24.4 直线与圆的位置关系
第1课时
一、教学目标
1.理解直线和圆相交、相切、相离的三种位置关系，并了解切线的概念；
2.通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类讨论、数形结合的数学思想；
3.经历探索“圆心到直线的距离、直线和圆的位置关系的内在联系”的过程，培养学生观察、分析、概括的能力；
4.感受数学活动充满探索和创造，体会数学的严谨性以及数学结论的正确性.
二、教学重难点
重点：理解直线和圆的三种位置关系
难点：理解圆心到直线的距离与直线和圆的位置关系的内在联系
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【观察思考】 教师活动：先让学生朗读下面的内容，并想象文字中描述的情境，教师再根据上面的情境描述给出图片，让学生说出其中的几何图形.最后通过播放视频直观感受直线和圆的几种位置关系. 太阳要从天边升起来了，便不转眼地望着那里.果然过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸，红是真红，却没有亮光.这个太阳好像负着重荷似地一步一步，慢慢地努力上升，到了最后，终于冲破了云霞，完全跳出了海面，颜色红得非常可爱. ——摘自巴金《海上日出》 问题：你能想象出上面的的情境吗？ 问题：从海上日出这种自然现象中你能抽象出哪些基本的几何图形？ 直线、圆 观察太阳和地平线的位置关系. 朗读，并想象文字描述的情境 观察并说出其中的几何图形 认真观看视频 通过熟悉的文字描述很自然的导入新课，激发学生的学习兴趣. 通过观察让学生抽象出基本几何图形，感受数学与实际生活的联系，并培养学生观察和直观想象的能力. 通过观看视频，找出太阳和地平线的位置关系，激发学生的求知欲，同时为本节课要学习的内容作铺垫.
环节二 探究 新知 【观察】 问题：如果把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线有几种位置关系？ 太阳与地平线有三种位置关系 追问：观察⊙O与直线l的公共点个数，有几种情况？ 两个公共点 一个公共点 没有公共点 【归纳】 如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的割线. 如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点. 如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离. 思考：能否根据定义来判断直线和圆的位置关系？ 【做一做】 判断正误： 1.直线与圆最多有两个公共点.( ) 2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.( ) 3.若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.( ) 4.若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.( ) 5.直线a和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.( ) 答案：1.√；2.×；3.×；4.×；5.×； 【操作】 在纸上画一个圆，用直尺在圆上移动，观察一下，除了公共点的个数发生改变外，还有什么量在改变？ 通过观察得出：圆心到直线的距离在改变 思考：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 在直线与圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系呢？ 反过来，也成立吗？ 【归纳】 直线与圆的位置关系 说出太阳和地平线的三种位置关系 说出直线与圆的公共点个数 熟悉相关概念 思考直线和圆的位置关系与交点个数的内在联系 自主完成练习 按要求动手操作 通过太阳和地平线的位置关系得出直线和圆的三种位置关系，进而找出对应的直线与圆的公共点个数，培养学生的观察能力和抽象概括能力. 通过前面的观察归纳出相关概念，让学生熟练掌握直线和圆的位置关系. 师生共同总结出直线和圆的交点个数与直线和圆的位置关系之间的内在联系，进一步培养学生分析、概括的能力. 通过做一做进一步熟悉相关概念，并检验新知识的掌握及运用情况，培养应用意识. 让学生通过操作观察出圆心到直线的距离与直线和圆的位置关系的联系，培养动手操作能力和观察分析能力. 师生共同归纳出本节课的核心内容，总结出交点个数、位置关系、数量关系之间的内在联系，培养学生的探索和归纳能力，并渗透数形结合的数学思想.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】如图，Rt△ABC的斜边AB=10 cm， ∠A=30°. (1) 以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？ (2) 以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？ 小组合作： 1.独立思考，完成例题； 2.两人一组，交流思路，完善过程. 解： (1)过点C作边AB上的高CD. ∵ ∠A=30°，AB=10 cm， ∴ BC=AB=10=5 (cm). 在Rt△BCD中，有 CD= BCsin B=5sin 60°=(cm). 当半径为 cm时，AB与⊙C相切. (2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d= cm. 当r=4 cm时，d＞r，⊙C与AB相离； 当r=5 cm时，d＜r，⊙C与AB相交. 明确本题的做法 此例题考查了直线和圆的位置关系，让学生进一步熟悉本节课所学的内容，并掌握运用新知识解决问题的方法，并渗透分类讨论、数形结合的数学思想.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.⊙O的圆心到直线l的距离为5 cm，直线l与⊙O有唯一公共点，则⊙O的半径是 厘米. 2.直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离为6，则有( ) A.r＜6 B.r＞6 C.r=6 D.r≥6 3.已知⊙O的半径为5 cm， 圆心O与直线AB的距离为d，根据条件填写d的范围: (1)若AB和⊙O相离, 则 ； (2)若AB和⊙O相切, 则 ； (3)若AB和⊙O相交,则 . 4．在△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，以点C为圆心，下列r为半径的圆与AB有怎样的位置关系，为什么？ (1) r=2； (2) r=2.4； (3) r=2.8. 答案：1. 5 2.B 3. (1) d＞5 cm； (2) d=5 cm； (3) 0 cm≤d＜5 cm 4. 解： (1)过点C作边AB上的高CD. 在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4， ∴c=， 根据，得：CD=2.4. (1) 当r=2时，2.4＞2，直线与圆相离； (2) 当r=2.4时，直线与圆相切； (3) 当r=2.8时，2.4＜2.8，直线与圆相交. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第39页 习题24.4 第1题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共23张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时
学习目标
1. 理解直线和圆相交、相切、相离的三种位置关系，并了解切线的概念；
2.通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类讨论、数形结合的数学思想；
3.经历探索“圆心到直线的距离、直线和圆的位置关系的内在联系”的过程，培养学生观察、分析、概括的能力；
4.感受数学活动充满探索和创造，体会数学的严谨性以及数学结论的正确性.
直线与圆的位置关系
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
太阳要从天边升起来了，便不转眼地望着那里.果然过了一会儿，在那个地方出现了太阳的小半边脸，红是真红，却没有亮光.这个太阳好像负着重荷似地一步一步，慢慢地努力上升，到了最后，终于冲破了云霞，完全跳出了海面，颜色红得非常可爱.
——摘自巴金《海上日出》
你能想象出上面的情境吗？
观察思考
从海上日出这种自然现象中你能抽象出哪些基本的几何图形？
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察太阳和地平线的位置关系.
观察思考
观察
如果把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线有哪几种位置关系？
三种位置关系
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察⊙O与直线l的公共点个数，有几种情况？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
有2个公共点
有1个公共点
无公共点
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的割线.
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离.
割线
切线
切点
归纳
能否根据定义来判断直线和圆的位置关系？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
有2个公共点
相交
有1个公共点
无公共点
相切
相离
判断正误：
1.直线与圆最多有两个公共点.( )
2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.( )
3.若A是⊙O上一点，则直线AB与⊙O相切.( )
4.若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交或相离.( )
5.直线a和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.( )
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
在纸上画一个圆，用直尺在圆上移动，观察一下，除了公共点的个数发生改变外，还有什么量在改变？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
操作
o
∟
∟
在纸上画一个圆，用直尺在圆上移动，观察一下，除了公共点的个数发生改变外，还有什么量在改变？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
相交
o
o
o
相切
相离
∟
圆心到直线的距离在改变.
思考
∟
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 在直线与圆的不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系呢？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
∟
相交
∟
o
o
d < r
d = r
d > r
相切
相离
反过来，也成立吗？
d
d
d
r
r
r
o
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
有2个公共点
直线与圆相交
d有1个公共点
无公共点
直线与圆相切
直线与圆相离
d=r
d>r
交点个数
位置关系
数量关系
数形结合
直线与圆的位置关系
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
【例】如图，Rt△ABC的斜边AB=10 cm，∠A=30°.
(1) 以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？
(2) 以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
创设情境
小组合作
1.独立思考，完成例题；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
A
B
C
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
【例】如图，Rt△ABC的斜边AB=10 cm，∠A=30°.
(1) 以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？
(2) 以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
创设情境
A
B
C
提示
求出圆心C到斜边AB的距离d；
比较距离d与半径r的大小.
1
2
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
【例】如图，Rt△ABC的斜边AB=10 cm，∠A=30°.
(1) 以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？
(2) 以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
创设情境
A
B
C
解： (1)过点C作边AB上的高CD.
∵ ∠A=30°， AB=10 cm，
∴ BC= AB= 10=5 (cm).
在Rt△BCD中，有
CD= BCsin B=5sin 60°= (cm).
当半径为 cm时，AB与⊙C相切.
D
30°
60°
5
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
【例】如图，Rt△ABC的斜边AB=10 cm，∠A=30°.
(1) 以点C为圆心作圆，当半径为多少时，AB与⊙C相切？
(2) 以点C为圆心、半径r分别为4 cm和5 cm作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？
创设情境
A
B
C
当r=4 cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r=5 cm时，d＜r，⊙C与AB相交.
D
解： (2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d= cm.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.⊙O的圆心到直线l的距离为5 cm，直线l与⊙O有唯一公共点，则⊙O的半径是 厘米.
2.直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离为6，则有( )
A.r＜6 B.r＞6 C.r=6 D.r≥6
B
5
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
3.已知⊙O的半径为5 cm， 圆心O与直线AB的距离为d，根据条件填写d的范围:
(1)若AB和⊙O相离, 则 ;
(2)若AB和⊙O相切, 则 ;
(3)若AB和⊙O相交,则 .
d ＞ 5 cm
d = 5 cm
d ＜ 5 cm
0 cm≤
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
4．在△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，以点C为圆心，
下列r为半径的圆与AB有怎样的位置关系，为什么？
(1) r=2； (2) r=2.4； (3) r=2.8.
A
B
C
D
解：过点C作边AB上的高CD.
在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3，b=4，
∴c= ，
根据 ，得：CD=2.4.
(1) 当r=2时，2.4＞2，直线与圆相离；
(2) 当r=2.4时，直线与圆相切；
(3) 当r=2.8时，2.4＜2.8，直线与圆相交.
a=3
b=4
相关概念：
直线与圆的位置关系
巩固新知
课堂小结
直线与圆的位置关系的判断：
如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相交.
如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相切.
如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相离.
有2个公共点
直线与圆相交
d有1个公共点
直线与圆相切
d=r
无公共点
直线与圆相离
d>r
探究新知
应用新知
创设情境
布置作业
布置作业
教科书第39页
习题24.4
第1题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见24.4 直线与圆的位置关系
第2课时
一、教学目标
1.理解并掌握圆的切线的性质定理和判定定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题；
2.通过探究切线的性质定理和判定定理的过程，进一步领会“数形结合”的数学思想；
3.解决与圆的切线有关的问题时，学会常用的添加辅助线的方法，培养学生运用已有知识解决数学问题的能力；
4.体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.
二、教学重难点
重点：探索圆的切线的性质定理和判定定理，并能运用它们解决相关的计算或证明问题.
难点：明确解决与圆的切线有关的问题时常用的添加辅助线的方法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【复习回顾】 教师活动：教师带领学生回顾直线和圆的几种位置关系，重点强调本节课要讲解的是直线和圆相切的问题.然后回顾切线的定义，并追问切线有哪些性质呢？引出本节课要讲解的内容. 问题：你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？ 问题：切线的定义是什么？ 直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点. 追问：切线又有什么性质呢？ 回顾旧知 通过回顾旧知帮助学生复习直线和圆的位置关系，以及切线的定义，同时引出下面要学习的切线的性质.
环节二 探究 新知 【思考】 如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l有什么位置关系呢？ 解：OA⊥l．证明如下： 在直线l上任取一个不同于点A的点P， 连接OP， 因为点P在⊙O外， 所以OP＞OA. 这就是说，OA是点O到直线l上任一点的 连线中最短的，故OA⊥l． 小结：圆的切线垂直于经过切点的半径. 【归纳】 切线性质定理 文字语言：圆的切线垂直于经过切点的半径. 符号语言：∵直线l 是⊙O的切线， 且A是切点， ∴ l⊥OA. 【思考】 如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP，则直线l即为所作. 追问：为什么直线l即为所作呢？ 分析：由图可知，直线l与⊙O有一个公共 点P，若取直线l上除点P之外任一点Q， 连接OQ ，则OQ＞OP(斜线大于垂线)， 所以点Q在圆外.因此，直线l与⊙O只有 一个公共点，故直线l为⊙O的切线. 小结：由垂线的唯一性可知，过点P作OP的垂线有且只有一条.所以，过圆上的点作已知圆的切线有且只有一条. 追问：如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ (画出切线即可) 过圆外一点作已知圆的切线有两条. 【归纳】 切线判定定理 文字语言：经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 符号语言：∵OA是⊙O的半径， 且l⊥OA于A， ∴ l是⊙O的切线. 【思考】 这个定理中包含了哪些要素？ ①经过半径的外端 ②垂直于这条半径 两个条件缺一不可 【归纳】 圆的切线的判定方法 ①定义法：直线和圆只有一个公共点. ②数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r. ③判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【做一做】 下列各直线是不是圆的切线？如果不是， 请说明为什么？ (1)不是，因为没有与半径垂直 (2)(3)不是，因为没有经过半径的外端点 【延伸】 切线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？ 联系：交换切线的性质定理的条件和结论，可得到切线的判定定理. 区别：切线的性质定理在已知相切而要得出其它结论时使用；切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用. 认真思考并回答问题 熟悉切线性质定理 认真思考并作出圆的切线 熟悉切线的作法 熟悉过圆外一点如何作切线 熟悉切线的判定定理及两个要素 熟悉切线的三种判定方法 独立思考并抢答 熟悉切线的性质定理和判定定理的区别与联系 通过分组探究的形式，让学生去证明过切点的半径与切线的位置关系，体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性. 通过归纳让学生明确切线的性质定理，同时熟悉文字语言、图形语言和符号语言的相互转化. 通过“过圆上一点作圆的切线”让学生根据切线的性质定理来思考切线的作法，同时为后面推出切线的判定定理作铺垫. 通过追问进一步明确切线的作法，以及过圆上一点作已知圆的切线有且只有一条. 通过“过圆外一点作切线”，进一步巩固切线的作法，同时为后面要学习的内容作准备. 通过归纳让学生明确切线的判定定理，同时熟悉文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.并强调判定定理中两个条件缺一不可. 根据前面的学习、探究总结出圆的切线的判定方法，体会前后知识的延续性和关联性. 通过练习进一步巩固切线的判定定理.以抢答的形式提高学生的学习积极性. 让学生明确切线的性质定理和判定定理之间的联系和区别.感受数学的严谨性.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC ． 求证：AC是⊙O的切线. 证明：∵ AB=AC，∠ABC=45°， ∴ ∠ACB=∠ABC=45°. ∴ ∠BAC=180°∠ABC∠ACB=90°. ∵ AB是⊙O的直径， ∴ AC是⊙O的切线. 明确本题的做法 通过例题让学生熟悉利用切线的判定定理解决相关证明题的过程，培养应用意识.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.如图，AB与⊙O相切于点C， OA=OB， ⊙O的直径为8 cm，AB=6 cm，求OA的长. 2.已知：如图，直线AB过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 3.已知：如图，点P在∠BAC的平分线上，PD⊥AB，垂足为D. 求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与 ∠BAC两边相切. 答案： 1.解： 连接OC. ∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ OC⊥AB. 又∵ OA=OB ，AB=6 cm， ∴ AC=CB=3 cm. 又∵ ⊙O的直径为8 cm，即OC=4 cm， ∴ 在Rt△ACO中，OA==5 (cm). 2. 证明：连接OC. ∵ OA=OB， CA=CB， ∴ OC⊥AB. 又∵ 点C在⊙O上， ∴ AB是⊙O的切线. 3. 证明：过点P作PE⊥AC，垂足为E. ∵ 点P在∠BAC的平分线上，且PD⊥AB， ∴ PD=PE，即PD、PE为⊙P的半径. ∴以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.同时学会常用的添加辅助线的方法.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书 第37页 练习第6题 第40页 习题24.4 第6(1)题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共22张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第2课时
学习目标
1.理解并掌握圆的切线的性质定理和判定定理，并能运用它们解决与圆的切线有关的计算或证明问题；
2.通过探究切线的性质定理和判定定理的过程，进一步领会“数形结合”的数学思想；
3.解决与圆的切线有关的问题时，学会常用的添加辅助线的方法，培养学生运用已有知识解决数学问题的能力；
4.体验几何学习中“说理”的无穷乐趣，感受数学思维的严谨性和数学结论的确定性.
切线的性质与判定
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你还记得直线和圆有哪几种位置关系吗？
图形
公共点个数
2个
1个
0个
位置关系
相交
相切
相离
圆心到直线的距离d与半径r的关系
d＜r
d=r
d＞r
复习回顾
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
切线的定义是什么？
复习回顾
直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
切线
切点
切线又有什么性质呢？
如图，在⊙O中，如果直线l是⊙O的切线，切点为 A，那么半径OA与直线l有什么位置关系呢？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
O
A
l
解： OA⊥l．证明如下：
在直线l上任取一个不同于点A的点P，
连接OP，
因为点P在⊙O外，
所以OP＞OA.
这就是说，OA是点O到直线l上任一点的
连线中最短的，故OA⊥l．
P
圆的切线垂直于经过切点的半径.
垂线段最短
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
文字语言
符号语言
圆的切线垂直于经过切点的半径.
∵直线l 是⊙O的切线，
且A是切点，
∴ l⊥OA.
切线性质定理
如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
o
P
l
作法：
(1)连接OP；
(2)过点P作直线l⊥OP，
则直线l即为所作.
为什么直线l即为所作呢？
作直线垂直于经过切点的半径
如图，经过圆上一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
o
P
l
分析：
由图可知，直线l与⊙O有一个公共
点P，若取直线l上除点P之外任一点Q，
连接OQ ，则OQ＞OP(斜线大于垂线)，
所以点Q在圆外.因此，直线l与⊙O只有
一个公共点，故直线l为⊙O的切线.
为什么直线l即为所作呢？
Q
由垂线的唯一性可知，过点P作OP的垂线有且只有一条.
过圆上的点作已知圆的切线有且只有一条.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
如图，经过圆外一点P，作直线与已知圆相切，如何作？能够作几条？ (画出切线即可)
O.
P
B
A
过圆外一点作已知圆的切线有两条.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
文字语言
符号语言
经过 并
且 的
直线是圆的切线.
∵OA是⊙O的半径，
且l⊥OA于A，
∴ l是⊙O的切线.
半径外端点
垂直于这条半径
切线判定定理
归纳
这个定理中包含了哪些要素？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线判定定理
1
2
两个条件缺一不可.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
圆的切线的判定方法
∟
o
d
r
1
定义法：直线和圆只有一个公共点.
2
数量关系法：圆心到直线的距离等于半径，即d=r.
3
判定定理：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
做一做
O
A
O
A
B
A
O
(1)
(2)
(3)
没有与半径垂直
没有经过半径的外端点
不是
不是
不是
经过半径外端点
1
2
垂直于这条半径
缺一不可
延伸
切线的性质定理和判定定理有什么区别和联系？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
联系
交换切线的性质定理的条件和结论，可得到切线的判定定理.
区别
切线的判定定理在未知相切要证明相切时使用.
切线的性质定理在已知相切而要得出其它结论时使用；
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
【例】如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC ．
求证： AC是⊙O的切线.
创设情境
O
A
B
C
分析
经过半径外端点
1
2
垂直于这条半径
圆的切线必须满足两个条件：
只需证∠BAC=90°即可
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
【例】如图，∠ABC=45°，AB是⊙O的直径，AB=AC ．
求证： AC是⊙O的切线.
创设情境
证明：∵ AB=AC，∠ABC=45°，
∴ ∠ACB=∠ABC=45°.
∴ ∠BAC=180° ∠ABC ∠ACB=90°.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ AC是⊙O的切线.
O
A
B
C
45°
45°
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.如图，AB与⊙O相切于点C， OA=OB，⊙O的直径为8 cm，
AB=6 cm，求OA的长.
O
A
B
C
解：连接OC.
∵ AB与⊙O相切于点C，
∴ OC⊥AB.
又∵ OA=OB ，AB=6 cm，
∴ AC=CB=3 cm.
又∵ ⊙O的直径为8 cm，即OC=4 cm，
∴ 在Rt△ACO中，OA= =5 (cm).
见切线连半径
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2.已知：如图，直线AB过⊙O上的点C， 且OA=OB， CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线.
O
A
B
C
证明：连接OC，
∵ OA=OB， CA=CB，
∴ OC⊥AB.
又∵ 点C在⊙O上，
∴ AB是⊙O的切线.
已知公共点，连半径，证垂直
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
3.已知：如图，点P在∠BAC的平分线上， PD⊥AB，垂足为D.
求证：以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切.
证明：过点P作PE⊥AC，垂足为E.
∵ 点P在∠BAC的平分线上，
且PD⊥AB，
∴ PD=PE，
即PD、PE为⊙P的半径.
∴以点P为圆心、PD为半径的圆与∠BAC两边相切.
不知公共点，作垂直，证半径
P
D
A
B
C
E
切线性质定理：
切线的性质与判定
巩固新知
课堂小结
切线判定定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
探究新知
应用新知
创设情境
布置作业
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1
2
缺一不可
布置作业
教科书
第37页 练习第6题
第40页 习题24.4 第6(1)题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见24.4 直线与圆的位置关系
第3课时
一、教学目标
1.理解切线长的定义及切线长定理；
2.学会运用切线长定理进行计算与证明；
3.在运用切线长定理解题的过程中渗透转化、分类讨论的数学思想；
4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲.
二、教学重难点
重点：会运用切线长定理进行简单的计算与证明
难点：切线长定理的推理与证明过程
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【观察思考】 教师活动：引导学生观看动图，找出其中蕴含的数学图形以及图形之间的位置关系，引出相切的位置关系，接着回顾过圆上一点如何作圆的切线，为后面过圆外一点作圆的切线作准备. 问题：你还记得童年时玩的悠悠球吗？在玩悠悠球时是否想过它的转动过程中还包含着数学知识？ 问题：观察悠悠球转动时的内部结构，从中你能抽象出什么样的数学图形？ 球的整体和中心轴可分别抽象成圆形 被拉直的线绳可抽象成线段 追问：这些图形有怎样的位置关系？ 线绳所在的直线和中心轴所在的圆相切 【复习回顾】 还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？ 作法： (1)连接OP； (2)过点P作直线l⊥OP， 则直线l即为所作. 追问：如何过圆外一点如何作已知圆的切线呢？ 认真观看并思考 通过熟悉的童年玩具引入新课，提高学生的学习兴趣，并激发对数学知识的探索和求知欲.同时让学生感受到数学和生活的紧密联系. 通过回顾旧知，感知新的知识，体会新旧知识之间的联系.
环节二 探究 新知 【合作探究】 教师活动：先让学生分组探究，交流思路，然后教师找学生说出作图步骤及原理，最后教师给出完整过程. 问题：如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作 直线与⊙O相切 小组合作： 1.独立思考，完成作图； 2.两人一组，交流思路，写出作法. 关键：找出以OP为斜边的直角三角形，并且让其直角顶点在⊙O上. 作法： (1)连接OP. (2)以OP为直径作圆，设此圆交⊙O于点A，B. (3)连接PA，PB.则直线PA，PB即为所作. 小结：过圆外一点能够作圆的两条切线. 【归纳】 切线长的定义 切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 思考：切线长和切线有什么区别？ ①切线是直线，不能度量. ②切线长是圆外一点和切点之间的线段的长，可以度量． 【探究】 教师活动：先让学生自己动手画图并折叠，通 过观察思考给出猜想，过程中教师可适当引导，然后让学生分组探究交流结果，并证明猜想，最后教师给出结论和证明过程. 问题：在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？ 小组合作： 1.独立操作、思考，猜想结论； 2.两人一组，交流探究，证明猜想. 猜想：PA=PB ∠APO=∠BPO 你能证明你的结论吗？ 证明：连接OA，OB ∵PA和PB是⊙O 的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌ Rt△BOP. ∴PA=PB, ∠APO=∠BPO 【归纳】 切线长定理 文字语言：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角. 符号语言： ∵PA、PB分别与☉O相切于点A、B， ∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB. 学生分组探究交流，并画出切线，写出作法 熟悉作图步骤 熟悉切线长的定义 及切线长和切线的区别 操作并分组探究交流、给出猜想 认真思考并写出证明过程 熟悉切线长定理 通过探究、画图等过程，让学生发现：过圆外的一点画圆的切线有两条，培养学生运用已学知识解决问题的能力，同时为后面引出切线长的定义作铺垫. 通过归纳加深学生对切线长的理解，并能区分切线长和切线. 通过操作培养学生的动手能力和观察能力，通过动画演示，让学生形象直观的感受数学的对称美，并通过探究、猜想得出结论，激发学生的求知欲. 通过猜想、证明的过程，发展学生的推理能力，并引出后面的切线长定理. 以填空的形式归纳总结，让学生熟悉切线长定理，同时要注意文字语言、图形语言和符号语言的相互转化.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和☉O分别相切于点E，F，G，H. 求证：AB+CD=DA+BC. 提示：关键是运用切线长定理，将相等线段进行转化. 证明：∵ AB、BC、CD、 DA都与☉O相切，E，F，G，H是切点， ∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH. ∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH， 即 AB+CD=DA+BC. 明确本题的做法 让学生在应用过程中进一步加深对切线长定理的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力. 并在应用过程中渗透转化的数学思想.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.已知：⊙O的半径是30 cm，点P与圆心的距离是60 cm，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，求∠APB的大小与PA的长. 2. 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，直线OP交⊙O于Q，D两点，交AB于点C. (1) 写出图中所有的垂直关系； (2) 写出图中所有的全等三角形. 3. 已知：PA、PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小. 答案： 1. 解：如图，连接OP，OA. ∵ PA、PB是⊙O的切线， ∴ PA⊥OA，∠OPA=∠OPB， 又∵ OA=30 cm， OP=60 cm， ∴ 在Rt△ OAP中，∠OAP=90°， OP=2OA ， ∴ ∠OPA=30°， ∠APB=60°， PA= (cm). 2.解：(1) OA⊥PA， OB⊥PB， AB⊥OP； △OPA≌△OPB， △AOC≌△BOC ， △APC≌△BPC . 3.解： ①如图(1) ，连接 OA、 OB. 在四边形PAOB中，PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°， 由四边形的内角和定理知 ∠APB+∠AOB=180°， 又 ∵∠APB=60°，∴ ∠AOB=120°， 又 ∵∠ACB=∠AOB ， ∴ ∠ACB=60°. ②如图(2) ，连接 OA、 OB， 作圆周角∠ADB， 由①知：∠AOB=120°， ∴ ∠ADB=∠AOB=60°， ∴ ∠ACB=180°–∠ADB=120°. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.在练习3中让学生感受分类讨论的数学思想.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第40-41页 习题24.4 第9、10题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共21张PPT)
24.4 直线与圆的位置关系
第3课时
学习目标
1.理解切线长的定义及切线长定理；
2.学会运用切线长定理进行计算与证明；
3.在运用切线长定理解题的过程中渗透转化、分类讨论的数学思想；
4.让学生经历探究新知的过程，感受数学的对称美，同时在数学活动中获得成功的体验，提高对数学的求知欲.
切线长定理
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你还记得童年时玩的悠悠球吗？在玩悠悠球时是否想过它的转动过程中还包含着数学知识？
观察思考
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
观察悠悠球转动时的内部结构，从中你能抽象出什么样的数学图形？
观察思考
球的整体和中心轴可分别抽象成圆形
被拉直的线绳可抽象成线段
这些图形有怎样的位置关系？
相切
复习回顾
还记得上节课我们学习的过圆上一点作已知圆的切线吗？
∟
o
P
l
作法：
(1)连接OP；
(2)过点P作直线l⊥OP，
则直线l即为所作.
如何过圆外一点作已知圆的切线呢？
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
O.
P
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切
关键
找出以OP为斜边的直角三角形，并且让其直角顶点在⊙O上.
小组合作
1.独立思考，完成作图；
2.两人一组，交流思路，写出作法.
O.
P
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，点P为⊙O外一点，如何过点P作直线与⊙O相切
B
A
过圆外一点能够作圆的两条切线
作法：
(1)连接OP.
(2)以OP为直径作圆，设此圆
交⊙O于点A，B.
(3)连接PA，PB.
则直线PA，PB即为所作.
直径所对的圆周角是直角
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
O.
P
B
A
切线长
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
归纳
切线长和切线有什么区别？
切线是直线，不能度量.
切线长是圆外一点到切点之间的线段长，可以度量．
1
2
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？
小组合作
1.独立操作、思考，猜想结论；
2.两人一组，交流探究，证明猜想.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？
PA=PB
∠APO=∠BPO
你能证明你的猜想吗？
猜想：
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
证明：连接OA，OB
∵PA和PB是⊙O 的两条切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP.
又∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌ Rt△BOP.
∴PA=PB, ∠APO=∠BPO
∟
∟
在透明纸上画出下图，设PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点. 沿直线OP将图形折叠，有什么发现？
试着完成这个证明
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
文字语言
符号语言
过圆外一点作圆的
切线，两条切线长 ，圆心与这一点的连线 两条切线的夹角.
∵PA、PB分别与☉O 相切于点A、B，
∴ PA = PB，
∠OPA=∠OPB.
两条
相等
切线长定理
平分
创设情境
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和☉O分别相切于点E，F，G，H.
求证： AB+CD=DA+BC.
A
C
E
D
F
O
B
G
H
提示
关键是运用切线长定理，将相等线段进行转化.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA和☉O分别相切于点E，F，G，H.
求证： AB+CD=DA+BC.
证明：∵ AB、BC、CD、 DA都与☉O相切，E，F，G，H是切点，
∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即 AB+CD=DA+BC.
A
C
E
D
F
O
B
G
H
转化思想
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1. 已知：⊙O的半径是30 cm，点P与圆心的距离是60 cm，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，求∠APB的大小与PA的长.
.
P
B
A
O
解：如图，连接OP，OA.
∵ PA、PB是⊙O的切线，
∴ PA⊥OA，∠OPA=∠OPB，
又∵ OA=30 cm， OP=60 cm，
∴ 在Rt△OAP中，∠OAP=90°，
OP=2OA ，
∴ ∠OPA=30°， ∠APB=60°，
PA= (cm).
随堂练习
2. 如图， PA、PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，直线
OP交⊙O于Q，D两点，交AB于点C.
(1) 写出图中所有的垂直关系；
(2) 写出图中所有的全等三角形.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
.
P
B
A
O
Q
C
D
解：(1) OA⊥PA， OB⊥PB， AB⊥OP；
△OPA≌△OPB， △AOC≌△BOC ，
△APC≌△BPC .
随堂练习
3. 已知：PA、PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，
点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
.
P
B
A
O
(1)
解：①如图(1) ，连接 OA、 OB.
在四边形PAOB中，PA、PB分别切⊙O于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，
由四边形的内角和定理知
∠APB+∠AOB=180°，
又 ∵∠APB=60°，∴ ∠AOB=120°，
又 ∵∠ACB= ∠AOB ，∴ ∠ACB=60°.
C
随堂练习
3. 已知：PA、PB是⊙O的切线，A，B是切点，∠APB=60°，
点C是⊙O上异于A，B的任意一点，求∠ACB的大小.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
.
P
B
A
O
(2)
解：②如图(2) ，连接 OA、 OB，
作圆周角∠ADB，
由①知：∠AOB=120°，
∴ ∠ADB= ∠AOB=60°，
∴ ∠ACB=180°–∠ADB=120°.
D
C
分类讨论
巩固新知
课堂小结
探究新知
应用新知
创设情境
布置作业
切线长：
切线长定理
切线长定理：
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
布置作业
教科书第40-41页
习题24.4
第9、10题
课堂小结
巩固新知
探究新知
应用新知
创设情境
再见
