
（3）x+y+z是为定值105，理由如下：
∵∠BMN是△AME的一个外角，∠MNB是△DFN的一个外角，
∴∠BMN＝∠BAE+∠AED＝x°+y°，∠MNB＝∠DFB+∠D＝z°+45°，
又∵∠BMN+∠MNB+∠B＝180°，∠B＝30°，
∴x°+y°+z°+45°+30°＝180°，
∴x°+y°+z°＝105°，
∴x+y+z＝105．
4．解：（1）如图②，α＝∠A′C′A＝45°﹣30°＝15°；
故答案为：15；
（2）如图③，过点A作AH⊥BC于点H，
∵∠C＝30°，
∴AH＝AC，
∵AD＝AC，
∴DH＝＝AC，
∴AH＝DH，
∴∠HAD＝45°，
∴∠HAC′＝∠HAD+∠DAC′＝90°，
∴HA⊥AC′，
∴BC∥A′C′；
（3）如图④，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∵AB＝2，
∴AC＝A′C′＝2，
∴HC′＝DH＝A′C′＝，
∴HC＝×＝3，
所以m的值为：HC﹣HC′＝3﹣．
5．解：（1）当DE∥BC时，如图（1），
∵DE∥BC，
∴∠EDA＝∠B＝40°，
∵∠FDE＝36°，
∴∠α＝∠EDA﹣∠FDE＝40°﹣36°＝4°，
∴∠α＝4°时，DE∥BC．
当DE⊥BC时，如图（2），
∵DE⊥BC，
∴∠BGD＝90°，
∵∠B＝40°，∠GDA是△GDB的一个外角，
∴∠GDA＝∠B+∠BGD＝40°+90°＝130°，
∵∠EDF＝36°，
∴∠α＝∠GDA﹣∠FDE＝130°﹣36°＝94°，
∴∠α＝94°时，DE⊥BC．
故答案为：4°；94°．
（2）
①∵∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠ABC＝40°，
∴∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝40°+45°＝85°，
当ED经过点C时，∠α＝∠ADC﹣∠EDF＝85°﹣36°＝49°，
当FD经过点C时，∠α＝∠ADC＝85°，
∴顶点C在△DEF内部时，49°＜α＜85°．
∠1与∠2度数的和不发生变化，理由如下：
延长DC至点H，
∵∠NCH、∠MCH分别是△NCD和△MCD的外角，
∴∠NCH＝∠2+∠NDC，∠MCH＝∠1+∠MDC，
∴∠NCH+∠MCH＝∠2+∠1+∠NDC+∠MDC，
∴∠NCM＝∠1+∠2+∠NDM，
∵∠NCM＝∠ACB＝90°，∠NDM＝∠FDE＝36°，
∴90°＝∠1+∠2+36°，
∴∠1+∠2＝54°．
③∵∠ABC＝40°，∠ACB﹣90°，
∴∠A＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵∠ADF是△MBD的外角
∴∠α＝∠ABC+∠1＝40°+∠1，
∵∠2≥2∠1，∠1+∠2＝54°，
∴54°﹣∠1≥2∠1，
∴∠1≤18°，
∴α≤58°，
又∵49°＜α＜85°，
∴49°＜α≤58°．
6．解：∵△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E＝60°，∠D＝∠B＝40°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，
∵AB∥DE，
∴∠BAD＝∠D＝40°，
∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°，
∴∠DAC的度数为40°．
7．解：先把△DCB以C为旋转中心逆时针旋转90°，然后再向右平移，使点C与A重合，这样△BCD变成△EAB．
8．解（1）在△ABC中，
∵∠B＝52°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AD分∠BAC，
∴∠BAD＝；
（2）∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△ADE，
∴∠C＝∠E＝60°，
又∵AC⊥DE，
∴∠AFE＝90°，
在△AFE中，
∵∠AFE＝90°，∠E＝60°，
∴∠EAF＝30°，
即旋转角的度数为30°．
9．解：（1）∠ADE的度数为45°，∠ABC的度数为60°，
故答案为：45°，60°；
（2）①当旋转角α等于45°时，
∴∠BAC＝90°，
又∠α＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠α＝45°，
又∠ADE＝45°
∴∠BAD＝∠ADE，
∴DE∥BA；
②当AD⊥BC于点F时，
∴∠AFC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠α＝180°﹣∠AFC﹣∠C＝180°﹣90°﹣30°＝60°．
10．证明：根据旋转得出∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
∵∠B+∠BAD＝∠B1+∠DFB1＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠DFB1，
∵∠BAD＝∠C，∠EFC＝∠DFB1，
∴∠EFC＝∠C1，
∴AC1∥BC．
11．解：（1）①在旋转过程中，若∠BCD＝30°，则∠ACE＝90°+90°﹣30°＝150°或360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案为：150；
②∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠BCD+∠ACE＝∠BCD+∠ACB+∠BCE＝∠ACB+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）三角板ABC和CDE重合之前，
∠ACE＝180°﹣9°t，∠BCD＝9°t，
依题意有180°﹣9°t＝3×9°t，
解得t＝5；
三角板ABC和CDE重合之后，
∠ACE＝9°t﹣180°，∠BCD＝360°﹣9°t，
依题意有9°t﹣180°＝3×（360°﹣9°t），
解得t＝35．
故当t＝5或35秒时，有∠ACE＝3∠BCD．
故答案为：5或35．
12．解：（1）平移的性质：平移前后的对应线段相等且平行．所以与对应线段有关的结论为：AB＝A′B′，AB∥A′B′；
（2）轴对称的性质：AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．
（3）轴对称的性质：轴对称图形对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．所以与对应点有关的结论为：l垂直平分AA′．
（4）OA＝OA′，∠AOA′＝∠BOB′．
故答案为：（1）AB＝A′B′，AB∥A′B′；（2）AB＝A′B′；对应线段AB和A′B′所在的直线如果相交，交点在对称轴l上．；（3）l垂直平分AA′；（4）OA＝OA′，∠AOA′＝∠BOB′．
13．证明：∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，
∴AO＝CO，
∴∠A＝∠ACO，
∵AB∥DE，
∴∠A+∠E＝180°，
又∵∠ACO+∠BCO＝180°，
∴∠BCO＝∠E．
14．解：（1）∵△BCD绕点C逆时针旋转角α到达△ECF的位置，
而∠BCA＝90°，
∴α的最小度数是270°；
（2）△BDC为直角三角形．理由如下：
∵△BCD绕点C逆时针旋转角α到达△ECF的位置，
∴∠DCF＝∠BCA＝90°，∠BDC＝∠F，
∴EF∥CD，
∴∠DCF+∠F＝180°，
∴∠F＝90°，
∴∠BDC＝90°，
∴△BDC为直角三角形．
15．解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝63°，
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，
∴∠CAC′等于旋转角，AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝63°，
∴∠CAC′＝180°﹣∠ACC′﹣∠AC′C＝180°﹣2×63°＝54°，
∴旋转角为54°．
16．解：（1）△ABD经过旋转60°后到达△ACE的位置，
∴∠DAE＝60°；
（2）如图，连接ED．
∵△ABC为等边三角形，AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
根据旋转的性质得到：AE＝AD，CE＝BD，
∵∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形．
∴ED＝AD．
又AD＝9，
∴△DCE的周长＝CD+CE+ED＝BC+ED＝10+9＝19．即△DCE的周长是19．
17．解：（1）如图2，
∵∠C＝90°，∠ABC＝∠DEC＝α，
∴∠BAC＝90°﹣α，
∵△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，
∴∠ACD等于旋转角，CD＝CA，
∴∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α，
∴∠ACD＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α；
即旋转角为2α；
故答案为2α；
（2）小扬同学猜想是正确的，证明如下：
过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，
∴∠BNC＝∠EMC＝90°，
∵△ACB≌△DCE，
∴BC＝EC，
在△CBN和△CEM中
，
∴△CBN≌△CEM，
∴BN＝EM，
∵S△BDC＝ CD BN，S△ACE＝ AC EM，
而CD＝AC，
∴S△BCD＝S△ACE．
18．解：（1）如图②，
∵AB∥DC，
∴∠BAC＝∠C＝30°，
∴α＝∠BAC′﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°，
所以当α＝15°时，AB∥DC；
（2）当旋转到图③所示位置时，α＝45°，
（3）当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．
证明：连接CC′，CD与BC′相交于O点，
在△BDO和△OCC′中，∠BOD＝∠COC′，
∴∠BDO+∠DBO＝∠OCC′+∠OC′C，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC＝∠BDO+∠α+∠DBO＝∠OCC′+∠OC′C+∠α
＝180°﹣∠ACD﹣∠AC′B，
＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
∴当0°＜α≤45°时，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不变．
19．解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，若△ABC内部一点P的坐标为（a，b），则点P的对应点P1的坐标是（a，﹣b）；
故答案为：（a，﹣b）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
20．解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝∠BCE（等式的性质）．
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转60°，能够与△BCE重合．
∴△ACD≌△BCE（旋转变换的性质）．
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：∠BCE，60°，△BCE，△BCE，全等三角形的对应边相等；
（2）∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．