1.2.2 矩形的判定 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
1.2 矩形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
第2课时 矩形的判定
3个判定定理
+
1个推论
复习引入
导入新课
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
在Rt△ABC中
∵BO是AC的中线(或点O为AC的中点或AO=CO)
∴ BO =AO=CO= AC
O
C
B
A
1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
性质
∵BO是AC上的中线, BO = AC
∴△ABC为直角三角形
逆定理
问题3 直角三角形有哪些性质？
根据矩形的定义,可得矩形的第一个判定的方法：
∵∠A=90°
∴□ABCD是矩形
几何语言
判定1：有一个角是直角的平行四边形为矩形.
思考 还有其他的判定方法吗？
在□ABCD中
A
B
C
D
A
B
C
D
□ABCD
∠A=90°
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？
对角线相等的平行四边形是矩形
一
问题2:
当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？
问题1:
随着a的变化两条对角线的长度将发生 怎样的变化？
对角线相等的平行四边形是矩形.
猜想：
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形
A
B
C
D
证一证
归纳总结
几何语言：
A
B
C
D
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
在□ABCD中
∵AC=BD
∴□ABCD是矩形
A
B
C
D
□ABCD
AC=BD
归纳总结
几何语言：
A
B
C
D
推论：对角线相等且平分的四边形是矩形
∵ OA=OC OB=OD AC=BD
∴□ABCD是矩形
A
B
C
D
四边形ABCD
OA=OC OB=OD
AC=BD
O
O
你有什么方面检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形 如果仅有一根较长的绳子,你怎样检查 请说明检查的合理性.
应用生活
如果你有刻度尺,你如何检查呢 请说明检查的合理性.
练一练
1.如图，在□ABCD中，AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ABCD是矩形的是 （　　）
A．AB=AD B．AC=BC
C．AD=BC D．AC=BD
D
2.如图, 在□ ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.
理由如下：
在□ABCD中
∴ AO=CO,DO=BO
又∵ ∠1= ∠2
∴AO=BO
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
3、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OD＝OB，
∴四边形NDMB为平行四边形
∵MN＝BD
∴□NDMB为矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形
二
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜测：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴□ ABCD是矩形.
A
B
C
D
证一证
归纳总结
几何语言
A
B
C
D
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形
A
B
D
C
四边形
∠A=∠B=∠C=90°
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
应用生活
思考 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
想一想
问题1：对于平行四边形，满足哪些条件就可以得到矩形
问题2：对于任意四边形，满足哪些条件就可以得到矩形？请判定下列四个命题的真伪。
①有一个角是直角的四边形是矩形。 ( )
②对角线相等的四边形是矩形。 ( )
③对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 ( )
④四个角都相等的四边形是矩形。 ( )
1.在下列说法中：正确的个数是( )
①四个角都相等的四边形是矩形；
②两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形；
④一组对边平行，另一组对边相等，并且有一个角是直角的四边形是矩形。
A.1 B.2 C.3 D.4
练一练
2.如图四边形ABCD的对角线相交于点O，给出下列条件：
①AB//CD;②AB=CD;③AC=BD;④∠ABC=90°;⑤OA=OC;⑥OB=OD。请从这6个条件中选取3个，_______________使四边形ABCD是矩形，并说明理由。
1、如图 ，在 □ ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求□ ABCD 的面积．
当堂练习
2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，
∴∠ADC=90°.
又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，
满足132=52+122，即
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
A
B
C
D
当堂练习
3、已知：如图，在□ ABCD 中，M 是 AD 边的中点，且 MB = MC． 求证：四边形 ABCD 是矩形
当堂练习
变式：已知：如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点. 求证：∠EBC=ECB。
E
课堂小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形(根据定义).
对角线相等的平行四边形是矩形.
有三个角是直角的四边形是矩形.
矩形的判定定理
定义法
判定定理
推论：对角线相等且平分的四边形是矩形.