鲁教版（五四制）八年级数学上册 《2.4分式方程》知识点分类练习题 2022-2023学年（含解析）
文档属性
| 名称 | 鲁教版（五四制）八年级数学上册 《2.4分式方程》知识点分类练习题 2022-2023学年（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 163.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-05 12:20:59 | ||
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文档简介
2022-2023学年鲁教版（五四学制）八年级数学上册《2.4分式方程》
知识点分类练习题（附答案）
一．分式方程的定义
1． 叫分式方程．
2．关于x的方程：①＝6；②；③；④；⑤＝4；⑥﹣x．分式方程有 （填序号）．
3．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
5．已知关于x的分式方程＝的解是正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
6．若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7 B．10 C．18 D．17
7．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≤5且m≠3 C．m＜5 D．m＜5且m≠3
8．若关于x的方程＝有解，则m应满足（ ）
A．m≠0 B．m≠ C．m≠0且m≠ D．m不存在
9．下列各项是分式方程的解的是（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝3 C．无解 D．x＝﹣4
10．已知关于x的分式方程+＝3m无解，则m的值是（ ）
A．1或 B．1或3 C． D．1
二．解分式方程
11．解方程：﹣1＝．
12．解方程：．
13．解分式方程：
（1）；
（2）．
14．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设＝m，＝n．
原方程组可化为．
解得，即．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
（2）已知方程组，求x，y的值．
15．用换元法解方程：（）2﹣+6＝0
16．若关于x的分式方程有增根，求a的值．
17．若关于x的方程有增根，求实数m的值．
18．若分式方程有增根x＝﹣1，求k的值．
19．已知关于x的方程：．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，直接写出a的值为 ．
20．已知关于x的分式方程+＝
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
三．分式方程的应用
21．在课外活动跳绳时，小林跳90下所需时间比小群跳160下所需时间少半分钟．已知小群每分钟跳的次数比小林每分钟所跳次数多倍，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为 ．
22．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水流速为vkm/h，则可列方程为 ．
23．我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 ．
24．假期，某校为了勤工俭学，要完成整个A小区的绿化工作．开始由七年级单独工作了4天，完成整个绿化工作的三分之一，这时九年级也参加工作，两个年级又共同工作了2天，才全部完成整个绿化工作，则由九年级单独完成整个绿化工作需要 天．
25．某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是 km/h．
26．某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
27．甲、乙两城市相距120千米，甲城市急需物资，乙城市紧急支援一货车物资，已知货车行驶速度是原来速度的1.5倍，从乙城市到甲城市的时间缩短了半小时，求货车提速后的速度．
28．某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天．若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做，36天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全程共同完成省钱？说明理由．
29．甲、乙两工程队承包一项工程，如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超出期限6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则恰好如期完成．
（1）问原来规定修好这条公路需多长时间？
（2）现要求甲、乙两个工程队都参加这项工程，但由于受到施工场地条件限制，甲、乙两工程队不能同时施工．已知甲工程队每月的施工费用为4万元，乙工程队每月的施工费用为2万元．为了结算方便，要求：甲、乙的施工时间为整数个月，不超过15个月完成．当施工费用最低时，甲、乙各施工了多少个月？
30．利华机械厂为海天公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间生产的A种产品30件的天数与乙车间生产的B种产品24件天数相同．
（1）求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？
（2）海天公司每天付给甲车间600元的工时费，每天付给乙车间400元的工时费，现海天公司一次性购买A、B两种产品共800件，海天公司购买A、B两种产品付给甲、乙两车间的总工时费用不超过42000元．求购进A种产品至多多少件．
31．为了防止感染新冠病毒，小明家要购买A，B两种型号的口罩，每个A型号口罩比B型号口罩的单价少0.3元，且用45元购买的A型口罩与用60元购买的B型口罩数量相同，求两种口罩的单价．
32．黄商超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的3倍．
（1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在这两次苹果销售中共获利多少元？
33．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高50%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
34．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
35．二十中学开学初在久昌体育购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）二十中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个．恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么二十中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
36．为改善农村交通条件，促进农业发展，某镇决定对一段公路进行改造，经调查得知，单独完成这项工程乙工程队比甲工程队多一半时间；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求两工程队单独完成这项工程分别需多少天？
（2）甲工程队施工一天，需付工程款1.8万元，乙工程队施工一天需付工程款1万元，若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，怎样施工最省钱？
37．某水果商从批发市场用8000元购进了甲、乙两种时令水果各200千克，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克多20元，甲种水果的售价为每千克40元，乙种水果的售价为每千克16元．
（1）甲种水果和乙种水果的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了甲、乙两种水果各200千克，但在运输过程中乙种水果损耗了20%．若乙种水果的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，甲种水果的售价最少应为多少？
38．某商场购进甲、乙两种空调共40台，已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？
39．喜迎伟大的中国共产党成立100周年，雅礼实验中学举行党史知识竞赛．为鼓励学生，学校决定购买A，B两种奖品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）购买当日，正逢端午节搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A种奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件；问购买A，B两种奖品有几种方案？
40．某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
参考答案
一．分式方程的定义
1．解：分母中含未知数的方程叫做分式方程．
故答案为：分母中含有未知数的方程．
2．解：分式方程有：②；④；⑤＝4．
故答案为：②④⑤．
3．解：A.分母中不含未知数，不是分式方程，故A符合题意；
B.是分式方程，故B不符合题意；
C.是分式方程，故C不符合题意；
D.是分式方程，故D不符合题意，
故选：A．
4．解：，
去分母，得2x+a＝﹣（x﹣2）．
去括号，得2x+a＝﹣x+2．
移项，得2x+x＝2﹣a．
合并同类项，得3x＝2﹣a．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的方程的解是正数，
∴且．
∴a＜2且a≠﹣4．
故选：C．
5．解：两边同时乘以3x（x﹣1）得：3x﹣3＝kx，
∴x＝﹣，
∵分式方程的解是正数，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
∵3x（x﹣3）≠0，
∴x≠0且x≠1．
∴k≠0．
∴k＜3且k≠0．
故选：B．
6．解：解不等式组，
由①得，
由②得x≤5，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有两个奇数解，
∴，
解得3＜m≤7，
解分式方程，
去分母，得my﹣4﹣2（y﹣2）﹣（3y﹣2）＝0，
解得，
∵分式方程有解，则分母不为零，
∴m≠4，
∴满足条件的整数m值为4，6，7，
∴所有满足条件的整数m的和是4+6+7＝17．
故选：D．
7．解：去分母得：m﹣3＝x+2，
解得：x＝m﹣5，
∵x＜0且x+2≠0，
∴m﹣5＜0且m﹣5+2≠0，
解得：m＜5且m≠3，
故选：D．
8．解：＝，
去分母，得1＝m（x+2）．
去括号，得1＝mx+2m．
移项，得mx＝1﹣2m．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的方程＝有解，
∴≠±2．
∴m≠且m≠0．
故选：C．
9．解：，
x＝x﹣3﹣3（x+3），
3x＝﹣12，
x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是原分式方程的解，
故选：D．
10．解：+＝3m，
去分母得，x﹣2m＝3m（x﹣2），
去括号得，x﹣2m＝3mx﹣6m，
移项得，x﹣3mx＝2m﹣6m，
合并同类项得，（1﹣3m）x＝﹣4m，
∵分式方程+＝3m无解，
∴1﹣3m＝0或x＝2，
∴m＝，
将x＝2代入（1﹣3m）x＝﹣4m，
解得m＝1，
综上，m＝1或，
故选：A．
二．解分式方程
11．解：去分母得：x﹣1﹣x2+1＝1，
整理得：x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴此方程无解，
则原分式方程无解．
12．解：去分母得：4+4（x+1）＝x（x+1），
整理得：x2﹣3x﹣8＝0，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝．
13．解：（1）＝，
＝，
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得4（x+1）＝2x+6，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无解；
（2）﹣＝1，
方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得2x（x﹣1）﹣x（x+2）＝（x+2）（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+2）（x﹣1）≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝．
14．解：（1）由题意知，a+b＝1，a﹣b＝2．
∴．
故答案为：．
（2）设2x＝m，3y＝n，则原方程组可化简为
解得
∴2x＝16，3y＝27．
∴x＝4，y＝3．
15．解：，
设＝y，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，
解得y1＝2，y2＝3，
当y1＝2时，＝2，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解；
当y2＝3时，＝3，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解；
∴原方程的解为：，，，．
16．解：，
x﹣a＝2（x﹣1），
x﹣a＝2x﹣2，
x＝2﹣a，
∵有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
∴2﹣a＝1，
∴a＝1．
17．解：∵该方程的最简公分母是x（x+1），
∴该方程的增根为x＝0或x＝﹣1，
方程两边同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，
当x＝0时，2m×0﹣（m+1）＝0+1，
解得m＝﹣2；
当x＝﹣1时，2m×（﹣1）﹣（m+1）＝﹣1+1，
m＝﹣，
∴实数m的值为﹣2或﹣．
18．解：两边都乘以x（x﹣1）（x+1），得：（k﹣1）x﹣（x+1）＝（x+1）（k﹣5），
∵方程有增根x＝﹣1，
∴代入整式方程，得：﹣（k﹣1）＝0，
解得：k＝1．
19．解：（1）当a＝3时，
原方程为：，
方程两边同时乘（x﹣1），得3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程，得x＝﹣2．
检验：将x＝﹣2代入x﹣1，得x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的根；
（2）方程两边同时乘（x﹣1），得ax+1+2＝x﹣1，
即（a﹣1）x＝﹣4，
若原方程有增根，
则x﹣1＝0，
即增根为x＝1，
将x＝1代入整式方程，得a﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
20．解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
三．分式方程的应用
21．解：设小林每分钟跳x下，那么小群每分钟跳（1+）x下．
根据题意得＝﹣．
故答案为：＝﹣．
22．解：设江水的流速为vkm/h，
根据题意得：＝．
故答案为＝．
23．解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故答案是：3（x﹣1）＝．
24．解：设九年级单独完成整个绿化工作需要x天，
由题意可知：七年级的工作效率为÷4＝，
根据题意可知：（+）×2＝，
∴解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的解，
故答案为：4
25．解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：﹣＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：骑车学生每小时行20千米．
故答案是：20．
26．解：设骑车学生的速度为xkm/h，
由题意得，﹣＝，
解得：x＝15．
经检验：x＝15是原方程的解．
答：骑车学生的速度为15km/h．
27．解：设货车原来的速度为x千米/时，则提速后的速度是1.5x千米/时．
由题意得：﹣＝0.5，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×80＝120，
答：货车提速后的速度为120千米/小时．
28．解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天．
由题意得：×20+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙两队全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，
由题意得：（+）y＝1，
解得：y＝48，
需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元），
∵192＜200，
∴由甲、乙两队全程共同完成更省钱．
29．解：（1）设原来规定修好这条公路需x个月．
根据题意，得4（+）+＝1，
解得：x＝12．
检验：当x＝12时，x（x+6）≠0，
经检验，x＝12是原方程的解，且满足题意．
答：规定修好路的时间为12个月；
（2）设甲工作了a个月，乙工作了b个月完成任务，施工费用为w元．
根据题意，得，
由①可得：b＝18﹣1.5a③，
代入②中：0＜18﹣1.5a+a≤15，
∴6≤a＜36，
∵b＞0，
∴18﹣1.5a＞0，
∴a＜12，
∴6≤a＜12，
又∵a，b均为整数，
∴a＝6，b＝9，W1＝4×6+9×2＝42（万元），
a＝8，b＝6，W2＝8×4+6×2＝44（万元），
a＝10，b＝3，W3＝10×4+3×2＝46（万元）．
∵W1＜W2＜W3，
∴工费最低时，甲工作了6个月，乙工作9个月．
30．解：（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品，
由题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
则x+2＝10，
答：甲车间每天生产10件A种产品？乙车间每天生产8件B种产品；
（2）设购进A种产品a件，则购进B种产品（800﹣a）件，
由题意得：×600+×400≤42000，
解得：a≤200，
答：购进A种产品至多200件．
31．解：设A型号口罩的单价为x元，则B型号口罩的单价为（x+0.3）元，
由题意得：＝，
解得：x＝0.9，
经检验：x＝0.9是原方程的根，且符合题意，
∴x+0.3＝1.2．
答：A、B两种型号口罩的单价分别为0.9元、1.2元．
32．解：（1）设试销时苹果价格为x元/千克，则，
经检验x＝2.5是方程的解；
（2）第一次购进水果千克，第二次购进水果3000千克，
获利为3400×4+600×4×0.5﹣（2500+6000）＝6300（元）．
33．解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，
根据题意：+30＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件．
（2）6400÷40＝160（元），160﹣30＝130（元），
∴130×（1+50%）×60+160×（1+50%）×40×+160×（1+50%）××40×﹣7800﹣6400＝4700（元）．
答：售完这批T恤衫商店共获利4700元．
34．解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元．
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，
依题意得：48m+40（80﹣m）≤3600，
解得：m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多可购买50件甲种商品．
35．解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝50+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设二十中学此次购买m个B品牌足球，则购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3260，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31．
答：二十中学此次最多可购买31个B品牌足球．
36．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，
根据题意得：+20×（+）＝1，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则1.5x＝1.5×40＝60，
答：甲工程队单独完成这项工程需要40天，乙工程队单独完成这项工程需要60天；
（2）设两工程队合做完成这项工程所需的天数为y天，
根据题意得：（+）y＝1，
解得：y＝24．
①甲单独完成需付工程款为40×1.8＝72（万元）；
②乙单独完成超过计划天数，不符合题意；
③甲、乙合作，甲做天，乙做50天，需付工程款1.8×+50×1＝62（万元）．
∵72＞62，
∴由甲、乙合作，甲做天，乙做50天最省钱，
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作，甲做天，乙做50天最省钱．
37．解：（1）设乙种水果的进价是x元/千克，则甲种水果的进价是（x+20）元/千克，
依题意得：200x+200（x+20）＝8000，
解得：x＝10，
∴x+20＝10+20＝30，
∴销售完后，该水果商共赚了（40﹣30）×200+（16﹣10）×200＝3200（元）．
答：甲种水果的进价是30元/千克，乙种水果的进价是10元/千克，销售完后，该水果商共赚了3200元钱．
（2）设甲种水果的售价为y元/千克，
依题意得：200y+16×200×（1﹣20%）﹣8000≥3200×90%，
解得：y≥41.6，
∴y的最小值为41.6．
答：甲种水果的售价最少应为41.6元．
38．解：（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，
根据题意，得：＝4×，
解得：x＝0.4，
经检验：x＝0.4是原分式方程的解，
答：甲空调每台的进价为0.4万元，则乙空调每台的进价为0.2万元；
（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，
根据题意，得：0.4m+0.2（40﹣m）≤11.5，
解得：m≤17.5，
又m≥14，
∴14≤m≤17.5，
则整数m的值可以是14，15，16，17，
所以商场共有四种购进方案：
①购进甲种空调14台，乙种空调26台；
②购进甲种空调15台，乙种空调25台；
③购进甲种空调16台，乙种空调24台；
④购进甲种空调17台，乙种空调23台．
39．解：（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+25）元，
依题意得：＝3×，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x+25＝15+25＝40．
答：A种奖品的单价为40元，B种奖品的单价为15元．
（2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品（100﹣m）件，
依题意得：，
解得：22.5≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以为23，24，25，
∴购买A，B两种奖品有3种方案．
40．解：（1）设原来每天生产健身器械x台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，
依题意得：+＝8，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产健身器械50台．
（2）设使用m辆大货车，使用n辆小货车，
∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，
∴50m+20n≥500，
∴n≥25﹣m．
又∵运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元，
∴，即，
解得：8≤m＜10．
又∵m为整数，
∴m可以为8，9．
当m＝8时，n≥25﹣m＝25﹣×8＝5；
当m＝9时，n≥25﹣m＝25﹣×9＝，
又∵n为整数，
∴n的最小值为3．
∴共有2种运输方案，
方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；
方案2：使用9辆大货车，3辆小货车．
方案1所需费用为1500×8+800×5＝16000（元），
方案2所需费用为1500×9+800×3＝15900（元）．
∵16000＞15900，
∴运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元．
知识点分类练习题（附答案）
一．分式方程的定义
1． 叫分式方程．
2．关于x的方程：①＝6；②；③；④；⑤＝4；⑥﹣x．分式方程有 （填序号）．
3．下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．a＜2 B．a＞2 C．a＜2且a≠﹣4 D．a＞2且a≠4
5．已知关于x的分式方程＝的解是正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
6．若关于x的不等式组有且只有两个奇数解，且关于y的分式方程有解，则所有满足条件的整数m的和是（ ）
A．7 B．10 C．18 D．17
7．已知关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是（ ）
A．m≤5 B．m≤5且m≠3 C．m＜5 D．m＜5且m≠3
8．若关于x的方程＝有解，则m应满足（ ）
A．m≠0 B．m≠ C．m≠0且m≠ D．m不存在
9．下列各项是分式方程的解的是（ ）
A．x＝﹣6 B．x＝3 C．无解 D．x＝﹣4
10．已知关于x的分式方程+＝3m无解，则m的值是（ ）
A．1或 B．1或3 C． D．1
二．解分式方程
11．解方程：﹣1＝．
12．解方程：．
13．解分式方程：
（1）；
（2）．
14．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元”．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设＝m，＝n．
原方程组可化为．
解得，即．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
（2）已知方程组，求x，y的值．
15．用换元法解方程：（）2﹣+6＝0
16．若关于x的分式方程有增根，求a的值．
17．若关于x的方程有增根，求实数m的值．
18．若分式方程有增根x＝﹣1，求k的值．
19．已知关于x的方程：．
（1）当a＝3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，直接写出a的值为 ．
20．已知关于x的分式方程+＝
（1）若方程的增根为x＝1，求m的值
（2）若方程有增根，求m的值
（3）若方程无解，求m的值．
三．分式方程的应用
21．在课外活动跳绳时，小林跳90下所需时间比小群跳160下所需时间少半分钟．已知小群每分钟跳的次数比小林每分钟所跳次数多倍，设小林每分钟跳x下，则可列关于x的方程为 ．
22．一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水流速为vkm/h，则可列方程为 ．
23．我国古代著作《四元玉鉴》中，记载了一道“买椽多少”问题，题目是：六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．其大意是：请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，每株椽的运费是3文．如果少买一株椽，那么所买的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设6210文能买x株椽，根据题意可列方程为 ．
24．假期，某校为了勤工俭学，要完成整个A小区的绿化工作．开始由七年级单独工作了4天，完成整个绿化工作的三分之一，这时九年级也参加工作，两个年级又共同工作了2天，才全部完成整个绿化工作，则由九年级单独完成整个绿化工作需要 天．
25．某班学生从学校出发前往科技馆参观，学校距离科技馆15km，一部分学生骑自行车先走，过了15min后，其余学生乘公交车出发，结果同时到达科技馆．已知公交车的速度是自行车速度的1.5倍，那么学生骑自行车的速度是 km/h．
26．某中学九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．
27．甲、乙两城市相距120千米，甲城市急需物资，乙城市紧急支援一货车物资，已知货车行驶速度是原来速度的1.5倍，从乙城市到甲城市的时间缩短了半小时，求货车提速后的速度．
28．某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算，甲工程队单独完成这项工程需要120天．若先由乙队单独做20天，余下的工程由甲、乙两队合做，36天可完成．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付1.5万元工程费，乙队施工一天，需付2.5万元工程费，若该工程计划在90天内完成，在不超过工程计划天数的前提下，该工程是由甲队或乙队单独完成省钱，还是由甲、乙两队全程共同完成省钱？说明理由．
29．甲、乙两工程队承包一项工程，如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超出期限6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则恰好如期完成．
（1）问原来规定修好这条公路需多长时间？
（2）现要求甲、乙两个工程队都参加这项工程，但由于受到施工场地条件限制，甲、乙两工程队不能同时施工．已知甲工程队每月的施工费用为4万元，乙工程队每月的施工费用为2万元．为了结算方便，要求：甲、乙的施工时间为整数个月，不超过15个月完成．当施工费用最低时，甲、乙各施工了多少个月？
30．利华机械厂为海天公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间生产的A种产品30件的天数与乙车间生产的B种产品24件天数相同．
（1）求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？
（2）海天公司每天付给甲车间600元的工时费，每天付给乙车间400元的工时费，现海天公司一次性购买A、B两种产品共800件，海天公司购买A、B两种产品付给甲、乙两车间的总工时费用不超过42000元．求购进A种产品至多多少件．
31．为了防止感染新冠病毒，小明家要购买A，B两种型号的口罩，每个A型号口罩比B型号口罩的单价少0.3元，且用45元购买的A型口罩与用60元购买的B型口罩数量相同，求两种口罩的单价．
32．黄商超市用2500元购进某种品牌苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨6000元资金购进该品牌苹果，但这次进货价比上次每千克少0.5元，购进苹果的数量是上次的3倍．
（1）试销时该品牌苹果的进货价是每千克多少元？
（2）如果超市按每千克4元的定价出售，当售出大部分后，余下600千克按五折出售完，那么超市在这两次苹果销售中共获利多少元？
33．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
（1）甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
（2）商店进价提高50%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？
34．某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
35．二十中学开学初在久昌体育购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）二十中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个．恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么二十中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
36．为改善农村交通条件，促进农业发展，某镇决定对一段公路进行改造，经调查得知，单独完成这项工程乙工程队比甲工程队多一半时间；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求两工程队单独完成这项工程分别需多少天？
（2）甲工程队施工一天，需付工程款1.8万元，乙工程队施工一天需付工程款1万元，若该工程计划在50天内完成，在不超过计划天数的前提下，怎样施工最省钱？
37．某水果商从批发市场用8000元购进了甲、乙两种时令水果各200千克，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克多20元，甲种水果的售价为每千克40元，乙种水果的售价为每千克16元．
（1）甲种水果和乙种水果的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了甲、乙两种水果各200千克，但在运输过程中乙种水果损耗了20%．若乙种水果的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，甲种水果的售价最少应为多少？
38．某商场购进甲、乙两种空调共40台，已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？
39．喜迎伟大的中国共产党成立100周年，雅礼实验中学举行党史知识竞赛．为鼓励学生，学校决定购买A，B两种奖品，已知A种比B种每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A种商品，其余资金购买B种商品，且购买B种的数量是A种的3倍．
（1）求A，B两种奖品的单价；
（2）购买当日，正逢端午节搞促销，所有商品均按原价八折销售，学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A种奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件；问购买A，B两种奖品有几种方案？
40．某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．
（1）原来每天生产健身器械多少台？
（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？
参考答案
一．分式方程的定义
1．解：分母中含未知数的方程叫做分式方程．
故答案为：分母中含有未知数的方程．
2．解：分式方程有：②；④；⑤＝4．
故答案为：②④⑤．
3．解：A.分母中不含未知数，不是分式方程，故A符合题意；
B.是分式方程，故B不符合题意；
C.是分式方程，故C不符合题意；
D.是分式方程，故D不符合题意，
故选：A．
4．解：，
去分母，得2x+a＝﹣（x﹣2）．
去括号，得2x+a＝﹣x+2．
移项，得2x+x＝2﹣a．
合并同类项，得3x＝2﹣a．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的方程的解是正数，
∴且．
∴a＜2且a≠﹣4．
故选：C．
5．解：两边同时乘以3x（x﹣1）得：3x﹣3＝kx，
∴x＝﹣，
∵分式方程的解是正数，
∴k﹣3＜0，
∴k＜3．
∵3x（x﹣3）≠0，
∴x≠0且x≠1．
∴k≠0．
∴k＜3且k≠0．
故选：B．
6．解：解不等式组，
由①得，
由②得x≤5，
∴不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有两个奇数解，
∴，
解得3＜m≤7，
解分式方程，
去分母，得my﹣4﹣2（y﹣2）﹣（3y﹣2）＝0，
解得，
∵分式方程有解，则分母不为零，
∴m≠4，
∴满足条件的整数m值为4，6，7，
∴所有满足条件的整数m的和是4+6+7＝17．
故选：D．
7．解：去分母得：m﹣3＝x+2，
解得：x＝m﹣5，
∵x＜0且x+2≠0，
∴m﹣5＜0且m﹣5+2≠0，
解得：m＜5且m≠3，
故选：D．
8．解：＝，
去分母，得1＝m（x+2）．
去括号，得1＝mx+2m．
移项，得mx＝1﹣2m．
x的系数化为1，得x＝．
∵关于x的方程＝有解，
∴≠±2．
∴m≠且m≠0．
故选：C．
9．解：，
x＝x﹣3﹣3（x+3），
3x＝﹣12，
x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是原分式方程的解，
故选：D．
10．解：+＝3m，
去分母得，x﹣2m＝3m（x﹣2），
去括号得，x﹣2m＝3mx﹣6m，
移项得，x﹣3mx＝2m﹣6m，
合并同类项得，（1﹣3m）x＝﹣4m，
∵分式方程+＝3m无解，
∴1﹣3m＝0或x＝2，
∴m＝，
将x＝2代入（1﹣3m）x＝﹣4m，
解得m＝1，
综上，m＝1或，
故选：A．
二．解分式方程
11．解：去分母得：x﹣1﹣x2+1＝1，
整理得：x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，
∴此方程无解，
则原分式方程无解．
12．解：去分母得：4+4（x+1）＝x（x+1），
整理得：x2﹣3x﹣8＝0，
解得：x＝，
检验：把x＝代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝．
13．解：（1）＝，
＝，
方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得4（x+1）＝2x+6，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1是增根，
即原方程无解；
（2）﹣＝1，
方程两边都乘（x+2）（x﹣1），得2x（x﹣1）﹣x（x+2）＝（x+2）（x﹣1），
解得：x＝，
检验：当x＝时，（x+2）（x﹣1）≠0，
所以x＝是原方程的解，
即原方程的解是x＝．
14．解：（1）由题意知，a+b＝1，a﹣b＝2．
∴．
故答案为：．
（2）设2x＝m，3y＝n，则原方程组可化简为
解得
∴2x＝16，3y＝27．
∴x＝4，y＝3．
15．解：，
设＝y，则原方程可化为y2﹣5y+6＝0，
解得y1＝2，y2＝3，
当y1＝2时，＝2，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解；
当y2＝3时，＝3，
解得x＝，
经检验，x＝是原方程的解；
∴原方程的解为：，，，．
16．解：，
x﹣a＝2（x﹣1），
x﹣a＝2x﹣2，
x＝2﹣a，
∵有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
∴2﹣a＝1，
∴a＝1．
17．解：∵该方程的最简公分母是x（x+1），
∴该方程的增根为x＝0或x＝﹣1，
方程两边同乘以x（x+1）得，2mx﹣（m+1）＝x+1，
当x＝0时，2m×0﹣（m+1）＝0+1，
解得m＝﹣2；
当x＝﹣1时，2m×（﹣1）﹣（m+1）＝﹣1+1，
m＝﹣，
∴实数m的值为﹣2或﹣．
18．解：两边都乘以x（x﹣1）（x+1），得：（k﹣1）x﹣（x+1）＝（x+1）（k﹣5），
∵方程有增根x＝﹣1，
∴代入整式方程，得：﹣（k﹣1）＝0，
解得：k＝1．
19．解：（1）当a＝3时，
原方程为：，
方程两边同时乘（x﹣1），得3x+1+2＝x﹣1，
解这个整式方程，得x＝﹣2．
检验：将x＝﹣2代入x﹣1，得x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，
∴x＝﹣2是原分式方程的根；
（2）方程两边同时乘（x﹣1），得ax+1+2＝x﹣1，
即（a﹣1）x＝﹣4，
若原方程有增根，
则x﹣1＝0，
即增根为x＝1，
将x＝1代入整式方程，得a﹣1＝﹣4，
解得a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
20．解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），
去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，
移项合并得：（m+1）x＝﹣5，
（1）∵x＝1是分式方程的增根，
∴1+m＝﹣5，
解得：m＝﹣6；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝1，
当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；
（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；
当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，
综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．
三．分式方程的应用
21．解：设小林每分钟跳x下，那么小群每分钟跳（1+）x下．
根据题意得＝﹣．
故答案为：＝﹣．
22．解：设江水的流速为vkm/h，
根据题意得：＝．
故答案为＝．
23．解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故答案是：3（x﹣1）＝．
24．解：设九年级单独完成整个绿化工作需要x天，
由题意可知：七年级的工作效率为÷4＝，
根据题意可知：（+）×2＝，
∴解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的解，
故答案为：4
25．解：设骑车学生每小时走x千米，
据题意得：﹣＝，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
答：骑车学生每小时行20千米．
故答案是：20．
26．解：设骑车学生的速度为xkm/h，
由题意得，﹣＝，
解得：x＝15．
经检验：x＝15是原方程的解．
答：骑车学生的速度为15km/h．
27．解：设货车原来的速度为x千米/时，则提速后的速度是1.5x千米/时．
由题意得：﹣＝0.5，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×80＝120，
答：货车提速后的速度为120千米/小时．
28．解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天．
由题意得：×20+（+）×36＝1，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙队单独完成这项工程需要80天．
（2）由甲、乙两队全程共同完成更省钱．理由如下：
由乙队独做需费用：2.5×80＝200（万元）；
甲队独做工期超过90天，不符合要求；
设甲、乙两队合作，完成这项工程需y天，
由题意得：（+）y＝1，
解得：y＝48，
需要施工费用 为（1.5+2.5）×48＝192（万元），
∵192＜200，
∴由甲、乙两队全程共同完成更省钱．
29．解：（1）设原来规定修好这条公路需x个月．
根据题意，得4（+）+＝1，
解得：x＝12．
检验：当x＝12时，x（x+6）≠0，
经检验，x＝12是原方程的解，且满足题意．
答：规定修好路的时间为12个月；
（2）设甲工作了a个月，乙工作了b个月完成任务，施工费用为w元．
根据题意，得，
由①可得：b＝18﹣1.5a③，
代入②中：0＜18﹣1.5a+a≤15，
∴6≤a＜36，
∵b＞0，
∴18﹣1.5a＞0，
∴a＜12，
∴6≤a＜12，
又∵a，b均为整数，
∴a＝6，b＝9，W1＝4×6+9×2＝42（万元），
a＝8，b＝6，W2＝8×4+6×2＝44（万元），
a＝10，b＝3，W3＝10×4+3×2＝46（万元）．
∵W1＜W2＜W3，
∴工费最低时，甲工作了6个月，乙工作9个月．
30．解：（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品，
由题意得：＝，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，且符合题意，
则x+2＝10，
答：甲车间每天生产10件A种产品？乙车间每天生产8件B种产品；
（2）设购进A种产品a件，则购进B种产品（800﹣a）件，
由题意得：×600+×400≤42000，
解得：a≤200，
答：购进A种产品至多200件．
31．解：设A型号口罩的单价为x元，则B型号口罩的单价为（x+0.3）元，
由题意得：＝，
解得：x＝0.9，
经检验：x＝0.9是原方程的根，且符合题意，
∴x+0.3＝1.2．
答：A、B两种型号口罩的单价分别为0.9元、1.2元．
32．解：（1）设试销时苹果价格为x元/千克，则，
经检验x＝2.5是方程的解；
（2）第一次购进水果千克，第二次购进水果3000千克，
获利为3400×4+600×4×0.5﹣（2500+6000）＝6300（元）．
33．解：（1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种款型的T恤衫购进1.5x件，
根据题意：+30＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝60．
答：甲种款型的T恤衫购进60件，乙种款型的T恤衫购进40件．
（2）6400÷40＝160（元），160﹣30＝130（元），
∴130×（1+50%）×60+160×（1+50%）×40×+160×（1+50%）××40×﹣7800﹣6400＝4700（元）．
答：售完这批T恤衫商店共获利4700元．
34．解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，
依题意得：＝，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元．
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，
依题意得：48m+40（80﹣m）≤3600，
解得：m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多可购买50件甲种商品．
35．解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝50+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设二十中学此次购买m个B品牌足球，则购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3260，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31．
答：二十中学此次最多可购买31个B品牌足球．
36．解：（1）设甲工程队单独完成这项工程需要x天，则乙工程队单独完成这项工程需要1.5x天，
根据题意得：+20×（+）＝1，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，
则1.5x＝1.5×40＝60，
答：甲工程队单独完成这项工程需要40天，乙工程队单独完成这项工程需要60天；
（2）设两工程队合做完成这项工程所需的天数为y天，
根据题意得：（+）y＝1，
解得：y＝24．
①甲单独完成需付工程款为40×1.8＝72（万元）；
②乙单独完成超过计划天数，不符合题意；
③甲、乙合作，甲做天，乙做50天，需付工程款1.8×+50×1＝62（万元）．
∵72＞62，
∴由甲、乙合作，甲做天，乙做50天最省钱，
答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作，甲做天，乙做50天最省钱．
37．解：（1）设乙种水果的进价是x元/千克，则甲种水果的进价是（x+20）元/千克，
依题意得：200x+200（x+20）＝8000，
解得：x＝10，
∴x+20＝10+20＝30，
∴销售完后，该水果商共赚了（40﹣30）×200+（16﹣10）×200＝3200（元）．
答：甲种水果的进价是30元/千克，乙种水果的进价是10元/千克，销售完后，该水果商共赚了3200元钱．
（2）设甲种水果的售价为y元/千克，
依题意得：200y+16×200×（1﹣20%）﹣8000≥3200×90%，
解得：y≥41.6，
∴y的最小值为41.6．
答：甲种水果的售价最少应为41.6元．
38．解：（1）设甲空调每台的进价为x万元，则乙空调每台的进价为（x﹣0.2）万元，
根据题意，得：＝4×，
解得：x＝0.4，
经检验：x＝0.4是原分式方程的解，
答：甲空调每台的进价为0.4万元，则乙空调每台的进价为0.2万元；
（2）设购进甲种空调m台，则购进乙种空调（40﹣m）台，
根据题意，得：0.4m+0.2（40﹣m）≤11.5，
解得：m≤17.5，
又m≥14，
∴14≤m≤17.5，
则整数m的值可以是14，15，16，17，
所以商场共有四种购进方案：
①购进甲种空调14台，乙种空调26台；
②购进甲种空调15台，乙种空调25台；
③购进甲种空调16台，乙种空调24台；
④购进甲种空调17台，乙种空调23台．
39．解：（1）设B种奖品的单价为x元，则A种奖品的单价为（x+25）元，
依题意得：＝3×，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴x+25＝15+25＝40．
答：A种奖品的单价为40元，B种奖品的单价为15元．
（2）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品（100﹣m）件，
依题意得：，
解得：22.5≤m≤25．
又∵m为整数，
∴m可以为23，24，25，
∴购买A，B两种奖品有3种方案．
40．解：（1）设原来每天生产健身器械x台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x台，
依题意得：+＝8，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意．
答：原来每天生产健身器械50台．
（2）设使用m辆大货车，使用n辆小货车，
∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输，
∴50m+20n≥500，
∴n≥25﹣m．
又∵运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元，
∴，即，
解得：8≤m＜10．
又∵m为整数，
∴m可以为8，9．
当m＝8时，n≥25﹣m＝25﹣×8＝5；
当m＝9时，n≥25﹣m＝25﹣×9＝，
又∵n为整数，
∴n的最小值为3．
∴共有2种运输方案，
方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；
方案2：使用9辆大货车，3辆小货车．
方案1所需费用为1500×8+800×5＝16000（元），
方案2所需费用为1500×9+800×3＝15900（元）．
∵16000＞15900，
∴运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元．