24.8 综合与实践
进球线路与最佳射门角
一、教学目标
1.理解射门点与射门角的概念，掌握不同情境下的最佳射门点；
2.结合具体情境综合应用已学知识设计解决实际问题的方案，发展应用意识；
3.通过探究学习，获取用圆中的知识解决实际问题的能力，体验用运动的观点来研究图形的思想方法；
4.在探究中体验成功的乐趣，提高学习数学的兴趣.
二、教学重难点
重点：理解进球路线和射门角的关系.
难点：利用圆和相关知识找到最佳射门角.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【情境引入】 足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动.在比赛的过程中，你知道运动员是怎样来提高进球可能性的吗？ 顺口溜： 冲向球门跑，越近就越好； 歪着球门跑，射点要选好！ 这节课我们一起来研究进球线路与最佳射门角. 认真思考 通过实际情境引入，让学生感受到数学和实际生活的紧密联系，提高学习兴趣.
环节二 探究 新知 【合作探究】 足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定 位置后，再进行射门，这个位置为射门点. 射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角. 在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性就越大. 问题：你知道运动员带球跑动的几种常见路线吗？ 把握最佳射门点，有助于提高运动员进球成功率.下面我们一起来研究! 【探究】 教师活动：先给出问题，再让学生分组探究、猜想并证明，最后学生展示证明过程，教师完善补充. 问题：如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上由左边(或右边)逐渐向球门的中心靠近时，∠ACB怎样变化？当点C在什么位置时，∠ACB最大？ 小组合作： 1.独立思考，猜想结论； 2.两人一组，交流探究，证明猜想. 猜想：∠ACB逐渐增大. 根据对称性可知，当点C在直线l上移动到离球门中心最近的位置，即线段AB的垂直平分线与直线l的交点C0时，∠AC0B最大. 追问：你能证明你的猜想吗？ 【证明猜想】 证明：如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上移动时，∠ACB的最大值为∠AC0B. 证明：过A，B，C0三点作⊙O，由于AB//l， AC0=BC0，C为直线l上任一点 (不同于点 C0) ，易知⊙O与直线l相切于点C0，BC与 ⊙O交于点D.则∠ADB=∠AC0B. ∵ ∠ADB＞∠ACB， ∴ ∠AC0B＞∠ACB. 即点C在直线l上移动时，∠ACB的最 大值为∠AC0B. 【延伸】 问题：当直线l向上平移到直线l'时， ∠ACB的最大值会发生什么变化？ C0 → C2 ∠AC0B →∠AC2B ∠AC2B＞∠AC0B 追问：根据刚才的探究你能得出什么结论？ 【归纳】 当运动员沿直线l横向跑动时，他的位置离球门的中心越近，射门角越大，离球门的中心最近(点C0)时，射门角最大. 最佳射门角的大小与直线l到AB的距离有关，当直线l与AB的距离越近，最佳射门角就越大，射门进球的可能性也就越大. 追问：你还能得出其它的结论吗？ 如果⊙O过点A，B，而直线AB同侧的三点C1，C0，C2分别在⊙O外，⊙O上和⊙O内，则有∠AC1B＜∠AC0B＜∠AC2B. 简单地说，在弦的同侧，同弦所对的圆外角α、圆周角β和圆内角θ的大小关系为α＜β＜θ. 熟悉相关概念和带球路线 认真思考 分组探究交流 熟悉证明过程 认真观察思考 熟悉结论 让学生熟悉射门点和射门角的概念，以及几种常见的带球路线，为后面要学习的内容作准备. 通过探究、猜测、证明结论，让学生感受用数学的思想解决实际问题的方案，进一步体会数学与实际生活的紧密联系. 通过证明让学生学会应用已学知识设计解决实际问题，发展应用意识，体验用运动的观点来研究图形的思想方法. 进一步体验用运动的观点来研究图形的思想方法. 通过归纳得出结论，培养学生的归纳概括能力，并为后面要解决的问题作准备.
环节三 应用 新知 【典型例题】 教师活动：先让学生类比前面的解决方案自主探究，然后出示课件展示几何画板中的内容，最后给出解题过程和结论. 【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置. (1)作出过A，B，C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系； (2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角； (3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长； (4)向左平移直线l到直线l'，观察直线l上的最佳射门角与直线l'上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论. 解：(1)直线l与该圆有两种位置关系：相交、相切. (2)直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l上的最佳射门角.证明如下： 设C1为直线l上任一点 (不同于点C) ，连接AC1交⊙O于点H，连接BC1， BH， 因为⊙O与直线l相切于点C，则 ∠AHB=∠ACB. ∵ ∠AHB＞∠AC1B， ∴ ∠ACB＞∠AC1B. 即直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l上的最佳射门角. (3)如图，过点O作OE⊥AD， 连接OB、OC.则四边形OEDC是矩 形，OE=CD. ∵ AB=m，BD=n， ∴ OB=OC=DE=. . ∴ 在Rt△OEB中，由勾股定理得 ∴ CD的长为. (4)直线l上的最佳射门角比直线l'上的最佳射门角小. 明确本题的做法 让学生在应用过程中进一步熟悉利用圆的相关知识解决实际问题的方案，培养学生的应用意识和推理能力.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.如图，点P在圆外，点M，N都在圆上，则下列角度大小关系正确的是( ) A.∠APB＞∠AMB B.∠APB＞∠ANB C.∠APB＜∠AMB D.∠ANB＞∠AMB 2.如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门AB进攻，当他带球冲到C点时，同伴乙、丙已经分别助攻到点D、E，不考虑防守情况，仅从射门角度考虑，下列说法能够使进球有最佳射门角度的是( ) A.立刻射门 B.带球到点F射门 C.传给同伴乙 D.传给同伴丙 3. 如图，当运动员直向跑动时，直线l垂直穿过球门AB，点C是运动员的位置. (1)∠ACB的大小是怎样变化的？ (2)直线l上还有没有最佳射门点？说明你的理由. 答案： 1.C； 2.C； 3.解：(1)当运动员由C向AB移动时，∠ACB逐渐增大，0°＜∠ACB＜180°. (2)因为∠ACB越来越大，所以直线l上没有最佳射门点. 但这时运动员离球门越近，进球的可能性越高. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第64页 问题3、问题4 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共24张PPT)
24.8 综合与实践
进球线路与最佳射门角
学习目标
1.理解射门点与射门角的概念，掌握不同情境下的最佳射门点；
2.结合具体情境综合应用已学知识设计解决实际问题的方案，发展应用意识；
3.通过探究学习，获取用圆中的知识解决实际问题的能力，体验用运动的观点来研究图形的思想方法；
4.在探究中体验成功的乐趣，提高学习数学的兴趣.
进球线路与最佳射门角
情境引入
应用新知
创设情境
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
足球运动已成为一种世界性的运动，也是我们大家喜欢欣赏的一种体育活动.在比赛的过程中，你知道运动员是怎样来提高进球可能性的吗？
冲向球门跑，越近就越好；歪着球门跑，射点要选好！
这节课我们一起来研究进球线路与最佳射门角.
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
球门
射门角
射门点
足球运动员在球场上，常需带球跑动到一定位置后，再进行射门，这个位置为射门点.
射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角.
在不考虑其他因素的情况下，一般地，射门角越大，射门进球的可能性就越大.
合作探究
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
你知道运动员带球跑动的几种常见路线吗？
A
B
C
球门
l
A
B
C
球门
l
A
B
C
球门
l
把握最佳射门点，有助于提高运动员进球成功率.下面我们一起来研究!
横向跑动
直向跑动
斜向跑动
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上由左边(或右边)逐渐向球门的中心靠近时，∠ACB怎样变化？当点C在什么位置时，∠ACB最大？
A
B
C
球门
l
小组合作
1.独立思考，猜想结论；
2.两人一组，交流探究，
证明猜想.
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
探究
如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上由左边(或右边)逐渐向球门的中心靠近时，∠ACB怎样变化？当点C在什么位置时，∠ACB最大？
A
B
C
球门
l
C0
∠ACB逐渐增大.
根据对称性可知，当点C在直线l上移动到离球门中心最近的位置，即线段AB的垂直平分线与直线l的交点C0时，∠AC0B最大.
猜想
你能证明你的猜想吗？
证明猜想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
球门
l
C0
证明：如图，直线l与球门AB平行，点C表示运动员的位置，当点C在直线l上移动时，∠ACB的最大值为∠AC0B.
证明：过A，B，C0三点作⊙O，由于AB//l，
AC0=BC0，C为直线l上任一点 (不同于点
C0) ，易知⊙O与直线l相切于点C0，BC与
⊙O交于点D.则∠ADB=∠AC0B.
∵ ∠ADB＞∠ACB，
∴ ∠AC0B＞∠ACB.
即点C在直线l上移动时，∠ACB的最
大值为∠AC0B.
D
O
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
A
B
C
球门
l
C0
当直线l向上平移到直线l'时， ∠ACB的最大值会发生什么变化？
延伸
l'
C0 → C2
∠AC0B →∠AC2B
∠AC2B＞∠AC0B
C2
根据刚才的探究你能得出什么结论？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
创设情境
当运动员沿直线l横向跑动时，他的位置离球门的中心越近，射门角越大，离球门的中心最近(点C0)时，射门角最大.
A
B
C
球门
l
C0
最佳射门角
最佳射门点
最佳射门角的大小与直线l到AB的距离有关，当直线l与AB的距离越近，最佳射门角就越大，射门进球的可能性也就越大.
你还能得出其它的结论吗？
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
创设情境
如果⊙O过点A，B，而直线AB同侧的三点C1，C0，C2分别在⊙O外，⊙O上和⊙O内，则有∠AC1B＜∠AC0B＜∠AC2B.
A
B
C1
球门
l
C0
简单地说，在弦的同侧，同弦所对的圆外角α、圆周角β和圆内角θ的大小关系为α＜β＜θ.
l'
C2
O
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.
(1)作出过A，B，C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系；
(2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角；
(3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长；
(4)向左平移直线l到直线l'，观察直线l上的最佳射门角与直线l'上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论.
A
B
C
球门
l
D
l'
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.
(1)作出过A，B，C三点的圆，猜想当点C在直线l上移动时，直线l与该圆的位置关系；
解：(1)直线l与该圆有两种位置关系：相交、相切.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.
(2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角；
(2)直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l上的最佳射门角.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.
(2)当直线l与该圆有怎样的位置关系时，∠ACB是直线l上的最佳射门角；
A
B
C
球门
l
D
O
证明：设C1为直线l上任一点 (不同于点
C) ，连接AC1交⊙O于点H，连接BC1， BH，
因为⊙O与直线l相切于点C，则
∠AHB=∠ACB.
∵ ∠AHB＞∠AC1B，
∴ ∠ACB＞∠AC1B.
即直线l与该圆相切时，∠ACB是直线l
上的最佳射门角.
C1
H
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.
(3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长；
(3)如图，过点O作OE⊥AD，
连接OB、OC.则四边形OEDC是矩
形，OE=CD.
∵ AB=m，BD=n，
∴ OB=OC=DE= .
A
B
C
球门
l
O
D
E
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.
(3)已知AB=m，BD=n，当点C是直线l上的最佳射门点时，求CD的长；
∴ 在Rt△OEB中，由勾股定理得
A
B
C
球门
l
O
D
E
∴ CD的长为 .
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】如图，当运动员直向跑动时，球门AB与直线l垂直，点C是运动员的位置.
(4)向左平移直线l到直线l'，观察直线l上的最佳射门角与直线l'上的最佳射门角之间的大小关系，写出你的结论.
(4)直线l上的最佳射门角比直线l'上的最佳射门角小.
随堂练习
1.如图，点P在圆外，点M，N都在圆上，则下列角度大小关系正确的是( )
A.∠APB＞∠AMB B.∠APB＞∠ANB
C.∠APB＜∠AMB D.∠ANB＞∠AMB
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
A
B
M
P
N
C
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
随堂练习
创设情境
2.如图，在足球比赛中，甲带球向对方球门AB进攻，当他带球冲到C点时，同伴乙、丙已经分别助攻到点D、E，不考虑防守情况，仅从射门角度考虑，下列说法能够使进球有最佳射门角度的是( )
A.立刻射门 B.带球到点F射门
C.传给同伴乙 D.传给同伴丙
C
A
B
C
D
E
F
随堂练习
3. 如图，当运动员直向跑动时，直线l垂直穿过球门AB，点C是运动员的位置.
(1)∠ACB的大小是怎样变化的？
(2)直线l上还有没有最佳射门点？说明你的理由.
探究新知
应用新知
课堂小结
布置作业
巩固新知
创设情境
解：(1)当运动员由C向AB移动时，∠ACB逐渐增大，0°＜∠ACB＜180°.
A
B
C
l
(2)因为∠ACB越来越大，所以直线l上没有最佳射门点. 但这时运动员离球门越近，进球的可能性越高.
巩固新知
课堂小结
探究新知
应用新知
创设情境
布置作业
射门角的概念：
进球线路与最佳射门角
注意：
射门点与球门边框两端点的夹角就是射门角.
影响进球可能性大小的因素有进球线路、射门角大小等.若不考虑其他因素，一般最佳射门角越大，射门进球的可能性就越大.
布置作业
教科书第64页
问题3、问题4
课堂小结
巩固新知
探究新知
应用新知
创设情境
再见
