24.5 三角形的内切圆
一、教学目标
1.理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念；
2.通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程，掌握三角形内切圆的作法，培养学生的作图能力；
3.类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；
4.通过利用三角形内切圆相关的知识思考和解决问题，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识.
二、教学重难点
重点：三角形内切圆的作法及三角形内心的概念
难点：三角形内心的性质
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【观察思考】 问题：如图，有一块三角形的材料，木工师傅想从中剪下一个面积最大的圆，如何裁剪呢？ 追问：你能帮忙设计吗？ 这节课我们一起来研究这个问题. 认真思考 通过实际情境引入，让学生感受到数学和实际生活的紧密联系，提高学习兴趣.
环节二 探究 新知 【合作探究】 请你动手画一画，当圆与三角形有怎样的位 置关系时，剪下的圆面积最大？ 小组合作： 1.独立思考，画出图形； 2.两人一组，交流思路. 下面是木工师傅设计的几种方案，请你帮忙看一看，哪一种设计的圆面积最大？ (2) (3) (4) 分析：图(1)的⊙O与三边都不相切，图(2)的⊙O只与一边相切，图(3)的⊙O与两边相切，图(4)的⊙O与三边都相切. 图(1)(2)(3)中的圆面积都不是最大的，由此猜想：要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切，如图(4). 【探究】 如何作一个圆，使它与三角形的各边都相切？ 思考： (1)作圆的关键是什么？ 预设答案： 确定圆心和半径． (2)怎样确定圆心的位置？ 预设答案：作两条角平分线，其交点就是圆心的位置． (3)圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？ 预设答案：过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径． 【操作】 已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三条边都相切． 作法 1.作△ABC的∠B 、∠C平分线BE，CF，设它们交于点I. 2.过点I作ID⊥BC于点D. 3.以I为圆心、ID为半径作⊙I. 则⊙I即为所作． 注意：任意三角形有且只有一个内切圆，因为三角形的三条角平分线交点只有一个，这一点到各边的距离也是确定且只有一个定长. 【归纳】 能否类比三角形的外接圆写出三角形的内切圆的相关概念？ 三角形的内切圆 与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形. 三角形的内心到三角形的三边距离相等. 【延伸】 类比三角形内切圆与三角形外接圆 注意：外心不一定在三角形内部，内心一定在三角形内部. 认真思考并分组交流思路 认真分析并回答 在教师的引导下思考并分析问题 熟悉作图过程 熟悉三角形内切圆相关概念 通过类比熟悉三角形内切圆与三角形外接圆的关系 通过画图、分析，培养学生的作图能力和分析能力. 通过观察、合理猜测得出结论，将实际问题转化为数学问题，进一步体会数学与实际生活的紧密联系. 通过逐个提问引导学生分析并解决问题，激发学生的学习兴趣，增强学习数学的信心. 通过动手操作，培养学生的作图能力以及简单说理的能力. 类比三角形的外接圆与圆的内接三角形的有关概念，加深对“外”与“内”、“接”与“切”的区别. 以表格的形式描述三角形内切圆与三角形外接圆的关系，及时复习新知识，建立新旧知识之间的联系，让学生体会类比的数学思想与意识.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】如图，在△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数. 提示：过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角. 解：连接IB，IC. 因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B、∠C的平分线 在△IBC中，有 ∠BIC=180°– (∠IBC+∠ICB) =180°–(∠B+∠C) =180°–(43°+61°) =128°. 拓展：∠BIC=180°–(∠B+∠C) =180°–(180°–∠A) =90°+∠A 【变式训练】 (1)若∠A=60°，则∠BIC= ； (2)若∠BIC =100°，则∠A= . 答案：(1)120°；(2)20°. 明确本题的做法 让学生在应用过程中进一步加深对三角形内切圆及内心的认识和理解，培养学生的应用意识和推理能力.同时在解题过程中渗透数形结合的数学思想. 通过拓展推导出常用关系式，培养学生对所学内容进行反思总结的能力. 并通过变式训练进行巩固提升.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.在△ABC中，AB=AC=4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径的圆与BC相切，求∠BAC的度数. 2.在△ABC中，∠A=80°，点I是内心，求∠BIC的度数. 3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形的内切圆半径. 答案： 1.解：如图，设切点为D，连接AD. ∵ BC与⊙A相切， ∴ AD⊥BC， 又∵ AB=AC=4 cm ， AD=2 cm， ∴ 在Rt△ ADB中，AB=2AD，∠B=∠C， ∴ ∠B=∠C=30°， ∴ ∠BAC=180°–30°–30°=120°. 2. 解：∵ I是△ABC的内心， ∴ ∠ABI=∠IBC=∠ABC ， ∠ACI=∠ICB=∠ACB ， ∵ ∠A=80°， ∴ ∠ABC+∠ACB=180°–∠A=100°， ∴ (∠ABC+∠ACB)=50°， 即∠IBC+ ∠ICB=50°， ∴ ∠BIC=180°–(∠IBC+ ∠ICB)=130°. 3. 解：如图，设△ABC的内切圆半径是r， 切点是D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB， OD=OE=OF=r， ∵ ∠ACB=90°，BC=3，AC=4， ∴ BA==5， 根据三角形面积公式得： S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB ∴ AC×BC = AC×r+BC×r+AB×r， 即:3×4=3r+4r+5r， ∴r=1， ∴内切圆半径为1. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第44页 练习第4题 习题24.5 第1、2、3题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共20张PPT)
24.5 三角形的内切圆
学习目标
1.理解三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形的概念；
2.通过作图操作，经历三角形内切圆的产生过程，掌握三角形内切圆的作法，培养学生的作图能力；
3.类比三角形内切圆与三角形外接圆，进一步理解三角形内心和外心所具有的性质；
4.通过利用三角形内切圆相关的知识思考和解决问题，培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识.
三角形的内切圆
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，有一块三角形的材料，木工师傅想从中剪下一个面积最大的圆，如何裁剪呢？
观察思考
你能帮忙设计吗？
这节课我们一起来研究这个问题!
请你动手画一画，当圆与三角形有怎样的位置关系时，剪下的圆面积最大？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
小组合作
1.独立思考，画出图形；
2.两人一组，交流思路.
下面是木工师傅设计的几种方案，请你帮忙看一看，哪一种设计的圆面积最大？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
O
⊙O与三边都不相切
⊙O只与一边相切
⊙O与两边相切
⊙O与三边都相切
圆面积最大
下面是木工师傅设计的几种方案，请你帮忙看一看，哪一种设计的圆面积最大？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
A
B
C
O
⊙O与三边都相切
圆面积最大
猜想
要使剪下的圆面积最大，这个圆应与三角形的三边都相切.
如何作一个圆，使它与三角形的各边都相切？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
作圆的关键是什么？
确定圆心和半径．
怎样确定圆心的位置？
作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．
圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？
过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长
就是圆的半径．
圆心到三条边的距离相等
角平分线上的点到角的两边的距离相等
相切时圆心到三角形三边的距离等于半径
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
操作
已知△ABC，求作一个圆，使它与△ABC的三条边都相切．
I
E
F
∟
D
作法
1.作△ABC的∠B 、∠C平分线BE，CF，设它们交于点I.
2.过点I作ID⊥BC于点D.
3.以I为圆心、ID为半径作⊙I.
则⊙I即为所作．
任意三角形有且只有一个内切圆，因为三角形的三条角平分线交点只有一个，这一点到各边的距离也是确定且只有一个定长.
三角形的内切圆
归纳
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内切圆
I
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
D
∟
F
∟
E
∟
三角形的内切圆
圆的外切三角形
能否类比三角形的外接圆写出三角形的内切圆的相关概念？
三角形的内心
延伸
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
类 别
三角形的内切圆
三角形的外接圆
⊙O的名称
△ABC的名称
圆心O的名称
圆心O的确定
内心与外心的性质
△ABC的内切圆
△ABC的外接圆
⊙O的外切三角形
⊙O的内接三角形
△ABC的内心
△ABC的外心
作两角的角平分线
作两边的中垂线
内心O到三角形三边的距离相等
外心O到三个顶点的距离相等
A
B
C
O
A
B
C
O
外心不一定在三角形内部，内心一定在三角形内部.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
A
C
I
B
创设情境
提示
过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角.
【例】如图，在△ABC中， ∠B=43°， ∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
A
C
I
B
创设情境
解：连接1B，IC.
因为点I是△ABC的内心，所以IB，IC分别是∠B、∠C的平分线
在△IBC中，有
∠BIC=180°– (∠IBC+∠ICB)
=180°– (∠B+∠C)
=180°– (43°+61°)
=128°.
【例】如图，在△ABC中， ∠B=43°， ∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
∠BIC=180°– (180°–∠A)
=90°+ ∠A
∠BIC=90°+ ∠A
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
【例】如图，在△ABC中， ∠B=43°， ∠C=61°，点I是△ABC的内心，求∠BIC的度数.
A
C
I
B
创设情境
【变式训练】
(1)若∠A=60°，则∠BIC= .
(2)若∠BIC =100°，则∠A= .
120°
20°
∠BIC=90°+ ∠A
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.在△ABC中，AB=AC=4 cm，以点A为圆心、2 cm为半径
的圆与BC相切，求∠BAC的度数.
解：如图，设切点为D，连接AD.
∵ BC与⊙A相切，
∴ AD⊥BC，
又∵ AB=AC=4 cm ， AD=2 cm，
∴ 在Rt△ ADB中，AB=2AD，∠B=∠C，
∴ ∠B=∠C=30°，
∴ ∠BAC=180°–30°–30°=120°.
A
B
C
D
随堂练习
2.在△ABC中，∠A=80°，点I是内心，求∠BIC的度数.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
A
C
I
B
解：∵ I是△ABC的内心，
∴ ∠ABI=∠IBC= ∠ABC ， ∠ACI=∠ICB= ∠ACB ，
∵ ∠A=80°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°–∠A=100°，
∴ (∠ABC+∠ACB)=50°，
即∠IBC+ ∠ICB=50°，
∴ ∠BIC=180°–(∠IBC+ ∠ICB)=130°.
随堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形
的内切圆半径.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
解：如图，设△ABC的内切圆半径是r，
切点是D、E、F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
则OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB， OD=OE=OF=r，
∵ ∠ACB=90°，BC=3，AC=4，
∴ BA= =5，
A
B
C
O
D
E
F
随堂练习
3.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求这个三角形
的内切圆半径.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
根据三角形面积公式得：
S△ABC=S△OAC+S△OBC+S△OAB
∴ AC×BC = AC×r+BC×r+AB×r，
即:3×4=3r+4r+5r，
∴r=1，
∴内切圆半径为1.
A
B
C
O
D
E
F
巩固新知
课堂小结
探究新知
应用新知
创设情境
布置作业
三角形的内切圆：
三角形的内切圆
三角形内心的性质：
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
过三角形内心与顶点的连线平分三角形的内角.
1
2
布置作业
教科书第44页
练习第4题
习题24.5
第1、2、3题
课堂小结
巩固新知
探究新知
应用新知
创设情境
再见
