24.6正多边形与圆
第1课时
一、教学目标
1.理解正多边形与圆的关系；
2.能用尺规作出特殊的正多边形，并设计画出各种相关图案；
3.在探索正多边形与圆的关系的过程中，感受以特殊代替一般的证明方法，发展学生的逻辑思维能力和推理能力；
4.学生经历观察、发现、探究等数学活动，从中获得成功的体验，增强学习数学的自信心.
二、教学重难点
重点：理解正多边形与圆的关系，能用尺规作出特殊的正多边形.
难点：感受以特殊代替一般的证明方法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设情境 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，引导学生回顾已经学过的正五角星的作法，并给出作法.再回顾正多边形的概念. 问题1：我们在七年级曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？ 作法： (1)任意画一个圆； (2)以圆心为顶点，利用量角器接连画出五个72°(360°÷5)角，这些角的边分别与圆周交于五个点； (3)用线段连接相间的点； (4)适当修饰后，即得五角星. 追问：你知道这样画的道理吗？ 问题2：什么样的多边形叫做正多边形呢？ 预设答案：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 追问：能否从下图中找出正多边形？ 思考正五角星的作法 回顾正多边形的概念并找出图形中的正多边形 通过回顾已学知识引出本节课要学习的内容，体会前后知识之间的联系. 引导学生回顾正多边形的概念，为后面如何画正多边形及相关证明作铺垫.
环节二 探究新知 【合作探究】 教师活动：教师先提出下面的问题，引导学生分析问题并得出结论，再让学生分组探究、证明结论. 问题1：正多边形与圆有非常密切的关系，给你一个圆，如何作出一个正多边形呢？ 把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线.于是有： 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 追问：你能证明这个结论吗？ 【证明】 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线.求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. 证明：由，得 同理得 ∵ 顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形. 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有 ，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线.求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 证明：连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的⊙O的切线. ∴ ∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴ ∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB. 又∵ ， ∴ AB=BC. ∴ △PAB≌△QBC. ∴ ∠P=∠Q，PQ=2PA. 同理得 ∠Q=∠R=∠S=∠T， QR=RS=ST=TP=2PA. ∵ 五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴ 五边形PQRST是⊙O的外切正五边形. 【思考】 问题2：由上可知，通过等分圆周的方法能作出正n边形.你能说出作正n边形的过程和原理吗？ 用量角器等分圆周： 由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在同一个圆中，先用量角器作一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形. 正五角星就是这样作出的，还有其他的等分圆周的方法吗？ 【探究】 如何在圆中作正四边形？ 作法： 如图，用直尺和圆规作⊙O的两条互相垂直的直径(先任意画一条直径，再利用圆规作出直径的垂直平分线)，就可以把⊙O分成4等份，顺次连接各分点即可作出正四边形. 小结：这是用尺规等分圆周，在正四边形的基础上，我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等. 【归纳】 等分圆周的方法 ①用量角器等分圆周 ②用尺规等分圆周 在教师的引导下认真思考 分组探究交流 认真思考 认真思考，熟悉用等分圆周的方法作正n边形的过程和原理 分组交流，说出作法 熟悉等分圆周的两种方法 利用已学知识分析问题，体会正多边形与圆的密切关系，培养学生分析问题和解决问题的能力. 通过分组探究的形式让学生证明结论的正确性，感受数学结论的严谨性，以及用特殊代替一般的证明方法. 让学生体会数学与生活的紧密联系，并会用等分圆周的方法设计一些美丽的图案，感受正多边形和圆的和谐美． 引导学生分析归纳出作正多边形的过程和原理，培养学生概括和归纳的能力. 以分组交流的形式让学生探索出新的作正多边形方法，激发学生的探索欲. 通过归纳总结进一步熟悉等分圆周的方法，并培养学生的归纳概括能力.
环节三 应用新知 【典型例题】 【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形. 小组合作： 1.独立思考，作出图形； 2.两人一组，交流作法. 分析： 正六边形的各边所对的圆心角是多少？ 由△OEF为等边三角形可得：正六边形的边长等于半径. 步骤： (1)任意画一条半径； (2)用量角器画一个60°的圆心角，得到它所对的弧； (3)用圆规在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的六等份点； (4)顺次连接各分点得到正六边形. 追问：刚才的方法是用量角器等分圆周，还有其它的方法能等分圆周吗？ 由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为2 cm的圆上依次截取等于2 cm的弦，就可以得到圆的六等份点，顺次连接各分点即可得到圆的内接正六边形. 教师活动：教师提出下面的问题，并简单带领学生分析如何用尺规作图的方法作一些正多边形. 问题：在正六边形的基础上，我们还可用尺规作图的方法作出哪些正多边形？ 逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等.连接6等份圆周的相间两个点，可得到正三角形. 明确本题的做法 进一步熟悉作图步骤 以分组探究的形式培养学生的合作意识，让学生进一步熟悉借助圆画正多边形的两种方法.教师通过视频的形式展示作图过程，并给出作图步骤，让学生有更加直观清晰的感受. 通过提问将例题延伸，让学生明白在正六边形的基础上，用尺规作图的方法可作出相关的正多边形.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.求下列正多边形每个内角及其外角的度数： (1)正五边形；(2)正八边形；(3)正十二边形. 2.用两种方法作已知⊙O的内接正八边形. 答案： 1.解：(1) 108°，72°； (2) 135°，45°； (3) 150°，30°. 2.解：方法一：用量角器和圆规画正八边形 (1) 任意画出一条半径； (2) 用量角器画45°的圆心角，得到该角所对的弧； (3) 得到圆的八等份点； (4) 顺次连接各分点，得到正八边形. 方法二：用直尺和圆规画正八边形 先任意画出一条直径，利用圆规作出直径 的垂直平分线，得圆的四等份点，再作90°圆心角的角平分线得八等份点，最后顺次连接各分点得到正八边形. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置作业 教科书第49页 练习第2、3题 第52页 习题24.6第2题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共23张PPT)
24.6 正多边形与圆
第1课时
学习目标
1.理解正多边形与圆的关系；
2.能用尺规作出特殊的正多边形，并设计画出各种相关图案；
3.在探索正多边形与圆的关系的过程中，感受以特殊代替一般的证明方法，发展学生的逻辑思维能力和推理能力；
4.学生经历观察、发现、探究等数学活动，从中获得成功的体验，增强学习数学的自信心.
正多边形与圆
复习回顾
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
我们在七年级曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？
(1)任意画一个圆；
(2)以圆心为顶点，利用量角器接连画出五个72°(360°÷5)角，这些角的边分别与圆周交于五个点；
(3)用线段连接相间的点；
(4)适当修饰后，即得五角星.
A
B
C
D
E
O
你知道这样画的道理吗？
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
什么样的多边形叫做正多边形呢？
复习回顾
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
能否从下图中找出正多边形？
合作探究
正多边形与圆有非常密切的关系，给你一个圆，如何作出一个正多边形呢？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
外切正n边形
内接正n边形
等弦
等弧
等分圆周
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
D
E
O
五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
合作探究
P
T
Q
R
S
你能证明这个结论吗？
如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有
，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线.
于是有：
俩人一组
合作完成
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
D
E
O
P
T
Q
R
S
同理得
∵ 顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
证明：由 ，得
1
2
3
4
5
证明
求证：五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
各边相等
各角相等
如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有
，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有
，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线.
P
T
Q
R
S
证明：连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵ TP，PQ，QR分别是以点A，B，C为切点的⊙O的切线.
∴ ∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴ ∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
证明
求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
又 ， ∴ AB=BC.
A
B
C
D
E
O
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且有
，TP，PQ，QR，RS，ST分别是以点A，B，C，D，E为切点的⊙O的切线.
∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切，
∴ 五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
∴ △PAB≌△QBC.
∴ ∠P=∠Q，PQ=2PA.
同理得 ∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA.
证明
求证：五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
P
T
Q
R
S
A
B
C
D
E
O
各边相等
各角相等
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
由上可知，通过等分圆周的方法能作出正n边形.你能说出作正n边形的过程和原理吗？
由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在同一个圆中，先用量角器作一个等于 的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的 ，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形.
正五角星就是这样作出的
用量角器等分圆周
还有其他的等分圆周的方法吗？
探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如何在圆中作正四边形？
如图，用直尺和圆规作⊙O 的两条互相垂直的直径(先任意画一条直径，再利用圆规作出直径的垂直平分线)，就可以把⊙O分成4等份，顺次连接各分点即可作出正四边形.
用尺规等分圆周
在正四边形的基础上，我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.
归纳
等分圆周的方法
用量角器等分圆周
1
2
用尺规等分圆周
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
分析
E
F
C
D
A
B
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形.
正六边形的各边所对的圆心角是多少？
创设情境
O
2 cm
.
60°
2 cm
△OEF为等边三角形
正六边形的边长等于半径
典型例题
小组合作
1.独立思考，作出图形；
2.两人一组，交流作法.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
(1) 任意画一条半径；
(2) 用量角器画一个60°的圆心角，得到它所对的弧；
(3) 用圆规在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的六等份点；
(4) 顺次连接各分点得到正六边形.
用量角器等分圆周
作法：
典型例题
【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形.
还有其他的作法吗？
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为2 cm的圆上依次截取等于2 cm的弦，就可以得到圆的六等份点，顺次连接各分点即可得到圆的内接正六边形.
在正六边形的基础上，逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形、正二十四边形等.
用尺规等分圆周
连接6等份圆周的相间两个点，可得到正三角形.
典型例题
【例】如图，在一个半径为2 cm的圆中，作出它的内接正六边形.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1. 求下列正多边形每个内角及其外角的度数：
(1) 正五边形； (2) 正八边形； (3) 正十二边形.
提示
多边形的内角和=(n–2) 180°
正多边形的每个内角=
解：(1) 108°，72°； (2) 135°，45°；
(3) 150°，30°.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2. 用两种方法作已知⊙O的内接正八边形.
A
E
O
C
B
F
D
G
H
45°
方法一
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2. 用两种方法作已知⊙O的内接正八边形.
方法一：用量角器和圆规画正八边形：
(1) 任意画出一条半径；
(2) 用量角器画45°的圆心角，得到该角所对的弧；
(3) 得到圆的八等份点；
(4) 顺次连接各分点，得到正八边形.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2. 用两种方法作已知⊙O的内接正八边形.
A
E
O
C
G
D
F
H
B
R
R
大于R
方法二
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2. 用两种方法作已知⊙O的内接正八边形.
方法二： 用直尺和圆规画正八边形：
先任意画出一条直径，利用圆规作出直径的垂直平分线，得圆的四等份点，再作90°圆心角的角平分线得八等份点，最后顺次连接各分点得到正八边形.
巩固新知
课堂小结
探究新知
应用新知
创设情境
布置作业
正多边形与圆的关系：
正多边形与圆
等分圆周的方法：
正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.
用量角器等分圆周；
用尺规等分圆周.
1
2
布置作业
教科书第49页
练习第2、3题
第52页
习题24.6第2题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
再见24.6正多边形与圆
第2课时
一、教学目标
1.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
2.掌握正多边形的性质，并能运用这些性质解决简单的实际问题；
3.通过正多边形的有关计算，培养学生的计算能力，发展转化思想和解题能力；
4.通过对正多边形的研究，进一步了解正多边形与圆的密切联系，激发学生的学习兴趣和探索精神.
二、教学重难点
重点：正多边形的性质以及相关的计算.
难点：感受以特殊代替一般的证明方法.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【复习回顾】 教师活动：教师提出问题，引导学生巩固正多边形的概念以及如何作一个正多边形.引出新的学习探究内容 问题1：什么样的多边形叫做正多边形？ 预设答案：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 问题2：如何作一个正多边形呢？ 预设答案：将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形. 回顾已学知识 通过回顾已学知识引出本节课要学习的内容，体会前后知识之间的联系.
环节二 探究 新知 【合作探究】 教师活动：教师提出下面的问题，引导学生分析问题并得出相应的结论. 问题：是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？ 以正五边形为例来进行研究. 如图，过正五边形ABCDE的顶点A，B， C作⊙O，连接OA，OB，OC，OD，OE. ∵ OB=OC， ∴ ∠1=∠2. 又 ∵ ∠ABC=∠BCD， ∴ ∠3=∠4. ∵ AB=DC， ∴ △OAB≌△ODC. ∴ OA=OD，即点D在⊙O上. 同理，得点E也在⊙O上. ∴正五边形ABCDE有一个以O为圆心的 外接圆. 由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的弦心距相等，所以以点O为圆心、弦心距OH为半径的圆与正五边形的各边都相切. 所以正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆. 追问：以上推理过程能否推广到正n边形？ 【归纳】 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. 【思考】 圆中的元素和正多边形有什么关系呢？ 我们把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角. 正n边形的每个中心角=. 【观察】 教师活动：先让学生认真观察并分组探究，再通过追问给出适当的引导，最后得出正多边形的性质. 问题：画出下列正多边形的对称轴，看能发现什么规律？ 追问1：上述正多边形分别有几条对称轴？和边数n有什么关系？ 预设答案：分别有对称轴3条、4条、5条、6条；正n边形一共有n条对称轴. 追问2：这些对称轴的交点有什么特征？ 预设答案：对称轴的交点是正多边形的中心. 小结：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心. 问题：正多边形都是旋转对称图形或中心对称图形吗？ 预设答案：正多边形都是旋转对称图形，每旋转就与原图重合，其旋转中心就是正多边形的中心.当n为偶数时，则是中心对称图形. 在教师的引导下认真思考 熟悉证明过程 熟悉相关概念 认真观察 利用已学知识分析问题，培养学生分析问题和解决问题的能力.感受由特殊代替一般的证明方法. 通过追问激发学生思考，并让学生明白上述推理过程适用于所有正n边形，从而得出结论：每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. 让学生熟悉正多边形与圆的相关概念，体会正多边形与圆的密切联系. 通过分组探究的形式让学生观察、思考、总结出正多边形的相关性质.培养学生的观察和分析能力.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】求边长为a的正六边形的周长和面积. 小组合作： 1.独立思考，写出解法； 2.两人一组，交流思路，完善过程. 解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S. ∵ 多边形ABCDEF是正六边形， ∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形. ∴ C=6BC=6a. 在△BOC中，有 OG=BC=a. ∴ S===. 明确本题的做法 让学生在探究过程中进一步加深对正多边形的性质的认识和理解，培养学生的推理能力和计算能力.同时在解题过程中渗透转化思想.
环节四 巩固新知 【随堂练习】 1.完成下面的表格. 2.一个不等边三角形是否一定有一个外接圆 和内切圆？如果有，它们是不是同心圆？ 3.有一正六边形ABCDEF的内切圆半径为 R，求R与这个正六边形ABCDEF的外接圆半径之比. 答案： 1. 2.解：一个不等边三角形一定有一个外接圆和一个内切圆.三角形的外心在三角形的三边垂直平分线上，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，对于不等边三角形来说，外心和内心不是同一点，则三角形的外接圆和内切圆不是同心圆. 3.解：如图所示：过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接OA， ∵ 正六边形ABCDEF的内切圆半径为R， ∴ OM=R，∠OAM=60°， ∴ R与这个正六边形ABCDEF的外接圆半径之比为：sin60°=. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书 第51页练习第3题 第52页习题24.6第6题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共18张PPT)
24.6 正多边形与圆
第2课时
学习目标
1.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念；
2.掌握正多边形的性质，并能运用这些性质解决简单的实际问题；
3.通过正多边形的有关计算，培养学生的计算能力，发展学生的转化思想和解题能力；
4.通过对正多边形的研究，进一步了解正多边形与圆的密切联系，激发学生的学习兴趣和探索精神.
正多边形的性质
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
什么样的多边形叫做正多边形？
复习回顾
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
如何作一个正多边形呢？
将一个圆n等分，就可以作出这个圆的内接或
外切正n边形.
合作探究
是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
以正五边形为例来进行研究.
A
B
C
D
E
O
如图，过正五边形ABCDE的顶点A，B，
C作⊙O，连接OA，OB，OC，OD，OE.
∵ OB=OC，
∴ ∠1=∠2.
又 ∵ ∠ABC=∠BCD，
∴ ∠3=∠4.
∵ AB=DC，
∴ △OAB≌△ODC.
1
2
3
4
∴ OA=OD，即点D在⊙O上.
同理，得点E也在⊙O上.
∴正五边形ABCDE有一个以O
为圆心的外接圆.
合作探究
是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
以正五边形为例来进行研究.
A
B
C
D
E
O
由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，等弦的弦心距相等，所以以点O为圆心、弦心距OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.
所以正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆.
H
以上推理过程能否推广到正n边形？
归纳
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
外接圆
内切圆
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
思考
圆中的元素和正多边形有什么关系呢？
我们把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
A
B
C
D
E
O
H
正n边形的每个中心角= .
半径
边心距
中心角
中心
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
画出下列正多边形的对称轴，看能发现什么规律？
上述正多边形分别有几条对称轴？和边数n有什么关系？
这些对称轴的交点有什么特征？
3条
4条
5条
6条
正n边形一共有n条对称轴
对称轴的交点是正多边形的中心
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
画出下列正多边形的对称轴，看能发现什么规律？
3条
4条
5条
6条
正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心.
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
正多边形都是旋转对称图形或中心对称图形吗？
中心对称图形
正多边形都是旋转对称图形，每旋转 就与原图重合，其旋转中心就是正多边形的中心.
当n为偶数时，则是中心对称图形.
120°
90°
72°
60°
中心对称图形
探究新知
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课堂小结
布置作业
应用新知
【例】求边长为a的正六边形的周长和面积.
创设情境
典型例题
小组合作
1.独立思考，写出解法；
2.两人一组，交流思路，完善过程.
E
F
C
D
A
B
探究新知
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课堂小结
布置作业
应用新知
【例】求边长为a的正六边形的周长和面积.
创设情境
O
.
典型例题
解：如图，过正六边形的中心O作OG⊥BC，垂足是G，连接OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为C和S.
∵ 多边形ABCDEF是正六边形，
∴ ∠BOC=60°，△BOC是等边三角形.
∴ C=6BC=6a.
在△BOC中，有 OG= BC= a.
∴ S= = = .
G
转化思想
正六边形的面积
六个等边三角形的面积
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布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
1.完成下面的表格.
正多边形的边数
内角
外角
中心角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2.一个不等边三角形是否一定有一个外接圆和内切圆？
如果有，它们是不是同心圆？
解：一个不等边三角形一定有一个外接圆和一个内切圆.
三角形的外心在三角形的三边垂直平分线上，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，对于不等边三角形来说，外心和内心不是同一点，则三角形的外接圆和内切圆不是同心圆.
探究新知
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布置作业
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随堂练习
创设情境
3.有一正六边形ABCDEF的内切圆半径为R，求R与这个正六边形
ABCDEF的外接圆半径之比.
E
F
C
D
O
.
A
B
M
解：如图所示：过点O作OM⊥AB，垂足为M，连接OA，
∵ 正六边形ABCDEF的内切圆半径为R，
∴ OM=R，∠OAM=60°，
∴ R与这个正六边形ABCDEF的外接圆半径之比为：sin60°= .
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创设情境
布置作业
相关概念：
正多边形的性质
正多边形的性质：
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
所有的正n边形都是轴对称图形，共有n条对称轴；它们又是旋转对称图形，当n为偶数时，则是中心对称图形.
布置作业
教科书
第51页练习第3题
第52页习题24.6第6题
探究新知
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再见
